2020年高考数学试题分类汇编平面向量

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2020年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)

2020年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 2．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6) 答案 A解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →答案 A解析如图所示，∵D 为△ABC 的边AB 的中点， ∴CA →＋CB →＝2CD →， ∴CB →＝2CD →－CA →.4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 答案 D解析由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案 A解析建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点A ，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C 为(x ，y )，则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆．二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案22解析由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．答案185或0解析方法一 ∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.由向量系数m ＋⎝⎛⎭⎫32－m ＝32为常数，结合等和线定理可知|P A →||PD →|＝321. 故PD ＝23P A ＝6，AD ＝P A －PD ＝3＝AC ，当D 与C 重合时，CD ＝0；当D 与C 不重合时，得∠ACD ＝∠ADC ， ∴∠CAD ＝π－2∠ACD .在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝35.在△ADC 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin ∠ACD，∴CD ＝sin (π－2∠ACD )sin ∠ACD ·AD ＝sin 2∠ACDsin ∠ACD ·AD＝2cos ∠ACD ·AD ＝2×35×3＝185.综上，CD ＝185或0.方法二如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (0,3)，B (4,0)，AC →＝(0,3)，CB →＝(4，－3)．∵P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →＝32PC →＋m (PB →－PC →)＝32(P A →＋AC →)＋mCB →＝32P A →＋32AC →＋mCB →， ∴－12P A →＝32(0,3)＋m (4，－3)＝⎝⎛⎭⎫4m ，92－3m ， ∴P A →＝(－8m,6m －9)．∵|P A →|＝9，∴64m 2＋(6m －9)2＝81， ∴m ＝2725或m ＝0，当m ＝2725时，P A →＝⎝⎛⎭⎫－21625，－6325， ∴P ⎝⎛⎭⎫21625，6325，∴k P A ＝63216＝724.由⎩⎨⎧y ＝724x ，x 4＋y3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝7225，y ＝2125，∴D ⎝⎛⎭⎫7225，2125， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫0－72252＋⎝⎛⎭⎫3－21252＝8 100252＝9025＝185. 当m ＝0时，P A →＝(0，－9)， ∴P (0,9)，此时C 与D 重合，CD ＝0. 综上，CD ＝185或0.6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．答案2829解析设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5) ＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5 ＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829.7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.。

2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)

在 △ ABC 中， AC＝ 1，∠ ABC＝ 60°.
根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．
作 △ ABC 的外接圆，当 BC 为圆的直径时， |a|最大，
8
此时 |a|＝BC ＝ 1 ＝2 3 ； sin 60 ° 3
当 B， C 无限接近时， |a|＝ BC→0.
故 |a|的取值范围是
23 0,
3
A．9
B．3
C. 109
D． 3 10
【解析】向量 a＝ (2，－ 4)， b＝ (－ 3， x)， c＝ (1，－ 1)，∴ 2a＋b＝ (1， x－ 8)，
由 (2a＋ b)⊥ c，可得 1＋8－ x＝ 0，解得 x＝9.则 |b|＝－ 3 2＋ 92＝ 3 10.故选 D.
【答案】 B
如图，设 M (－ 1， 3)，则 O→A＋ O→B＝O→M ，取 N(1，－ 3)，
∴ O→M＝－ O→N.由 |C→D |＝ 1，可知点 D 在以 C 为圆心，半径 r ＝ 1 的圆上， ∴ O→A＋ O→B＋O→D ＝ O→D －O→N＝ N→D ，
∴ |O→A＋
O→B＋
O→D
|＝
→ |ND
|，∴
D． [ 7－ 1， 7＋ 1]
【解析】法一：设出点 D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求
7
解．
设 D(x， y)，则由 |C→D |＝1， C(3,0)，得 (x－ 3)2＋ y2＝ 1.
又∵ O→A＋ O→B＋ O→D ＝ (x－ 1，y＋ 3) ，
∴ |O→A＋ O→B＋ O→D |＝ x－ 1 2＋ y＋ 3 2.
B．2 3
C．2
D．－ 3
( ) 【解析】

2020高考真题汇编7：平面向量(文)

