定积分二重积分三重积分.
重积分知识点的总结
重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。
例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。
无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。
其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。
这一基本概念在重积分中也是适用的。
2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。
其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。
3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。
在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。
4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。
而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。
在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。
而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。
二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。
它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。
2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。
在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。
3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。
对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。
4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。
但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。
5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。
而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
化繁为简的高等数学微积分解题技巧
�∫ 例 2 计算曲线积分 xdy − 4ydx ， L 为圆 x2 + y2 = 2a x(a > 0) ，沿逆时针方向. L
“现形法”分析：这是第二类曲线积分.直接代入发现比较复杂.要想到利用格林公式. 根 据口诀：积分升级看闭域.
∫ 为 ），就成了曲线积分，变量微分不变（注： dy 和 dx 的本质是一样的）的是第一类， L
变量微分变弧长 ds 的是第二类. 特别地，定积分可作为两. 类. 曲线积分的特殊情形：定积分的积分曲线就是 x 轴.
3.二重积分的微分，将积分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围由 xoy 面的区域（记为 ∫∫ ）变成曲面的一块（记为 ∫∫ ），
∂R
高斯公式拆解法：
∫∫ Rdydz
Σ
=
∫∫∫
Ω
∂z
dxdydz （其它两式同学们自己列），将偏导“看成”
导数我们一样可以像拆解格林公式一样分三段拆解高斯公式.同学们自己做一下. 以上的口诀在具体解题上同样有精彩的运用，请往下看大家就明白了.
实战操练：实际上，做各类积分的过程就是将之化为定积分的过程，其中细节，在下
L1
L2
L3
4
（2）依题分成两个部分.第一个部分是圆弧，圆弧的参数形式的方程为
⎧x=a+a cos
⎨ ⎩
y=asint
t
,
(0
≤
t
≤
π)
，方向逆时针.
第二个部分是 x 轴的一段： (0 ≤ x ≤ 2a) ，方向是 x 轴正向.
∫ ∫ ∫ 因此原式=
2a
x ⋅ 0dx +
π
(a
+
a
cos t)a
sin
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
各类积分的关系
学院：统计与数学学院班级：信息与计算科学学号：902094135导师；毕远宏姓名：贾建慧各类积分之间的关系积分有不定积分、定积分以及二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分等。
我在这里只介绍我们在大学的时候学习过的几类常用积分的关系。
一、不定积分：即已知导数求原函数。
定义1:设函数f与F在区间I上都有定义。
若F′（x）=f(x),x ∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数。
例如，13x3是x2在（—∞，＋∞）上的一个原函数，因为（13x3）＇=x2；又如-12cos2x与-12cos2x+1都是sin2x在（−∞,+∞）上的原函数，因为（-12cos2x）＇=（-12cos2x+1）＇=sin2x.定理8.1可知由于初等函数为连续函数，因此每个初等函数都有原函数（只是初等函数的原函数不一定是初等函数）当然如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数。
定义2:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作f x dx其中∫称为积分号,f x被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。
由定义2可知不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。
所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。
我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
f x dx=f x或d f x dx=f x dx；性质1：ddx性质2：F＇x dx=F x+C或dF x+C；性质3：αf x±βg x dx=αf x dx±βg x dx，α,β为非零常数。
二、定积分:定积分就是求函数f x在区间a,b中图线下包围的面积。
即由 y=0, x=a ,x=b, y=f x所围成图形的面积。
高等数学下册第十章 重积分
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y -型区域
D
:
1(
y) c
x y
2 ( y)
d
y
x 1(y)
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
重积分的计算方法
重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。
我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。
通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。
为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。
着重介绍累次积分的计算与变量代换。
一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。
