反三角函数与最简单的三角方程
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。
2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
反三角函数与最简三角方程期末复习
反三角函数与最简三角方程
已知关于x的方程 3 sin 2 x cos 2 x k 1 在区间0, 内有相异的两个实数解 , 求k 2 的取值sin x a
当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
3 4 y sin x, x , 2 2
2
2三角方程 cos x a
当a 1时, x 一般地, 当 a 1时, x
. x 2k , k Z
2
, k Z
.
.
k (1) k arcsin a, k
当 a 1时, 方程无解; 当a 1时, x x 2k , k Z . 当a 1时, x x 2k , k Z . 一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
一、复习反三角函数，完成下列习题：
1 arcsin 1
2 y sin x, x , 2 2 arcsin 4 ; 2 2 2 7函数f x arccos x 1 的反函数是 3 arccos1 3 ; 2 y sin x, x 0, 2 5 2 3 4 arccos 6 ;8函数f x 2 arctanx的反函数是 2 x y tan , x , 5 arct an 1 4 ;
3三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
1.解下列三角方程
1 3 sin x cos x 1, x 0, 2cos2 x sin 2 x 1 37 cos x 3 cos2 x 0 46 sin 2 x 8 sin x cos x 1 2.求下列函数的反函数 1 y arcsin 2 x; 2 y arccos x ; 3 y arctan2 x 1;
第五章 反三角函数与简单的三角方程第一节 反三角函数
由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x
十年高考试题分类汇编--第四章 反三角函数与简单三角方程
第四章 反三角函数与简单三角方程 考试内容：反正弦函数.反余弦函数.反正切函数与反余切函数.最简单的三角方程.简单的三角方程.考试要求：(1)理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题.(2)能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程.一、选择题1. 当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是(86(10)3分)A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x -B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x -C.π－arccosx ＝arcsin 21x -D.π－arcsinx ＝arccos 21x -2. 函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2,2ππ])的图象是(87(8)3分)3. 方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是(88(7)3分)A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z}B.{x|x ＝k π＋(－1)3πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3π，k ∈Z} 4. tg[arctg 51＋arctg3]的值等于(88(10)3分) A.4 B.41 C.81 D.8 5. cos[arcsin(－54)－arccos(－53)]的值等于(89(4)3分) A.－1 B.－257 C.257 D.－5106. 函数y ＝arccosx 1的值域是(89上海) A.[0，2π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. 下面四个函数中为奇函数的是(89上海)A.y ＝x 2sin(x ＋2π)B.y ＝x 2cos(x ＋4π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx)8. 方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是(90(4)3分)A.1B.2C.3D.49. 设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是(90(15)3分)A.y ＝－arctg(x －2)B.y ＝arctg(x －2)C.y ＝－arctg(x ＋2)D.y ＝arctg(x ＋2)10.下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是(90上海)A.y ＝ctg(arccosx)B.tg(arcsinx)C.sin(arctgx)D.cos(arctgx)11.已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2π－arcctgx ，那么(90广东) A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数C.①是奇函数，②是偶函数D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数12.下列四个式子中，正确的是(91上海) A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 31) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 31) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－31)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－31)] 13.方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是(92(4)3分)A.10oB.20oC.50oD.70o14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分)A.[0，arcsina]B.[arcsina ，π－arcsina]C.[π－arcsina ，π]D.[arcsina ，2π＋arcsina] 15.函数y ＝arccos 的值域是(92上海)A.[0，2π)B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 16. 函数y ＝arccos(sinx)(－323ππ<<x )的值域是(94(14)5分) A.