A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
2．答案：A
解析：设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
2020高考真题汇编7：平面向量
一、选择题
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()
A．a+2bB．2a+bC．a–2bD．2a–b
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为()
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．
8．【2020年高考江苏】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是____________．
参考答案
1．答案：D
解析：由已知可得： .
故答案为：0或 .
7．答案：
解析：，，
，
.
故答案为： .
8．答案：
解析：∵ 三点共线，
∴可设，
∵ ，
∴ ，即，
若且，则三点共线，，
设，，则， .
∴根据余弦定理可得，
，
∵ ，
∴ ，解得，
∴ 的长度为 .
当时，，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

2020年全国高考数学试题分类汇编4-平面向量-含详细答案

2020年全国高考数学试题分类汇编平面向量一、选择题1. 设a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A. (−53,0)∪(0,+∞) B. (−53,+∞) C. [−53,0)∪(0,+∞)D. (−53,0)2. △ABC 中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 103. 已知M(3,−2)，N(−5,−1)，且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为( ) A. (−8,1)B. (−1,−32)C. (1,32)D. (8,−1)4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(2,4)，则“a ⃗ =(−1,−2)”是“a ⃗ //b ⃗ ”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34B. 14C. −14D. −346. 在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,k)，则实数k =( ) A. −6 B. 4 C. 2D. 237. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，则下列结论正确的是( )A. |b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b⃗ =1 D. (4a ⃗ +b⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 89. 设a ⃗ ，b ⃗ 是向量，则“|a ⃗ |=|b ⃗ |”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，且c ⃗ ⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°11. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( )A. 12B. √22 C. √32D. 112. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3 B. 2 C. 3 D. 413. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 614. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设点A,B,C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是锐角”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 已知向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，则2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)17. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2√3B. √32 C. √33D. √318. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，则“”是“a ⃗ ⊥b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题20. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且a ⃗ =(−2,−6)，|b ⃗ |=√10，则a ⃗ ·b ⃗ =______． 21. 已知向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 22. 设向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(m +1,2m −4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 23. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为45°，k a ⃗ −b⃗ 与a ⃗ 垂直，则k =______． 24. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______． 25. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，则|b ⃗ |=________．26. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R)，则m −n 的值为______． 27. 设向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m).若a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，则m =______． 28. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，则实数λ=________． 29. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．30. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b ⃗ =0⃗ (λ∈R)，则|λ|= ______ ． 31. 若P(x,y)满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，设A(3,−4)，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为______． 32. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 33. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．34. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )的值为______．35. 平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =______．三、解答题36. 已知平面向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2x +3,−x)(x ∈R)．(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求x 的值；(2)若a ⃗ //b⃗ ，求|a ⃗ −b ⃗ |．37. 已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．(Ⅰ)求W 的方程；(Ⅱ)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．38. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量的夹角问题，属于简单题．由题意，a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )的数量积大于0，且排除同向的情况即可得．【解答】解：由已知得a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )>0且去掉a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同的情况， a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)=3λ+5>0，解出λ>−53，当a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同时λ=0，所以λ>−53且λ≠0，故选A ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目．根据平面向量的坐标表示与数量积运算，计算即可．【解答】解：△ABC 中，A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×3+3×5=9．故选C ．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．设点P 的坐标为(x,y)，则由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)，解方程求得x 、y 的值，即可求得点P 的坐标．【解答】解：设点P 的坐标为(x,y)，则由 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)=(−4,12)， ∴x −3=−4，y +2=12．解得x =−1，y =−32， ∴点P 的坐标为(−1,−32)，故选B ．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．通过向量共线的充要条件利用充分必要条件的定义求解．【解答】解：由a ⃗ =(−1,−2)，则b ⃗ =−2a ⃗ ，显然a ⃗ //b ⃗ 成立，故充分性具备．反之，若a ⃗ //b ⃗ ，则b ⃗ =λa ⃗ ，设a ⃗ =(x,y)，则必有{2=λx,4=λy,所以y =2x ，① 又x 2+y 2=5，② 由①②得{x =1,y =2或{x =−1,y =−2.则a⃗ =(1,2)或a ⃗ =(−1,−2)，故必要性不具备．因而是充分不必要条件．故选A ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x 轴的直线方程，将直线方程代入y 2=2x 求得y 的值，即可求出OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】解：y 2=2x 的焦点坐标是(12,0)，则过焦点且垂直x 轴的直线是x =12，代入y 2=2x 得y =±1，所以不妨设M(12,1)，N(12,−1)故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)·(12,−1)=14−1=−34．故选D ．6.