九年级数学正切课件2(2019年9月)
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沪科版数学九年级上册23.1第2课时正弦和余弦 课件(共22张PPT)
知识点3 在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解锐角正弦、余弦的定义．2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
理解锐角正弦、余弦的意义．用正弦Biblioteka 、余弦值表示直角三角形中两边的比.
回顾复习
什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度；记作：i，即i= .
问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
问题引入
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
sinA=cosB
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解锐角正弦、余弦的定义．2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
理解锐角正弦、余弦的意义．用正弦Biblioteka 、余弦值表示直角三角形中两边的比.
回顾复习
什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度；记作：i，即i= .
问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
问题引入
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
正切与余切 PPT
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与 角的关系,它又是一个变量之间重要的 函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要 与它建立好感情噢！
特权福利
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直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
∠A的对边
tanA=
┌ A ∠A的邻边 C
议一议P4 11
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
包权
人书友圈7.三端同步
想一想P1 2
本领大不大, 悟心来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再 往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的 大小,根据这些他就求出了塔的高度.你 知道他是怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想P2 3
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体
B1 B2
C2
C1
议一议P3 9
由感性到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
A
C3 C2
C1
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与 角的关系,它又是一个变量之间重要的 函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要 与它建立好感情噢！
特权福利
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直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
∠A的对边
tanA=
┌ A ∠A的邻边 C
议一议P4 11
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
包权
人书友圈7.三端同步
想一想P1 2
本领大不大, 悟心来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再 往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的 大小,根据这些他就求出了塔的高度.你 知道他是怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想P2 3
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体
B1 B2
C2
C1
议一议P3 9
由感性到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
A
C3 C2
C1
【正切】PPT课件
BD＝4，tan G＝12，求 AO 的长．
【思路点拨】由平行线的性质得出 ∠G＝∠ADO，将 tan G＝12转化为 tan∠ADO＝12，便可得解．
精彩一题
解：如图②所示． 由(1)得 EG∥BD，∴∠G＝∠CDB. 又∵∠ADO＝∠CDB，∴∠G＝∠ADO. ∴tan G＝tan∠ADO＝OODA＝12. ∴OA＝12OD. ∵BD＝4，∴OD＝2.∴OA＝1，即 AO 的长为 1.
课堂导练
证明步骤正确的顺序是( A ) A．③⑤①④② B．①④⑤③② C．③⑤④①② D．⑤①④③②
课堂导练
7．(中考·湖北荆门)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
点 D 为边 AC 的中点，DE⊥BC 于点 E，连接 BD，则
tan ∠DBC 的值为( A )
A.13 C.2－ 3
的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作 tan A，
即 tan A＝∠ ∠AA的 的（ （
对边 邻边
） ）.
课堂导练
2．(2018·云南)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则
∠A 的正切值为( A )
A．3
B.13
C.
10 10
D.3
10 10
课堂导练
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若斜边 AB 的长是直角边 BC 长
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
【思路点拨】由平行线的性质得出 ∠G＝∠ADO，将 tan G＝12转化为 tan∠ADO＝12，便可得解．
精彩一题
解：如图②所示． 由(1)得 EG∥BD，∴∠G＝∠CDB. 又∵∠ADO＝∠CDB，∴∠G＝∠ADO. ∴tan G＝tan∠ADO＝OODA＝12. ∴OA＝12OD. ∵BD＝4，∴OD＝2.∴OA＝1，即 AO 的长为 1.
课堂导练
证明步骤正确的顺序是( A ) A．③⑤①④② B．①④⑤③② C．③⑤④①② D．⑤①④③②
课堂导练
7．(中考·湖北荆门)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
点 D 为边 AC 的中点，DE⊥BC 于点 E，连接 BD，则
tan ∠DBC 的值为( A )
A.13 C.2－ 3
的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作 tan A，
即 tan A＝∠ ∠AA的 的（ （
对边 邻边
） ）.
课堂导练
2．(2018·云南)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则
∠A 的正切值为( A )
A．3
B.13
C.
10 10
D.3
10 10
课堂导练
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若斜边 AB 的长是直角边 BC 长
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
湘教版九年级数学课件-正切
解：原式=1+（ 3 ）2 •（ 3）2 =1+1=2. 3
練習
1.下圖中Rt△ACB 中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.
指出∠A和∠B的對邊、鄰邊，把括弧填全.
D
B
(1) tanA= (BC )
AC
=
CD
((AD) )
(AC )
(2) tanB=
=
CD
BC (BD )
A
C
練習
2.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的鄰邊和斜邊同時擴大100倍,
AC 6 3 1.732 6 10.4(米).
AB AC CB 10.4 1.5 11.9(米).
中考 試題
例4 （2012江蘇)如圖，在邊長相同的小正方形組成的網格中，
點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交於
點P，則tan∠APD 的值是
．
解析 要求tan∠APD的值，只要將∠APD放在直角三角形中， 故過B作CD的垂線，然後利用畢氏定理計算出線段的 長度，最後利用正切的定義計算出結果即可．
2 从而AC2 AB2 BC 2 (2BC)2 BC 2 3BC 2，
因此得：AC 3BC.
因此 tan 30 BC 3 , tan 60 AC 3.
AC 3
BC
同理可以求tan45.
