结构力学-超静定结构总论
结构力学 力矩分配法计算超静定结构
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法。两种方法的共同特点都是 要列方程和解联立方程，计算烦琐。而力矩分配法是建立在位移法基础上的一 种渐近解法，计算过程按照重复步骤进行，结果逐渐接近真实解答。它无须解 联立方程而直接计算出杆端弯矩，方法简便，适合手算。适用范围是连续梁和 无侧移刚架的内力计算。
情景二 用力矩分配法计算连续梁 学习能力目标
掌握力矩分配法计算连续梁并绘制弯矩图。
项目表述
运用力矩分配法计算多跨连续梁结构。
学习进程
情景二 用力矩分配法计算连续梁
项目实施
案例 3 – 17 图 3 – 62a 所示为两跨梁，试用力矩分配法求杆端弯矩，并作 M 图。
解答：（1）计算分配系数 同一结点各杆分配系数之和等于 1，把算好的μ 值填在表格 3 – 5中B结点处。 （2）计算固端弯矩（查表 3 – 4） （3）放松刚结点 B 进行力矩分配 （4）计算传递弯矩 （5）计算杆端弯矩 把同一杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加（代数和），即得杆端弯
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
知识链接
加于刚结点 1 的外力矩按分配系数分配给各杆的 1 端（近端），称 其 为分配弯矩。
3．传递系数 C 如图 3 – 60 所示，当外力矩 M 加于结点 1 时，该结点发生转角.1 ， 于是各杆近端和远端都将产生杆端弯矩，这些杆端弯矩值如下
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
解答：① 求分配系数。 ② 锁住结点 B、C，求各杆的固端 M。 ③ 先放松结点 C，按单结点直接把M=150kN.m进行分配、传递，此时 C
暂时平衡，将结果填入表中。求出此时结点B的不平衡力矩。 ④ 再放松结点 B，将（ - MB ）进行分配、传递，此时 B 暂时平衡，而由
结构力学静定结构与超静定结构
结构力学静定结构与超静定结构结构力学是研究结构承受外力后的力学性能的学科，它在建筑、机械、航空航天等领域都扮演着重要的角色。
在结构力学中，我们可以将结构分为两类：静定结构和超静定结构。
静定结构是指在确定边界条件下，结构的所有支反力以及结构内部的应力分布等参数都可以通过静力平衡方程唯一求解出来的结构。
在静定结构中，支反力的计算可以通过平衡方程解决，而应力的计算可以通过弹性力学理论求解。
以简支梁为例，简支梁的两端固定支承，中间用力作用时，通过平衡方程可以求解出支反力。
而根据梁的几何形状和荷载的大小，可以计算出梁内部的应力分布。
在静定结构中，支反力和应力可以通过简单的数学计算求解，因此设计和分析起来相对简单。
而超静定结构则相对复杂一些。
超静定结构是指在确定边界条件下，结构的参数无法通过静力平衡方程唯一求解出来的结构。
这意味着在求解超静定结构时，不仅需要静力平衡方程，还需要考虑结构的变形和材料的本构关系等。
以悬臂梁为例，悬臂梁的一端固定支承，另一端悬空。
在悬臂梁上增加一个附加支承，形成一个超静定结构。
在这种情况下，由于支承力未知，无法通过静力平衡方程唯一求解出来。
因此，我们需要考虑结构的变形情况，并将其作为一个未知数来求解。
在超静定结构中，我们通常采用的方法是引入截面变形理论和力法。
通过假设结构具有一定的变形形态，并利用力法求解出结构的变形、应力和支反力等参数。
通常情况下，超静定结构的计算需要较为复杂的数学方法和计算机仿真。
静定结构和超静定结构在工程实践中都有广泛的应用。
静定结构常常用于桥梁、楼房等普通建筑结构的设计与分析中，因其计算相对简单，容易掌握。
而超静定结构常常用于大跨度的特殊结构的设计与分析中，如悬索桥、曲线梁等。
虽然超静定结构计算较为复杂，但可以提供更多的设计自由度和结构优化的可能性。
总而言之，静定结构和超静定结构都是结构力学中的重要概念。
静定结构是可通过静力平衡方程求解出内部参数的结构，而超静定结构则需要额外的变形理论和力法求解。
结构力学——力法
超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P
0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33
X X X
1 2 3
jg结构力学 力法
33
X 3
图2
31
图3
32 x3=1
1P
三次超静定结构力法方程：
力法典型方程：
11 x1 12 x2 13 x3 1 P 0 21 x1 22 x2 23 x3 2 P 0 31 x1 32 x2 33 x3 3 P 0
东 财
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式中:
11
22
1 1 2 64 ( 4 4) ( 4) EI 2 3 3 EI
1P 1 1 3 640 （ 4 160) ( 4) EI 3 4 EI
x1
基本结构(1)
解：力法方程:
x1 11 x1 12 x2 1 P k 21 x1 22 x2 1 P 0
力法
p
D
k
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力法
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用力法计算超静定结构
第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定概述
一、超静定结构的概念
1、超静定结构的定义 具有几何不变性、而又有多余约束的结构。其反力和内力 只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。 2、超静定结构的特点 （1）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能 完全确定。 （2）除荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均引 起内力。 （3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。 （4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
结构力学第七章计算超静定梁结构力学
(b) A
q X 1
C
"基 本 体 系 "
法中把原超静定结构称为原 (c) A
结构，去掉多余联系后的静
11
B X 1
C
定结构称为基本结构。所去
q
(d)
掉的多余联系，则以相应的
A
B
C
ip
多余未知力X1来代替。
图7-4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为力 法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它代 表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一个主
1P
M1MP ds EI
1[1l(2lFllPl)]
EI 6 2
2 22
5Fl3 48EI
