特殊四边形性质判定
特殊四边形的性质和判定定理
特殊四边形的性质和判定定理名称 性质判定平行四边形1、对边平行且相等。
2、对角相等。
3、对角线互相平分。
4、是中心对称图形。
5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。
矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直。
并且每一条对角线平分一组对角。
3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。
4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。
）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、边相等到的四边形是菱形。
正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。
2、S= a ²（a 表示两边长。
） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。
2、有一个是直角的菱形是正方形。
3、对角线相垂直的矩形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
等腰梯形1、两腰相等。
2、同一底上的两个角相等。
3、对角线相等。
4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。
2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。
四边形的性质与判定
四边形的性质与判定四边形是平面几何中的一种基本图形，它具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨四边形的性质，以及如何进行判定。
一、四边形的定义和基本性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，其中相邻的两条线段相交于一点，共享一个端点。
四边形的基本性质如下：1. 四边形的内角和为360度：四边形的内角和是指四个内角的度数之和，总是等于360度。
2. 对角线的性质：四边形的对角线是连接四个非相邻顶点的线段。
对角线有以下性质：a. 两条对角线的交点在四边形的中点上；b. 对角线的长度可以用勾股定理求解；c. 对角线平分四边形的面积；d. 矩形和菱形的对角线互相垂直。
3. 两组对边平行性质：四边形的两组对边可能平行，也可能不平行。
有以下情况：a. 平行四边形：四边形的两组对边都平行；b. 矩形：四边形的两组对边都平行且相等；c. 菱形：四边形的两组对边都平行且相等。
二、四边形的判定方法在几何中，判断一个图形是否是四边形是很重要的。
下面是几种常见的四边形判定方法：1. 边长判定法：如果一个图形有四条边且边长满足某种条件，如满足任意三边之和大于第四边的边长，那么这个图形就是一个四边形。
2. 点的位置关系判定法：如果一个图形的四个顶点的位置关系满足某种几何特征，如相邻两边相等、对角线相等等，那么这个图形就是一个四边形。
3. 角度判定法：如果一个图形的四个内角的度数满足某种几何特征，如和为360度、相对角度相等等，那么这个图形就是一个四边形。
三、实例分析现在我们通过一些实例来具体应用四边形的性质和判定方法。
例1：判断ABCD是否为平行四边形。
已知AB = CD，AD = BC，∠A = 80度。
解：根据已知，我们可以得知ABCD是一个四边形，并且AB = CD，AD = BC。
如果我们能证明ABCD的两组对边都是平行的，那么ABCD就是一个平行四边形。
首先，通过角度性质可知∠A + ∠C = 180度，因为∠A = 80度，所以∠C = 180度 - 80度 = 100度。
特殊四边形的知识点、定义、性质、判定
特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：对角相等，邻角互补； （2）边：对边分别平行且相等； （3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。
3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。
二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。
四边形及特殊四边形的判定教案
一、教学目标：知识与技能：1. 理解四边形的定义和性质；2. 掌握特殊四边形的判定方法；3. 能够运用四边形及特殊四边形的性质解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生的空间想象能力；2. 运用分类讨论的方法，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学学科的兴趣；2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容：1. 四边形的定义和性质；2. 特殊四边形的判定方法；3. 四边形及特殊四边形的应用。
三、教学重点与难点：重点：1. 四边形的定义和性质；2. 特殊四边形的判定方法。
难点：1. 特殊四边形的判定方法的灵活运用；四、教学过程：1. 导入：通过展示四边形的图片，引导学生思考四边形的定义和性质；2. 新课导入：介绍四边形的定义和性质，引导学生通过观察和操作，理解四边形的特征；3. 知识拓展：介绍特殊四边形的判定方法，引导学生通过分类讨论，掌握特殊四边形的判定；4. 课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识；5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考四边形及特殊四边形在实际生活中的应用。
五、课后作业：1. 复习四边形的定义和性质，特殊四边形的判定方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 思考四边形及特殊四边形在实际生活中的应用。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对四边形及特殊四边形的定义和判定方法的掌握程度；2. 课后作业：检查学生完成的课后练习题，评估学生对所学知识的掌握情况；3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的表现，以及对四边形及特殊四边形的应用能力。
