微积分课件曲线的凹凸性与拐点
合集下载
《函数曲线的凹凸性》课件
《函数曲线的凹凸性》 ppt课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
高数课件-曲线的凹凸性与拐点
4.5 曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-<#>
2021-10-3
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
单从单调性和极值来研究曲线是不够的．
比如当函数 f x 在某区间单调增加时，其方式是多样的
(见图4-4-6)．具体表现在曲线弯曲的方向不同，有凸有凹．曲 线的这种性态称为凹凸性．
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
f
(x0 )
f (1)(x1
x0 )
f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
f
(x2 )
f
(x0 )
f
(2 )(x2
x0 )
f
(x0 )
1 2 (x2
x1)
f
(2 ) ．
17-1
续证
2021-10-3
两式相加，从而有
f
(x1)
f
( x2 )
2f
(x0)
x2
2
x1 [
故 0，f 0是曲线 y f x的拐点.选（C）.
17-1
例
f x x x n 假定 ( )在 = 0處具有直到 階的連續導數，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
n 這裏 為奇數>3，
则( x0 , f ( x0 ))是拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-<#>
2021-10-3
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
单从单调性和极值来研究曲线是不够的．
比如当函数 f x 在某区间单调增加时，其方式是多样的
(见图4-4-6)．具体表现在曲线弯曲的方向不同，有凸有凹．曲 线的这种性态称为凹凸性．
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
f
(x0 )
f (1)(x1
x0 )
f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
f
(x2 )
f
(x0 )
f
(2 )(x2
x0 )
f
(x0 )
1 2 (x2
x1)
f
(2 ) ．
17-1
续证
2021-10-3
两式相加，从而有
f
(x1)
f
( x2 )
2f
(x0)
x2
2
x1 [
故 0，f 0是曲线 y f x的拐点.选（C）.
17-1
例
f x x x n 假定 ( )在 = 0處具有直到 階的連續導數，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
n 這裏 為奇數>3，
则( x0 , f ( x0 ))是拐点
3.5曲线的凹凸性与拐点
当0 t 时
4
d2y dx 2
0
t
4
(e 4 ,
1
e4)
当 t 时
4
d2y dx 2
0
2
是拐点
练习5 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
注意：设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
解
x2 f ( x) x2
x0 ,
x0
f
(
x
)
2x 2x
x0 ,
x0
f
(
x
)
2 2
x0 ,
x0
f (0)不存在.
在(,0)内, f ( x) 2 0, f ( x) x x 是凸的.
在(0,)内, f ( x) 2 0, f ( x) x x 是凹的.
x ( ,0) 0
(0,1) 1 (1, )
y y凹
不存在 0
拐点 凸 拐点 凹
因此 (,0) (0, ) 是凹区间，(0,1) 是凸区间，
3
拐点为
(0, 0),
(1, ) 4
定理3.14 设f ( x)在( x0 , x0 )内三阶可导,
若f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则x x0是f ( x)的拐点.
y f ( x1 ) f ( x2 )
2
f ( x1 x2 ) 2
o
x x1 x2
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
动点M沿着曲线无限远离原点 y
y=ƒ(x)
移动时, 若该动点M到某直线L 的距离无限趋近于零 (如右图),
αM˘• Q •
•
L: y=ax+b
则称此直线L是曲线 y = ƒ(x)
o »α
x
的渐近线.
曲线 y = ƒ(x) 的渐近线按其与 x 轴的位置关系, 可分为
以下三种:
18
1.水平渐近线
定义4.4.5 如果曲线 y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有
x -
x
两边同除以 x 并取极限有
f (x) lim[ a]0 x x-
或 lim[f(x)a]0 x x
即
f(x) lim a x x-
或 lim f(x) a x x
从而得到求 y = ƒ(x) 的斜渐近线 y = ax + b 的公式为:
a
f (x) lim
x x
或
b
lim[
x
f
( x)
lim
1
x x 1
x x1
所 以 y x 1 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
25
四*. 函数图形的描绘
借助于一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间 上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点; 借助于 二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点. 知道了函数图形 的升降、凹凸以及极值点和拐点后, 也就可以掌握函数的 性态, 并把函数的图形画得准确.
ax]
a
f (x) lim
x x
b
lim [
x
f
(x)
ax]
曲线的凹凸性与拐点
证 只证明在a,b 内 f x 单调增加的情形．
对a,b内任意不同的两点 x1, x2 ，x1
x2 ，记 x0
x1
2
x2
，则由拉格
朗日定理，存在1,2 ( a x1 1 x0 2 x2 b )，使得
f (x1)
f (x0 )
f (1)(x1
x0 )
f
(x0 )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
4.5.2 拐点
定义4.5.2 设函数 y f x在a,b上连续，如果在a,b 内存
在一点 x0 和充分小的正数 ，在点 x0 的两侧邻域 x0, , x0 与
x0, x0, 内，曲线 y f x的凹凸性相反，就称点 x0, f x0 为
曲线 y f x的一个拐点．
注1：拐点实际上是凹弧与凸弧的分界点．
得
f (x1) 2
f (x2 )
f
( x0
)
，即
f
(
x1
2
x2
)
f
x1
2
f
x2 ．
由定义4.5.1知，曲线 y f x在a,b上为凹的．
本定理几何意义：若曲线 y f x在各点处的切线斜率单调增加
（单调减少），则曲线是凹（凸）的．
17-6
如果 f x 二阶可导，则当 f x 0 时， f x 单调增加； 当 f x 0时， f x 单调减少，因此可得下列定理．
4.5 曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-1
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
《曲线的凹凸与拐点》课件
《曲线的凹凸与拐点》ppt课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
4.5函数曲线的凹凸性与拐点
可知曲线弧y x arctan x 在(-∞,+∞)内为凹的.