(5) 解力法方程。
X1
1P
11
5F 16
所得正号说明X1的实际方向与假设方向相同。
结构力学第七章计算超静定梁结构力 学
2．求解超静定结构要考虑的条件
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件： （1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）； （3）物理条件。
力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法 是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量,位移法则是 以结点的某些位移作为基本未知量。计算超静定结构除上述 两种方法外,常用的还有力矩分配法、有限单元法等。
力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未 知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方 程，从而求出多余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。
例7-1 用力法计算图7-5(a)所 (a) A
结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析
习 题9-2解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53.05.13145.1347.05.131414=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩-67.0545.9-45.9()()()逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ(b)解：设EI=9，则3,31,1====BE BD BC AB i i i i12.0141333331316.0141333331436.01413333333=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==BC BA BE BD μμμμ结点 A BC杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.216.20 最后弯矩 3.6 7.25.461.2 -73.8()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=4882124432222 m KN l M BC ⋅-=⋅+-=582621892 结点力偶直接分配时不变号结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递0 50 50 5 5 12 最后弯矩103-312(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i73741413145.0141414==⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯==BC CB BC BA μμμμ固端弯矩：mKN M M M m KN M m KN M CDCB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=14021808640080802结点 A BC杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩-80 80 0 0 -140 分配传递-20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82-1.63-1.63-0.820.6 0.45 最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(c) 解：B 、C 为角位移结点51411,5441454414,51411=+==+==+==+=CD CBBC BA μμμμ固端弯矩：mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=10065242003524501252450125241283424646424222222结点 A BCD 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100固端弯矩64 128 -50 50 -200 分配传递15.6 -15.6 -62.4 -31.272.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32-2.32-9.28-4.643.7 0.93 -0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.9796.42(d) 解：11313141413114131414145.0141414=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=DBDE DCCD CA μμμμμ 固端弯矩：mKN M mKN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=383812422 结点 A CD E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递-5 -10 -10 -546/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33- 23/33-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e) 解：当D 发生单位转角时：()()2414-=⨯⨯=m EI K Y C 则()）假设12(441==⨯=-m EI EIM DC73,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点D EB 杆端 DC DA DE ED EB BE 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩0 0 -9 9 0 0 分配传递-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.230.18 0.31 0.16 最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47(f) 解：截取对称结构为研究对象。
结构力学 力法计算超静定结构
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
结构力学-静定结构
dx 2
dx
水平梁,分布荷载向下
a.均布荷载q向上时,弯矩图抛物线的凹向与M 坐标正向一致，
即凹向朝下（因为M 坐标的正方向取向下）；
b.均布荷载q向下时,弯矩图抛物线的凹向与M 坐标正向相反，
即凹向朝上。
即：M图抛物线的凹向与分布荷载箭头指向相反.
