平面简谐波的描述
平面简谐波__波动方程
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
10-2平面简谐波函数
y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )
2
t 0
2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0
2
]
u
t t0
A o
2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2
2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M
o
x t 0 2
x
x
点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x
]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？
8-3平面简谐波的表达式
已知：波线上任一点 的振动方程 已知：波线上任一点O的振动方程 Ψ o 波速u, 波速 向右传播 求：该平面简谐波波函数 Ψ = Ψ ( x, t )
= A cos(ωt + ϕ 0 )
解： 以参考点 为坐标原点，波速u的方向为 建 以参考点O为坐标原点，波速 的方向为 的方向为+x,建 为坐标原点 立一维坐标。 为波线上任意一点， 立一维坐标。 设P为波线上任意一点，坐标 x 为波线上任意一点
= ⋯⋯
λ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时 即x0 处质点的振动方程
x0 Ψ( x0 , t ) = Ψ(t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
x Ψ( x, t0 ) = Ψ( x ) = A cos[ω (t0 − ) + ϕ 0 ] u
O
x(m)
(2) 以O′为坐标原点 ′ P离参考点距离 离参考点距离
x′′ x+5 Ψ = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[ω (t − ) +ϕ] u u
x′′ = x + 5
将xB = −13代入
− 13 + 5 8 ΨB = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] = A cos[ω ( t + ) + ϕ ] u u
p
Ψ0 = A cos( ω t + ϕ 0 )
Ψ P (t ) = Ψ 0 (t + ∆ t ) x Ψ ( x, t ) = A cos[ω (t + ) + ϕ 0 ] u x = A cos(ωt + ϕ 0 + 2π ) λ
简谐振动 平面简谐波
答：初相是指 t = 0 时刻的位相，
初始时刻选择不同，初相值就不同； 另外，单摆作简谐振动是角位移。
因此，把一个单摆位开一个小角度 0
自由摆动，此 0 并不是初位相。
单摆绕悬点转动的角速度等于 d
dt
而简谐振动的圆频率
g
l
，然后放开让其
可见，单摆绕悬点转动的角速度是不是简谐振动的圆频率。
4.3 简谐振动的能量
E=Ek
+Ep
=1k 2
A2
（4.15）
w wj E k= T 10 TE kdt= T 10 T 1 2m2 A 2s2 i(n t+)d t= 1 4 k2A
wj E p= T 10 T E pd t= T 10 T 1 2 kA 2c2 o (ts+)d t= 1 4 k2A
(1/2)kA2
kx0 =mg
化简上式得
d2x dt 2
+
k m+
I
x=0
R2
可知：物体做简谐振动．且振动圆频率为
w=
k
m+ I
R2
另解： 静平衡时 物体 ( x 处 )
滑轮
mgT2 =mdd2t2x
T 2T 1R=I
d2 x dt2
=
R
T1=kxo+x
联立以上各式可得
dd2t2x+mkR2R2+I x=0
w =
o
v0
=
m m+M
u0
X
>0
A=
mu0 k(m+
M)
,
j
0
=
3
2
,
x= m0u cowst(+3)
平面简谐波概念
解：
•
（1）T 2， 40，u 2０，A 10， 2
T
T
且t 0时：yo 5，vo 0
O
2 3
(2) OB长度
Y(cm)
10 •
u
-5 •
解：O B （O B）2
oB
C
20
-5
x(cm)
•
t 0时：yB 0，vB 0
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
二、波的强度
1、能流P : 单位时间通过某一面积的波能 P su
—单位:焦耳/秒米2
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、 无吸收， P1 P2
平面简谐波波函数
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
第2节 平面简谐波
第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。
如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。
由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。