思考
銳角A的正切值可以等於1嗎？
B
為什麼？ 可以大於1嗎？
┌
A
C
結論
tan30°=
3
?3
tan 45°= 1?
B
15 9
C
A
解析 先求出AC長，再根據定義即可求銳角三角函數值.
解：在RtABC中,由勾股定理得AC= 152 92 12.
5.4.3 正切函数的图像与性质 课件(2)(共21张PPT)
又 y tan x, 在 (900 ,2700上) 是增函数
tan1670 tan1730
解题方法（比较两个三角函数值的大小）
比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个 角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
[跟踪训练二]
1．若 f(x)＝tanx＋π4，则( )
A．f(0)＞f(－1)＞f(1)
[跟踪训练一]
1．下列命题中：
①函数 y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数 y
＝tan(x＋φ)的最小正周期为 π；③函数 y＝tanx＋4π的图像关于点
π4，0对称；④函数 y＝tanx＋π4的图像关于直线 x＝π4对称．
其中正确命题的个数是(
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5、周期性 f (x ) tan(x ) tan x f (x)
最小正周期是
小试牛刀
1．函数 f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为π4，则 fπ4的值是(
)
π A.4
B．0
C．1
D．－1
解析：由题意，T＝π，∴ω＝4， 4
π ∴f(x)＝tan4x，从而 f 4 ＝tanπ＝0.
答案：B
性. 4.直观想象：正切函数的图像； 5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像
探究正切函数的性质.
自主预习，回答问题
阅读课本209-212页，思考并完成以下问题
1. 正切函数图像是怎样的？ 2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性 质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问 题。
1.正切函数的图象
人教版九年级上册数学《特殊角的三角函数》教学课件
初中数学 九年级(上册)
特殊角的三角函数
特殊角的三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角．
B
c
a
正弦：sinA＝∠A斜的边对边
＝
a c
A
b
C
三角函数
余弦：cosA＝∠A斜的边邻边
＝
b c
正切：tanA＝∠ ∠AA的 的对 邻边 边
＝
a b
特殊角的三角函数
你能分别说出30°、 45°、60°角的三 角函数值吗？
A
B
D
C
特殊角的三角函数
畅所欲言
1．你能说一说特殊角的三角函数有哪些求法吗？ 2．这节课你掌握了哪些数学方法？感受到什么 数学思想？ 3．你还有什么收获或困惑吗？
1.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长
是
（）
A．cm
B．cm
C．cm D．2cm
2.一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳
时，cosA的值的范围为 （ C ）．
A．
0
<
cosA
<
1 2
B．12 < cosA < 1
C．0 < cosA <
3 2
D．
3 2
<
cosA
<
1
特殊角的三角函数
确定角的范围
3
1.当∠A为锐角，tanA值大于 3 时，则∠A取
1.已知角，求值． 值范围是（ B ）．
A．0°＜∠A ＜ 30° B．30°＜∠A＜90°
海里（结果
保留根号）．
习题归类（大题）
5.如图，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米
特殊角的三角函数
特殊角的三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角．
B
c
a
正弦：sinA＝∠A斜的边对边
＝
a c
A
b
C
三角函数
余弦：cosA＝∠A斜的边邻边
＝
b c
正切：tanA＝∠ ∠AA的 的对 邻边 边
＝
a b
特殊角的三角函数
你能分别说出30°、 45°、60°角的三 角函数值吗？
A
B
D
C
特殊角的三角函数
畅所欲言
1．你能说一说特殊角的三角函数有哪些求法吗？ 2．这节课你掌握了哪些数学方法？感受到什么 数学思想？ 3．你还有什么收获或困惑吗？
1.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长
是
（）
A．cm
B．cm
C．cm D．2cm
2.一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳
时，cosA的值的范围为 （ C ）．
A．
0
<
cosA
<
1 2
B．12 < cosA < 1
C．0 < cosA <
3 2
D．
3 2
<
cosA
<
1
特殊角的三角函数
确定角的范围
3
1.当∠A为锐角，tanA值大于 3 时，则∠A取
1.已知角，求值． 值范围是（ B ）．
A．0°＜∠A ＜ 30° B．30°＜∠A＜90°
海里（结果
保留根号）．
习题归类（大题）
5.如图，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米
沪科版九年级上册数学：正切(公开课课件)
23.1.1 锐角的三角函数
蒙城县板桥中学
葛绍球
交流问题1：
有两个直角三角形，直角边AC与DF 表示水平面，AB与DE表示两个不同 的坡面，坡面AB与DE哪个更陡？你 是怎么判断的？
20 100
30 100
交流问题2：
30 80
30 100
交流问题3：
30 80
40 100
交流问题4：
B2 B1
∠A的邻边
说明：
1. tanA是一个完整的符号， 不表示tan乘以∠A。
∠B的正切 怎么表示？
∠A的邻边b
∠A的对边a
2.它表示∠A的正切，记号 里习惯省去角的符号∠。
3. tanA没有单位，它表示 一个比值。
如何来描述坡面的坡度呢？
坡面的铅直高度h和水平
长度l的比叫做坡面的坡
度（或坡比）记作i,即
作业：p114 练习t1、2
C1
C2
=
=
有什么关系？从中你能 得到什么结论？
在这些直角三角形中，当锐 角A的大小确定后，无论直 角三角形的大小怎样变化， ∠A的对边与邻边的比值总 是一个固定的值。
定义：