8
§3-2 单跨静定梁 3.内力的符号与画法约定
弯矩M
M MM M 材力：
M图画在杆件受拉边，要注明正负号. 结力：M图画在杆件受拉边，不必标正负号.
9
§3-2 单跨静定梁
3.内力的符号与画法约定
剪力Q
Q QQ Q 材力： Q图一般正的画在水平梁上方，负的
画在下方，而且要注明正负号.
结力：使隔离体有顺时针转动趋势为正，反之为负； Q图可画在杆件任一侧，但要注明正负号.
静定结构的受力分析是利用静力平衡方程求结构的支座反力 和内力、绘内力图、分析结构的力学性能。
学习静定结构的过程中应注意以下几点：
1）静定结构与超静定结构的区别（是否需考虑变形条件）；
2）结构力学与材料力学的关系。材料力学研究单根杆件，结 构力学则是研究结构，其方法是将结构拆解为单杆再作计算；
3）受力分析与几何组成分析的关系。几何组成分析是研究如 何将单杆组合成结构——即“如何搭”；受力分析是研究如何 把结构的内力计算拆解为单杆的内力计算——即“如何拆”。
qL2/8是沿垂直于梁轴线方向
B 量取（不是垂直于MAMB的
连线）。
12
§3-2 单跨静定梁
例2： MA
A
MA
P L/2 L/2
P
4.（区段）叠加法作弯矩图
MB 结论:
B
把两头的弯矩标在
结构力学(I)-结构静力分析篇
受力明确
静定结构的内力分布和支座反力 可唯一确定，与结构刚度无关。
各类静定结构的受力性能比较
01
02
03
04
梁式结构
主要承受弯矩和剪力，适用于 较小跨度的桥梁、房屋等建筑 。
拱式结构
在竖向荷载作用下会产生水平 推力，适用于承受较大荷载的 大跨度建筑。
刚架结构
由梁和柱刚性连接而成，整体 刚度大，适用于工业厂房、仓 库等建筑。
间接荷载作用下的影响线
01
间接荷载定义
指通过其他构件传递到目标构件上的荷载，如楼面活荷载、风荷载等。
02
作图方法
首先确定间接荷载的作用位置和大小，然后根据结构静力学原理求解出
目标构件上的内力或位移表达式，最后在坐标系中绘制出影响线图形。
03
注意事项
在考虑间接荷载作用时，需要充分了解荷载的传递路径和分配方式，以
用静力法作单跨静定梁的影响线
静力法基本原理
利用结构静力学原理，通过平衡方程求解出结构上某一点在移动荷 载作用下的内力或位移表达式。
作图步骤
首先确定荷载作用位置和大小，然后根据平衡方程求解出内力或位 移表达式，最后在坐标系中绘制出影响线图形。
注意事项
在作图过程中，需要保证荷载作用位置和大小的准确性，同时要注意 内力或位移表达式的正确性和完整性。
三铰拱
拱的受力特点
三铰拱是一种具有水平推 力的结构，其内力分布与 荷载类型、矢高和跨度有 关。
内力计算
采用截面法求解三铰拱的 弯矩、剪力和轴力，注意 水平推力的影响。
稳定性分析
三铰拱在受到荷载作用时， 需考虑其稳定性问题，如 失稳形态和临界荷载等。
静定平面桁架
桁架的受力特点
结构力学第六章
超静定结构
Analysis of Statically Indeterminate Structures
概述
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何特征:有多余约束的几何不变体系。 静力特征:仅由静力平衡方程不能求出 所有内力和反力。
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、 平衡”三大关系。
3
X1 1
M 1 m
6
6
1P
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4)、 解方程
135X 1 144 X 2 520 0.......... ....2
207 X 1 135X 2 702 0.......... .....1
X 1 2.67k N X 2 1.11k N
5)、内力
M M1 X1 M 2 X 2 M P
4.33 1.33 5.66 3.56
M kN m
2 2.67
1.11
3.33 3.33
3.33
1.9
1.11
1.9
2.67
FQ k N
FN k N
2. 排架
X2
X1
X2
X1
比较法: 与相近的静定结构 相比, 比静定结构 多几个约束即为几 次超静定结构。