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)；据题意知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+k −1=0； ∴k =4．故选：B ．可得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)，而根据题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出k ．考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．7.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b ⃗ 的方向应该为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向．所以a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2×cos120°=−1，4a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1×2×cos120°=−4，b ⃗ 2=4，所以4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，即(4a⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即(4a ⃗ +b ⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(4a ⃗ +b ⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；故选：D ．由题意，知道a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知三角形为等边三角形解之．本题考查了向量的数量积公式的运用及向量的模；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(3,−2)，∴a⃗+b⃗ =(4,m−2)，又∵(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+b⃗ )·b⃗ =12−2(m−2)=0，解得m=8．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．根据|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |⇔a⃗·b⃗ =0，从而可以判断“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．【解答】解：因为|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，则a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =a⃗2+b⃗ 2−2a⃗·b⃗ ，即a⃗·b⃗ =0，由|a⃗|=|b⃗ |⇏a⃗·b⃗ =0，a⃗·b⃗ =0⇏|a⃗|=|b⃗ |，故“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量垂直的条件，是基础题．根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， ∵c ⃗ ⊥a ⃗ ，c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，则|a ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cosθ=0， ∴cosθ=−|a ⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=−12，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°．故选C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．属于基础题．根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．【解答】解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，=√2−2cos600=1．故选D ．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．【解答】在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3．故选：C ．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．根据图形得出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9 故选：C ．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0.而非零向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，但m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立．则答案可得．【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0．反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，而m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立． ∴m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的充分不必要条件．故选A ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】解：点A ，B ，C 不共线，若“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0， |AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角， ∴“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件．故选C ．16.【答案】A【解析】解：由a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，得： 2a ⃗ −b ⃗ =2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．故选：A ．直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．17.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及向量加法法则的运用，属于中档题．由向量的加法结合AD ⊥AB 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此可求解．【解答】解：由题意可得，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3，故选D ．18.【答案】A【解析】【分析】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义，属于中档题．由a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |便可得到a ⃗ ,b ⃗ 夹角为0，从而得到a ⃗ //b ⃗ ，而a ⃗ //b ⃗ 并不能得到a ⃗ 夹角为0，从而得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |时，cos <a ⃗ ,b ⃗ >=1； ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=0； ∴a ⃗ //b ⃗ ；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分条件； (2)a ⃗ //b ⃗ 时，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为0或π； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，或−|a ⃗ ||b ⃗ |；即a ⃗ //b ⃗ 得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”不是“a ⃗ //b ⃗ ”的必要条件；∴总上可得“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分不必要条件．故选：A ．19.【答案】C【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量垂直的判断，属于中档题．根据题意，分别验证充分条件、必要条件即可．【解答】解：若“|a ⃗ −3b ⃗ |=|3a ⃗ +b ⃗ |”，则|a ⃗ |2+9|b ⃗ |2−6a ⃗ ·b ⃗ =9|a ⃗|2+|b ⃗ |2+6a ⃗ ·b ⃗ ，又∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，即|a⃗ |=|b ⃗ |=1，∴a⃗·b⃗ =0，即a⃗⊥b⃗ ，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的充分条件；若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，a⃗，b⃗ 均为单位向量，即|a⃗|=|b⃗ |=1，∵|a⃗−3b⃗ |2=|a⃗|2+9|b⃗ |2−6a⃗·b⃗ =1+9×1−6×0=10，|3a⃗+b⃗ |2=9|a⃗|2+|b⃗ |2+6a⃗·b⃗ =9×1+1+6×0=10，∴|a⃗−3b⃗ |2=|3a⃗+b⃗ |2，则|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的必要条件；综上，则“”是“a⃗⊥b⃗ ”的充要条件，故选C．20.【答案】10【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出即可．【解答】解：∵a⃗=(−2,−6)，∴|a⃗|=√(−2)2+(−6)2=2√10，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >．故答案为10．21.【答案】8【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．a⃗⊥b⃗ 则a⃗⋅b⃗ =0，代入a⃗，b⃗ ，解方程即可．【解答】解：由向量a⃗=(−4,3)，b⃗ =(6,m)，且a⃗⊥b⃗ ，得a⃗⋅b⃗ =−24+3m=0，∴m=8．故答案为8．22.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．23.【答案】√22【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 为单位向量，且a⃗，b⃗ 的夹角为45°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos45°=1×1×√22=√22，又k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，∴(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ =0，即k−√22=0，则k=√22．故答案为：√22．