数学教研室
例2. 判断曲线
的凹凸性.
解: 所给曲线在(-∞,+∞) 内为连续曲线弧. 由于
y 3 x 2
2 y 3 x 6 x
y 0 ，即曲线弧 可知，当 x 0时， y 0 ，即曲线弧 当 x 0时，
(1,2)
凸
2
0
拐点 (2,6)
(2,+∞)
+
f ( x)
f ( x)
+
凹
凹
数学教研室
的凹凸区间及拐点. 例5. 讨论曲线 2 1 1 4 3 3 2 3 10 2 3 3 y x x ， y x x 5 3 解: 1) 求 y 9 9
x (5 x 1) y不存在，此时 y 0 2) 求可疑拐点：x 0 时，
y
2
o
x
o
1
2
x
M2 M1
当曲线为凹时，曲线 f ( x)的切线斜率 tan
随着 x 的增加而增加，即 f ( x) 是增函数，
2
o
1 x
因此 f ( x) 0
数学教研室
分析：
y M2
M1 x M1
y
2 1 o
y
M2 o
2
1
x
当曲线为凸时，曲线 f ( x)的切线斜率 tan
的一个拐点.
数学教研室
例3. 判定M(0,0)是否为下列曲线弧的拐点
(1) y1 x
解:
5 2 ( 2 ) y x 3 3
3
(2) y2 x
5 3
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
点和阶导数不存在的点; (3) 用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
简明微积分曲线凹凸与拐点
凹的. (2) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
(3) x0两近旁 f ( x)变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
x0两近旁 f ( x)不变号 ,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
4 3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及 例2 凹、凸的区间 .
解
2 y 12 x 12 x , y 36 x( x ). 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的;
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凹弧： 凸弧： 曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
即证：
f ( 2 ) f (1 ) 0
(1 2 )
(1 , 2 )
事实上： f ( 2 ) f (1 ) f ( ) 而
f ( ) 0
同理可证明2）
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解 y 3 x 2 , y 6 x ,
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2 x1 x2 x1 x2 [ f ( x1 ) f ( )] [ f ( x2 ) f ( )] 0 2 2
两式相加为：
x1 x2 x1 x2 x2 x1 [ f ( x1 ) f ( )] [ f ( x2 ) f ( )] [ f ( 2 ) f (1 )] 2 2 2
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
N M
B
o
A
x
y
f ( x1 ) f ( x2 ) y f ( x) 2
x x f( 1 2) 2
y
x x f( 1 2) 2
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
2 图形上任意弧段位
x1 x1 x2 x x 2
证明：1） 分析： 要证
任取两点
f(
x1 , x2 ( x1 x2 )
即证
x1 x2 1 ( x1 , ), 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f (1 )( x1 ) f (1 ) 2 2 2 x1 x2 2 ( , x2 ), 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 f ( x2 ) f ( ) f ( 2 )( x2 ) f ( 2 ) 2 2 2
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
f ( x )在 区 间 I上 连 续 ， 我 们 把 1 定义 设 函 数 y f ( x )的 图 形 上 凸 弧 与 凹 弧 凹 （弧 与 凸 弧 ） 的 分 界 点 叫 做 曲 线 的点 拐.
由可导函数取得极值的条件，
f ( x ) 0.
注意：若f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
3
拐点的求法 方法1：
(1)求f ( x );
(2)令f ( x ) 0, 找出实根和二阶不可导 点x0
o
x1 x1 x2 x 2
2 图形上任意弧段位
x
于所张弦的下方
于所张弦的上方
定义 设f ( x )在(a , b )内连续, 如果对(a , b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凹的;
, 不妨设它是凹弧与凸弧 的 证 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点 分界点 .,即对x (a, b)当x x0时，图形是凹弧，
当x x0时，图形是凸弧， 所以f ( x )递增；
所以f ( x )递减. 因此点 x0是函数 f ( x )递增与
递减的分界点，也就是 f ( x )的极大值点 .
注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线.
注2、 拐 点 是 用 坐 标 （ x0 , f ( x0 ))来 表 示 的 ， 不同于极值点的表示 .
2
拐点的必要条件
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点 (0,1)
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
0
3
( 2 ,) 3
凹的
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
,且 方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.