2020西城高三期末理科数学含答案
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)- （B ）(1,3)-- （C ）(3,1)-- （D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b > （D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若3PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅I ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____.（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =L 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c ΩL . 证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =. ………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)3x -=. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分 即 5π6x =或πx =时，()0f x =. 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f； ………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为1-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r ，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r ，1(1,0,1)DC =u u u u r. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………12分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-；当0k >时，34k k+≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分 经检验，13a =时，符合题意. ………………4分 （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()x f x '=.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………4分① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()kk k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =L .由于n 为偶数，所以11(1)()nn n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i ii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =L .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=L ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=L 即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()ii i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2ii i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=L ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=L .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -L 这12n -个式子都乘以1-， 相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++L L 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e L 也成等差数列.Ω是等差数列.即1Ω成等差数列. ………………13分所以i。
北京西城区高三期末数学试题答案
……………… 2 分 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 P(M ) 19 39 29 .
100 50 ……………… 3 分
（Ⅱ）由题意， X 的所有可能取值为：0，1，2.
……………… 4 分
因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人
(D)第 四 象 限
3.在△ABC 中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=
(A)4
(B)2 2
(C)2 3
(D)2 6
4.设 x>y, 且 xy≠0, 则 下 列 不 等 式 中 一 定 成 立 的 是
(A)x1
1 >
y
(B)ln|x|>ln|y|
(C)2-x <2-y
(D)x2>y2
5.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a 的取值范围为
ABB1A1 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AC1D ; (Ⅱ)求二面角 C-AC1-D 的余弦值; (Ⅲ)试判断直线 A1B1 与平面 AC1D 的位置关系,并加以证明.
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18.(本 小 题 满 分 13 分 )
(B)必 要 而 不 充 分 条 件
(C)充 要 条 件
(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
7.紫 砂 壶 是 中 国 特 有 的 手 工 制 造 陶 土 工 艺 品 , 其 制 作 始 于 明 朝 正 德 年 间 .紫 砂 壶 的 壶 型 众
2020年1月北京市西城区高三上学期期末数学试题(pdf版含答案)
则实数k 的取值范围为
(A)(－1,+ ∞)
(B)(－1,0]
(C)
1 4
,
(D)
1 4
,
0
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 (1－x)5 的展开式中,x2 的系数为
.
10.已知向量a=(－4,6),b=(2,x)满足a∥b,其中x∈R,那么|b|=
18.(本小题满分13分)
已知椭圆W : x2 y2 1的右焦点为F,过点F 且斜率为k (k≠0)的直线l 与椭圆W交于A,B 两点, 4
线段AB 的中点为M .O 为坐标原点. (Ⅰ)证明:点 M 在y 轴的右侧; (Ⅱ)设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点C,D.若△ODC 与△CMF 的面积相等, 求直线l的斜率k.
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单
位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r= 1 t +10,且日销售量y (单位:箱)与 4
时间t 之间的函数关系式为y=120－2t.
① 第4天的销售利润为
元;
② 在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠 m (m ∈N* )元给 “精准扶贫”对象.