七、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索四边形及特殊四边形的性质和判定方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示四边形的图片和动画，帮助学生直观理解四边形的特征；3. 创设有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
四边形的定义和性质和判定
四边形的定义和性质和判定
四边形（Quadrangle）是由四条恰好相互垂直的折线组成的闭合面。
它的性质有：一，四边形的边都是相互垂直的；二，任意一条边
上的两个相邻角的和为180°；三，任意一条边上的两个相邻内角的和等于外角；四，任意一个顶点处两个边形成的内角总和等于360°；五，任意三边形成两个外角的和等于180°。
四边形可以根据具体情况相应分类，比如正方形、矩形、平行四
边形、菱形等。
要判定一个四边形是不是某种特定四边形，通常是要
看它是否满足该形状特定的角度和边长关系。
四边形的分类与判定方法
四边形的分类与判定方法四边形是几何学中一种常见的图形，它由四条边和四个角组成。
在不同的边长和角度的组合下，四边形可以被划分为多个不同的类型。
本文将介绍四边形的分类以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
一、四边形的分类四边形的分类主要根据其边长和角度来进行划分，常见的四边形类型包括正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形和不规则四边形。
1. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且四个角均为直角。
可以通过边长或对角线长相等来判定一个四边形是否为正方形。
2. 矩形矩形也是一种边长相等的四边形，但它的四个角并不一定都为直角。
判定一个四边形是否是矩形的方法是检查它的对角线是否相等。
3. 菱形菱形是一种具有边长相等但角度不一定相等的四边形。
一个四边形若两对相邻边相等，则可以被判定为菱形。
4. 平行四边形平行四边形具有两对相对平行的边，它的对边长度相等。
要判断一个四边形是否为平行四边形，可以检查它的对边是否平行。
5. 梯形梯形是只有一对对边平行的四边形，其余两条边不平行。
通过检查四边形的边是否满足其中两条边平行的条件，即可判定它是否为梯形。
6. 不规则四边形不规则四边形是指不属于上述任何一种特殊类型的四边形。
它的边和角都没有特殊的限制条件，因此可以被视为一般性的四边形。
二、四边形的判定方法判定一个四边形的类型有多种方法，下面将介绍针对常见四边形类型的判定方法。
1. 正方形的判定方法（描述正方形判定方法）2. 矩形的判定方法（描述矩形判定方法）3. 菱形的判定方法（描述菱形判定方法）4. 平行四边形的判定方法（描述平行四边形判定方法）5. 梯形的判定方法（描述梯形判定方法）6. 不规则四边形的判定方法（描述不规则四边形判定方法）三、四边形的应用四边形在几何学中具有广泛的应用。
它们的性质和特点可以用于解决各种几何问题，例如计算面积、判断形状等。
1. 面积计算根据不同类型的四边形，可以通过不同的公式计算其面积。
特殊四边形的性质与判定(整理资料)
1、特殊四边形的性质：
名称图形边角对角线对称性
平行四边形
D对边平行且
相等
对角相等，
邻角互补
互相平分中心对称
矩形
对边平行且
相等
四个角是直
角
互相平分且
相等
中心对称、
轴对称
菱形
D
B
对边平行
四条边相等
对角相等，
邻角互补
互相平分且
垂直，每条
对角线平分
一组对角
中心对称、
轴对称
正方形
B 对边平行
四条边相
等，
邻边垂直
四个角是直
角
互相平分、
相等、垂直，
每条对角线
平分一组对
角
中心对称、
轴对称
等腰梯形
两底平行，
两腰相等
同一个底上
两个角相等
对角线相等轴对称2、特殊四边形的判定：
平行四边形1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相
4、两组对角分别相等
5、两条对角线互相平分
矩形1．有三个角是直角2、有一个角是直角的平行四边形3、两条对角线平分且相等菱形1、四条边相等2、一组邻边相等的平行四边形3、两条对角线平分且垂直正方形1、有组邻边相等的矩形2、有一个角是直角的菱形3、两条对角线平分、相等且垂直等腰梯形1、同一个底上两个角相等的梯形2、对角线相等的梯形
顺次连结对角线相等的四边形（等腰梯形、矩形、正方形）各边中点构成的四边形是菱形。
顺次连结对角线互相垂直的四边形（菱形、正方形）各边中点构成的四边形是矩形。
顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形（正方形）各边中点构成的四边形是正方形。
1。
四边形的性质与判定
四边形的性质与判定四边形是指有四个边和四个角的几何图形。
对于四边形的性质和判定，我们可以从不同角度来探讨，包括四边形的定义、特性、分类、判定方法等。
本文将从简单到复杂，逐步介绍四边形的各种性质与判定方法。
一、四边形的定义与基本概念四边形是平面几何中最基本的多边形之一。
它由四条线段组成，且四个顶点不在同一条直线上。
简单来说，四边形是由四个不重合的线段所组成的封闭图形。
二、四边形的基本特性1. 内角和：四边形的内角和等于360度。
这意味着四边形的四个内角之和总是等于360度。
2. 外角和：四边形的外角和等于360度。
外角是指从某个顶点出发，与该顶点相邻的两条边所形成的角。
3. 对角线：四边形有两条对角线，它们是连接四边形的相对顶点的线段。
对角线的交点被称为四边形的对角线交点。
三、四边形的分类与特殊性质1. 平行四边形：如果四边形的对边分别平行，则它被称为平行四边形。
平行四边形的对边长度相等，对边之间的夹角也相等。
2. 矩形：如果四边形的四个角都是直角，则它被称为矩形。
矩形的对边相互平行且相等。
3. 菱形：如果四边形的四个边长度都相等，则它被称为菱形。
菱形的对角线相互垂直且平分对方。
4. 正方形：正方形是一种特殊的矩形和菱形，它既有矩形的特性（四个直角），又有菱形的特性（四个边长相等）。
5. 梯形：如果四边形的两边平行，则它被称为梯形。
梯形的对角线不一定相等，内角和也不一定为360度。
6. 平行四边形、矩形、菱形和正方形都属于梯形。
四、四边形的判定方法1. 判断四边形是否为平行四边形：- 检查四边形的两组对边是否平行；- 检查四边形的对边长度是否相等；- 检查四边形的对边夹角是否相等。
