08级材料力学试卷(A卷)答案与评分标准 2

1、试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。

若横截面面积
21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。

（10分）
解：（1）求指定截面上的轴力
kN N 2011-=-
)(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图
轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力
M P a mm N
A N 10020010202
311111-=⨯-==--σ MPa mm
N A N 3.3330010102
32222
2-=⨯-==--σ MPa mm
N A N 2540010102
3333
3=⨯==--σ
图
⋅N
m
kN ⋅30kN 20kN
5.12⊕
Θ
图
Q m
kN ⋅30m
kN ⋅20图
M A
C B
B
C
A
2、用区段叠加法作图示梁的内力图（10分）
解：（1）求支座反力
)(5.1204
1
2030kN R A -=+⨯+-= )(5.32204
1
2030kN R C =+⨯+=
（2）求控制截面的弯矩 m kN M A ⋅=30
)(20120m kN M C ⋅-=⨯-=
0=B M
（3）画控制截面弯矩的竖标，
连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。

（4）根据支座反力和横力，作出如图
所示的剪力图。

3、试用积分法求图示悬臂梁的挠曲线方程、最大挠度、梁端转角的表达式。

（10分）
解：
（1）写弯矩方程 e M x M -=)(
（2）写挠曲线近似微分方程，并积分
)("
x M E I w -= e M E I w
="
1'
C x M E I w
e += 2122
1
C x C x M E I w e ++=
把边界条件：当0=x 时，0'=w ，0=w 代入以上方程得：01=C ，02=C 。

故：
转角方程为： x M EI EIw e ==θ'，EI
x
M e =
θ 挠曲线方程：2
2
1x M EIw e =， EI x M w e 22=
（3）求梁端的转角和挠度 EI
l
M l e B =
=)(θθ EI
l M l w w e B 2)(2
==（最大挠度）
4、刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。

如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积21000mm A =，试求
两杆的轴力和应力。

（15分） 解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N
150221=+N N (1)
变形协调条件：
122l l ∆=∆
EA
l
N EA l N 122= 122N N = (2)
(1)、(2)联立，解得：
kN N 301= kN N 602=
MPa mm
N
A N 30100030000211===σ MPa mm N
A N 601000600002
22===σ
5、已知应力状态如图所示，试用解析法和图解法求：（1）045σ和045τ；（2）主应力大小、主平面方位并画出主单元体；（3）最大切应力大小。

（应力单位均为MPa ）（15分）
（一）用解析法求解
（1）写出坐标面应力和斜面角度：X （0，-50）；Y （-20，50）045=α。

（2）计算斜面上的应力：
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
)(4090sin )50(90cos 2)
20(022*******MPa =----+-=σ ατασστα2c o s 2s i n 2
x y
x +-=
)1090cos 5090sin 2
)
20(000450
MPa =--=
τ （3）求主应力和主平面的方位 2
2
m i n
m a x 22
x y x y
x τσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±+=
)(61)(41)50(220022002
2
min
max MPa MPa -=
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-=σ )(411MPa =σ，02=σ，)(613MPa -=σ 5)
20(0)
50(222tan 0=---⨯-=--=
y x x σστα
031
.10169.785arctan 2-==α 因为0<x τ，0α与x τ互为异号，所以0035.39=α。

单元体如图所示。

（4）求最大切应力的大小
)(512
)
61(412
2
1max MPa =--=
-=
σστ 解：（二）用图解法求解。

（1） 写出坐标面应力和斜面角度：X （0，-50）；Y （-20，50）045=α。

（2） 作应力圆如图所示。

（3） 按比例尺量得斜面的应力为： MPa 40045=σ ，10045=τ；主应力为：
M P a 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；最大主应力X 轴正向的夹角为：'003539=α。

主单元体如图所示。

最大切应力为)(51max MPa =τ。