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷
高三数学
2020.1
本试卷共5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
北京市西城区2021届高三第一学期期末考试数学试卷
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1页（共12页）北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三数学 2021.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|13}A x x =−<<，{|04}B x x =<≤，则A B =（A ）(0,3)（B ）(1,4)−（C ）(0,4]（D ）(1,4]−（2）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)−，则z z ⋅=（A ）2（B ）2i −（C（D ）2i（3）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A ）(2)2f = （B ）(2)2f =− （C ）(2)2f >− （D ）(2)2f <−（4）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（5）已知双曲线22221x y a b−=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（A）y =（B ）2y x =±（C）3y x =±（D ）12y x =±（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y −+=的距离的最小值为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）3北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2页（共12页）（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2b a π−≥”是“()f x 的值域为[1,1]−”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)SC W N=+，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；SN为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S N =，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则21C C 为 （A ）1（B ）52 （C ）154（D ）3（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =，2()g x x = ②()2x f x −=，()e x g x =−③2()f x x =−，()2x g x =其中具有性质P 的是 （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点P 可以是棱1BB 的中点 （B ）线段MP（C ）点P 的轨迹是正方形 （D ）点P轨迹的长度为北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第3页（共12页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学含答案
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．101011．3 12．313．答案不唯一，如2211648x y -=14．1232；5注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x=-112cos222x x --……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==. ………………3分（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分B1CDBA 1C1E817．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11A CAC E =，则E 是1A C 的中点.连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =，DA =，(CA =-，1(0,2,0)CC =， …… 6分 设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=n ，110DC ⋅=n，得1110,20,x y =+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=n ，120CC ⋅=n，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2=n . ……………… 9分B 1C DBAA 1C 1zyxF设二面角1C AC D --的平面角为θ，则1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ， 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --. ……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分证明：因为(1,0,AB =-，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-. ……………… 12分 又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠n ，所以11A B 与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，12x x += ……………… 4分则点M的横坐标122M x x x +==， ……………… 5分因为0M x =>， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得点M 的纵坐标(M M y k x ==. ……………… 7分即M .所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分令0x =，得D ；令0y =，得C . ……………… 9分所以△ODC 的面积222222127||||||=241412(41)ODC k k S k k k ∆⋅=⋅⋅+++， ……… 10分△CMF 的面积22213(1)||||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得k =.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分 当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分 （Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立. 设()e (1)xg x a x b =-+-， ……………… 9分 则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1ex >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减. 所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=， 由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<， 由（Ⅱ），得100100m a b -=≤.假设100b m >-，则1000b m -+>.因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分所以满足条件的集合A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A有4216个.……………… 13分。