2. 判断四边形是否为矩形：- 检查四边形的四个角是否都为直角；- 检查四边形的两组对边是否平行。
3. 判断四边形是否为菱形：- 检查四边形的四边是否都相等；- 检查四边形的对角线是否相互垂直。
4. 判断四边形是否为正方形：- 检查四边形的四个角是否都为直角；- 检查四边形的四边是否都相等。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边相等的四边形。
其特殊性质有以下几点：1. 对边平行：平行四边形的定义中已经提到，其对边两两平行。
这意味着它有两对平行的边，且它的对边相等。
2. 对角线平分：平行四边形的两条对角线互相平分。
这意味着从顶点到顶点的线段长相等。
且对角线长度之和等于两倍的中线长度。
3. 内角和为360度：平行四边形的内部角度之和为360度。
这是由于它可以看作是一个由两个相反的等腰三角形组成的四边形。
4. 相邻角互补：平行四边形相邻两个角互补。
即相邻的两个内角之和为180度。
5. 对角线重心：平行四边形的对角线的交点是平行四边形的重心。
这意味着，从平行四边形的任意一个顶点出发，连接对角线交点的线段长度均相等。
如何判定是否是平行四边形？为了判定一个四边形是否为平行四边形，我们需要注意以下几点：1. 同位角是否相等：如果四边形的对边相等，且同位角相等，则它是一个平行四边形。
2. 对角线是否互相平分：如果四边形的对角线互相平分，则它是一个平行四边形。
3. 内角是否和为360度：如果四边形的内角和为360度，则它是一个平行四边形。
4. 相邻角是否补角：如果四边形的相邻两个角互补，则它是一个平行四边形。
总之，平行四边形不仅有着独特的特性，而且在日常生活中随处可见。
我们可以通过了解它的性质和判定方法，来更好地理解和应用它在实际问题中的作用。
平行四边形在几何中的重要性不言而喻。
它具有许多基本的性质，在解决几何问题时能够发挥重要的作用。
因此，对于学习者来说，理解和掌握平行四边形及其相关性质是非常重要的。
首先，平行四边形经常用于测量和设计。
例如，平面中的平行线和平行四边形常常被用来构建建筑和道路。
在测量中，以平行四边形为基础可以利用三角函数法求其面积。
当然，求解时需要知道两个相邻的边长和它们之间夹角的大小。
这也是平行四边形的另一个重要性质，它的相邻角互补。
其次，平行四边形经常用于计算图形的重心及其他几何量。
特殊的四边形（归纳）
特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（嘿嘿嘿）知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。
此外，它还具有如下特殊性质：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系2．集合表示，突出关系3．性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·两组对边分别平行；·两组对边分别相等；·一组对边平行且相等;·两组对角分别相等；·两条对角线互相平分.·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。
特殊平行四边形性质与判定的灵活运用
阶段核心归类专训
5．【2018·郴州】如图，在▱ABCD 中，作对角线 BD 的垂直平分 线 EF，垂足为 O，分别交 AD，BC 于 E，F，连接 BE，DF. 求证：四边形 E 是菱形．
阶段核心归类专训
证明：如图，∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴BE＝DE，BF＝DF，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DE∥BF，∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴BE∥DF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形， ∴四边形 BFDE 是菱形．
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
阶段核心归类专训 特殊平行四边形性质与判定的灵活运用
阶段核心归类专训
1．【中考·贺州】如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中 点 O 作 EF⊥AC，交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE， CF. 求证：四边形 AECF 是菱形．
阶段核心归类专训
阶段核心归类专训
2．【2018·青岛】已知：如图，▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交 于点 E，点 G 为 AD 的中点，连接 CG，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD.
(1)求证：AB＝AF；
阶段核心归类专训
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BF∥CD，AB＝CD， ∴∠AFG＝∠DCG. ∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF＝CD，∴AB＝AF.
证明：∵O 是 AC 的中点，EF⊥AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，AO＝CO. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC. ∴∠AFE＝∠CEF. 在△AOF 和△COE 中，∠ ∠AAFOOF＝ ＝∠ ∠CCEOOE， ，
特殊四边形知识与考点解析
特殊四边形知识考点解析1．多边形的分类：2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：（1）平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。
性质：平行四边形对边相等。
平行四边形对角相等, 邻角互补.平行四边形的对角线互相平分。
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L1.L2/2）。
（3）矩形：定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。
矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。
（4）正方形：定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（5）梯形：定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。
几种特殊平行四边形的性质和判定
3.一组对边平行且相等
4.两组对角分别相等
5.两条对角线互相平分
1.有三个角是直角的四边形
2.有一个角是直角的平行四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.四边相等的四边形
2.每条对角线平分一组对角的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
4.有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.对角线相等的菱形
3.有一组邻边相等的矩形
4.对角线互相垂直的矩形
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S=底×高
S=底×高
S=底×高=对角线乘积的一半
S=边长×边长
几种特殊平行四边形的性质和判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角对角相等对角相等并且个角都是直角对角相等四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判
定
1.两组对边分别平行
特殊平行四边形的性质和判定总结
判定：
平行四边形的对边平行且相等
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的对角相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的邻角互补
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一．平行四边形的性质及判定：
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
二．面积公式
1．平行四边形=底✖️高
2．矩形=长✖️宽
3．菱形=对角线✖️对角线➗2
=底✖️高
4．正方形=边长✖️边长
=对角线✖️对角线➗2
平行四边形___________________菱形
性质：
判定
菱形具有平行四边形的所有性质
边
四条边相等的四边形是菱形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.正方形：
平行四边形____________________________________正方形
特殊的平行四边形：
1.矩形：
平行四边形___________________矩形
性质：
判定
矩形具有平行四的平行四边形是矩形
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的对角线相等
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2.菱形（重点）：
性质：
判定：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
四边形的性质及判定
平行四边形
性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形
判定：两组对边分别平行；一组对边平行，另一组对边相等；对角相等；对角线互相平分
菱形
性质：满足平行四边形所有性质；一组邻边相等；对角线相互垂直；有两条对称轴
判定：有一组邻边相等的平行四边形；对角线垂直的平行四边形；四边都相等的四边形
正方形
性质：满足菱形的所有性质；对角线相等；有一个内角是直角；有四条对称轴判定：对角线相等的菱形；三个内角是直角，且有一组邻边相等的四边形；有一个内角是直角的菱形；三个内角是直角，且对角线相互垂直的四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定条件。
在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质以及相关的判定方法，帮助读者更好地理解和应用于数学问题中。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边互相平行的四边形。
具体而言，平行四边形的对边分别是平行的，而且对边之间的夹角相等。
根据这个定义，我们可以推导出平行四边形的一些重要性质。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的。
证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。
根据平行四边形的定义，AB∥CD，而且AD∥BC。
根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。
因此，对边之间的夹角相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角相等。
证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。
同上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。
另外，由于AB∥CD，AD∥BC，根据同位角定理可知∠BAD=∠CDA，∠ABD=∠CBD。
由于对角之间的夹角相等，所以平行四边形的对角相等。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角互相等于180度。
证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。
根据上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。
根据同位角定理，∠BAD+∠ABC=180度，而∠CDA+∠CDB=180度。
因此，平行四边形的同位角互相等于180度。
三、平行四边形的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件，判定一个四边形是否为平行四边形。
以下是两种常见的判定方法：1. 对边判定法：如果一个四边形的对边是平行的，则该四边形为平行四边形。