由已知求得a⃗⋅b⃗ ，再由k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，可得(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，展开即可求得k值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．24.【答案】π3【解析】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，平面向量a⃗，b⃗ ，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，可得1×2×cosθ=1，可得cosθ=12，所以θ=π3．故答案为：π3．直接利用向量的数量积列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．25.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积，属于基础的计算题，|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°即得9+|b ⃗|2−3|b ⃗ |=13，即可解得|b ⃗ |，【解答】解：因为|a ⃗ +b ⃗ |=√13，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°，所以9+|b ⃗ |2−3|b ⃗ |=13，解得|b ⃗ |=4，故答案为4．26.【答案】−3【解析】解：向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8) 可得{2m +n =9m −2n =−8，解得m =2，n =5，∴m −n =−3．故答案为：−3．直接利用向量的坐标运算，求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．27.【答案】−1【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．【解答】解：向量a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m)． m a ⃗ −b ⃗ =(m +1,−m)． ∵a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，∴m+1=0，解得m=−1．故答案为−1．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：∵向量a⃗，b⃗ 不平行，向量λa⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，∴λa⃗+b⃗ =t(a⃗+2b⃗ )=t a⃗+2t b⃗ ，∴{λ=t1=2t，解得实数λ=12．故答案为12．29.【答案】π6【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，属于基础题．根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案，【解答】解：∵向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(√3,1)，∴a⃗与b⃗ 夹角θ满足，cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√32×2=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6，故答案为π6．30.【答案】√5【解析】解：设a⃗=(x,y)．∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(2,1)，且λa⃗+b⃗ =0⃗(λ∈R)，∴λa ⃗ +b ⃗ =λ(x,y)+(2,1)=(λx +2,λy +1)， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2=5．解得|λ|=√5．故答案为：√5．设a ⃗ =(x,y).由于向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b⃗ =0⃗ (λ∈R)，可得{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，解出即可．本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．31.【答案】−15【解析】【分析】本题考查线性规划中的最值问题，向量的投影，属于中档题．根据题意，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，数形结合，进行求解即可．【解答】解：∵P(x,y)，A(3,−4)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，设z =3x −4y ，得y =34x −z4，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线y =34x −z4，由图象可知，当直线y =34x −z4经过点B(1,1)时，直线y =34x −z4的截距最大，此时z 取得最小值，所以z min =3−4=−1，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为−15．故答案为−15．32.【答案】2【解析】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+0−0−12×4=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．33.【答案】√2+√3【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，由此可求最大值．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=12，即有∠AOB =60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线l:x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心到线段AB中点M的距离d=√32，圆心到直线l的距离d′=√2=√22，∴M到直线l的距离的最大值为d+d′=√32+√22，即11√222√2的最大值为√2+√3，故答案为：√2+√3．34.【答案】0【解析】解：由题意知b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．由向量数量积公式进行计算即可．本题考查向量数量积运算公式．35.【答案】2【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(4,2)，c⃗=m a⃗+b⃗ (m∈R)，∴c⃗=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)．∴c⃗⋅a⃗=m+4+2(2m+2)=5m+8，c⃗⋅b⃗ =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20．|a⃗|=√5，|b⃗ |=√42+22=2√5．∵c⃗与a⃗的夹角等于c⃗与b⃗ 的夹角，∴c⃗ ⋅a⃗|c⃗ | |a⃗ |=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ | |b⃗|，∴√5=2√5，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．36.【答案】解：(1)由a⃗⊥b⃗ 得，2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b⃗ |=√22+(−4)2=2√5．【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件． (1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．37.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22−y 22=1(x >0)(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得：(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{ Δ=4k 2b 2−4(1−k 2)⋅(−b 2−2)>0x 1+x 2=2kb1−k 2>0x 1x 2=b 2+2k 2−1>0, 解得|k|>1又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2 =2k 2+2k 2−1=2+4k 2−1>2 综上可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2．【解析】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． (Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0.依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 38.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2，由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设过点(0,1)的直线l 的方程为y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0， ∴Δ=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0，解得k <1，且k ≠0，则x 1+x 2=−2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点(1,−2)，即k ≠−3，故直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3)∪(−3,0)∪(0,1)； (Ⅱ)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )，则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y M −1)，QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)，因为QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M −1=−λ，故λ=1−y M ，同理μ=1−y N ，直线PA 的方程为y −2=2−y11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42+y 1(x −1)，令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，第21页，共21页因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2) =8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2k k +1=4−2×4−2k k 2−4−2k k =2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于难题． (Ⅰ)根据题意，利用直线与抛物线的位置关系进行求解即可；(Ⅱ)求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，带入韦达定理化简即可．。