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市房山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合{}12A x x =-≤≤，B ＝{0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数=z z 的虚部为（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】B【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z ，由此利用复数的定义能求出z 的虚部． 【详解】i i133z ===+,故z 的虚部为3 故选：B 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 3．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21C ．14D ．7【答案】C【解析】利用等差数列下角标性质求得4a ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题． 4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC⊥底面ABC，且SBC∆为等腰三角形，ABC∆为直角三角形，故体积112221323V=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题6．若点5π5π(cos,sin)66M在角α的终边上，则tan2α=（）A3B．3C3D．3【答案】D【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值,再利用二倍角公式求解【详解】5π5π(cos,sin)66M即为31,22M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则2333tan tan23113αα-=∴==-故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．7．已知双曲线C的方程为2214yx-=，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．11(,)(,)22-∞-+∞U【答案】A【解析】利用直线PQ 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2±，当直线PQ 的斜率为(2,2)-时，满足题意，当直线PQ 的斜率(,2)(2,)-∞-+∞U 为时，交双曲线为同一支，故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题8．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为π3”是“||a b +r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由“|a b +rr|=|a r|2+|b r|2+2a r •b =r3，即1+1+2a r •b =r 3，得2a r •b =r 1，a r •12b =r ，则cosθ112112a b a b ⋅===⨯rr r r， 则a r与b r夹角θ3π=，即“a r 与b r 夹角为3π”是“|a b +r r|=的充分必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（ ）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】BD M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方【解析】先找到一个平面总是保持与1体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AF⊥面DMD1，MD1⊥平面AEF即可得出．【详解】D M垂直，如图，先找到一个平面总是保持与1取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF易证DM⊥AF，1又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184 乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题11．已知两点()2,0A ，()0,2B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB ，写出圆的标准方程即可。
{高中试卷}北京西城区高三期末数学(理)试题答案
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：北京市西城区20XX —20XX学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20XX.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B5．A 6．C 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9． 10．11．12．13．14．注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为的最小正周期为，所以，解得．………………3分由，得，即，………………4分所以，.因为，所以. ………………6分（Ⅱ）解：函数………………8分，………………10分由，………………11分解得．………………12分所以函数的单调增区间为.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得，………………2分解得.………………3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，………………4分依题意，共有10种可能. ………………5分由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．……………… 7分（Ⅲ）解：当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，它们是：，，，，，，，，，………………9分则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为. ……………… 10分因此，，，，.……………… 11分所以随机变量的分布列为：0 1 2 3 4………………12分所以的数学期望．……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以. ………………1分因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，………………2分又因为平面，所以. ………………3分因为，所以平面.………………4分（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，又因为平面，所以平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.………………5分因为底面是边长为2的菱形，所以，，，，，，. ………………6分因为平面，所以平面的法向量. …………7分设直线与平面所成角为，由，得，所以直线与平面所成角的正弦值为.………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.设平面的法向量为，所以………………10分即令，得. ………………11分由平面，得平面的法向量为，则.………………13分由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，，所以．………………2分令，得．………………3分当变化时，和的变化情况如下：↘↗………………5分故的单调减区间为；单调增区间为．…………6分（Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点. ………………7分理由如下：由，得方程，显然为此方程的一个实数解.所以是函数的一个零点. ………………9分当时，方程可化简为.设函数，则，令，得．当变化时，和的变化情况如下：↘↗即的单调增区间为；单调减区间为．所以的最小值. ………………11分因为，所以，所以对于任意，，因此方程无实数解．所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线的焦点为. ………………1分由题意，得直线的方程为，………………2分令，得，即直线与y轴相交于点. ………………3分因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，设，，，联立方程消去，得，由韦达定理，得，所以. ………………7分同理，得的方程为，. ………………8分对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即. ………………9分同理，抛物线在点处的切线的方程为.………………10分联立两条切线的方程解得，，所以点的坐标为. ………………11分因此点在定直线上.………………12分因为点到直线的距离，所以，当且仅当点时等号成立．………………13分由，得，验证知符合题意.所以当时，有最小值. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列的，，得，，，且当时， (1)分所以，，，且当时，. ………………2分即………………3分（Ⅱ）证明：因为，所以，. ………………4分因为，所以，. ………………5分由，得. ………………6分因为，所以，所以，即. ………………8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为，，所以，所以对一切正整数n都成立.因为，，所以. ………………9分（必要性）因为对于任意的，，当时，由，得；当时，由，，得.所以对一切正整数n都有.由，，得对一切正整数n都有， (10)分所以公比为正有理数.………………11分假设，令，其中，且与的最大公约数为1.因为是一个有限整数，所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.又因为，且与的最大公约数为1.所以，这与（）矛盾.所以.因此，. ……………13分更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】。
