高等光学第一章课后答案

1.4在光学中场量()t r E , 和()t r H ,的表达方法有许多种，分别推倒采用以下三种表达方式时平均光强的计算公式。

（1）设场量表示为()()t j e r E t r E ω-= 0,，()()tj e r H t r H ω-= 0,（2）设场量表示为()()..21,0c c e r E t r E t j +=-ω ，()()..21,0c c e r H t r H t j +=-ω（3）设场量表示为()()..,0c c e r E t r E t j +=-ω ，()()..,0c c e r H t r H t j +=-ω解：（1）电场强度和磁场强度乘积的大小为：()()()()()00002200000000011R e ,R e ,221 =41 =R e 2j t j t j tj t j tj t E r t H r t E e E e H e H e E H e E H E H E H eE ωωωωωω-*-*-****-⎡⎤⎡⎤=+∙+⎣⎦⎣⎦+++ ()()2000R e j t H e E H ω-*⎡⎤+⎣⎦ S E H =⨯在上式中出现了两个场量相乘的情况，所以()001R e 2I S E H *==⨯（2）(),E r t 和(),H r t均以实数表示，有()()()()()()()()000020000,,1111 222211 R e R e 22j t j t j t j t j tS E r t H r t E r e E r e H r e H r e E H e E H ωωωωω-*-*-*=⨯⎡⎤⎡⎤=+⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯取时间平均值得()001R e 2I S E H *==⨯（3）(),E r t 和(),H r t均以实数表示，有()()()()()()()()000020000,, 2R e 2R e j t j t j t j t j t S E r t H r t E r e E r e H r e H r e E H e E H ωωωωω-*-*-*=⨯⎡⎤⎡⎤=+⨯+⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯取时间平均值得()002R eI S E H*==⨯1.7 设一个偏振态与下列偏振态正交：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-θθδθδsincos,jeJ（1）求该偏振态的琼斯矩阵表示。

（2）证明两个相互正交椭圆偏振态的椭圆主轴是相互垂直的，电矢量末端的旋转方向是相反的。

（1）解：所求偏振态与J正交，，若设所求偏振态为xJy⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，则所求偏振态满足：J J*'∙=()cos0sinjx yeδθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦即cos sin0jx yeδθθ-+=①当sinxθ=时，cosjy eδθ-=-，sincosjJeδθθ-⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦②当sinxθ=-时，cosjy eδθ-=，sincosjJeδθθ--⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦③当cosyθ=时，sinjx eδθ=-，sincosjeJδθθ⎡⎤-'=⎢⎥⎣⎦④当cosyθ=-时，sinjx eδθ=，sincosjeJδθθ⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦（2）证明：将坐标轴沿顺时针方向旋转2π，则变换矩阵()cos sinˆsin cosRψψψψψ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦为：()01ˆ210Rπ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦()01cos sinˆ210sin cosjjeR Jeδδθθπθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦将上式与（1）中第④种情况sin cos j e J δθθ⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦比较，它们在各自的坐标系中描述的偏振态变化的椭圆形状一样，这两个坐标系成900夹角，即相互垂直的，根据指数上δ的符号可以看出他们的旋转方向相反。

1.9 在图1-11所示的椭圆主轴坐标系中，一般偏振光两个分量的复数表示为()0δτξ+-=j aeE ，()20πδτη +-=j be E式中，kz t -=ωτ，设a b =χtan 。

（1）证明在ηξO 坐标系中，表示光波偏振态的归一化琼斯矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=χχξηsin cos ˆj E（2）在()R Lˆ,ˆ为基矢的空间中，求上述偏振光的表示，并由此验证在()R L ˆ,ˆ为基矢的空间中右旋及左旋圆偏振光的琼斯矩阵分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10和⎥⎦⎤⎢⎣⎡01（1）证明：由公式（1-206）可知：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-+-200ˆπδτδτξηj j be ae E重新选取初相位有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=±jb a bea E j 2ˆπξη 对上式进行归一化处理得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+±+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±+=2222221ˆb a b jba a jb a ba E ξηa b =χtan∴可令2222sin ,cos ba b ba a +=+=χχ因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+±+=χχξηsin cos ˆ2222j b a b jba a E （2）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10~01~~~ˆηξηξξηE E E E E转换到以()R Lˆ,ˆ为基矢的空间中 R E L E E R Lˆ~ˆ~ˆ+=ξη 根据公式（1-197）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=j R j L121ˆ,121ˆ，代入上式得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R L R L R L E E F E E j jE j E j E ~~ˆ~~1121~121~121ˆξη其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=j jF1121ˆ，所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-χχχχχχξηsin cos sin cos 21sin cos 1121ˆˆˆ1j j j E F E LR即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=χχξηsin cos ˆj E 在()R L ˆ,ˆ为基矢的空间中的表示为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=χχχχsin cos sin cos 21ˆLR E 在上式中，取4πχ=，得到在()R L ˆ,ˆ为基矢的空间中右旋圆偏振光的琼斯矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=104sin 4cos4sin4cos21sin cos sin cos 21ˆππππχχχχLRE取4πχ=，得到在()R Lˆ,ˆ为基矢的空间中左旋圆偏振光的琼斯矩阵为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=014sin 4cos 4sin 4cos 21sin cos sin cos 21ˆππππχχχχLRE1.10 证明透光轴与x 轴成θ角的检偏器的琼斯矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θθθθθθ22sin cos sin cos sin cos ˆJ 这个矩阵是否是幺正变换矩阵。

