2020西城高三期末理科数学含答案

2013西城高三期末理科数学含答案

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2013.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合{|01}A x x =∈<R ，

则A B =U （ ） （A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2

-∞-+∞U （D ）(,1)(0,)-∞-+∞U 2．在复平面内，复数5i 2i

-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）

第四象限

3．在极坐标系中，已知点(2,)6

P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）

（A ）sin 1=ρθ （B ）sin 3=ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos 3=ρθ

4

① 处可以填入（ ）

（A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <

5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么2

2

a b +的取值范围

是（ ）

（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16

(,4)5

7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的

六条棱的长度中，最大的是（ ） （A ）5

（B ）6 （C ）7（D ）428．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个

数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）

（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）2

63

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共

线，则实数k = _____

10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒

∠=，3AC =， 4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则

BD =

；CD =______．

11．设等比数列{}n

a 的各项均为正数，其前n 项和为n

S ． 若1

1

a

=，3

4

a

=，63

k

S

=，则k =______．

12．已知椭圆

22

142

x y +=的两个焦点是1

F ，2

F ，点P 在该椭圆

上．

若1

2

||||2PF PF -=，则△12

PF F 的面积是______．

13．已知函数π

()sin(2)6

f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π

=时，()f x 的

值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．

14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有

()()

f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个

函数：

①()2x

f x =； ②()sin f x x =； ③3

()f x x

x

=-．

其中，具有性质P 的函数的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在△ABC 321cos 2B B

=-．

（Ⅰ）求角B 的值；

（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，

⊥

PA 平面PDC ，

E为棱PD的中点．

（Ⅰ）求证：PB// 平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B

-的余弦值．

E-

AC

17．（本小题满分13分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试

[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

指标

元件A 81240328

元件B 71840296

（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利

50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

18．（本小题满分13分）

已知函数2

()x f x x b =+，其中b ∈R ．

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）设0b >．若13[,]44

x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．

19．（本小题满分14分）

如图，已知抛物线2

4y x

=的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线

交抛物线于1

1

(,)A x y ，

交于

22(,)

B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线

点M ，N ． （Ⅰ）求12

y y 的值；

斜率

（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1

k ，直线AB 的

为2

k .证明：1

2

k k 为定值．