证明：设ABCD是一个四边形，已知AB∥CD，AD∥BC。
为了判定ABCD是否为平行四边形，我们需要证明对边之间的夹角相等。
根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。
因此，ABCD是一个平行四边形。
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矩形、菱形、正方形性质及判定
【知识梳理】：
考点一、 1、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：
3、矩形的判定
（1）对边平行且相等。
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）四个角都是直角。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形
（3）矩形的对角线相等且互相平分。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
考点二、菱形
1、菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质: 2、菱形的判定：
（1）四条边相等，对边平行（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角相等，邻角互补（2）四边都相等的四边形是菱形
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
每一条对角线平分一组对角。
4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点三、正方形： 1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质：（1）四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
3、正方形的判定：（1）先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
（2）先证它是菱形，再证有一个角是直角。
矩形、菱形、正方形既是轴对称又是中心对称图形。
【典例精析】考点一、矩形的性质与判定
1、在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥
BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
2、如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O 运动到何处时，四边形CEAF 是矩形？请证明你的结论．
考点二、菱形的性质与判定
1、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD .
(1)求证：四边形OCED 是菱形；
(2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的面积为
83，求AC 的长．
2、 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，
折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.
考点三、正方形的性质与判定
如图①，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，HA ＝EB ＝FC ＝GD ，连接EG ，FH ，交点为O .
(1)如图②，连接EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD 沿线段EG ，HF 剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为 3 cm ，HA ＝EB ＝FC ＝GD ＝1 cm ，则图③中阴影部分的面积为
__________cm 2.
A B C D E F D
【合作探究】1、将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
2、在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
3、如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF
是菱形．
E A M B C D N 【达标测评】1.已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm
2
2.如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF
∠=（ ）
A ．110°
B ．115°
C ．120°
D ．130°
3．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE ＝AC ，则∠BCE 的度
数是__________．
4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一个动点，点M ，N 分
别是AB ，BC 边上的中点，MP ＋NP 的最小值是__________．
5.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点
F ，连接AE .求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD .
6.如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD ，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．
7、（河南.2012）如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点．点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN ．
（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：①当AM 的值为_______时，四边形AMDN 是矩形；
②当AM 的值为________时，四边形AMDN 是菱形．。