多余约束的位置不固定
去掉几个约束后成 为静定结构,则为 几次超静定 X1 X2 X3 X3 去掉一个链杆或 切断一个链杆相 当于去掉一个约 束
X1
X2
X1
X2
X3
X1
X2
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(超静定结构总论)【圣才出品】
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图 12-12
实际结构
基本体系
图 12-8
1．分区混合法的基本未知量和基本体系
a 区：多余约束少，结点位秱多的部分——用力法分析，基本体系去除多余约束；
b 区：多余约束多，结点位秱少的部分——用位秱法分析，基本体系中附加约束。
2．混合法的基本方程（发形协调条件和平衡方程）
3．基本方程中的四类系数和两类自由项
图 12-9
代入方程组，解得： 叠加法绘制弨矩图
图 12-10 4．分区混合法的典型方程：
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是 a 区不力 X 相应的柔度矩阵； K 是 b 区不位秱 相应的刚度矩阵；
' 是由位秱 引起的沿力 X 方向的位秱影响系数矩阵；
图 12-6
代入方程得； 利用弨矩叠加公式：
绘制弨矩图
图 12-7
二、分区混合法 混合法是指，在所叏的基本未知量中，即有位秱又有力，二者混杂在一起。混合法有两 种应用方式：分区混合法和全区混合法，这里只介绍前者。以图 12-8 为例迚行分析。
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主系数11 ——此即力法中的柔度系数；
主系数 k 22 ——此即位秱法中的刚度系数；
副系数
' 12
——单位位秱
1
1 引起的位秱；
副系数 k1'2 ——单位位秱 X1 1 引起的约束力。
系数和自由项的求法：
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结构力学【王焕定】1.超静定结构-力法基本原理
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 a
其中1 , 2 , 3 为由于支座移动所产生的位移, 即 i FRici
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
1 ( Δbl )1Δ、bl Δ,2Δ、2Δ 3Δ等(于bl )多 少bl？, 3 0 δ
EI
力法典型方程为：
FP
基
本
体
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
系
21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
单位和荷载弯矩图 Mi , MP 为：
FP
FPab l
由于
M
3
0,
FQ3 0
FN1 FN2 FNP 0
h2 2EI
hl 2EI
问题：如何建立如下基本结构的典型方程？
X3 X1 X2
基本体系2
X3 X1 X2
基本体系3
X3 X1 X2
i i
基本体系2
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 b 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 a 31 X1 32 X 2 33 X 3 3
所以
13 31 23 32 3P 0
又由于
33
M 32ds EI
FN23ds EA
M P图
k
FQ23ds GA
l EA
0
于是有
X3 0
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力
典型方程改写为
11 X1 21 X1
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(超静定结构总论)【圣才出品】
第10章超静定结构总论10.1 复习笔记本章对超静定结构的相关知识进行了归纳总结。