北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1011．12．13．答案不唯一，如14．；注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2)分……………… 5分，……………… 7分所以函数的最小正周期为. ……………… 8分 10332211648x y -=123251()2cos cos )2f x x x x =⋅-2cos cos x x x=-112cos222x x --π1sin(2)62x =--()f x 2ππ2T ==（Ⅱ）因为，所以． ……………… 9分所以当，即时，取得最小值. ……………… 11分 当，即时，取得最大值． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为，……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率. ………………3分（Ⅱ）由题意，的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是， ……………… 5分 所以， ……………… 6分 ， ……………… 7分 . ……………… 8分 π02x -≤≤7πππ2666x ---≤≤ππ262x -=-π6x =-()f x 32-π7π266x -=-π2x =-()f x 0M 193942193929()10050P M +==151755=022116(0)C (1)525P X ==⨯-=12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=22211(2)C ()525P X ==⨯=所以随机变量的分布列为：……………… 9分故. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：， ……………… 12分因为， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分01216812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++410145702241475⨯+⨯+⨯=++11622155>17．（本小题满分14分）B1CDBA A1C1E解：（Ⅰ）由题意，三棱柱为正三棱柱. 连接. 设，则是的中点. 连接. 由，分别为和的中点，得. ……………… 2分又因为平面，平面，所以平面. ……………… 4分 （Ⅱ）取的中点，连接.因为△为正三角形，且为中点， 所以.由，分别为和的中点，得，又因为平面，所以平面， 所以，.分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分则，，，，，所以，，，， …… 6分设平面的法向量， 由，，得令，得. ……………… 8分111ABC A B C -1A C 11A C AC E =I E 1A C DE D E BC 1A C 1//DE A B DE ⊂1AC D 1A B ⊄1AC D 1//A B 1AC D 11B C F DF ABC D BC AD BC ⊥D F BC 11B C 1//DF BB 1BB ⊥ABC DF ⊥ABC DF AD ⊥DF BC ⊥DC DF DA x y z (0,0,3)A 1(1,2,0)C (1,0,0)C (0,0,0)D (1,0,0)B -1(1,2,0)DC =u u u u r (0,0,3)DA =u u u r (1,0,3)CA =-u u u r 1(0,2,0)CC =u u u u r1AC D 1111(,,)x y z =n 10DA ⋅=u u u r n 110DC ⋅=u u u u r n 11130,20,z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩11y =1(2,1,0)=-n B 1CD BAA 1C 1zyxF设平面的法向量， 由，，得令，得. ……………… 9分设二面角的平面角为，则由图可得二面角为锐二面角，所以二面角.……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线与平面相交. ……………… 11分证明：因为，，且，所以. ……………… 12分 又因为平面的法向量，且，所以与不垂直，所以平面，且与平面不平行，故直线与平面相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，直线（）， ……………… 2分 设，，1AC C 2222(,,)x y z =n 20CA ⋅=u u u r n 120CC ⋅=u u u u r n 2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩21z =2=n 1C AC D --θ1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n 1C AC D --1C AC D --11A B 1AC D (1,0,AB =-u u u r11//A B AB 11=A B AB 11(1,0,A B =-u u u u r1AC D 1(2,1,0)=-n 11120A B ⋅=≠u u u u rn 11A B u u u u r 1n 11A B ⊄1AC D 11A B 1AC D 11A B 1AC D F (l y k x =：0k ≠11(,)A x y 22(,)B x y联立消去，得，…… 3分显然，……………… 4分则点的横坐标，……………… 5分因为， 所以点在轴的右侧. ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得点的纵坐标……………… 7分 即.所以线段的垂直平分线方程为：. ……… 8分令，得；令，得. ……………… 9分 所以△的面积， ……… 10分△的面积.…… 11分 因为△与△的面积相等，所以，解得. 所以当△与△的面积相等时，直线的斜率. ……… 13分22(1,4yk x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y 2222(41)(124)0k x x k +-+-=0∆>12x x +=M 2122241M x x x k+==+22041M x k =>+M y M (M M y k x =-M AB 1(y x k =-0x =D 0y =C ODC 222127||22(41)ODCk k S k ∆⋅=⋅⋅+CMF 22213(1)|||22(41)CMFk k S k ∆+⋅=⋅⋅=+ODC CMF 22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++k =ODC CMF l 4k =±19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由，得, ……………… 2分 所以，.所以曲线在点处的切线方程为. …………… 4分（Ⅱ）由，得， 则. … …………… 5分 当时，由，得，所以函数在上单调递增； ……………… 7分 当时，由，得， 所以函数在上单调递减.综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. … 8分（Ⅲ）由，得在上恒成立.设， ……………… 9分则.由，得，（）. ……………… 10分随着变化，与的变化情况如下表所示：21()e 2x f x x =+()e x f x x '=+(0)1f =(0)1f '=()y f x =(0,(0))f 10x y -+=21()e 2x f x x x =-+()e 1x f x x '=-+(0)0f '=0x >e 10,0x x ->>()e 10x f x x '=-+>()f x (0,)+∞0x <e 10,0x x -<<()e 10x f x x '=-+<()f x (,0)-∞()f x (0,)+∞(,0)-∞21()2f x x x b ++≥e (1)0x a x b -+-≥x ∈R ()e (1)xg x a x b =-+-()e (1)xg x a '=-+()e (1)0xg x a '=-+=ln(1)x a =+1a >-x ()g x '()g x所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的最小值为.