(65,6ππ) B.[0，65π) C.(32,3ππ) D.[32,6ππ) 17. 使arcsinx ＞arccosx 成立的x 的取值范围是(95(7)4分)A.(0，22] B.(22，1] C.[－1，22) D.[－1，0) 18. 方程tg(2x ＋33)3=π在区间[0，2π)上解的个数是(95上海)A.5B.4C.3D.219. 0＜α＜2π，arcsin[cos(2π＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于96(8)4分) A.2π B.－2π C.2π－2α D.－2π－2α 20. 满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是(97(6)4分)A.[－1，－21]B.[－21，0]C.[0，21]D.[21，1] 21. 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为(98(14)5分) A.arccos 215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 22. 下列命题中正确的是(2000上海(16)4分) A.若点P(a ，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝552； B.同时满足sin α＝21，cos α＝23的角α有且只有一个； C.当|a|＜1时，tg(arcsina)的值恒正；D.三角方程tg(x ＋3)3π=的解集为{x|x ＝k π，k∈Z}. 二、填空题1. 方程2sin(x ＋6π)＝1的解集是__________________.(85(6)4分) 2. 设|a|≤1，那么arccosa ＋arccos(－a)等于_________.(85(7)4分) 3. 方程sinx －3cosx ＝2的解集是__________________.(89(13)4分)4. 函数y ＝arcsinx(x ∈[－1，1])的反函数是_______________.(90上海)5. arctg 31＋arctg 21的值是_________.(91(16)3分) 6. 函数y ＝arccosx(－1≤x ≤0)的反函数是_______________.(93上海)7. 计算sin(21arccos 81)＝____________(94上海) 三、解答题(无)。
高三数学 反三角函数概念、图像和性质,反三角函数的运算,简单的三角方程 知识精讲
高三数学 反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程 知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义 函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。
（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。
3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。
三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。
反三角函数与简单三角方程
1 、反三角函数：
概念： 把正弦函数 y sin x ， x
, 时的反函数，成为反正弦函数，记作 22
y arcsin x .
y sin x(x R) ，不存在反函数 .
含义 ： arcsin x 表示一个角 ；角
, ； sin x . 22
反余弦、反正切函数同理，性质如下表 .
名称
函数式
1x x1
∴1 x2
4x2 1 4
x 4x2
1 解不等式组得
1 4
1
1
x
2
6
11 ∴不等式的解集为 ( , )
26
例 1. 写出下列三角方程的解集
简单的三角方程
(1) sin( x
)
2
;
(2) 2cos3x 1 0 ;
82
(3) cot x 3
文案大全
实用标准文档
解集 {x|x=(k π+arctg3) 2， k ∈Z}
（ 2 ）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简
单的三角方程的解；
（ 3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：若 sin
sin ，则 sin
k ( 1)k ；若 cos
cos ，则
2k
；
若 tan tan ，则 a k
；若 cot cot ，则 a k
（ 4 ）． 恒等式 arcsin x＋ arccos x＝ , arctan x＋arccot x＝ 的应用。
2
2
文案大全
2 、最简单的三角方程
方程
实用标准文档
方程的解集
第六章 三角函数(二)反三角函数、最简三角方程
第六章 三角函数（二）反三角函数、最简三角方程主备人：陈华 审核人：【教学目标】学生通过独立复习反三角函数（反正弦函数sin y arc x =，反余弦函数cos y arc x =，反正切函数tan y arc x =），从新理解掌握反三角函数的图像及其性质。
理解掌握三种最简三角方程并掌握解的公式.【课型】高三数学复习课【课时】1课时【教具】多媒体，白板，白板笔，投影仪，学案（试卷）【教学重点】反三角函数、最简三角方程【教学难点】反三角函数的图像及其性质，三角方程的解法【教学方法】讲授法，谈论法，演示法，练习法，讨论法【教学过程】一、课前练习1、1arccos 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭________； 2、计算：arcsin cos 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________； 3、函数()()sin 21f x arc x =-的定义域为_________________；4、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是_____________（写序号）（1）()arcsin y x =-；（2）arctan y x =；（3）arccos y x =；（4）arccos 2y x π=-. 5、方程2sin 62x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解集为_______________________； 6、方程sin cos x x a +=在[]0,x π∈上有两解，则实数a 的取值范围为_____________；7、在下列等式中，（1）arcsin sin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）44arccos cos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）11cos arccos 33⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确的是_________（写序号）； 8、3sin 2arccos 5⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.