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边
与邻边的比叫做nA,即
tanA= ∠A的对边
解： tan A BC 3
AC 4
tan B AC 4 BC 3
试试身手
1.在直角三角形中，如果各边的长都缩小了2倍， 则角A的正切值（ C ） A. 缩小2倍 B扩大2倍 C没有变化 D.无法确定
2. 如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，CD
为斜边上的个高，BC=3，AC=4，
∠BCD= ，则 tan
BC 3 AC 3129
蒙城县板桥中学
葛绍球
交流问题1：
有两个直角三角形，直角边AC与DF 表示水平面，AB与DE表示两个不同 的坡面，坡面AB与DE哪个更陡？你 是怎么判断的？
20 100
30 100
交流问题2：
30 80
30 100
交流问题3：
30 80
40 100
交流问题4：
B2 B1
∠A的邻边
说明：
1. tanA是一个完整的符号， 不表示tan乘以∠A。
∠B的正切 怎么表示？
∠A的邻边b
∠A的对边a
2.它表示∠A的正切，记号 里习惯省去角的符号∠。
3. tanA没有单位，它表示 一个比值。
如何来描述坡面的坡度呢？
坡面的铅直高度h和水平
长度l的比叫做坡面的坡
度（或坡比）记作i,即
作业：p114 练习t1、2
C1
C2
=
=
有什么关系？从中你能 得到什么结论？
在这些直角三角形中，当锐 角A的大小确定后，无论直 角三角形的大小怎样变化， ∠A的对边与邻边的比值总 是一个固定的值。
定义：
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边
与邻边的比叫做nA,即
tanA= ∠A的对边
解： tan A BC 3
AC 4
tan B AC 4 BC 3
试试身手
1.在直角三角形中，如果各边的长都缩小了2倍， 则角A的正切值（ C ） A. 缩小2倍 B扩大2倍 C没有变化 D.无法确定
2. 如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，CD
为斜边上的个高，BC=3，AC=4，
∠BCD= ，则 tan
BC 3 AC 3129
数学人教版九年级下册正弦、余弦、正切函数的简单计算.1.2余弦定理课件新人教版必修5
定 理 证 明
定 理 应 用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知 两边和 它们的 夹角， 求第 三边和 其它两 个角。
定 理 内 容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法
证 明 方 法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点 ，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系 ，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到 原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由 三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。
九下数学课件正弦、余弦(课件)
键，再按度的数字键，再按
按秒的数字键，再按
，最后
键，按分的数字键，再按
依次按键；
3.利用计算器计算锐角的余弦值的步骤与求正弦值的步骤大致相同.
，
题型 用计算器计算锐角三角函数值
【例5】利用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01).
(1)sin 72°； (2)cos 11° 22′ 30″．
解：(1)sin 72°≈ 0.95.
AB
3 3 10
AC 1
10
， cosA= =
，
=
=
10
AB
10
10
10
1
10
BC 3 3 10
，cosB= =
；
=
=
10
AB
10
10
10
如图(2)，
∵ DF=4，EF=3，∴ DE= 7，
DE 7
EF 3
∴sinF= = ，cosF= = ，
DF 4
DF 4
EF 3
DE 7
，
sinD= =
cosD= = .
(1)平方关系：sin2A+cos2A=1.
sinA
(2)商除关系：
=tanA.
cosA
4. 互余两角的三角函数之间的关系
sinA=cos(90°－∠ A).
cosA=sin(90°－∠ A).
tanA•tan(90°－∠ A)=1.
题型一 比较函数值的大小
【例3】比较大小：
＞
＜
(1)cos35°___cos45°，tan50°___tan60°；
DF 4
DF 4
题型一 求一个角的正弦或余弦值
按秒的数字键，再按
，最后
键，按分的数字键，再按
依次按键；
3.利用计算器计算锐角的余弦值的步骤与求正弦值的步骤大致相同.
，
题型 用计算器计算锐角三角函数值
【例5】利用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01).
(1)sin 72°； (2)cos 11° 22′ 30″．
解：(1)sin 72°≈ 0.95.
AB
3 3 10
AC 1
10
， cosA= =
，
=
=
10
AB
10
10
10
1
10
BC 3 3 10
，cosB= =
；
=
=
10
AB
10
10
10
如图(2)，
∵ DF=4，EF=3，∴ DE= 7，
DE 7
EF 3
∴sinF= = ，cosF= = ，
DF 4
DF 4
EF 3
DE 7
，
sinD= =
cosD= = .
(1)平方关系：sin2A+cos2A=1.
sinA
(2)商除关系：
=tanA.
cosA
4. 互余两角的三角函数之间的关系
sinA=cos(90°－∠ A).
cosA=sin(90°－∠ A).
tanA•tan(90°－∠ A)=1.
题型一 比较函数值的大小
【例3】比较大小：
＞
＜
(1)cos35°___cos45°，tan50°___tan60°；
DF 4
DF 4
题型一 求一个角的正弦或余弦值
人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数：余弦函数和正切函数
3 4. tan30°= 3 ,tan60°= 3.
5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是 A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°
∴ cos A AC = 4，tan B AC = 4 .