专题07 2020版平面向量(解析版)

(1,
3)
，
结合向量数量积的定义式，
可知 AP AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，
所以
AP
AB
的取值范围是
(2,
6)
，
故选：A．
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
3．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设 a, b 为单位向量，且| a b | 1，则| a b | ______________.
2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是
A． (2, 6)
B． (6, 2)
C． (2, 4)
D． (4, 6)
【答案】A 【解析】如图，
1
AB 的模为 2，根据正六边形的特征，
可以得到
AP
在
AB
方向上的投影的取值范围是
a
b
0
且不反向共线，
a
b
2
3t
0
，得
t
2
.
3
向量
a
2,
t
，
b
1,
3
共线时，
2
3
t
，得
t
6
.此时
a
2b
.
所以 t 2 且 t 6 . 3
故选 C．
【点睛】
本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为 0，容易忽视反向共线时，属于易
A．−8
B．−6
C．6
D．8
【答案】D
【解析】∵

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题11平面向量(含答案及解析)

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：11 平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−2,4)，则|a ⃑−b ⃑⃑|（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a ⃑−b ⃑⃑，然后求得|a ⃑−b ⃑⃑|. 【详解】因为a ⃑−b ⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√42+(−3)2=5. 故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b ⃑⃑=（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵|a ⃗−2b ⃑⃗|2=|a ⃗|2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4|b ⃑⃗|2，又∵|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=√3,|a ⃗−2b ⃑⃗|=3, ∴9=1−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4×3=13−4a ⃗⋅b ⃑⃗， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=1 故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗ B ．−2m⃑⃑⃗+3n ⃑⃗ C ．3m⃑⃑⃗+2n ⃑⃗ D ．2m⃑⃑⃗+3n ⃑⃗ 【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3n ⃑⃑−2m ⃑⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗．故选：B ．4．【2022年新高考2卷】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（） A ．−6 B ．−5 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：c ⃗=(3+t,4),cos 〈a ⃗,c ⃗〉=cos 〈b,c ⃗〉,即9+3t+165|c⃗|=3+t|c ⃗|,解得t =5,故选：C5．【2020年新课标2卷文科】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ．2a b + B ．2a b + C ．2a b - D ．2a b -【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6．【2020年新课标3卷理科】已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．【2020年新高考2卷（海南卷）】在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（） A ．2CD CA + B ．2CD CA -C ．2CD CA -D ．2CD CA +【答案】C 【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.9．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP β==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α==，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确； D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC10．【2022年全国甲卷】已知向量a ⃑=(m,3),b ⃑⃑=(1,m +1)．若a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =______________．【答案】−34−0.75 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：a ⃑⋅b ⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34. 故答案为：−34.11．【2022年全国甲卷】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________．【答案】11 【解析】【分析】设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⃑⋅b ⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，因为a ⃑与b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cosθ=13，又|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×3×13=1，所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=2×1+32=11．故答案为：11．12．【2021年甲卷文科】若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：13．【2021年甲卷理科】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-. 【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.14．【2021年乙卷文科】已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.15．【2021年乙卷理科】已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．16．【2021年新高考2卷】已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=___【答案】92- 【解析】【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-.17．【2020年新课标1卷理科】设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】【分析】整理已知可得：()2a b a b+=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.18．【2020年新课标1卷文科】设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5. 【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 19．【2020年新课标2卷理科】已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