由题意，得，即 . …………… 12分设，则.因为当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，. 所以当，，即，时，有最大值为. …………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如；……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个使得, ……………… 4分 令，其中且，由题意，得， ……………… 6分1),)a ++∞()g x (ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-(ln(1))0g a +≥1(1)ln(1)b a a a --++≤()1ln (0)h x x x x =->()ln 1h x x '=--10e x <<ln 10x -->1e x >ln 10x --<()h x 1(0,)e 1(,)e+∞1e x =max 11()()1e eh x h ==+11e a +=1(1)ln(1)b a a a =+-++11e a =-2eb =b a -11e+{1,2,3,,100}A =L 0{101,102,,200}x ∈L 0x A ∈0100x s =+s ∈N 100s ≤≤1100s a a A +∈由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（Ⅱ），得. 假设，则. 因为， 由题设条件，得，因为， 所以由（Ⅱ）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾，所以， 又因为，，所以. ……………… 10分任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意：对于任意，则.若，则有，所以，，从而.s a 100100s a a a +>100a A {101,102,,200}x ∈L x A ∉{201,202,,205}A I L (15)m m ≤≤100m a b -=12100200m a a a -<<<L ≤10011002100200m m a a a -+-+<<<<L 100100m a b -=≤100b m >-1000b m -+>10010010055100b m m -+-+=<-≤100100m b m a a A --++∈100100100100200m b m a a --+++=≤100100100m b m a a --++≤100m a -A 100100100m a m --≤121001m a a a -<<<L ≤i a ∈N (1100)i a i i m =-≤≤{201,202,203,204}1m -B 0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U 0A ,i j 00)(1i j ≤≤≤1200i j +≤0i j A +∈m i j +≤100-i a i =j a j =0i j a a i j A +=+∈读 万 卷 书 行 万 里 路实用文档 精心整理 11 故集合符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个. ……………… 13分0A A {201,202,203,204}A 4216。
2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边 ．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且 则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量 满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得 ．
因此 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为 的等差数列 中, ,且 成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知 是方程 的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知 是方程 的两个不同非负实根,所以 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】 展开式通项为 ,令 ,所以 的系数为 ．
北京市西城区2020届高三数学第二次模拟考试理科试题
北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A 、B 满足A B A =I ，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. AB B. B AC. A B B=U D. A B A =U2. 在复平面内，满足条件(1+z ⋅i)=2的复数z 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，则“x =2”是“a //b ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知一个平面a ，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面a 内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直题号分数一 二三总分1516171819205. 已知函数()sin f x x =，()f x ¢为()f x 的导函数，那么（ ） A. 将()f x 的图象向左平移2p个单位可以得到()f x '的图象 B. 将()f x 的图象向右平移2p个单位可以得到()f x '的图象C. 将()f x 的图象向左平移p 个单位可以得到()f x '的图象D. 将()f x 的图象向右平移p 个单位可以得到()f x '的图象6. 如果数列{}(R)n n a a Î对任意*,N m n Î满足m n m n a a a +=?，且38a =，那么10a 等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 设斜率为1的直线l 与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ）A.4条B. 5条C. 6条D. 7条8. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 的面积（单位：平方米）等于（ ） A. 100p B. 100200p - C. 400100p - D. 200北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 函数ln(1)y x =-的反函数是___________.10. 设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uu u r，则ABC V 的内角A =___________.11. 若291()ax x-的展开式中常数项为84，则a =___________，其展开式中二项式系数之和为_________. (用数字作答)12 设P 为曲线1cos (2sin x y q q q ì=-+ïïíï=+ïî为参数)上任意一点，(3,5)A ，则||PA 的最小值为______________. 13. 已知一个球的表面积为144p ，球面上有P 、Q 、R 三点，且每两点间的球面距离均为3p ，那么此球的半径r =___________，球心到平面PQR 的距离为__________.14. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期； （Ⅱ）设(0,)a p Î，且()1f α=，求α的值.16.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是11,34. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. (Ⅰ) 求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(Ⅱ) 若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击). 用ξ表示乙的总得分，求ξ的分布列和数学期望.