二、例题选讲例1、已知函数()()2arcsin 1f x x x =++， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的值域；（3）写出函数()f x 的单调递增区间.例2、已知sin x α=，5,66ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求arccos x 的取值范围.例3、解下列方程（1）sin cos 2x x +=；（2）sin 3cos 0x x -=；（3）2sin cos sin 0x x x +=； （4）26sin sin 10x x --=例4、解下列方程.（1）[]1sin 2,,2x x ππ=∈-；（2）sin 3cos 1x x +=，[]0,x π∈； （3）22sin cos 2sin cos 1x x x x -+=，[]0,2x π∈；（4）sin 2sin 3x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈三、能力提高题例5、写出函数()()arccos cos f x x =的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性.例6、在ABC ∆中，cos1cos 2A B C +=-，求角C 的大小.例7、解方程sin 2sin x x =【课后作业】1、若方程cos 12x m =-无解，则实数m 的取值范围为____________；2、方程1sin23x =在[],2ππ上的解为__________； 3、方程2tan 210x -=的解集为__________________； 4、若a 、b 均为正实数，则方程22cos 2a b x ab+=在区间[]0,2π上的解集为_____________； 5、已知函数()3sin cos f x x x =+.（1）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的反函数；（2）解方程()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【教学反思】。
7.3反三角函数与简单三角方程(学生)
[松江二中2010届高三数学第一轮复习资料]7．2反三角函数与简单三角方程【复习要求】1、知道反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的基本性质和图像；2、理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念和符号表示；3、会用计算器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小；4、掌握最简三角方程的解集，会解形如：0cos sin,0sin sin,cos sin ,)sin(22=++=++=+=+c x b x a c x b x a c x b x a a x A ϕω等简单的三角方程。
其它性质：（一）sin(arcsin ),x x x =∈[]1,1-，s(arc s ),co co x x x =∈[]1,1-，tan(arctan ),x x x =∈R （二）[]arcsin()arcsin ,1,1x x x -=-∈-，[]arccos()arccos ,1,1x x x π-=-∈-， arctan()arctan ,x x x R -=-∈（三）arcsin(sin ),,22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，[]arc s(s ),0,co co x x x π=∈，arctan(tan ),,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭最简三角方程的解集：【基础训练】 1、求值：=23arcsin=-)21arcsin( =-)22arccos( =-)3arctan(2、下列各式中正确的是 （ ）（A ）216arcsin =π (B)3)3cos(arccos ππ=(C)1222arctanarctan π=- (D)53)]53(arcsin[sin ππ=3、下列命题中正确的是（1）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 (2) 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 (3) 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 (4) 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 4、若函数)2arcsin(2-=x y 值域是],3[ππ-，则此函数定义域为5、函数)2arccos(22x x y -+-=π的递减区间是6、求解三角方程： （1）1)4sin(2=+πx（2）26cos sin =-x x（3）221tan 1tan =+-x x（4）x x sin 4sin =【典型例题】 1、求值：（1）)622tan(arccos π-，（2）)]135arccos(53cos[arcsin--，（3）)]53arcsin(2sin[-2、函数]23,2[,sin ππ∈=x x y 的反函数)(1x f-为 （ ）（A ）]1,1[,arcsin -∈-x x (B)]1,1[,arcsin -∈--x x π(C) ]1,1[,arcsin -∈+x x π (D) ]1,1[,arcsin -∈-x x π 3、设αsin =x ，且]47,65[ππα∈，则x arccos 的取值范围是4、求函数)arcsin(2x x y -=的定义域、值域及单调区间。
高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程
2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。
它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。
三角函数的反函数与解三角方程
三角函数的反函数与解三角方程在高中数学中，我们学习过三角函数及其性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
而与之对应的反函数，即反三角函数，是用来解决一些三角方程的重要工具。
本文将详细介绍三角函数的反函数以及如何利用反函数来解决三角方程。
一、正弦函数的反函数正弦函数的反函数称为反正弦函数，常用符号为sin^(-1)，也可用arcsin表示。
反正弦函数可以表示为y = sin^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正弦函数的值。
二、余弦函数的反函数余弦函数的反函数称为反余弦函数，常用符号为cos^(-1)，也可用arccos表示。