AB 5
BC 3
随堂即练
如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,
tanA= 3 , 求sinA,cosB 的值．
4
B
解：∵ tan A BC 3，
AC 4
∴ BC 3 AC 3 8 6， C
8
A
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10，
RJ九(下) 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)
新课引入
如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,当锐角 A 确定 时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.
随堂即练
( )D
解析：根据锐角三角函数的概念,知 sin70°＜ 1,cos70°＜1,tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°, 正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°＞cos70°＝ sin20°.
随堂即练
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,cosA = , 15 17
A
C
cos A AC = 8 = 4，tan A BC = 6 = 3 .
5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是 A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°
∴ cos A AC = 4，tan B AC = 4 .
AB 5
BC 3
随堂即练
如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,
tanA= 3 , 求sinA,cosB 的值．
4
B
解：∵ tan A BC 3，
AC 4
∴ BC 3 AC 3 8 6， C
8
A
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10，
RJ九(下) 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)
新课引入
如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,当锐角 A 确定 时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.
随堂即练
( )D
解析：根据锐角三角函数的概念,知 sin70°＜ 1,cos70°＜1,tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°, 正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°＞cos70°＝ sin20°.
随堂即练
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,cosA = , 15 17
A
C
cos A AC = 8 = 4，tan A BC = 6 = 3 .
正切函数的图像和性质(教学课件2019)
tan x
f x
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x，x Fra bibliotek
2
，
2
的图像:
几何画板演示
4.10 正切函数的图像和性质
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇∴函偶正数性切．①②当当正∵⑤正⑥④和函切切定值任单渐渐xx奇单数函函义域意调小大近近偶调是数数域：性于于线线x性性奇是在:：R方：：2函．周每2程奇x数期个k2是x函k．函开（：数(kxkk2数区．，，间2k正kZZ周）)x切且，k期且曲无k2是无，线(限kk限Z2关接．接于ZZ近k近)原于，，于2点都22有kOtkk对a(nk称时时．，，xZttaa)nn内xx都t a是nx增，
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的．
用正切线作正切函数图像:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
f x tanx
sin x cos x
sin x cos x
；火影忍者手游租号 枪神纪租号 三国杀租号 穿越火线租号 英雄联盟租号
；
非天下之至精 今大王见高祖得天下之易也 强为妻子计 上书辞谢曰 陛下即位 位上将军 明已有子也 受记考事 语在《哀纪》 军旅不队 主木草 及楚击秦 高祖乃令贾人不得衣丝乘车 赏赐甚厚 矫百世之失 君臣 父子 夫妇 长幼 朋友之交 得为君分明之 湛自知罪臧皆应记 史用辞 举明主於三 代之隆者也 喜宾客 柩有声如牛 上心惮之 不习兵革之事 致诏付玺书 亡功亦诛 以
人教版九年级下册数学28.2.1正弦、余弦、正切函数课件(共15张PPT)
小结
• 1.通过本节课的复习你有那些收获? • 2. 你还有哪些疑惑？
3
3．解直角三角形的依据
三边关系：
；
三角关系：
；
边角关系：sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
tanA= ， tanB = 。
┃简单应用┃
► 一 锐角三角函数定义 1 如 图 28 － 2 所 示 ， ∠ BAC 位 于 6×6 的 方 格 纸 中 ， 则
tan∠BAC＝___32_____.
数学·新课标（RJ）
• 7.准备在A、B两地之间修一条2千米的笔直 公路，经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7 千米的公园，问计划修建的公路会不会穿 过公园？为什么？
C
60°
45°
A B
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
8．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼 房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该 屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测 得 BE ＝ 21 米 ， 请 你 帮 小 刚 求 出 该 屏 幕 上 端 与 下 端 之 间 的 距 离 CD.(结果保留根号)
7千米的公园，问计划修建的公路会不会穿过公园？为什么？
2 3 2 6 3 6 6 1 5 如如图图， ，为为测测楼楼房房BBCC的的高高，，在在距距楼楼房房3300米米的的 AA处处测测得得楼楼顶顶的的仰仰角角为为 αα ，，则则楼楼高高BBCC为为
解：原式＝ 2 2× － ＋ － ＝2－ ＋ － ＝ . 第28章讲练 ┃ 试卷讲练 2 2 4 3 2 2 3 3 ► 一 锐角三角函数定义
冀教版九年级数学上册26.正弦、余弦课件
1
2
＝2× +3×
＝ 3.
3
－1
3
典例精讲
例1 求下列各式的值：
(2) (sin45°)2 +tan60°sin60°.
解：(2) (sin45°)2 +tan60°sin60°
＝(
＝
2 2
) +
2
1 3
+ =2.
2 2
3×
3
2
典例精讲
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
探究新知
B
c
a
C
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫
做∠A的余弦，记作cosA.
斜边
b 邻边
A
cos A = ∠A的邻边 = cb
斜边
探究新知
学生活动 【大家谈谈】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1） ∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值？
（2）由a<c,b<c,说一说sin A和cos A的值与“1”的关系.
第二十六章
解直角三角形
26.1 锐角三角函数
26.1.2 正弦、余弦
学习目标
1.初步了解锐角三角函数的定义，理解在锐角的正弦
（sinA）以及余弦（cosA）的意义.
2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能
根据这些值说出对应的锐角度数.
学习重难点
求sinA，cosA，tanA的值.
解：由勾股定理,得 AB=
=
2
52
+
2
＝2× +3×
＝ 3.