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC AA ^===，D 是AA 1的中点. (Ⅰ) 求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小； (Ⅱ) 求二面角C-B 1D-B 的大小；(Ⅲ) 在B 1C 上是否存在一点E ，使得//DE 平面ABC ? 若存在，求出1B EEC的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分）设a ∈R，函数1,0,())1,0.a x x f x x a x ⎧-+<⎪=--> (Ⅰ) 当a =2时，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若对任何x ∈R ，且0x ≠，都有()1f x x >-，求a 的取值范围.C BC 1 B 1A A 1D已知AOB V 的顶点A 在射线:(0)l y x =>上， A , B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足||||3AM MB ?. 当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . (Ⅰ) 求轨迹W 的方程；(Ⅱ)设P (-1,0)，Q (2,0)，求证：2MQP MPQ ??.20.（本小题满分14分）已知f 是直角坐标平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作()Q f P =. 设1P 11(,)x y ，2132(),()P f P P f P ==,1,(),n n P f P -=L L . 如果存在一个圆，使所有的点*(,)(N )n n n P x y n Î都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点(,)n n n P x y 的一个收敛圆. 特别地，当11()P f P =时，则称点1P 为映射f 下的不动点. (Ⅰ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(2,1)Q x y -.○1 求映射f 下不动点的坐标；○2 若1P 的坐标为(1,2)，判断点*(,)(N )n n n P x y n Î是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由. (Ⅱ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(1,)22x y x yQ +-+,1P (2,3). 求证：点*(,)(N )n n n P x y n Î存在一.北京市西城区 2020年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科） 2020.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. e 1(R)x y x =+? 10. 45o 11. 1，512 12. 4 13. 6， 14. 216 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()cos (sin cos )1f x x x x =-+2sin cos cos 1x x x =?+11cos2sin 2122x x +=-+ ---------------------------2分11(sin 2cos2)22x x =-+1)42x p =-+， ---------------------------4分 因为1sin(2)14xp-??(其中x ÎR )，1)42x p ?+?， 即函数()f x的值域为11[]22-+. ---------------------------6分函数()f x 的最小正周期为22T pp ==. ---------------------------8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1())1242f p a a =-+=，所以sin(2)42p a -=----------------------------9分因为0<<a p ，所以72444p p pa -<-<， ----------------------------10分 所以32,24444p p p pa a -=-=或， 所以 ,42p pa a ==或. ---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙” 为事件A . ---------------------------1分由题意，得事件A 的概率122()339P A =?； ---------------------------5分 （Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0,1,2， ---------------------------6分11123237(0)++33334349P x ==创创=； 12121313(1)+33434472P x ==创创=； 2111(2)=34424P x ==创.所以，x 的分布列为：---------------------------10分x 的数学期望7131190129722472E x =???. ---------------------------12分 17.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：如图，设F 为BB 1的中点，连接AF ，CF ， Q 直三棱柱111ABC A B C -，且D 是AA 1的中点， 111//,//AF B DAC AC\，CAF \?为异面直线11AC 与1BD 所成的角或其补角. -----------2分 在Rt ABF V 中，BF AB ^，AB =1，BF =1，AF \=CF =在ABC V 中，,1,AB BC AB BC ^==Q AC \=在ACF V 中，AC AF CF ==Q ，60CAF\?o，C G BC 1 B 1AA 1 DEF\异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ----------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分在BCD V 中, 90CBD?o , BC=1, BD =tan BC CDBBD \?=,\二面角C -B 1D -B 的大小为arctan---------------------------9分 （Ⅲ）答：在B 1C 上存在一点E ，使得//DE 平面ABC ，此时11B EEC=.----------------------10分 以下给出证明过程.证明：如图，设E 为B 1C 的中点，G 为BC 的中点，连接EG ，AG ，ED ， 在1BCB V 中，1,BG GC B E EC ==Q ，1//EG BB \，且112EG BB =， 又1//AD BB ，且112AD BB =，//,EG AD EG AD \=， \四边形ADEG 为平行四边形，//DE AG \， ---------------------------12分 又AG Ì平面ABC ，DE Ë平面ABC ，\//DE 平面ABC . ---------------------------14分 方法二：（Ⅰ）如图，以B 为原点，BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)B C A B C A D ，111(1,1,0),(0,1,1)AC B D =-=-uuu u r uuu rQ , ---------------------------2分 1111111111cos ,2||||AC B D AC B D AC B D ×\<>==-×uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r ， \异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ---------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分(1,1,1),(0,1,1)DC DB =--=--uuu r uu u rQ ，cos ||||DC DB CDBDC DB ×\?=×uuu r uu u r uuu r uu u r \二面角C -B 1D -B 的大小为 -----------------------------9分 （Ⅲ）同方法一. ---------------------------14分 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当0x <时，1()2f x x=-+， 因为21()0f x x ¢=>， 所以()f x 在(,0)-?