反余弦函数可以表示为y = cos^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[0, π]。
反余弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反余弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反余弦函数的值。
三、正切函数的反函数正切函数的反函数称为反正切函数，常用符号为tan^(-1)，也可用arctan表示。
反正切函数可以表示为y = tan^(-1)(x)，其中x的取值范围为(-∞, +∞)，y的取值范围为(-π/2, π/2)。
反正切函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正切函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正切函数的值。
四、解三角方程利用三角函数的反函数可以解决一些三角方程。
一般来说，解三角方程的步骤如下：1. 将方程转化为三角函数的方程；2. 利用三角函数的性质和恒等式进行等式变形，将方程化简为形如sin^(-1)(x) = a或cos^(-1)(x) = a的形式；3. 根据反函数的定义，得到x的值。
需要注意的是，在解三角方程时，需要根据具体的题目要求确定解的范围，并且考虑到周期性的特点。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数：概念：把正弦函数y sinx , x 一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsinx.2 2y sin x(x R)，不存在反函数.含义：arcs in x表示一个角；角，一；sin x.2 2(1).符号arcsi nx可以理解为[—一，一]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[—一，一]上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为[0 ,n ]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0 ,n ]上的一个实数；(2) . y= arcsi nx 等价于si ny= x, y€ [ —, — ], y= arccosx 等价于cosy= x, x€ [0, n ],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3).恒等式sin(arcsinx)= x, x€ [ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x€ [—1, 1],arcsin(sinx) = x, x€ [ —, — ], arccos(cosx) = x, x€ [0, n ]的运用的条件；2 2(4) . 恒等式arcsinx+ arccosx= , arctanx+ arccotx= 的应用。
2 2(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2)•解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；k女口：若sin sin ，贝U sin k ( 1) ;若cos cos ，贝U 2k ;若tan tan ，贝y a k ；若cot cot ，贝y a k ；(4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】例1.分析与解:精品文档例4.分析与解: 例5.分析与解:例6•使arcsinx arccosx成立的x的取值范围是（分析与解：x从反三角函该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数、最简三角方程
则 注意（ ） 注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解 若 a > 1， cos x = a 无解 则
（2）灵活使用结论（一） ）灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二 结论 二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于 的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角 ； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1． 定义 2． 图像 3． 性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值 域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4． 恒等式 5． 符号的意义 6． 特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2
新高二年级数学经典讲义16.反三角函数和简单三角方程-学生版
教学内容概要学生：数学备课组教师：年级：日期上课时间学生上课情况：主课题：反三角函数和简单三角方程教学目标：1、掌握反三角函数2、熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角3、知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念4、能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集5、理解三角方程解集的概念，掌握常见最简三角方程解集的一般表示形式教学重点：1、反三角函数的图像和性质2、三角方程的概念，三角方程的解集概念3、最简三角方程求解方法及解集教学难点：1、反三角函数的图像和性质家庭作业1、完成巩固练习2、复习知识点教学内容【知识结构】1、反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数定义sin ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数，叫做反正弦函数，记作arcsin x y =cos ,(0,)y x x π=∈的反函数，叫做反余弦函数，记作arccos x y =tan ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数，叫做反正切函数，记作arctan x y =理解arcsin x 表示属于 [,]22ππ-且正弦值等于x 的角arccos x 表示属于 [0,]π，且余弦值等于x 的角arctan x 表示属于(,)22ππ-，且正切值等于x 的角图像1-1123xyy = ar ccos(x)123456-1-2-3-4-5-612345-1-2-3-4-5xy y = ar ct an(x)性质 定义域 11-［，］11-［，］ ()-∞+∞，值域 [,]22ππ-[0,]π(,)22ππ-单调性 在11-［，］上是增函数 