专题7 平面向量--2020届高三理科数学3年高考真题分类汇编含解析答案

专题7平面向量1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．。

2020年高考数学真题汇编12 平面向量文(解析版)

2020高考试题分类汇编：12：平面向量一、选择题1.【2020高考全国文9】ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r【答案】D【解析】如图，在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 2.【2020高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A 5 （B 10（C ）5（D ）10 【答案】B【解析】因为⊥，所以有02=-x ，解得2=x ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+10=+b a ，选B.3.【2020高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．4.【2020高考四川文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是（）A 、||||a b =r r且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r【答案】Ｄ【解析】A.可以推得||||a ba b =r rr r ==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.5.【2020高考陕西文7】设向量a r =（1.cos θ）与b r=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】02cos 0cos 212=⇔=+-⇔⊥θθ，故选C.6.【2020高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

2024年全国高考数学真题分类( 复数和平面向量)汇编(附答案)

2024年全国高考数学真题分类（复数和平面向量）汇编一、单选题 1．（2024ꞏ全国）若1i 1zz =+-，则z =（） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．（2024ꞏ全国）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024ꞏ全国）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．24．（2024ꞏ全国）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．2C ．2D ．15．（2024ꞏ全国）设z =，则z z ⋅=（） A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024ꞏ全国）设5i z =+，则()i z z +=（） A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024ꞏ全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b”的充分条件8．（2024ꞏ北京）已知i 1iz=-，则z =（）． A ．1i -B ．i -C ．1i --D ．19．（2024ꞏ北京）已知向量a ，b ，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024ꞏ天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-= ．11．（2024ꞏ天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．12．（2024ꞏ上海）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．13．（2024ꞏ上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．参考答案1．C【详细分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【答案解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C. 2．D【详细分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【答案解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D. 3．C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案解析】若1i z =--，则z ==故选：C. 4．B【详细分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【答案解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而= b 故选：B. 5．D【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D 6．A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A 7．C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.8．C【详细分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【答案解析】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.9．A【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【答案解析】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【答案解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅= ，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【详细分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【答案解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15． 13．2【详细分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【答案解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R ，2232311bmbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。

2020年全国各地高考数学试题分类汇编—平面向量、不等式、算法初步(含答案)

C．（﹣2，4）
D．（﹣4，6）
•＝
，它的几何意义是 AB 的长度与在向量的投
影的乘积，显然，P 在 C 处时，取得最大值，
，可
得•＝
＝2×3＝6，最大值为 6，
在 F 处取得最小值， • ＝
＝﹣2×
值为﹣2， P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，
所以 • 的取值范围是（﹣2，6）．故选：A．
则＝
＝
D． +2
＝
＝2
．
故选：C．
2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为 60°，则在下列向量中，与垂直的是（）
A．
B．2 +
C． ﹣2
D．2 ﹣
【解答】解：单位向量| |＝| |＝1， • ＝1×1×cos60°＝，
对于 A，（ +2 ）＝ • +2 ＝ +2＝，所以（ +2 ）与不垂直；
3 + ，向量，的夹角为 θ，则 cos2θ 的最小值是
．
18．（2020•江苏）在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D 在边 BC 上，延长 AD
到 P，使得 AP＝9．若＝m +（ ﹣m）（m 为常数），则 CD 的长度是
．
19．（2020•上海）三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则
，若 M，N 是线段 BC 上的动点，且| |＝1，则
• 的最小值为
．
12．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向
量，满足|
|＝1，且| ﹣ |∈{1，2}（其中 i＝1，2，j＝1，2，…，k），则 k 的最