上为增函数； ---------------------------3分 当0x >时，()2)1f x x =--，1()f x ¢=， ---------------------------4分 由()0f x ¢>，解得23x >，由()0f x ¢<，解得203x <<，所以()f x 在2(,)3+?上为增函数，在2(0,)3上为减函数.综上，()f x 增区间为(,0)-?和2(,)3+?，减区间为2(0,)3. ---------------------------7分（Ⅱ）解：当0x <时，由()1f x x >-，得11a x x -+>-，即 11a x x>+-， 设 1()1g x x x=+-，所以1()[()()]113g x x x=--+--≤-=-（当且仅当1x =-时取等号）， 所以当1x =-时，()g x 有最大值3-， 因为对任何0x <，不等式11a x x>+-恒成立， 所以 3a >-； ---------------------------10分当0x >时，由()1f x x >-)11x a x -->-，即a x <-，设()h x x =-，则211())24h x x =--，12，即14x =时，()h x 有最小值14-，因为对任何0x >，不等式a x <-恒成立，所以 14a <-. --------------------------13分 综上，实数a 的取值范围为134a -<<-. ---------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行.设M (x , y )，由题意，得(),(,)A x B x -， ----------------------------2分所以||,||AM y MB y =-=，因为||||3AM MB ?，所以)()3y y -⨯+=，即2213y x -=， ----------------------------5分所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>. -----------------------------6分（Ⅱ）证明：设000(,)(0)M x y x >，因为曲线221(0)3y x x -=>关于x 轴对称，所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，2MQP MPQ ∠=∠”成立即可. 以下给出“当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠” 的证明过程.因为点M 在221(0)3y x x -=>上，所以01x ≥.当x 0=2时，由点M 在W 上，得点(2,3)M ，此时,||3,||3MQ PQ MQ PQ ⊥==， 所以,42MPQ MQP ππ∠=∠=，则2MQP MPQ ∠=∠； --------------------------8分当02x ¹时，直线PM 、QM 的斜率分别为0000,12PM QM y y k k x x ==+-， 因为0001,2,0x x y ≥≠≥，所以0001PM y k x =≥+，且0011PM yk x =≠+，又tan PM MPQ k ∠=，所以(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，所以22tan tan 21(tan )MPQ MPQ MPQ ∠∠=-∠00002220000212(1)(1)1()1y x y x yx y x ⨯++==+--+，---------------10分 因为点M 在W 上，所以220013y x -=，即22033y x =-， 所以tan 2MPQ ∠000220002(1)(1)(33)2y x y x x x +==-+---，因为tan QM MQP k ∠=-，所以tan tan 2MQP MPQ ∠=∠， -----------------------------12分 在MPQ ∆中，因为(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，(0,)MQP π∠∈，所以2MQP MPQ ∠=∠. 综上，得当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠.所以对于轨迹W 的任意一点M ，2MQP MPQ ∠=∠成立. -----------------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）○1解：设不动点的坐标为000(,)P x y ， 由题意，得000021x x y y ì=ïïíï=-ïî，解得0010,2x y ==，所以映射f 下不动点为01(0,)2P . ---------------------------2分 ○2结论：点(,)nnnP x y 不存在一个半径为3的收敛圆. 证明：由1(1,2)P ，得234(2,1),(4,2),(8,1)P P P --，所以14||6PP =，则点14,P P 不可能在同一个半径为3的圆内， 所以点(,)n n n P x y (n ÎN *)不存在一个半径为3的收敛圆. --------------------------5分（Ⅱ）证明：由1(2,3)P ，得271(,)22P -. 由1()n n P f P +=，得11122n n n n n n x y x x y y ++ì+ïï=+ïïíï-ï=ïïïî， ---------------------------7分 所以11111,1n n n n n n x y x x y y +++++=+-=+，由21()n n P f P ++=，得112112122n n n n n n x y x x y y ++++++ì+ïï=+ïïïíï-ï=ïïïî， 所以221311,2222n n n n x x y y ++=+=+， ---------------------------9分 即22113(3),1(1)22n n n n x x y y ++-=--=-，由1230,30x x -??，得30n x -?，同理10n y -?，所以223111,3212n n n n x y x y ++--==--，所以数列212{3},{3}(n n x x n ---?N *)都是公比为12的等比数列，首项分别为 12131,32x x -=--=，所以112121113(),3()222n n n n x x ----=--=?， 同理可得1121213112(),1()222n n n n y y ----=?=-?. ---------------------------12分 所以对任意n ÎN *，|3|1,|1|2n n x y -??，设(3,1)A ，则||n AP =所以||n AP £故所有的点*(N )n P n Î都在以(3,1)A即点(,)n n n P x y 的收敛圆. -------------------------14分。
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2013西城高三期末理科数学含答案北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =U （ ） （A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞U （D ）(,1)(0,)-∞-+∞U 2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin 3=ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos 3=ρθ4① 处可以填入（ ）（A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） （A ）5（B ）6 （C ）7（D ）428．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =， 4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD =；CD =______．11．设等比数列{}na 的各项均为正数，其前n 项和为nS ． 若11a=，34a=，63kS=，则k =______．12．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x xx=-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 321cos 2B B=-．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB// 平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B-的余弦值．E-AC17．