微积分课件曲线的凹凸性与拐点
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, 不妨设它是凹弧与凸弧 的 证 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点 分界点 .,即对x (a, b)当x x0时，图形是凹弧，
当x x0时，图形是凸弧， 所以f ( x )递增；
所以f ( x )递减. 因此点 x0是函数 f ( x )递增与
递减的分界点，也就是 f ( x )的极大值点 .
证明：1） 分析： 要证
任取两点
f(
x1 , x2 ( x1 x2 )
即证
x1 x2 1 ( x1 , ), 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f (1 )( x1 ) f (1 ) 2 2 2 x1 x2 2 ( , x2 ), 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 f ( x2 ) f ( ) f ( 2 )( x2 ) f ( 2 ) 2 2 2
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的;
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凹弧： 凸弧： 曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
即证：
f ( 2 ) f (1 ) 0
(1 2 )
(1 , 2 )
事实上： f ( 2 ) f (1 ) f ( ) 而
f ( ) 0
同理可证明2）
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解 y 3 x 2 , y 6 x ,
二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
(3) x0两近旁 f ( x)变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
x0两近旁 f ( x)不变号 ,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
4 3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及 例2 凹、凸的区间 .
解
2 y 12 x 12 x , y 36 x( x ). 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
f ( x )在 区 间 I上 连 续 ， 我 们 把 1 定义 设 函 数 y f ( x )的 图 形 上 凸 弧 与 凹 弧 凹 （弧 与 凸 弧 ） 的 分 界 点 叫 做 曲 线 的点 拐.
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点 (0,1)
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
0
3
( 2 ,) 3
凹的
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
,且 方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
N M
B
o
A
x
y
f ( x1 ) f ( x2 ) y f ( x) 2
x x f( 1 2) 2
y
x x f( 1 2) 2
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
wenku.baidu.com
2 图形上任意弧段位
x1 x1 x2 x x 2
o
x1 x1 x2 x 2
2 图形上任意弧段位
x
于所张弦的下方
于所张弦的上方
定义 设f ( x )在(a , b )内连续, 如果对(a , b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凹的;
注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线.
注2、 拐 点 是 用 坐 标 （ x0 , f ( x0 ))来 表 示 的 ， 不同于极值点的表示 .
2
拐点的必要条件
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
由可导函数取得极值的条件，
f ( x ) 0.
注意：若f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
3
拐点的求法 方法1：
(1)求f ( x );
(2)令f ( x ) 0, 找出实根和二阶不可导 点x0
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2 x1 x2 x1 x2 [ f ( x1 ) f ( )] [ f ( x2 ) f ( )] 0 2 2
两式相加为：
x1 x2 x1 x2 x2 x1 [ f ( x1 ) f ( )] [ f ( x2 ) f ( )] [ f ( 2 ) f (1 )] 2 2 2
当x x0时，图形是凸弧， 所以f ( x )递增；
所以f ( x )递减. 因此点 x0是函数 f ( x )递增与
递减的分界点，也就是 f ( x )的极大值点 .
证明：1） 分析： 要证
任取两点
f(
x1 , x2 ( x1 x2 )
即证
x1 x2 1 ( x1 , ), 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f (1 )( x1 ) f (1 ) 2 2 2 x1 x2 2 ( , x2 ), 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 f ( x2 ) f ( ) f ( 2 )( x2 ) f ( 2 ) 2 2 2
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的;
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凹弧： 凸弧： 曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
即证：
f ( 2 ) f (1 ) 0
(1 2 )
(1 , 2 )
事实上： f ( 2 ) f (1 ) f ( ) 而
f ( ) 0
同理可证明2）
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解 y 3 x 2 , y 6 x ,
二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
(3) x0两近旁 f ( x)变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
x0两近旁 f ( x)不变号 ,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
4 3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及 例2 凹、凸的区间 .
解
2 y 12 x 12 x , y 36 x( x ). 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
f ( x )在 区 间 I上 连 续 ， 我 们 把 1 定义 设 函 数 y f ( x )的 图 形 上 凸 弧 与 凹 弧 凹 （弧 与 凸 弧 ） 的 分 界 点 叫 做 曲 线 的点 拐.
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点 (0,1)
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
0
3
( 2 ,) 3
凹的
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
,且 方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
N M
B
o
A
x
y
f ( x1 ) f ( x2 ) y f ( x) 2
x x f( 1 2) 2
y
x x f( 1 2) 2
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
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2 图形上任意弧段位
x1 x1 x2 x x 2
o
x1 x1 x2 x 2
2 图形上任意弧段位
x
于所张弦的下方
于所张弦的上方
定义 设f ( x )在(a , b )内连续, 如果对(a , b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凹的;
注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线.
注2、 拐 点 是 用 坐 标 （ x0 , f ( x0 ))来 表 示 的 ， 不同于极值点的表示 .
2
拐点的必要条件
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
由可导函数取得极值的条件，
f ( x ) 0.
注意：若f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线y f ( x ) 的拐点 .
3
拐点的求法 方法1：
(1)求f ( x );
(2)令f ( x ) 0, 找出实根和二阶不可导 点x0
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2 x1 x2 x1 x2 [ f ( x1 ) f ( )] [ f ( x2 ) f ( )] 0 2 2
两式相加为：
x1 x2 x1 x2 x2 x1 [ f ( x1 ) f ( )] [ f ( x2 ) f ( )] [ f ( 2 ) f (1 )] 2 2 2