导体绝缘体和半导体的能带模型

§ 5-6 导体、绝缘体和半导体的能带模型

尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。

每个能带均由N个准连续能级组成(N为晶体原胞数)，所以，每个能

带可容纳2N个电子。晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子

部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。

5. 6. 1 满带电子不导电

从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E(k)是k的偶函数，则利用(5-5-11)，可以证明

k空间具有中心对

v(-k)=-v(k)，即v(k)是k的奇函数。一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在

称性，即一个电子处于k态，其能量为E(k)，则必有另一个与其能量相同的E(-k)=E(k)电子处于-k态。当

不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-ev,但是k态和-k态的电子电流-ev(k)和

-ev(-k)正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。

当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k空间中心对称性的情况仍不会改变。以一维能带

为例，图5-6-1中k轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。如上所述，在外电场

的作用下，所有电子所处的状态都以速度

dk dt eE

h

(5-6-1)

沿k轴移动。由于布里渊区边界A和A两点实

F

图5-6-1外场下满带电子的运动

际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状

态即满带情况下，从A点称动出去的电子同时就

从A点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填

满状态,

5. 6.

2

并不产生电流。

不满带的电子导电

5-6-2给出不满带电子填充的情况，没有

外电场时，电子从最低能级开始填充，而且k态

和-k态总是成对地被电子填充的，所以总电流为

零。存在外电场时，整个电子分布将向着电场反方向移动, 由于电子受到声子或晶格不完整性的散射作用,

5-6-2 (b)所示。当电子分布偏离中心对称状况时，各电了所荷载的电流中将只有一部分被抵消，因而总电流不为零。外加电场增强，电子

电子的状态代表点不会无限地称动下去，而是稍稍偏离原来的分布，如图

分布更加偏离中心对称分布，未被抵消的电子电流就愈大，晶体总电流也就愈大。由于不满带电子可以导晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带,

电，因而将不满带称作导带。

5. 6. 3导体、绝缘体与半导体的能带模型

我们可以通过考察晶体电子填充能带的状况来判断晶体的导电性能。如果晶体电子恰好填满了最低的

一系列能带，能量再高的能带都是空的，而且最高的满带与最低的空带之间存在一个很宽的禁带（如

E g 5eV ）,那么，这种晶体就是绝缘体。图5-6-3 （C）给出了这种晶体电子填充能带的状况。如果晶体

的能带中，除了满带外，还有不满带，那么，这种晶体就是金属。半导体晶体电子填充能带的状况与绝缘

体的没有本质不同，只是最高满带与最低空带之间的带隙较窄（为E g 1~3eV ),这样，在T=0K 时,

晶体是不导电的，在T M OK时，将有部分电子从满带顶部被激发到空带的底部，使最高的满带及最低的空

带都变成部分填充电子的不满带，晶体因而具有一定的导电能力。图5-6-3画出导体、绝缘体与半导体电

子填充能带的模型。

碱金属（如锂、钠、钾等）及贵金属（如金、银等）每个原胞只含一个价电子。当N个这类原子结合

成固体时，N个电子就占据着能带中N个最低的量子态。其余N个能量较高的量子态则是空的，即能带

是半满的（每个能带可容纳2N个电子）。因此，所有碱金属、贵金属晶体都是导体。惰性气体原子的电子

壳层是闭合的，电子数是偶数，所以总是将最低能带填满，而较高的能带空着。这些元素形成的固体是绝

缘体的典型例子。金刚石、硅和锗的原胞含有两个四价原子，故每个原胞含有八个价电子，正好填满价电

子所形成的能带。所以，这些纯净的晶体在T=0K时是绝缘体。碱土金属（如钙、锶、钡等）的每个原胞

含有两个s电子，正好填满s带，碱土金属晶体似乎应该是绝缘体，实际上却是良导体。原因在于s带与上面的能带发生交叠（如图5-6-3 （b）的情况），2N个s电子在未完全填满s带时，就开始填充上面那个能带，造成两个不满带。因此，碱土金属晶体是导体。五族元素铋、锑、砷等的晶体，每个原胞内含有两

个电子，所以原胞内含有偶数个电子。这些晶体也应该是绝缘体，但它们却有一定的导电性。原因在于这

些晶体的能带有交叠，只是交叠部分较少，使能对与导电的电子浓度远远小于正常金属中的电子浓度，电

考虑m x m y m z 球形等能面的简单情况，上式变为:

阻率比正常金属大约105倍，因而被称作半金属。由此可见，若晶体的原胞含有奇数个价电子，这种晶体 必是导体；原胞含有偶数个价电子的晶体， 如果 能带交叠，则晶体是导体或半金属， 如果能带没有交叠,

禁带窄的晶体就是半导体，禁带宽的则是绝缘体。

T^nr

速度v (k)所产生的。

在电场E 的作用下，近满带中所有电子的状态都以式( 5-5-14)的规律变化，空状态也按同样规律变

化。因而空状态的加速度为

dv(k) dt

5. 6. 4 空穴

满带中如缺了少数电子就会产生一定的导电性，这种近满带的情形在半导体的问题中特别重要。要描 述近满带中电子的运动，由于涉及到数目很大的电子集体运动，因而在表述上十分不便。为此，我们引入 空穴的概念，将大量电子的集体运动等价地变为描述少数空穴的概念,

从而大大简化了有关近满带的问题。

为了说明空穴的概念并证明用电子和空穴两种描述方法的等价性，我们不妨假设满带中只有某一个状 态k 未被电子占据，此时能带是不满的，因而应有电流产生，以

j (k)表示。为计算j (k)，我们假想在空的

k 态中放入一个电子，这个电子的电流等于 -ev (k)。但是k 态加入这个电子后，能带又成为满带，所以，总 的电流应为

零，从而有：

j(k) [ ev(k)] 0

(5-6-2)

j(k) ev(k)

(5-6-3)

上式表明，当k 态缺少一个电子时，近满带的总电流就如同一个具有正电荷

e 的粒子, 以空状态 k 的电子

(5-6-4)

(0