主要探讨了超静定结构在不同因素影响下的受力特性，归纳了超静力影响线的绘制步骤。
较之静定结构，超静定结构的“超”主要表现在三个方面：①多余约束从无到有；②自内力状态从无到有；③刚度参数对内力的影响从无到有。
一、超静定结构的受力特性通常以力法的基本原理为指导，采用静定与超静定相比较的方法，探讨超静定结构在不同因素影响下的受力特性，具体分析见表10-1-1。
表10-1-1 各因素对超静定结构与静定结构受力特性影响的比较二、超静定力的影响线表10-1-2 超静定力的影响线表10-1-3 静定结构与超静定结构影响线解法对比10.2 课后习题详解10-1 试选择图10-2-1所示各结构的计算方法，并作M图。
图10-2-1解：（a）图10-2-1（a）中荷载可分解为一对正对称荷载与一对反对称荷载。
取正对称荷载下半边分析为二次超静定结构，取其基础结构如图10-2-2所示。
图10-2-2分别作M1、M2、M P图如图10-2-3、10-2-4和10-2-5所示。
图10-2-3 M1图图10-2-4 M2图图10-2-5 M P图所以δ11＝2h3/（3EI），δ12＝δ21＝5h2/（16EI），δ22＝7h/（3EI）Δ1P＝－F P h3/（3EI），Δ2P＝－F P h2/（12EI）由力法方程解得结构无弯矩。
取反对称荷载分析，取半边结构如图10-2-6所示。
图10-2-6图10-2-6所示为静定结构，中间杆为附属结构，对最下侧约束分析可得最上侧约束反力为2F P h/l。
先画弯矩图，如图10-2-7所示，再画整体结构弯矩图，如图10-2-8所示。
图10-2-7图10-2-8 M图（b）图10-2-1（b）所示为对称结构且施加对称荷载，取1/4结构如图10-2-9所示。
图10-2-9图10-2-9所示为有一个多余约束的几何不变体系。
结构力学 力法 超静定次数的确定
1 0
变形条件
在变形条件成立条件下,基本体系的内力和 位移与原结构等价.
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00:19
§7-3 力法的基本概念
A B
结构力学
基本结构（悬臂梁）
超静定结构计算
基本结构
静定结构计算
对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。
A
q
△ 11
B
△1P
A
B
X1
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§7-3 力法的基本概念
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§7-1 超静定结构概述
思考：多余约束是多余的吗？
结构力学
从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。
q q B l
A
q 8 l2
A
A C
0.5l 0.5l
2
B
B
A
ql
2
ql 32
C
B
ql
2
64
64
超静定结构的优点为: 1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强
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结构力学
在荷载作用下B 点产生向下的位移为⊿1P, 未知力 的作用将使B点产生的向上的位移为⊿1X 。 要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的 位移也与原结构一样，要求： 位移协调条件Δ1=Δ1X+Δ1P=0 (a)
静定悬臂刚架
静定三铰刚架
（5）去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1) 个约束。 （6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1) 个约束。
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(kN.m)