（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]指标元件A 81240328元件B 71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b =+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，交于22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线点M ，N ． （Ⅰ）求12y y 的值；斜率（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =L 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ija∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()ir A 为A 的第i 行各数之积，()jc A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni ji j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B；7．C； 8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 122； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为321cos2B B=-，所以223cos2sinB B B=．………………3分因为0B<<π，所以sin0B>，从而tan3B=………………5分所以π3B=．………………6分解法二： 依题意得32cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即1sin(2)62B π+=．………………3分因为0B <<π， 所以132666B πππ<+<，所以5266B ππ+=．………………5分所以π3B =．………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ……………7分所以sin 6sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为512C A B π=π--=， ………………9分所以yz E PD562sin sinsin()1246C πππ+==+=， (11)分所以 △ABC的面积133sin 22S AC BC C +=⋅=． (13)分解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A=， ……………7分所以sin 6sin BC BAC A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 13AB =+ ………………11分 所以△ABC的面积133sin 2S AB BC B +=⋅=． (13)分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点． 所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC，所以CDPA ⊥． ………………5分 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD． ………………7分所以平面PAD⊥平面ABCD． (8)分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ． 由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 所以⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分z NMOEP C BADx 易知平面ABCD的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分 所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角BAC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 所以⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分 易知平面ABCD的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角BAC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X90453015-P3532015120……………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件.依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分②当b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x b =2x b =- ()f x 和()f x '的情况如下： x (,)b -∞- b - (,)b b - b(,)b +∞()f x ' - 0 + 0 -()f x ↘ ↗↘故()f x 的单调减区间为(,)b -∞，(,)b +∞；单调增区间为(,)b b ．……………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|}D x x b =∈≠-R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,b -∞-，(,b b --，,)b -+∞；无单调增区间．……………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈， 所以()1f x ≥ 等价于2b x x≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x=-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b xx≤-+”等价于14b ≤． 所以，b的取值范围是1(0,]4． (13)分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为2x my =+． ………………1分 将其代入24y x=，消去x，整理得2480y my --=． ………………4分从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x=，消去x ，整理得2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分同理可得 244y y=-． (11)分故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}ir A ∈-，(){1,1}jc A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ，L ，9()r A ，1()c A ，2()c A ，L ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅L 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅L 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()np r A r A r A =⋅⋅⋅L ；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()np c A c A c A =⋅⋅⋅L ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ． ③ ………………10分注意到(){1,1}ir A ∈-，(){1,1}jc A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ，L ，()nr A ，1()c A ，2()c A ，L ，()nc A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． (12)分对数表0A ：1ija=(,1,2,3,,)i j n =L ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-．将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-．依此类推，将数表1k A -中的kka 由1变为1-，得到数表kA ． 即数表kA 满足：11221(1)kk aa a k n ====-≤≤L ，其余1ija=．所以 12()()()1k r A r A r A ====-L，12()()()1k c A c A c A ====-L．所以()2[(1)()]24kl A k n k n k =-⨯+-=-． 由k的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=L ．……………13分。