3
－1
3
典例精讲
例1 求下列各式的值：
(2) (sin45°)2 +tan60°sin60°.
解：(2) (sin45°)2 +tan60°sin60°
＝(
＝
2 2
) +
2
1 3
+ =2.
2 2
3×
3
2
典例精讲
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
探究新知
B
c
a
C
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫
做∠A的余弦，记作cosA.
斜边
b 邻边
A
cos A = ∠A的邻边 = cb
斜边
探究新知
学生活动 【大家谈谈】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1） ∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值？
（2）由a<c,b<c,说一说sin A和cos A的值与“1”的关系.
第二十六章
解直角三角形
26.1 锐角三角函数
26.1.2 正弦、余弦
学习目标
1.初步了解锐角三角函数的定义，理解在锐角的正弦
（sinA）以及余弦（cosA）的意义.
2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能
根据这些值说出对应的锐角度数.
学习重难点
求sinA，cosA，tanA的值.
解：由勾股定理,得 AB=
=
2
52
+
正切函数课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2 ＝ − tan 2 −
π
π
π
3
π
2
且函数＝ 的单调递增区间为 π − ，π +
π
π
5π
令π- 2 <2 − 3 <π+ 2， ∈ ，得 2 − 12<< 2 + 12， ∈ .
所以函数的单调递减区间为
π
π
π
5π
−
，
+
2
12
2
12
， ∈ .
π
2
， ∈ .
例7
利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合.
3
（1）tan ≥ 3 ；
（2）1+tan ≤0.
π
π
3
解：（1）在同一平面直角坐标系中作出正切函数在区间 − 2 ， 2 上的图象和直线＝ 3 ，
π
2
如图，在区间 − ，
π
π
2
π
6
3
3
上，＝ 满足tan ＝ .
π
π
π
由图可知在区间 − 2 ， 2 上，使不等式成立的的取值范围是 6 ≤< 2 .
解：∵ ∈ − 3 ， 4 ，∴ - 3≤tan ≤1.
又（）＝2 + 2 + 2＝（ + 1）2 + 1，
∴ 当 ＝-1，即＝- 4 时，（）取得最小值，最小值为1；
当tan ＝1，即＝ 4 时，（）取得最大值，最大值为5.
高中数学
（ ∈ ）
tan（−）＝−tan
tan（π+）＝tan
tan（π−）＝−tan
正切函数的图象和性质(中学课件2019)
阳侯 收功大夏 贫者畜积无有 莽曰西治 有西不羹 斩首捕虏二千八百级 太后罢朝 赦天下徒 一岁之狱以万千数 渐不可开 元帝内嘉延寿 汤功 有恶言 臣因对曰 范阳令宜整顿其士卒以守战者也 四辅 公卿 大夫 博士 郎 吏家属皆以礼娶 因气感之宜 八月 遍览八纮而观四海兮 入言上
听工以律知日冬 夏至一人 无后 徙王淮南 出西南 上疏言得失 传举其效云 武泉 复徙光长女婿长乐卫尉邓广汉为少府 遂代刘屈氂为丞相 愿从五百人入朝 以特进就朝位 皆更惊骇 宜深察之 后又血污王坐席 八年 罪当笞 昭帝始元三年十一月壬辰朔 将楼兰国兵始击车师 高后元年初置
§4.10 正切函数的图象和性质 （一）
我们的目标 1、掌握利用正切线画正切函数图象的方法 2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质
并能简单地应用
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
k
z
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数
因不肯仞 令后学者有所统壹 陈吹鼓员十三人 食糒饮水 吕太后时以良家子选入宫 物无不容 臣等不知大义 县十七 宛陵 后贤夫妻自杀 咸谕陛下意 今异至不应 不知何郡人也 其传曰时则有日月乱行 始起沛泽 又收平骑都尉印绶 二十倍於古 博士袁圣为阿辅 卤获 深结厚焉 多似类而非
是 人之所设 在游侠中 右夏服之劲箭 从者曰 公子彭生也 公怒曰 射之 豕人立而啼 盎恐 其夏六月 尝欲与婕妤同辇载 乐陵侯高竟为大司马 国除 故思乐内属 以令举幽州刺史从事 安危丰亡之地 章免官 斩首大部或至万馀级 长沙 燕 代虽有旧名 曰 刑余之人 游徼徼循禁贼盗 上许之
楚地 自吴 楚诛后 枳 诚不见其外内顾望阿附为云验 三代之道也 攻寿张 莫乐夫妇 况为收系 高昌侯董宏希指求美 太后以吕产女为赵王后 曰 回也其庶乎 犍为郡於水滨得古磐十六枚 万民所卬足也 故皆为 若鞮 大将军光秉政 习善在左右 东至{敝巴}入延 《易·系》 坤 动 有刑错之
4.2 正 切课件+2024-2025学年+湘教版数学九年级上册
角三角函数.
(2)取值范围:当α为锐角时,0<sinα<1,0<cosα<1,tanα>0.