QBE=0.4×25=10kN
17 / 22
18
13.5
第十四章 超静定结构总论
第六节 超静定结构特性
1、多余约束的影响
超静定结构是有多余约束的几何不变体系。因此， 超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还 必须考虑变形条件； 如在力法计算中，多余未知力由力
法方程（变形条件）计算。再由 M =∑MiXi+MP 叠加内
分层计算的结果，在刚结点上弯矩是不平衡的，但一般 误差不大。如有必要，可对结点的不平衡力矩再进行一次分 配。
14 / 22
第十四章 超静定结构总论 第三节 近似法
2、反弯点法
水平荷载作用下，不但不能忽略侧移的影响，而且荷载 的影响也不局限在本层。
反弯点法是多跨多层刚架在水平结点荷载作用下最常用 的近似方法，其基本假定是把刚架中的横梁简化为刚性梁。 对于强梁弱柱的情况最为适宜。
第十四章
EI P
1超1Pl静3 定结构总论
960EI
Pcr
= π 2EI (μl)2
EI
EI
P
3Pl/40
P 3Pl/40
P
7Pl/40 P
Pl 3
48EI
P
Pl/4
l l/2 l/2 l
μ=1
多余约束约束的存在，使结构的 强度、刚度、稳定性都有所提高。
l
μ=1/2
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第十四章 超静定结构总论
2、最适宜的解法选用
手算时，凡是多余约束多结点位移少的结构用位移法； 反之用力法。一般情况下，对于不同的结构，可按下表 选用最适宜的方法。，要求计算过程的程序化和自动 化，并采用矩阵的形式。解算大型的问题。
6 / 22
第十四章 超静定结构总论 第二节 联合法
对于一个超静定结构的求解问题，可以将其分解为几个 子问题，对每个子问题采用最适宜的方法，这种联合求 解问题的方法，常可收到各取所长的效果。 力法与力矩分配法的联合应用； 位移法与力矩分配法的联合应用； 位移法与剪力分配法的联合应用； 力法与位移法的联合应用。 对于不同的问题，可采用不同的联合应用方法。
为说明第二个假设的正确性，来分析某层的竖向荷载对其 它各层的影响。首先，荷载在本层结点产生的不平衡力矩，经 过分配和传递，才影响到本层柱的远端。然后，在柱的远端再 经过分配，才影响相邻的楼层。这里经过了“分配——传递— —分配”三道运算，余下的影响已经很小，因而可以忽略。
在各个分层刚架中，柱的远端都假设为固定端，除底层柱 底外，其余各柱的远端并不是固定端，而是弹性约束端。为了 反映这个特点，在各个分层刚架中，可将上层各柱的线刚度乘 以折减系数0.9，传递系数改为0.5。
结构力学
第十四章 超静定结构总论
学习内容
超静定结构计算方法的分类、比较及其联合应用。 用联合法和近似法计算超静定结构。 超静定结构的特性。
学习目的和要求
目的：本章的目的是对超静定结构问题加以综述，从
计算方法和结构性能两个方面，进行融会贯通
的总结和适当的引申和提高。
要求：能对超静定结构的一些计算方法进行分类和比
由M=M1X1+ MP绘制弯图。8 / 22
第十四章 超静定结构总论
2、位移法与力矩分配法的联合应用
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 4I B
5I C
3I
3I
E
4I D 20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 4I B
5I C
取无侧移的结构为 F 位移法基本体系
3I
3I
E
MP
k11Z1 + R1P = 0 由力矩分配法画MP求R1P
（与力法等价）和势能法（与位移法等价）。
3）从所采用的计算手段来看，计算方法分为两类：
手算怕繁只能解决小型问题，但结构力学的基本概念、原理
和方法是靠手算来理解和掌握的。
电算怕乱，要求计算过程的程序化和自动化，并采用矩阵的
形式。解算大型的问题。
4 / 22
第十四章 超静定结构总论 第一节 解法分类与比较
16 / 22
例题： 用反弯点法计算图示结构,并画弯矩图.
G 第十四H 章 超静I 定结解构:设总柱的论反弯点在中间.