证明：OB 1A 1CD EF θ设入射偏振光表示成x 、y 轴上的分量，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11ˆB A E xy 将分量A 1、B 1投影在透光轴上，再分别向x 、y 轴上投影，则出射光线在x 、y 轴上的分量A 2、B 2分别为：()()θθθθθθθcos sin cos cos sin cos cos 121112B A B A ODOC A +=+=+= ()()θθθθθθθ211112sin cos sin sin sin sin cos B A B A OFOE B +=+=+= 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11221121112122sin cos sin cos sin cos ˆsin cos sin cos sin cos B A B A J B A B A B A θθθθθθθθθθθθ 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θθθθθθ22sin cos sin cos sin cos ˆJ 因为J ˆ为实矩阵，所以J Jˆˆ=*I J J J ≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*ˆsin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos ˆˆ22222θθθθθθθθθθθθ 所以J ˆ不是幺正变换矩阵。

1.16 证明如果将在同一方向上传播的几个独立的光波叠加，则合成波的相干矩阵等于参与叠加的各个波相干矩阵之和。

用式子来表示就是()∑=nn klkl JJ†证明：设第i 个波的琼斯矢量为：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t E t E E ki li i ˆ则叠加的合成波的琼斯矢量为：()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∑∑∑===ni ki n i li ni i klt E t E E E 111ˆˆ ()()()()()()()()()()()()()()121112111 l l jl nl jl jl nnkl ik jl i j k k ik nk nnik ik i j i j i jJ E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t E t *==******====≠==+++++∙⎡⎤⎣⎦⎡⎤+++++⎣⎦=+∑∑∑∑因为各分量波是相互独立的，有()0 , ,ik jli kl i j E EJ i j*≠⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以()()1kl kl ni n kl i nJ J J ===∑∑1.18 设光强为I 0的光波垂直入射在一个偏振器上，改变偏振器的起偏方向，使之分别通过偏振方向与x 轴成-π/4、0、π/4、π/2的线偏振光。

四次测量的结果用4π-I 、x I 、4πI 、y I 来表示。

又用一个1/4波片和偏振器的组合，使得只让右旋圆偏振光或者只让左旋圆偏振光通过，测得的光强用R I 、L I 表示，证明由（1-286）式所定义的斯托克斯参量与用以上方法测得的光强有（1-289）式所描述的关系。

证明：公式（1-286）为()()22000x y S E t E t =+ （1-286a ） ()()22100x y S E t E t =- （1-286b ）()()()2002cos x y S E t E t t δ= （1-286c ） ()()()3002sin x y S E t E t t δ= （1-286d ）根据公式（1-248）()()xy x x J E t E t *=，()()xy x y J E t E t *=，()()yx y x J E t E t *=，()()yy y y J E t E t *=可以得出：0xx yy S J J =+ 1xx yy S J J =- 2xy yx S J J =+()3yx xy S j J J =-根据公式（1-255）()()()22,;,;, =cos sin cos sin sin cos j j xx yy xy yx I E t Et J J J e J eδδθδθδθδθθθθθθ*-=+++得出：()0,0x xx I I J ==,02y yy I I J π⎛⎫== ⎪⎝⎭()411114,02222xx yy xy yx I I J J J J ππ==+++()411114,02222xx yy xy yx I I J J J J ππ-=-=+--()114,22222L xx yy xy yx j j I I J J J J ππ==++- ()114,22222R xx yy xy yx j j I I J J J J ππ=-=+-+所以有：[][]4444122122xx x yy y xy L R yx L R J I J I j J I I I I jJ I I I I ππππ--=⎧⎪=⎪⎪⎨⎡⎤=---⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+-⎪⎣⎦⎩0440xx yy x y R L S J J I I I I I I I ππ-=+=+=+=+=1xx yy x y S J J I I =-=-244xy yx S J J I I ππ-=+=+ ()3yx xy R LS j J J I I =-=-即由（1-286）式所定义的斯托克斯参量与用以上方法测得的光强有（1-289）式所描述的关系。