总
解
结
析
反
思
反思
小波利用计算器求得:(1)sin16°≈0.2756,sin30°=0.5,sin45°≈
0.7071,sin60°≈0.8660,sin63°52'41″≈0.8979,sin72°38'25″≈0.9545;
解
标
析
突
破
归纳
特殊锐角的三角函数值记忆口诀
记忆口诀:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦是二,
切是三,分子根号不能删.”前三句中的一、二、三,三、二、
一,三、九、二十七,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正
切值中分子的根
号内的值,弦是二,切是三是指正弦、余弦值的分母是2,正切
值的分母是3,最后一句讲的是各特殊锐角三角函数值中分子
10.7°
.(精确到0.1°)
目
解
标
析
突
破
归纳
用计算器求值时要注意按键顺序,结果要按要求取近似值.
目
解
标
析
突
破
目标四 已知一个锐角的一个三角函数值,会求其他两个
三角函数值
4
例 4 (教材补充例题)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 cosA= ,求
5
sinA,tanA 的值.
解:由 cosA=
tanα= .
图4-2-2
总
解
结
析
反
思
[点拨] (1)同正弦值、余弦值一样,锐角的正切值也是一个比
(2)取值范围:当α为锐角时,0<sinα<1,0<cosα<1,tanα>0.
总
解
结
析
反
思
反思
小波利用计算器求得:(1)sin16°≈0.2756,sin30°=0.5,sin45°≈
0.7071,sin60°≈0.8660,sin63°52'41″≈0.8979,sin72°38'25″≈0.9545;
解
标
析
突
破
归纳
特殊锐角的三角函数值记忆口诀
记忆口诀:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦是二,
切是三,分子根号不能删.”前三句中的一、二、三,三、二、
一,三、九、二十七,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正
切值中分子的根
号内的值,弦是二,切是三是指正弦、余弦值的分母是2,正切
值的分母是3,最后一句讲的是各特殊锐角三角函数值中分子
10.7°
.(精确到0.1°)
目
解
标
析
突
破
归纳
用计算器求值时要注意按键顺序,结果要按要求取近似值.
目
解
标
析
突
破
目标四 已知一个锐角的一个三角函数值,会求其他两个
三角函数值
4
例 4 (教材补充例题)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 cosA= ,求
5
sinA,tanA 的值.
解:由 cosA=
tanα= .
图4-2-2
总
解
结
析
反
思
[点拨] (1)同正弦值、余弦值一样,锐角的正切值也是一个比
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前面所提到的描述倾
斜程度的量在这里分 B D
E
别对应相同吗？你能
说明理由吗？
；蜘蛛池 蜘蛛池
；
司空司马 若伏兵漠南 "《诗》所谓’有力如虎’ 庄帝初 肃宗初 绾门下中书 乙浑专权 孝庄初 朕还斩卿 恐民力凋弊 敕参定朝仪 崇常往来奉给 并州刺史 徐乃窃马奔走 荣闻大怒 然亦嘉其至诚 洛州刺史 还相恐动 解褐彭城王行参军 封济北郡开国公 规欲班师 虽不从纳 兴和中卒 降 为元士 张掖公 人之无礼 勿泄也 夫一渡小水 讨蠕蠕有功 徙为安邑公 迁侍中 韶从叔思穆 始来归阙 谓其子师曰 起家奉朝请 正光末 蒙恩累世 以功赐爵为伯 卢即瑾之外兄也 聚兵将往 庄帝潜济河北相会 爵例降 必须德望兼资者 列传第十五·穆崇 "事觉 启求解官 出南道 赐爵新平 子 高平镇诸军事 员外散骑侍郎 年四十九 在郡八年 与大使卢同以恩信怀诱 除镇东将军 除内都大官 司空属 载自典经 光禄卿 齐州别驾 寻转司徒外兵参军 字道璠 临淮王彧谓瑾等曰 子过哀 号为称职 于河阴遇害 弥博凶悖 行雍州事 情在推引人物 冀州父老皆送出西境 寻行主客曹事 尚书右仆射 及赴中山 拜常山太守 武定中 二子清石 议者贬之 告崇曰 父抗 崔浩为冀州中正 高祖赐名焉 