全国初中数学竞赛模拟试题及答案

全国初中数学竞赛初赛模拟试卷

（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内

1. 方程 020091

1=-x 的根是

A. 20091

- B. 20091

C. -2009

D. 2009

2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是

A ．2a ≥2b

B ．2a ＞2b

C ．2a ≤2b

D ．2a ＜2b

3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是

A ．k

B ．h

C ．e

D ．d

4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC

是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是

A

．75° B ．72° C ．70° D ．65°

图2

（第3题图） （第4题图）

5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是

A ．c b a +=2

B ．c a b +=2

C ．b a c +=2 D. b a c +=2

6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是

A ．1

B ．21

C ．0 D. -1

7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是

A ．∠A ＞

60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90°

8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是

A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．2

9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是

A ．5

B ．7

C ．10

D ．12

10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列

结论正确的是

A ．p ＞q ＞0

B ．q ＞p ＞0

C ．p ＞0＞q

D ．q ＞0＞p

二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）

11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = .

12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111

b a .

13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，

绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52

，那么，随机从中摸出一个黄球的概

率为 .

14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，

若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 .

15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE=

∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条.

（第10题图）

D F B A E

C C

（第14题图） （第15题图） （第16题图）

16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠DBC=45°，折叠梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，

折痕为EF ，若AD=2，BC=8，则tan ∠CDE= .

17. 实数y x ,满足06222=+-y x x ，设x y x w 822-+=，则w 的最大值是 .

18. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），

点B 的坐标为（8，0），点C ，D 在以OA 为直径的

半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C

的坐标为 . （第18题图）

三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）

19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，

很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.

20. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（点E 与A 、C 都不重合），点F 在斜边AB 上（点F 与A ，B 都不重合）

（1）若EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=x ，△AEF 的面积为y ，写出y 与x 之间的函数

关系式，并指出x 的取值范围；

（2）试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分，

若存在，求出AE 的长，若不存在，说明理由.

A F C B

初赛试题参考答案

一、选择题：DBCAB ，CDADB

提示：

1．D ；由0200911=-

x ，得2009,12009

1=∴=x x 2．B ；由b a +＜0，b ＞0知a ＜0且|a |＞|b |，所以|a |2＞|b |2，即a 2＞b 2； 3．C ；将图1中的平面图折成正方体

4．A ；延长CO 交于⊙O 于D ，连结AD ，则∠D=∠B=15°，因为CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所

以在Rt △ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.

5．B ；由2a =3，2c =12，得2a ·2c =3×12. 即2c a +=36=62，而2b =6

c a b a b b c a +===∴+22)2(22

6．C ；设1,2008,2009-=+-=-=b a n b n a 则，

又002,21)1(12)(222222==∴+=-∴=+++=+ab ab ab b a b ab a b a 即且

7．D ；若∠B ＋∠C ＜90°，则 ∠A ＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故D 错.

8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数

每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.

9．D ；过P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=24915222=-，所以⊙O 中，通过P 点的弦长

L 的取值范围是24≤L ≤30，又L 为整数，所以L 的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的

对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.

10. B ；由图象知a ＜0，c =0，a

b 2-＞1，从而2a ＋b ＞0，又a a b b a 3)()2(=--+＜0，即b a +2＜a b -.

二、填空题：11. 9或91 12. 1 13. 3

1 14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16. 53 17. O 18.

（1，3）

提示：

11．9或9

1；由条件知3-=x ，2±=y

12．1；由已知条件知ab =1，所以原式

)

()(22b a b ab a b a ab b ab ab a ab ab +++=+++= 1=++=+++=b a b a b a a b a b 13. 31；设口袋中有黄球x 个，依题意，得 ，所以P （摸出1个黄球）= 14. （4，-1），（-1，4）；设点P 的坐标为（b a ,），由题意得分程组 解此方程组即可. 15. 3条；易知△AFD ≌△AED ，所以∠AFD=∠AED ，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC ，∠C 为公共角，所以 ∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.

16．53；因为折叠后点B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE ⊥BC ，在等腰梯形

ABCD 中，CE= ，DE=BE=8-3=5 ∴ tan ∠CDE= 17. O ；由06222=+-y x x ，得x y x 6222=+知x ≥0，又x x y 6222+-=，

1)1(28622222++-=--=-+-=x x x x x x x w ，由此可见，当x ≥-1时，w 随着x 的增大而减小，又因为x ≥0>-1, ，故当x =0时，w 的最大值是0.

18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB 是平行四边形，B （8，0），

∴ CD//OA ，CD=OB=8

⎩⎨⎧+-==⋅3

4||||a b b a 31155=5,52646==++x x 3)28(21)(21=-=-AD BC 53=DE EC 21