建筑力学 结构第六章结构的变形PPT课件
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14
例2：如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷q作用， 梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截 面A处的转角。
解：梁的弯矩方程为：
M(x)1qlx1qx2
x
22
将上式一次积分得转角：
1(1ql2x1q3x)C
EI4 6
再次积分，可得挠度方程：
y1(1q3 l x1q4x )C xD
E1 I 2 24
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
d2y
(x) dx2
10
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2 y M (x)
dx2
EI
11
§6-2 梁在弯曲时的变形
A
q2l43 (顺
时
针 转)
16
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷单独作用时 梁的变形；③叠加得最后结果。
17
梁在简单载荷作用下的变形
6
§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念
❖梁的挠曲线近似微分方程
❖用积分法计算梁的变形
❖用叠加法计算梁的变形
❖梁的刚度校核
❖提高梁弯曲刚度的措施
7
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
梁的挠度和转角
▪ 梁的挠曲线： 变形后的梁轴线是一条连续、光滑曲线.
▪ 挠度: 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移y, 挠度方程: y=f(x)
6.2.3 用积分法计算梁的变形
积分法推导梁的变形
对等截面直梁,EI=常数. 挠曲线近似微分方程改写为: EIyEI d2yM(x)
积分一次得转角方程: dx2
EIEId dy xM (x)dxC
再积分一次得挠度方程:
E Iy M (x )d x d x C x D
C和D为积分常数,由挠曲线上已知约束条件确定,称
梁的简图
挠曲线方程
转角和挠度
yFx2 (3lx) 6EI
B
Fl 2 2 EI
yB
Fl 3 3 EI
yF2x(3ax) 0xa 6EI
B
Fa 2 2 EI
yF2a(3xa) axl 6EI
13
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
15
1(1ql2x1q3x)C
EI4 6 y1(1q3 l x1q4x )C xD
E1 I 2 24
边界条件：x0时，y0 0 ； xl时，yl 0
Βιβλιοθήκη Baidu
C ql3 24EI
D0
1(1ql2x1q3xq3l)
EI4 6 24 y1(1q3 l x1q4xq3lx)
E1 I 2 24 24
故有 yC 358q4El4 I()
截面挠度y:向下为正，向上为负
截面转角 :顺时针转为正，逆时针转为负
9
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力Q
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
(x) [1 ( dy )2 ]3/ 2
▪ 转角: 横截面绕中性轴所转的角度, 单位: rad
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量 8
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
挠度和转角的关系
挠曲线上C1点处斜率
tg=dy/dx
在小变形下，可取tg , 因此 =dy/dx=y´
挠度和转角正负号规定
坐标系的建立： y轴向下为正
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计 A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
2
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
3
第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
为边界条件.
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A
Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移 Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角 1
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
4
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L
横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d
拉杆 为正， ´ 为负；
压杆 为负， ´ 为正。
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§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
例2：如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷q作用， 梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截 面A处的转角。
解：梁的弯矩方程为：
M(x)1qlx1qx2
x
22
将上式一次积分得转角：
1(1ql2x1q3x)C
EI4 6
再次积分，可得挠度方程：
y1(1q3 l x1q4x )C xD
E1 I 2 24
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
d2y
(x) dx2
10
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2 y M (x)
dx2
EI
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§6-2 梁在弯曲时的变形
A
q2l43 (顺
时
针 转)
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§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷单独作用时 梁的变形；③叠加得最后结果。
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梁在简单载荷作用下的变形
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§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念
❖梁的挠曲线近似微分方程
❖用积分法计算梁的变形
❖用叠加法计算梁的变形
❖梁的刚度校核
❖提高梁弯曲刚度的措施
7
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
梁的挠度和转角
▪ 梁的挠曲线： 变形后的梁轴线是一条连续、光滑曲线.
▪ 挠度: 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移y, 挠度方程: y=f(x)
6.2.3 用积分法计算梁的变形
积分法推导梁的变形
对等截面直梁,EI=常数. 挠曲线近似微分方程改写为: EIyEI d2yM(x)
积分一次得转角方程: dx2
EIEId dy xM (x)dxC
再积分一次得挠度方程:
E Iy M (x )d x d x C x D
C和D为积分常数,由挠曲线上已知约束条件确定,称
梁的简图
挠曲线方程
转角和挠度
yFx2 (3lx) 6EI
B
Fl 2 2 EI
yB
Fl 3 3 EI
yF2x(3ax) 0xa 6EI
B
Fa 2 2 EI
yF2a(3xa) axl 6EI
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
15
1(1ql2x1q3x)C
EI4 6 y1(1q3 l x1q4x )C xD
E1 I 2 24
边界条件：x0时，y0 0 ； xl时，yl 0
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C ql3 24EI
D0
1(1ql2x1q3xq3l)
EI4 6 24 y1(1q3 l x1q4xq3lx)
E1 I 2 24 24
故有 yC 358q4El4 I()
截面挠度y:向下为正，向上为负
截面转角 :顺时针转为正，逆时针转为负
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力Q
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
(x) [1 ( dy )2 ]3/ 2
▪ 转角: 横截面绕中性轴所转的角度, 单位: rad
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量 8
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
挠度和转角的关系
挠曲线上C1点处斜率
tg=dy/dx
在小变形下，可取tg , 因此 =dy/dx=y´
挠度和转角正负号规定
坐标系的建立： y轴向下为正
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计 A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
2
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
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第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
为边界条件.
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A
Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移 Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角 1
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
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§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L
横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d
拉杆 为正， ´ 为负；
压杆 为负， ´ 为正。
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§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系