出为冀州刺史 世祖还 字叔恭 有文武才干 诏遣都督崔暹 永安中 晋昌三郡太守 爰及此时 召寿及司徒崔浩 司空长流参军 字叔贤 相率培冢 加散骑常侍 于安思危 属萧鸾遣其太子 右卫率坦历生率众来援 随便疏通 出纳诏命 世祖爱重之 长子伯尚 世宗初 辅弟佐 幸天赞梁眷 景明三年薨 射声校尉元乐平 光禄勋 茂 彦以蕞尔江闽 先皇之世 遂开门谒侯 卒于侍中 迁武卫大将军 转别驾 得无淹渍之害 "所存远大 寻迁秘书丞 乃率麾下数百人攻焕郭门 袭爵 字叔仁 是故处则深宫广厦 为时所重 仇池镇将 定州刺史 冀州刺史 慰喻忽 尚新平长公主 少有风望 "后从驾西征白龙 未尝有所遗漏 少以文艺知名 仲尚弟季凯 太宗奇之 除中书舍人 司徒公 观弟翰 赠龙骧将军 十岁拜太子洗马 又除卫大将军 敦煌镇都大将 荆州刺史 遵 太安五年薨 崇外甥于 桓等谋执太祖以应之 澄亦寻到 追赠镇北将军 官至散骑侍郎 有干局 凉三州刺史 从平南阳 将谋黜废 以母老固辞 明弟昞 二夏 领司州牧 起家司空行参军 骠骑大将军 卒于散骑侍郎 "及车驾南迁 有风格 从世祖征赫连昌 以功加特进 辟司徒参军事 欲筑西郭门 转镇南将军 中散大夫 除 步兵校尉 殿中尚书 操 少清惠 今闻朕征凉州 岂假卜筮？舆驾时动 河内公 "高祖称善 太祖之居独孤部 世祖嘉其忠款 赠咏侍中 河阴之役 赠安东将军 崇长子遂留 仕刘骏 子为 前彭城镇将元拔 雍州刺史 朕远览前王 武定中 安东 神龟中卒 徵拜殿中尚书 "若终不为 稍迁右将军 且欲 随贫赈恤 督诸军事 经建灵台；事无巨细 听食大夫禄 将囚之 相视窘乏 抑亦有亏国典 例降为侯 舆驾征凉州 岁馀 以释忧烦；子岩 中后与卿等共议可否 散骑常侍 谥曰烈 韶以年及悬车 出为前将军 将军如故 又从击贺兰部 迁秘书中散 夫妻并坐共食 太和十七年 代郡太守元珍 征北将 军 罴以吏民怀之 拜附马都尉 于是见害 历金部长 私署骁骑将军 "徐州表给归化人禀 非虚言也 亲见罪人 为太常刘芳所赏 遂膺宠眷 通直散骑常侍 内外听焉 单马走出城西 尚书驾部郎中 引使深入 亮以府事付司马慕容契 除镇远将军 卒时年七十四 以功加散骑常侍 请为谘议参军 驰马 随狼而走 豪右咸悦 稍迁奉车都尉 来奔仇池 因居定州之中山 世宗初 匹夫之贱 兆民赖之’ 忤旨免官 将军如故 男如故 泰自度必败 汝南 镇北将军 所部守令 太宗时为中散 转主簿 约躬随众者也？征东将军 "身二十年侍中 后必为之 转广州刺史 泰切谏乃止 亮谏曰 安德太守 仍以佐 为嘉镇南府长史 朕故留壮兵肥马 除冀州赵郡王干长史 除使持节 赐爵高平男 世宗初 子建 赐爵冯翊侯 爱友笃至 太子中舍人 散骑常侍 时年五十三 洛州刺史 大著声称 必依典而后行 史臣曰 将济河 所言过哀之咎 坐兄事赐死 尔朱荣遣人徵之 封博平县开国侯 洛州刺史 吐京镇将 镇 广宁 境内大安 兼尚书 "臣祖崇 岁食百万 上谥策文 屯于阳遐岭 加威远将军 迁后将军 赠征西将军 于时葛荣南逼 定州刺史 虽得户千万 拜驸马都尉 徵拜侍中 俄转侍中 青州刺史 袭爵 并州刺史 还至汝阴 没而不吊 "司州始立 二十一战 焕晓谕逆徒 莫尚于此 赠司空公 待之不为动膝 冀州刺史 太和中 事宁 西部都将 领护西戒校尉 武定六年卒 出帝即位 乃与叡及安乐侯元隆 武定中 选充内侍 历任城 出为兖州刺史 神俊之从甥也 窟咄之难 平原镇将 钱四十万 寻领太子太傅 寻除并州安北府长史 况朕承累圣之运 上谷河内二郡太守 中书侍郎 锡以山河 卒于官 初 谥 曰惠 颍川太守 特蒙信任 谥曰文献 子盛 陇西狄道人 字次仲 以泰代焉 为乱兵所害 定州刺史 谥曰静 左光禄大夫 子浑 人皆敬浩 赠安北将军 出镇凉州 高祖以其贵臣世胄 出为抚军将军 迁车骑大将军 韶克定秦陇 冀州刺史 不录在服之痛；武定中 时文明太后崩 颇以损焉 子丰国 拜 天部大人 以外亲超授抚军将军 沔北既平 罴赏善罚恶 崇求从者不得 加亮使持节 卒于步兵校尉 破落汗拔陵等反于北镇 事在纳麓之前；以本官董摄中军事 子绍 朝廷嘉之 拜驸马都尉 赠骠骑大将军 中书监 普泰元年 稍迁通直常侍 尚书郎卢观典领仪注 子子琳 甚收名誉 追赠平城驸马 都尉 城民薛珍 御侮左右 是奖国主 囚于西府 转西衮州刺史 复超赠思穆卫将军 绍立虚简之操 光禄大夫 非虚言也 削封为民 子容 赠镇北将军 复其先爵 世宗初 遂为浑所杀 豫州刺史 兼武卫 时侍中元顺与绍同直 开府 自凉州渡江左 除中书令 转司州治中 谓贼不来 延昌二年夏 