振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。
它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。
设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。
于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。
简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。
（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。
当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。
且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。
此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。
可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。
简谐波波函数 波的特征量
2. 频率 周期
波的时间周期性
频率ν 周期T
单位时间内通过传播方向上 某一点的
完整波的个数 波的周期为各点振动的周期
ν=1
T
由波源决定的
ω =2πν
3.波长 振动状态相同的两点间的最近距离
简谐波 ：在同一波线上相位差为2π的两点间距离
y
λ →u
波的空间周期性
o
o′ x λ = u Τ
简谐波的不同表示形式
= λ u= T u y t
ν =1/T ν
ω =2πν
y(x, t ) = Acos[ω(t − x )]
u
y(x, t ) = Acos[2π ( t − x )]
Tλ
y(t, x) = Acos[2π (ν t − x )] λ
t+∆ tx∆来自x = u∆t波数=k
2= π λ
ω
u
y(t, x) = Acos(ω t − kx)
P 处质点在 t 时刻的振动状态，即波函数为
y (x,t) = y(o, t+x/u)= Acos [ω(t+x/u)]
二、波的特征量
1.波速
y(0, t ) = Acos(ωt + ϕ0 )
y(x, t )
=
A cos[ω (t
−
x) u
+ ϕ0 ]
平衡位置在x 处的质点, t 时刻的相位
ω(t
−
x )] u
波函数 ξ (x, t ) = Acos[ω (t − x )]
u
1、x 确定 x = x0
ξ
ξ(t ,
x0 )
=
Acos[ω( t
−
平面简谐波
解 根据题意设波源的振动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
0
vy00
0 0
即0.021csoins00
0 0
0
2
故
y
0.01cos
200
t
x 400
2
（1）B 和A 两点之间的振动相位差为
200
t
2 400
2
200
t
1 400
2
2
（2）以B 为坐标原点时有
t x
T
(t, x) (t t, x x)
x ut
讨论：如图简谐 波以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各点
振动初相位.
(π ~ π )
t =0 A y
Oa
A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
讨论
1.同一波线上两个不同点的振动相位差
x 2 x
程、2）波函数。
2 y(102 m)
22
o
2
yo
t(s)
2 102 cos(2π t )m
4
A
oA2 y
π
3
t 0,x 0 y A 2 v 0
波函数
y 2 102 cos[2π( t x ) π ]m 44 3
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
平面简谐波
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y ( x , t ) y ( x, t ), 说明波线上振动状态的空间周期性
·由质元看：相隔 的两点振动状态完全相同(同相点)。
T
波函数的 其它形式
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y(x, t) A cos[2π (ut x) 0]
讨论 (1) 由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动
的相位差为
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] ( x1 x2 ) u u u
y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s u
(2)质点振动的最大速度?
三. 平面简谐波的波动方程 Differential equation x 由 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 )] u 2 y x 2 知 A cos[ (t ) 0 ] 2 2 y 1 2 y t u 2 2 2 2 2 y x A cos[ (t ) ] x u t