需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。
积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。
所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。
选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。
（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。
从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。
利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。
于积分区域的多样性。
为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。
（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。
高等数学第十章重积分PPT课件
总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
考研三重积分与一型线面积分笔记
2.dS>0 3.f(x,y,z)是一一个伪三元——f(x,y,z(x,y))
第一一型曲线积分：1.概念2.性质.3.对称性4.计算.5.技巧应用用 1.概念：物理理意义，以f（x，y，z）为线密度的（平面面）空间光滑曲线的质量量 注意 1.第一一型曲线积分是定积分的推广广，定积分定义（积分区域）在“直线段” 而而第一一型曲线积分定义在“曲线段” 2.ds>0，ds具体意义，弧微分。 3.f(x,y)是一一个伪二二元，f(x,y(x)) 2.性质：类比比二二重积分，三重积分（7个，这里里里只写第一一个） ! 求空间曲线的⻓长度（弧⻓长） 3.对称性：普通对称性，轮换对称性 4.计算（牢记：将边界方方程带入入）3种方方法——直接化成定积分，对称性，形心心公式逆用用 直接化成定积分（因其是定积分推广广的）主要是一一投二二代三计算 计算弧微分ds有空间曲线（参数式，对于空间曲线，只能求参数式）与平面面曲线（一一般式，参数式，极 坐标式） 5.技巧应用用： ! 注意将边界方方程带入入被积函数中（因其积分区域为边界） " 普通对称性与轮换对称性 # 形心心公式逆用用 Note：注意，若曲线是空间曲线，则要将其化成参数式，才能用用一一投二二代三计算
先一一后二二投影穿线法，先二二后一一平行行行截面面法（主要适用用于1.如只含有z的f（z）2.截面面为椭圆，圆，三⻆角 形，好求面面积） " 柱坐标 （说白白了了，就是直⻆角坐标的极坐标化）：投影区域极坐标化（先一一后二二投影穿线法） 截面面区域极坐标化 （先二二后一一平行行行截面面法）注意x，y，z的转化，dv的转化，定限注意区分投影区域与截面面区域 # 球坐标： 一一个过程（组合拳），——定三个变量量上下限， 两个记忆——x，y，z的转化与dv的转化 6.技巧应用用 $ 对称性 1.普通对称性与轮换对称性 % 形心心公式逆用用 & 平移变换——将偏心心球化成关于坐标面面对称的标准球 注：1.二二重积分与三重积分的积分区域不不仅是边界还有内部，故无无法把积分区域带入入。 2.直⻆角坐标中先二二后一一平行行行截面面法的适用用于1.如只含有z的f（z）2.截面面为椭圆，圆，三⻆角形，好求面面积 3.柱面面坐标的适用用：1.积分区域为旋转体，如柱体，锥体，旋转抛物体 2.被积函数，出现两个平方方和 （x2+y2） 4.球面面坐标的适用用：1.积分区域为球体，锥体或其一一部分2.被积函数为三个平方方和 5.注意一一个三重积分的常用用公式
三重积分及其计算法
三重积分及其计算法二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。
三重积分的概念设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n 个子域(△V 1),(△V 2),(△V 3),…,(△V n ),它们的体积分别记作△V k (k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点，并作和数如果不论△V k 怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数在域(V)上的三重积分,记作：即：如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。
对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。
直角坐标系中三重积分的计算方法这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。
直角坐标系中三重积分的计算公式为：此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。
例题：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.解答：把I 化为先对z 积分，再对y 和x 积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy 平面上,求出投影域(σ),它就是平面x+y+z=1与xOy 平面的交线和x 轴、y 轴所围成的三角区域.我们为了确定出对z 积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z 的直线,它与(V)上下边界的交点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：柱面坐标系中三重积分的计算法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。
平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，θ=常数：通过z轴的半平面族，z=常数：与z轴垂直的平面族.因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。
高等数学积分学总结
《高等数学》中的积分学总结高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分）、二重积分、三重积分、曲线积分（对弧长、对坐标）、曲面积分（对面积、对坐标）。
一、符号形式1()baI f x dx =⎰；2(,)DI f x y d σ=⎰⎰；3(,,)I f x y z dV Ω=⎰⎰⎰；4(,,)CI f x y z ds =⎰；5CCI F dr Pdx Qdy Rdz ==++⎰⎰；6(,,)I f x y z dS ∑=⎰⎰；7I F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、共同点2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值三、不同点ds功、流量、环量、通量dS流量、通量四、重要联系及公式4.1 Newton-Leibniz 公式：()()()ba f x dx Fb F a =-⎰4.2 Green 公式： 环量—旋度形式：()CDDQ P x y DPdx Qdy rotF kd F kd d σσσ∂∂∂∂+==∇⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰通量—散度形式：()CDDQPx yDPdy Qdx F nd divFd d