0.2弹性力学中的几个问题

∂τ zr dr ，下面及上面的剪应力则分别为 τ rz 及 ∂r
τ rz +
∂τ rz dz 。此外，径向体力用 Fr 表示，而轴向体力(z 方向的体力)用 Fz 代表。 ∂z dθ dθ dθ 及 cos 若将六面体所受的各力都投影到六面体中心的径向轴上，并取 sin ≈ 1 ，可 ≈ 2 2 2
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图 0.2.3 轴对称问题
如果六面体的内圆柱面上的正应力是 σ r ，则外侧圆柱面上的正应力便是 σ r +
∂σ r dr 。由于对 ∂r ∂σ z dz 。 ∂z
称， σ θ 在环向没有增量。如果六面体下面的正应力是 σ z ，则上面的正应力应该是 σ z +
同样，六面体内面及外面的剪应力分别为 τ zr 及 τ zr +
得到平衡方程 r 方向：
∂σ r dθ dθ −σ θ drdz dr ( r + dr ) dθ dz − σ r rdθ dz −σ θ drdz σ r + 2 2 ∂r ∂τ 0 + τ rz + rz dz rdθ dr − τ rz rdθ dr + Fr rdθ drdz = ∂z
简化后除以 rdrdθdz ，并略去微量，得
∂σ r ∂τ zr σ r − σ θ + + + Fr = 0 ∂r ∂z r
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将六面体所受的各力都投影到 z 轴上，则得平衡方程
∂τ rz dr ( r + dr ) dθ dz − τ rz rdθ dz τ rz + ∂r ∂σ z 0 dz rdθ dr − σ z rdθ dr + Fz rdθ drdz = σ z + ∂z
(0.2.2)
2．平面应变问题
图 0.2.2 平面应变问题 与上述情况相反，当物体 z 方向上的尺寸很长，物体所受的载荷(包括体积力)又平行于其横截 面(垂直于 z 轴)且不沿长度方向(z 方向)变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化， 那么这种问题就称为平面应变问题。对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截 面为 xy 面、任一纵线为 z 轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量都不沿 z 方向变化，而只是 x， y 的函数。在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在 xy 平面 上移动，而不会发生 z 方向上的移动。根据对称条件可知， τ zx = τ zy = 0 ，并且由剪应力互等关系 可以断定， τ xz = τ yz = 0 ，但是，由于 z 方向上的变形被阻止了，所以一般情况下 σ z 并不等于零。 在平面应变状态下，由于 σ x ,σ y ,σ z ,τ xy 都只是 x，y 的函数，而 τ xz = τ yz = 0 ，且因外力都垂 直于 z 轴，故无 z 方向的分量。由平衡方程可以看出，式中的第三个方程能够自动得到满足，剩余 的两个式子将与式(0.2.1)相同。
0.2.2 轴对称问题
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态，以及其他外在因素都是对称于某一根轴(过该 轴的任一平面都是对称面)，那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通 常称为空间轴对称问题。 对于轴对称问题，采用圆柱坐标 r ,θ , z 比采用直角坐标 x，y，z 方便得多。这是因为，当以弹 性体的对称轴为 z 轴时(如图 0.2.3 所示)，则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是 r 和 z 的函数，而与 θ 无关(即不随 θ 变化)。 为推得轴对称问题的平衡微分方程， 可取 z 轴垂直向上， 用间距为 dr 的两个圆柱面， 且互成 dθ 角的两个垂直面及两个相距 dz 的水平面，从弹性体中割取一个微小六面体 PABC，如图 0.2.3 所示。 沿 r 方向的正应力，称为径向正应力，用 σ r 表示；沿 θ 方向的正应力，称为环向正应力，用 σ θ 表 示；沿 z 方向的正应力，称为轴向正应力，用 σ z 来表示。而作用在水平面上沿 r 方向的剪应力，则 用 τ rz 来代表，按剪应力互等定理，有 τ zr = τ rz 。另外，由于对称性， τ θr = τ rθ 及 τ zθ = τ θz 都不存 在。这样，总共只有四个应力分量，即 σ r ,σ θ ,σ z ， τ rz 它们都只是 r 和 z 的函数。
εz =
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0．3 圣维南原理
弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。由于偏微分方程边值问题的性质， 弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移是按一定的规律分布的。对于工程实际问题，构件 表面力或者位移是很难满足这个要求的。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。 为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。 圣维南局部影响原理其主要内容为：物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个静力 等效的力系所替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点较远处，其影响 可以忽略不计。 根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响 仅在力的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。 局部影响原理是在实验中被多方证明的。例如用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于 一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。 圣维南局部影响原理也可以表述为： 如果物体的任一部分作用一个平衡力系， 则此平衡力系在 物体内产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在离该区域比较远处，这种影响便急剧 减少。 应该特别注意的是，应用圣维南原理，绝不能离开”静力等效”的条件。圣维南原理提出至今 已有 100 多年的历史，虽然目前还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实 验测量都证实了它的正确性。 例如，对下图 (a)所示的受力杆件，如果把一端或两端的拉力 P 变换为静力等效的力 P／2，或 均匀分布的拉力 P／A(为杆件的横截面积)，那么只有图中虚线部分的应力分布有显著的改变，而其 余部分所受的影响可以不计。这就是说，在下图所示的四种情况下，离开两端较远的部位的应力分 布并没有显著的差别。