3.6m 3.3m
8kN
12
15
②
③
②
D
E
F
1)求μ
顶层:
μGD
= μ IF
=
2 =0.288, 2+3+2
17kN
1
μ EH
=
3 2+3+2
= 0.428
A 3.6m B 4.5m C
12 / 22
第十四章 超静定结构总论 第三节 近似法
1、分层法
分层法适用于多跨多层刚架在竖向荷载作用时的情况，
采用两个近似假定： 1）忽略侧移的影响，
用力矩分配法计算. 2）忽略每层梁的竖向
荷载对其它各层的 影响，把多层刚架 分解成一层一层地 单独计算。
13 / 22
第十四章 超静定结构总论
第三节 近似法
10 / 22
第十四章 超静定结构总论
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
8m
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4m 4m
4、位移法与剪力分配法的联合应用
A
B
A
B 96
EI=∞
80
EI=∞
R
i
i
位移法求R
i M图 i
C
D
(kN.M)
80
C
D
128
J AC
=
3i l2
,
J
96 BD =
12i l2
∑ QAC
=
1、计算方法分类
静力法和能量法本质上是一样的，只是表现形式不同。 求精确解时两者解答完全相同。但在求近似解时能量法 优于静力法，这是因为在能量法中把问题归结为极小值 问题或驻值问题，最便于求近似解。在结构的稳定和动 力计算中，将会看到能量法的这一优点。
5 / 22
第十四章 超静定结构总论 第一节 解法分类与比较
第三节 超静定结构特性
2、各杆刚度的改变对内力分布的影响 在静定结构中改变各杆刚度，结构内力分布没有任何改
变。而超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特 征有关，即与刚度有关。
荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关，与其绝对大小 无关。因此，荷载作用下的内力计算，可使用相对刚度。
这是因为在力法方程中，系数和自由项都与刚度有关。 如果各杆刚度的比值有改变，各系数与自由项之间的比值也 随之而变。因此内力分布也改变。 如果杆件的刚度比值不 变，而是按同一比例增减，各系数与自由项之间的比值不 变。因此内力分布也不改变。 在设计超静定结构时须事先 假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截 面。 另外，也可以通过调整各杆刚度比值达到调整内力。 20 / 22
工程实践应用： 1）设计结构要注意防止、消除或减轻自内力的影响。（设
置沉降缝、温度缝） 2）利用自内力来调节超静定结构的内力。（预应力结构）
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力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩 图，Xi是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来 说，超静定结构有无穷多组解答。
（1）超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有 较高的防御能力。
（2）超静定结构的整体性好，内力较均匀且峰值小。 （3）超静定结构具有较强的刚度和稳定性。
18 / 22
F
A 4I B
5I C
由M=M1X1+ MP绘制弯图。
3I
M
3I
E
可用力矩分配法画M求k11
F
R1P
4I D
Z=1 4I D k11
9 / 22
第十四章 超静定结构总论
3、位移法与力法的联合应用
P
P/2 P/2
P/2 P/2
对称问题
P/2
对称问题 按位移法 或力矩分 配法计算
反对称问题
P/2
反对称问 题按力法 或无剪切 分配法求
1、计算方法分类
1） 从所需取的基本未知量的性质来看，计算方法分为两类： 以力 法为代表——以多余未知力作为基本未知量。 以位移法为代表——以结点位移作为基本未知量。
2） 从基本方程表达的形式来看，计算方法分为两类： 静力法：所列的方程都表示成平衡方程、几何方程、物理方
程等形式，如通常的力法和位移法。 能量法：所列的方程都表示成能量方程的形式，如余能法
I1
80
I2
I2
I1=1.5I2
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第十四章 超静定结构总论 第三节 超静定结构特性
3、温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素对超 静定结构会产生内力。(自内力状态)
∑δijXi+ΔiC+Δit=0 i = 1，2，… n δij与各杆刚度成反比， ΔiC 、Δit与刚度无关。
一般情况下，非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值成 反比。 因此,为了提高结构对温度改变和支座移动等因素的 抵抗能力，增大结构截面尺寸，不是明智的选择。
J AC J
P=
P = 6kN 5
R
6
96
用剪力分 配法计算 24
∑ QBD
=
J BD J
P = 4P 5
= 24kN
48
96
11 / 22
第十四章 超静定结构总论 第三节 近似法
用精确法计算多跨多层刚架，常有大量的计算工作，如 不借助于计算机往往无法计算。如果在计算中忽略一些 次要影响，则可得到各种近似法。近似法以较小的工作 量，取得较为粗略的解答，可用于结构的初步设计，也 可用于对计算结果的合理性进行判断。