柱锥台球的表面积和体积 优质课件
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反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
联动思考
想一想：四棱柱、四棱锥、四棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图 是什么？ 答案：四棱柱的展开图是由4个平行四边形及两个全等的四边形组成的；四棱锥的展 开图是由4个共顶点的三角形及一个四边形组成的；四棱台的展开图是由4个梯形及 两个相似四边形组成的． 议一议：对于不规则的几何体应如何求其体积？ 答案：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，或转化成已知体积公式的 几何体进行解决．
授课：刘玉国
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式.
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
基础自查
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥
圆台
直棱柱 正棱锥 正棱台
球
面积 S 侧＝2πrh S 侧＝πrl
S 侧＝π(r1＋r2)l
S 侧＝Ch S 侧＝12Ch′ S 侧＝12(C＋C′)h′ S 球面＝4πR2
2π＋2
3
3 .
答案：C
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
考向三 几何体的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？ 解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2＋BC2＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm.
3 答案：144 反思感悟：善于总结，养成习惯 以三视图为载体考查几何体的体积，关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中解决．
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 2．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
()
A．2π＋2 3 B．4π＋2 3 C．2π＋23 3 D．4π＋2 3 3 解析：这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱，上半部分 是一个底面边长为 2、高为 3的正四棱锥，故其体积为 π×12×2＋13×( 2)2× 3＝
600π(cm2)．
答案：2 600
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限时规范训练
考向二 几何体的体积
【例 2】 (2010·浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积是________cm3.
解析：题图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由题中所给公式计算得体积为 V＝1×(4×4＋ 16×64＋64)×3＋4×4×2＝144(cm3)．
答案：A
()
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3．(2010·福建卷)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )
A. 3 B．2 C．2 3 D．6 解析：∵由正视图可以看出，正三棱柱底面边长为 2，高为 1，∴S 侧＝3×2×1＝6. 答案：D
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考向导析
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限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，
从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
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考向导析
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联动体验
1．将半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是
A. 3πR3 B. 3πR3 C. 5πR3 D. 5πR3
24
8
24
8
解析：如图，设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h.
∵πR＝2πr，∴r＝
R， 2
又∵l＝R，∴h＝ l2－r2＝ R2－R2 ＝ 3R， 42
4．(2010·陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
()
A.
1 3
B.23
C．1
D．2
解析：如图，该立体图形为直三棱柱，
所以其体积为12×1× 2× 2＝1. 答案：C
5．若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为________． 解析：V＝4πR3＝4 3π，∴R＝ 3，S＝4πR2＝4π·3＝12π. 3 答案：12π
迁移发散
1．(2010·上海春季高考题)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底
面的直径为 40 cm，母线长最短 50 cm、最长 80 cm，则斜截圆 柱侧面面积 S＝________cm2. 解析：假设还有一个同样的斜截圆柱，拼在其上面，则构成了
一个圆柱，于是
S＝1S 2
圆
柱侧面
积
＝1×40π×(80＋50)＝2 2
体积
V＝Sh＝πr2h
V＝1Sh＝1πr2h＝1πr2 l2－r2
33
3
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
＝13π(r21＋r22＋r1r2)h
V＝Sh
V＝13Sh
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
V＝4πR3 3
考基联动
考向导析
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限时规范训练
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等 于 侧面积与底面面积之和 ．
考基联动
考向导析
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考向一 几何体的表面积
【例 1】 (2010·安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
()
A．280 B．292 C．360 D．372 解析：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长 方体的 4 个侧面积之和．S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360. 答案：C
∴圆锥的体积 V＝1×π×R2×
3R＝
3πR3 .
3
4 2 24
答案：A
()
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2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是
A．6 3 B．3 6 C．11 D．12 解析：设长方体的三边长为 a、b、c
ab＝2 则ac＝6
bc＝9
，∴a＝23 3，b＝ 3，c＝3 3，∴V＝abc＝6 3.
联动思考
想一想：四棱柱、四棱锥、四棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图 是什么？ 答案：四棱柱的展开图是由4个平行四边形及两个全等的四边形组成的；四棱锥的展 开图是由4个共顶点的三角形及一个四边形组成的；四棱台的展开图是由4个梯形及 两个相似四边形组成的． 议一议：对于不规则的几何体应如何求其体积？ 答案：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，或转化成已知体积公式的 几何体进行解决．
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了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式.
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1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥
圆台
直棱柱 正棱锥 正棱台
球
面积 S 侧＝2πrh S 侧＝πrl
S 侧＝π(r1＋r2)l
S 侧＝Ch S 侧＝12Ch′ S 侧＝12(C＋C′)h′ S 球面＝4πR2
2π＋2
3
3 .
答案：C
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考向三 几何体的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？ 解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2＋BC2＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm.
3 答案：144 反思感悟：善于总结，养成习惯 以三视图为载体考查几何体的体积，关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中解决．
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迁移发散 2．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
()
A．2π＋2 3 B．4π＋2 3 C．2π＋23 3 D．4π＋2 3 3 解析：这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱，上半部分 是一个底面边长为 2、高为 3的正四棱锥，故其体积为 π×12×2＋13×( 2)2× 3＝
600π(cm2)．
答案：2 600
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考向二 几何体的体积
【例 2】 (2010·浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积是________cm3.
解析：题图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由题中所给公式计算得体积为 V＝1×(4×4＋ 16×64＋64)×3＋4×4×2＝144(cm3)．
答案：A
()
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3．(2010·福建卷)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )
A. 3 B．2 C．2 3 D．6 解析：∵由正视图可以看出，正三棱柱底面边长为 2，高为 1，∴S 侧＝3×2×1＝6. 答案：D
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从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
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1．将半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是
A. 3πR3 B. 3πR3 C. 5πR3 D. 5πR3
24
8
24
8
解析：如图，设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h.
∵πR＝2πr，∴r＝
R， 2
又∵l＝R，∴h＝ l2－r2＝ R2－R2 ＝ 3R， 42
4．(2010·陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
()
A.
1 3
B.23
C．1
D．2
解析：如图，该立体图形为直三棱柱，
所以其体积为12×1× 2× 2＝1. 答案：C
5．若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为________． 解析：V＝4πR3＝4 3π，∴R＝ 3，S＝4πR2＝4π·3＝12π. 3 答案：12π
迁移发散
1．(2010·上海春季高考题)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底
面的直径为 40 cm，母线长最短 50 cm、最长 80 cm，则斜截圆 柱侧面面积 S＝________cm2. 解析：假设还有一个同样的斜截圆柱，拼在其上面，则构成了
一个圆柱，于是
S＝1S 2
圆
柱侧面
积
＝1×40π×(80＋50)＝2 2
体积
V＝Sh＝πr2h
V＝1Sh＝1πr2h＝1πr2 l2－r2
33
3
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
＝13π(r21＋r22＋r1r2)h
V＝Sh
V＝13Sh
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
V＝4πR3 3
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考向一 几何体的表面积
【例 1】 (2010·安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
()
A．280 B．292 C．360 D．372 解析：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长 方体的 4 个侧面积之和．S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360. 答案：C
∴圆锥的体积 V＝1×π×R2×
3R＝
3πR3 .
3
4 2 24
答案：A
()
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2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是
A．6 3 B．3 6 C．11 D．12 解析：设长方体的三边长为 a、b、c
ab＝2 则ac＝6
bc＝9
，∴a＝23 3，b＝ 3，c＝3 3，∴V＝abc＝6 3.