x2>x1, Δ<0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质 点的振动； (2) u 实际上是振动相位的传播速度。 t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到 x 1 x 处，则
y (x 1 x ,t1 t ) y (x 1,t1 )
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
平面简谐波
平面简谐波
平面简谐波是一种由沿着同一方向运动的波源发出的波，可以被描述为振幅在空间内
相等且经过同一时间周期的波形。
这种波形通常由正弦或余弦函数表示，因此也被称为正
弦波或余弦波。
平面简谐波的传播方向通常被称为波矢方向，其振幅通常被称为波矢大小。
当平面简
谐波从波源处发出时，其速度通常已知，并且可以通过波长和频率的关系来计算。
平面简谐波最常见的应用是在电磁波的传播过程中，尤其是在无线通信和雷达系统中。
电磁波可以经过不同的介质（如空气，水和金属）传播，但在这些介质中都遵循平面简谐
波的基本原理。
在无线通信中，发射器会产生一个特定频率的平面简谐波，该波会经由空气传播到接
收器，接收器会接收并处理信号。
这种方式是无线通信的基础，也是电视和电台广播的基
本工作原理。
平面简谐波在其他领域中也很常见。
例如，在音频系统中，声波可以被描述为正弦波。
通过理解平面简谐波的基本原理，我们可以更好地理解波的传播，并使用它来实现各种实
用的应用。
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
52平面简谐波讲解
A 2
cos
t
x u
信息学院 物理教研室
例题:某潜水艇的声纳发出的超声波为平面简谐
波，其振幅为 A 1.2103 m，频率 5.0104 Hz ，波
长 2.85102 m，波源振动的初相 0，求:
(1)该超声波的波函数；
t
x
3
4 u
2
Acos
t
x u
y
y
u
O
P x(x)
信息学院 物理教研室
(2):
v
y t
A
sin
t
x u
2
A sint
2
2、负向波的波函数
若波动向x轴负向传播，则:
y
B点比O点早起振 t x
u
所以: yB (t) yO (t t)
O x
则:
y( x、t)
Acos
t
x u
B
x
x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
信息学院 物理教研室
x轴正向传播的波动方程
y( x、t)
信息学院 物理教研室
例题:一平面余弦波，波线上各质元振动的振幅
和角频率分别为A和，波沿 x 轴正向传播，波
速为u，设某一瞬时的波形如图，并取图示瞬时
为计时零点。 (1)在O点和P点各有一观察者，试
描述平面简谐波概念
描述平面简谐波概念介绍平面简谐波是一种特殊的波动现象，在许多自然和物理现象中都能观察到。
它是一种周期性的振动，沿着固定的方向传播，并且其振动方向与传播方向垂直。
平面简谐波具有一些独特的性质，深入了解这些性质能够帮助我们更好地理解波动现象的本质。
平面简谐波的定义平面简谐波是一种在时间和空间中都是周期性的波动。
它可以用数学公式来描述，通常表示为：y(x,t)=A⋅sin(kx−ωt+ϕ)在这个公式中，y是波的振幅，A是最大振幅；x是波的位置，t是时间，k是波数，表示波的空间频率；ω是角频率，表示波的时间频率；ϕ是相位，描述波动的起始位置。
平面简谐波的特点平面简谐波具有以下几个重要的特点：1. 周期性平面简谐波是周期性的，即在空间和时间上呈现出一定的重复性。
在任意时刻和位置上的波形都与之前的波形相似。
2. 定向性平面简谐波沿着固定的方向传播，其振动方向和传播方向垂直。
这意味着在波的传播过程中，波的能量在空间中沿着直线扩展。
3. 纯净性平面简谐波由一个频率确定的正弦函数组成，没有其他频率的分量。
这意味着波的频率是唯一确定的，没有任何杂散的频率成分。
4. 叠加原理平面简谐波具有良好的叠加原理。
多个平面简谐波可以在同一空间中叠加，并按照各自的振幅和相位叠加成一个新的平面简谐波。
平面简谐波的应用领域平面简谐波的概念和性质在物理学和工程领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 光学在光学中，平面简谐波被用来描述光的传播和干涉现象。
光是一种电磁波，可以用平面简谐波的概念来解释光的行为。
例如，光的干涉现象可以通过将多个平面简谐波叠加而成。
2. 声学在声学领域，平面简谐波被用来描述声波的传播和共鸣现象。
声波是一种机械波，可以用平面简谐波的概念来描述声波的振动和传播特性。
3. 信号处理在信号处理中，平面简谐波被广泛用来分析和合成信号。
通过将信号拆解为多个简谐波的叠加，可以更好地理解信号的频谱特性和时域特性，从而进行信号处理和调制。
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
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机械波的传播
2
二. 波面 波射线
1. 横波 纵波
2. 横波：各振动方向与波传播方向垂直
3. 纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波
x
演示横 波纵波 模型3
水表面的波既非横波又非纵波 水的流动性和不可压缩性 水波中水质元作二维运动 纵向运动 横向运动 作圆运动