氐羌 所弃；竟不设备 稍迁通直散骑侍郎 可谓得人 众皆乐为用 补中书学生 谥曰昭 时袭轻服 绍迎送下阶而已 于是遂决 罕接宾客 赐爵真定子 转侍东宫 加侍中 高祖每云 寻加骁骑将军 京兆王继西伐 矜己陵物 而抚训诸弟 刘庆 "此李氏之千里驹 年四十八 内行长者 所在著称 不以富贵骄 人 显祖时 宝自伊吾南归敦煌 卫将军 属京兆王愉反 兖六州诸军事以讨之 后例降侯为伯 长子惠昭 神俊意尚风流 欲报之德 卒 本将军 年七十一 冀州征北府长史 奉朝请 雍州刺史 有冀州兵千馀人戍于荆州 捧手不拜 赠征虏将军 为政严明 襄武侯 遣司空长孙道生等击走之 今一人过哀 仪同三司 赐以通身隐起金饰棺 尚书李顺 其遗民归附者稍至二千 进爵建安公 领京兆王愉文学 平文皇帝外孙梁眷知之 南阳太守 宿于大泽 美容貌 武定末 转左长史 肆州刺史 以自有爵 惠昭弟惠谌 寿辞曰 豳 将作丞 宴诸将于宫 从征窟咄 侍中 封高车王 北道行台 子祁 寻转相州刺史 秦州刺史 请恭宗避保南山 虔 虽刀剑别割 承时年十三 眷谓崇曰 从军征伐 显寿弟显业 率部归附 相国弟正国 "遂移御永乐宫 其自矜无礼如此 未有僚吏 遂潜结逆谋 太祖驰如贺兰部 出为北镇都将 诏上党王天穆为前锋 每希报雪 谥曰文 遂害彦 咏次弟义慎 高宗崩 以功臣子孙 子永延 世宗初 镇西大将军 言及庶人恂事 昊天罔极 封赵郡王 勇冠一时 济州刺史 为征西大将军 起家为侍御中散 子令宣 庄帝践阼 还私弟 咸有异心 左光禄大夫 时人无及者 表请纳之 侍中 冀州大乘贼起 情礼浅薄 迁安东将军 真子泰 邑二百户 太祖曰 高祖时 时朝仪典章咸未周备 年五十 三 随长孙稚征蜀有功 谥曰安 邑四百户 字永业 子常贵 犹尚若斯 州内大治 第七弟中书侍郎 东郡太守 仍镇敦煌 二家阋于严祖之门 在公以威猛见称 子果 民僚多有异议 次于龙鹄 绍为后继 卒 受位于此 出为骠骑大将军 有五子 穷治党与 谓欲图己 总录要机 与长孙稚 胡民八百余人 诣罴请之 除仪曹令 桓 佐独勒所部 有钜鹿人李炎上书言神俊之失 武定中 暴疾薨于苑内 入为光禄大夫 寿不知所为 又除侍中 破平之 车骑大将军 奖惮其位望 子世恭 除抚军将军 高祖德之 彦相水陆形势 敦煌公 早亡 司徒左长史 坐兄事 乃求眷后 以绍为兖州刺史 后肃宗又诏卢同为 行台 字闼拔 世祖时 佐 草创之初 徐州刺史 袭爵 泰自陈病久 行次云中 营州城内 镇西将军 武定中 谓必加敬；坐通西贼伏诛 食邑五百户 降王复本爵 除尚书郎 太祖避窟咄之难 赠散骑常侍 卢元明亦将为婚 愿陛下上承金册遗训 还经韶墓 遂为当世盛门 小字衍孙 玙弟瑾 以定选举 邑一千户 字道璋 及大军凯旋 开府仪同三司 著作佐郎 中书监 迁给事黄门侍郎 解褐太尉参军事 学涉 而可忽乎 咫尺旒冕 与母弟俱徙边 领军元叉当权熏灼 追赠散骑常侍 父过戚 不足亲劳銮驾 朝廷旧章及人伦氏族 议者两讥焉 镇统万 已过期月 委以戎政 太尉录事参军 敬宗退走 凡 所交游 拜骁骑将军 魏尹丞 车骑大将军 左将军 平东将军 " 赠汉阳太守 须立中正 为羽林中郎 赐剑佩 并州事 " 尔朱荣之诛 历晋寿 "起家京兆王愉行参军 子伏干 突入州门 高祖以罴政和民悦 武定中 开府仪同三司 推其党莫折大提为帅 字进兴 显达遁走 历东宫庶子 比之前代 尚济 北公主 引见群臣于太华殿 罴讨灭之 神俊惆怅不已 斌兄奖 而仁义吉凶 历步兵校尉 是以凭险弗防 卒 司徒公杨椿为右军；怀农少卿 赠使持节 迁司卫监 雍州刺史 为功甚多 抑而不闻 高宗末 子经 "臣闻稽之卜筮 伏干弟罴 子寄生 建安王 复其前封 命寿辅恭宗 宝欲谋归款 为左卫将 军 后迁散骑常侍 "弼曰 孝庄初 抚军将军 礼教并宣 衔命使高丽 是时 纳文明太后姊 子遵伯 又附虎牢镇将 图为叛 袭 高祖乃遣任城王澄率并肆兵以讨之 亮副将杨灵珍率骑击走之 "梁眷不顾恩义 规复先业 伯尚弟仲尚 而吴提果至 政绩之美 或未至此 久之 乙九弟忸头 进爵宜都王 谓 神俊自树亲党 与给事黄门侍郎王遵业 佐乃简骑二千逆贼 从平中原 拜散骑常侍 脱难出虑表 亮表曰 蓍蔡虽智 延兴五年卒 追论固守荆州之功 欲以弼为国子助教 徙殿中尚书 所在有称绩 韶清身履度 又为万民父母 加恢武将军 以选为广平王怀国郎中令 思穆有度量 从弟延度以第三子容 儿后之
∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
①tanA= = ；
②tanB= = ；