在11-［，］上是减函数在()-∞+∞，上是增函数奇偶性 ()arcsin arcsin x x -=- ()arccos arccos x x π-=-arctan()arctan x x-=-周期性 都不是同期函数1-112-1-2xy y = ar csi n(x)2、三角方程：最简单三角方程的解集：方程方程的解集sin x a =1a >∅1a = {2arcsin ,}x x k a k Z π=+∈1a <{(1)arcsin ,}k x x k a k Z π=+-∈cos x a = 1a > ∅1a = {2arccos ,}x x k a k Z π=+∈ 1a <{2arccos ,}x x k a k Z π=±∈tan x a ={arctan ,}x x k a k Z π=+∈【例题精讲】例1、试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性（1）()sin arcsin y x = （2）()arcsin sin y x =例2、（1）19arcsin sin 12π⎛⎫= ⎪⎝⎭________（2）若12arctan 34πα-=，则tan α=__________（3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =_____________（4）函数()21arcsin 2y x x =-的值域是_______________例3、（1）已知等腰三角形的顶角为1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则底角的正切值是（A ）22。
沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及简单三角方程
sin x cos xsin x 6 cos x 0
sin x cos x或sin x 6 cos x tan x 1或tan x 6
所以，原方程的解集是：
x cos x t 则sin 2 x t 2 1 t 2 t 0
解： 设sin
t 0或t 1
2 tan x 1或sin( x ) 4 2
x x k 或x k arctan 6, k Z 4
所以，原方程的解集是：
k ,k Z x x k 或x k (1) 4 4 4
,k Z
0
k 1,
6
f ( x) 2 sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2 ( x ) 3 。 例 7.已知 2 2 2
（3）在（2）成立的条件下，求满足 f ( x) 1, x , 的 x 的 集合。
图像
2
y arccos x
y
2
y arctan x
y
2
y
o
-1
-
1
x
1
o
2
o
x
-
1
x
2
定 义 域 值域
- 1,1
2 , 2
- 1,1
R
, 2 2
在 R 上单调递增
0,
在 1,1 上单调递减
解： 当
时, f ( x) 2 sin( 2 x ) 2 cos 2 x 6 2
第25讲_反三角函数与三角方程
第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2 ]．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2；tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x 2； tan(arcsin x )＝ x1－x 2； cos(arctan x )＝11＋x 2； tan(arccos x )＝ 1－x 2x． 证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2 ，即cos(arcsin x )＝1－x 2 ；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x 1＋x 2，就是sin(arctan x )＝x1＋x 2；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2－β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1] 解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2． ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－54),则 A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ) B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ) C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ) D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β) 3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6]B ．[-π2，π3]C ．[π6，π]D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ＝113＋1211－113⨯121＝ 18 ．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x1＋4x·2＝2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数．说明例6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0． ∴ cot[x ]＝1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })， ∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4]C ．(- 3π4，3π4)D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2nπ＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2nπ-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin n x ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1， n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1． 解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin n x ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin n x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解．⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin n x ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin n x ≥0，故只能在2k π＋3π2≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2 <x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos n x －sin n x ＝|cos n x |＋|sin n x |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解．所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2}B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}第 11 页 共 11 页 4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4)，则α＝ ； 5．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根； 6．求关于x 的方程 x 2-2x -sin πx 2＋2＝0的实数根． 7．解方程：⎝⎛⎭⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos n x ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．。
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反三角函数与最简单的三角方程 (99.9.15) 班别 学号 姓名 成绩 一、 在下面各式中，对的在括号内打√，错的打×。
（10分） (1) arcsin 2π
=1 ( ) (2) arccos 2
1=3
π
±( )
(3) sin(arcsin
215-)=2
1
5-( ) (4) sin(arcsin 3π)=3π( )
(5) arccos[cos(3
π-)]=3
π
-( ) (6) arctg 4π
=n π+4
π,n ∈Z( )
(7) arctg(3-)=
65π( ) (8) x ∈R,arcsinx+arccosx=2π
( ) (9) arcsin(sin 32π)=3π-( ) (10) arccos(cos 21)=3
π
( )
二、 选择题（把答案写在指定的括号内，每题8分，共40分）
1，已知函数y=2
1
arccos
2
1
3-x ，则其定义域和值域分别是（ ） （A ）131≤≤-x 20,π≤≤y （B ）ππ≤≤-≤≤-y x ,131
（C ）2121,31231≤≤-+≤
≤y x π （D ）22,3
1
231≤≤-+≤≤y x π 2，已知x(π，2π)，则arcctg(ctgx)等于（ ） （A ）π－x （B ）x －π （C ）x －2π （D ）2π－x
3，方程cos 2
x=cos 2
6π
的解集是（ ）
（A ）{x |x=k π6
π±，k ∈Z} （B ）{x |x=k π3
π
±，k ∈Z}
（C ）{x |x=2k π6
π±，k ∈Z} （D ）{x |x=2k π3
π
±，k ∈Z}
4，方程sinx+cosx=2
6
，0<x<2π，则x 等于（ ）
（A ）
125π （B ）12π （C ）65π （D ）12
512π
π或 5，方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x 的一个解是（ ） （Ａ）100 （Ｂ）200 （Ｃ）500 （Ｄ）700
三、 填空题（每题８分，共２４分） ６，比较大小：arccos(31-) arcsin 5
3 ７，方程tg(2x+3
π)=
33
在区间［０，２π）上的解集是 ８，方程cos(2π
+x)=x )2
1(在区间［０，１００π）内实数解的个数是
四、 解答题（每题１３分，共２６分） ９，求值：cos(arcsin 5
3+2arctg2)
10，如图，有一块正方形钢板，一个角上有伤痕，要把它截成一块正方形钢板，面积是原钢板的3
2，应按怎样的角度x 来截？
a
五、 附加题：（10分）
11，写出方程4sin(x+3
π
)=1的解集，并求其在[0，2π]上所有解的和。
反三角函数与最简单的三角方程测验解答
一、××√×××√××× 二、选择题：ABADB
1， 由12
1
31≤-≤-x 得：13
1
≤≤-
x ；由
π≤-≤2
1
3a r c c o s 0x 得
2
213arccos 210π≤-≤x 。
2， 由ππ2<<x 得：0<x ππ<-, arcctg(ctgx)=arcctg[ctg(x )]π-=x π-。
3， ∴+=
,22cos 1cos 2x x 原方程可化为：cos2x=2
1
4， 原方程可化为：26)4sin(2=+πx ,即2
3
)4sin(=+πx ，3)1(4πππk k x -+=+,
即4
3)1(π
π
π-
-+=k
k x , k 取0，1即得。
5， 由等式得sin(4x+5x)=0，即: sin9x=0
三、填空题：
6， ),2()31arccos(ππ∈-而)2
,0(53arcsin π
∈
7，,6
333
2π
πππ
+=+=+k arctg
k x 即: 122ππ-=
k x , 当k=1时,x=,125π 当k=2时,x=
;1211π当k=3时, x=;1217π当k=4时, x=.12
23π
8, 由函数图象利用数形结合作判断选择，在同一个直角坐标系中，作出函数
y=cos(2π+x)=－sinx 和y=x )2
1
(的图象，由于y=－sinx 的最小正周期是2π，只要
先考察在一个周期（0，2π）内两曲线交点的个数（是2个），又100π÷2π=50，故这两曲线在（0，100π）内的交点个数为2⨯50=100个。
四、解答题
9, 设53arcsin =α，则];2
,0[,53sin π
αα∈= 2a r c t
g =β，则].2,0[,2π
ββ∈=tg 54
2
1222s i n ,5321212c o s ,54c o s 2
22=+⨯=-=+-==ββα, 原式=25
24
2sin sin 2cos cos )2cos(-=-=+βαβαβα
10, 如图，b 2=
32a 2, bsinx+bcosx=a, sinx+cosx=,2
3 ,2
3)4
s i n (2=
+πx 即
,23
)4sin(=+πx x 为锐角, ∴34ππ=+x 或324ππ=
+x , 因此应按12π或125π来截。
五、附加题
11, 由原方程可得：41)3
sin(=
+
π
x 则: 4
1arcsin )1(3k k x -+=+ππ, 4
1
arcsin
)1(3k k x -+-
=π
π )(Z k ∈
解集为:{x |x=Z k k k ∈-+-,41
arcsin )1(3ππ}
x[0, 2π], 0<arcsin 41<3
π
, ∴k=1,2 在[0, 2π]内有两解，其和为：
.3
7)41arcsin 35()41arcsin 32(21π
ππ=++-=+x x。