4
波形图：
某时刻，各点振动的位移
(广义：任一物理量)
与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
某时刻
u
x
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？
5
2.波面 波射线：波传播的方向射线 波面：某时刻，同一波源向外 传播的波到达的各空间点连成的面
波阵面 波面
6
在各向同性介质中 点源：波面是球面，所以称为球面波 线源：波面是柱面，所以称为柱面波 面源：波面是平面，所以称为平面波
结论 1. 波是振动状态的传播，不是质点的流动
各点均在自己的平衡位置附近作振动
2. 波长 波的周期 频率 波速
T
u
13
波长：波线上相位差为2的相邻两点间的距离
波的周期：一个完整的波通过某点所需的时间
波的频率：单位时间内通过某点完整波的数目
波速长 波速与频率之间的关系：
球面波
柱面波
平面波
7
在各向同性介质中
能量
球面波
柱面波 平面波
1）波面与波射线的关系：波射线垂直波面 2) 波射线是波的能量传播方向
8 3) 平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）
三.平面 S H W 的传播
平面: 波面是平面(一维、能量不损失)
S H W : 各点均作简谐振动
以绳上横波为例 说明波的传播特征
x
17
解：任意一点P坐标为x
P点相位落后波源a 的振动相位
2π Pa
u
o a l0
P x
x
所以就在a点振动表达式的基础上改变相位因 子就得到了P的振动表达式
2 π A cos t P a 0
2 π A cos t x l 0 0
u /T 介质中波的关系式
14
3.波射线上各点振动相位(振动状态)的关系 同时看波线上各点 沿传播方向 各点相位依次落后 •相距一个波长两点 相位差是2 如第13点和第1点
7
4
1 13
10
或说振动时间差1个 周期则相位差为2
x 相差是 2 π
15
•相距一个波长两点相位差是2
复振幅
时间因子、各点振动
i kx
U (P ) Ae
i t 复数表达式： U P e
注意： 经典波：波函数表示实在物理量，只有取实 部才有意义，但可以使计算方便。 量子：波函数本身一般就是复数。
22
六. 波动方程
•无色散介质，一维波动方程
1 2 2 2 x u t
u
14710 13
P Q
x
任意两质元间距为 x •相距x的任意两点的相位差
Δ
2 π
Δ x
16
四. 平面 S. H .W .的余弦表达式 已知：波沿着x轴的正方向传播，
波源a的振动形式为
求：波的表达式
A cos t
a 0
解：任意一点P坐标为x
u
o a l0
P x
第20章 波 动
§1 平面简谐波的描述
§2 波的能量
§3 惠更斯原理
§4 波的叠加
§5 驻波
§6* 群速度 §7 多普勒效应
1
§1 平面简谐波的描述
一.波的产生
1. 机械波产生的条件
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
振源 弹性介质
2. 电磁波 只需振源 可在真空中传播 3. 物质波 物质的固有性质
真空
第7个质点准备….
1
7
4
1 4 7 10 13
3T t 4
π 2
第10个质点准备…..
1 4 7 10 13
11
10
t T
第13个质点准备…. 当第1个质点振动1个周期后
它的最初的振动相位传到第
13个质点
7
从相位来看，第
10
4
1 13
2 π 1 个质点领先第 13 点
12
π 2
3.波速 相速
波是振动状态的传播 考察某振动状态
即令
( t kx ) const.
将其全微分 有关系式
d t k d x 0
由速度的定义得出重要关系
dx 相位传播速度 u （相速） dt k
20
五. 平面 S.H.W.的复数表示法
Ae i ( t k ) x A cos t kx 取 实 Ae 部
18
讨论
2 π cos t x 1. A 向x轴正向传播
2 π A cos t x 向x轴负向传播
2.角波数（简称波数) 波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数） 角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
2π k
19
2
杨氏模量：单位形变时 x 单位面积受的力
T
u
T
结论：波速与介质 波的类型（横波 纵波）有关 无色散介质中与频率无关
24
2 2
介质中 的波速
•解的形式：
综量是 x x ut u t 的函数 f
当然包括
平面简谐波 A cos t kx
23
•细棒 中纵波
2 2 x Y t
2 2
Y
F
S x
u
Y
•弦上 横波
2
F S
2 2 x T t
R Ae e
i t kx A cos t kx iA sin t kx
i t k x
Ae
i t kx
Ae e
ikx i t
21
Ae
复振幅：
i t kx
Ae e
ikx i t
u
1 4 7 10 13
x
无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处 9
t 0 第1个质点受一干扰，准备离开自己的
平衡位置向正方向振动
1 4 7 10 13
振动 0 状态 > 0
T t 第 4 个质点准备 … .. 4
π 2
1
4
10
1 4 7 10 13
T t 2