σσσ∂∂∂∂-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.3 Stokes 公式：()()()CQQRP RP y zz x xy Pdx Qdy Rdz rotF ndS F ndSdydz dzdx dxdy∑∑∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∑++==∇⨯=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.4 Gauss 公式：()QPR x yz Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdVdV∑∑ΩΩ∂∂∂∂∂∂Ω++===∇=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、基本计算方法5.1 定积分方法：凑微分法、换元法、分部积分法 特殊结论：（1）对称性与奇偶性：02(),()()()0,()()aaaf x dx f x f x f x dx f x f x -⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰（2）周期性：0()()a T Taf x dx f x d x +=⎰⎰（3）无界性：(),(),(),()A bb Aaaf x dx f x dx f x dx f x dx -++∞-∞⎰⎰⎰⎰2(,)DI f x y d σ=⎰⎰，其中D 为平面有界区域。
利用投影法选取重积分的上、下限[权威资料]
![利用投影法选取重积分的上、下限[权威资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/19316934dc36a32d7375a417866fb84ae45cc3f5.png)
利用投影法选取重积分的上、下限[摘要]投影法是数学中的化归思想在积分学中直接运用的一种方法。
利用投影法分别选取了定积分、二重积分、三重积分的上、下限，重点讲解重积分上、下限的选取。
此方法学生易于掌握，同时可以缩短学习的时间。
[关键词]投影法；二重积分；三重积分；上限；下限[]O172 []A []2095-3712（2014）13-0093-02[作者简介]郭新（1977―），女，河南濮阳人，硕士，濮阳职业技术学院数学与信息工程系讲师，研究方向：概率论与高等数学教学。
在计算二重积分和三重积分这样的重积分时，一般都是先将它们化成相应的累次积分。
在化的过程中，往往要用到投影法确定积分的上、下限，然后再运用定积分的计算方法来计算。
一、二重积分上、下限的选取在直角坐标系下计算二重积分Df（x，y）dσ的方法在其定义中已经给出，但这种方法计算起来比较麻烦，且有很大的局限性。
所以常用的计算方法是通过化二重积分为两次定积分或累次积分法，在计算中使用投影法可以使计算更加简单。
在计算时把曲项柱体投影在xy平面上，得到平面积分区域D，D即为xy平面上由平面曲线围成的平面区域，故可分为X型与Y型。
Df（x，y）dσX型∫badx∫y2（x）y1（x）f（x，y）dyDf（x，y）dσY型∫dcdy∫φ2（y）φ1（y）f（x，y）dy从中可以看到，二重积分的上、下限实际上是定积分的上、下限与被积函数f（x，y）。
二、三重积分上、下限的选取在直角坐标系下对三重积分进行计算，在将三重积分化为累次积分时，可以使用坐标面投影法和坐标轴投影法，具体方法的使用还要看实际问题的情况，适合哪个方法就用哪个方法。
（一）坐标面投影法如图1，闭区域Ω={（（x，y，z）|z1（x，y）<Z2（X，Y），（X，Y）∈D}，D为XOY平面上的平区域。
区域Ω的特点为：图1 坐标面投影法过任意点（x，y）作一条平行于Z 轴且垂直穿过闭区域Ω的直线，该直线与区域Ω的边界至多有两个交点z1（x，y）和z2（x，y）。
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则
: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
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3. 性质
(1)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
3
2
1
0
o
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
o
( )
L R x
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
为计算此构件的质量, 采用
分割，作和，取极限
n
可得
M
A
k 1
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2.定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
4 r cos
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
4
)
o
x
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
机动
s k
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
) 2 ( k ) t k , 2 ( k
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
lim f ( k , k )sk
0 k 1
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证: 根据定义
n
设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 2 0 R 3 ( sin cos )
3 2 R sin
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例3. 计算
n
( k ,k , k )
f ( x, y , z ) d s f ( k ,k , k )sk 0
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
（k 为常数)
(3)
f ( x, y, z) ds
(由
1
f ( x, y , z ) d s
组成)
2
f ( x, y , z ) d s
( l 为曲线弧 的长度)
机动
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
0 k 1
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因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y ) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
机动
y
2
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Mk sk M k 1
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
f ( k , k )sk L f ( x, y) ds lim 0 k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
2
o
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ds d y dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12