如果用 ε r 表示沿 r 方向的正应变，即径向正应变；用 ε θ 表示沿 θ 方向的正应变，即环向正应变； 另外， r 方向与 z 方向之间的剪应变用 γ rz 表示， 由于对称， 而沿 z 方向的轴向正应变仍用 ε z 来表示。 剪应变 γ rθ 及 γ θz 均为零；沿 r 方向的位移分量，称为径向位移，用 u r 表示；沿 z 方向的轴向位移分 量，仍用 w 表示，并且由于对称，环向位移 uθ = 0 。 轴对称问题中，因径向位移所引起的应变分量是
由于极坐标也是一种正交坐标，所以轴对称问题的物理方程可以直接根据虎克定律得到，即
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εr =
1 1 ， εθ = σ r − µ (σ θ + σ z ) σ θ − µ (σ r + σ z ) E E 2 (1 + µ ) τ 1 ， γ rz = rz = τ rz σ z − µ (σ r + σ θ ) E E G
0.2.1 平面问题
平面问题是工程实际中最常遇到的问题， 许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。 平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。 1．平面应力问题 所谓平面应力问题， 是指所研究的对象在 z 方向上的尺寸很小(即呈平板状)， 外载荷(包括体积力) 都与 z 轴垂直，且沿 z 方向没有变化，在 z=±t／2 处的两个外表面(平面)上不受任何载荷，如图 0.2.1 所示。
简化后除以 rdrdθdz ，并略去微量，得
∂σ z ∂τ rz τ rz + + + Fz = 0 ∂z ∂r r
于是得到空间轴对称问题的平衡微分方程为
∂σ r ∂τ zr σ r − σ θ 0 + + + Fr = ∂r r ∂z ∂σ z + ∂τ rz + τ rz + F = 0 z ∂r r ∂z
∂σ x ∂τ yx 0 + + Fx = ∂x ∂y
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∂τ xy ∂x
+
∂σ y ∂y
0 + Fy =
对于平面应变问题，因位移分量都不沿 z 方向变化，且 w = 0 ，故有 ε z = γ xz = γ yz = 0 ，所以 其几何方程也与平面应力问题的几何方程一样。但是，由于 ε z = 0 ，即 σ z = µ σ x + σ y ，因而平 面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程是不同的，即
0.2
弹性力学中的几个典型问题
任何一个弹性体都是一个空间物体，其所受的外力也都是空间力系，所以，严格地讲，任何一 个实际的弹性力学问题都是空间问题。但是，如果所分析的弹性体具有某种特殊的形状，并且所承 受的外力是某种特殊的外力，那么就可以把空间问题简化为近似的典型问题进行求解。这样的简化 处理，可以大大简化分析计算的工作量，且所获得的结果仍然能够满足工程上的精度要求。本节主 要介绍平面问题、轴对称问题和板壳问题。
图 0.3.1 圣维南原理
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0.4
弹性力学问题的基本解法
根据前面的讨论可知，弹性力学问题中共有 1 5 个待求的基本未知量，即 6 个应力分量、6 个 应变分量、3 个位移分量，而基本方程也正好有 15 个，即平衡微分方程 3 个、几何方程或变形协调 方程 6 个(几何方程和变形协调方程实质上是等效的，两者只能应用其中之一)、物理方程 6 个。于 是，1 5 个方程中有 1 5 个未知函数，加上边界条件用于确定积分常数，原则上讲，这些方程足以 求解各种弹性力学问题。可以证明，当这些方程的解答存在时，只要不考虑刚体位移，则所求得的 解将是惟一的。但是，在实际求解时，其数学上的计算难度仍然是很大的。事实上，只是对一些简 单的问题才可进行解析求解，而对大量的工程实际问题，一般都要借助于数值方法来获得数值解或 半数值解。 求解弹性力学问题主要有两种不同的途径。一种是按位移求解，另一种是按应力求解。 1．按位移求解就是先以位移分量为基本未知函数，求得位移分量之后再用几何方程求出应变 分量，继而用物理方程求得应力分量。从原则上讲，按位移求解可以适用于任何边界问题，不管是 位移边界问题还是应力边界问题，或者是混合边界问题，所以对某些重要问题，虽然不能按位移求 解方式得到具体的、详尽的解答，但却可以得出一些普遍的重要结论，这是按应力求解时所不能办 到的。事实上，在很多情况下，按位移求解也比较方便，只要所确定的位移函数是单值连续的，那 么用几何方程所求得的应变分量就必定满足相容方程。但是，关键的问题是由位移分量和应变分量 所确定的应力分量还必须要满足平衡微分方程，所以，按位移求解弹性力学问题时，往往要比按应 力求解更难于处理。这是按位移求解的缺点所在，也就是按位移求解尚不能得到很多有用解答的原 因。然而，值得指出的是，在有限单元法中，按位移求解则是一种比较简单而普遍适用的求解方式， 本课程中所介绍的有限单元法都是以这种位移解法为出发点的。 以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为位移法。 位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，则可以通过几何方程和物 理方程求出相应的应变分量和应力分量。 如果问题的边界条件为位移边界条件，边界条件描述比较简单。如果问题为面力边界条件，由 于边界条件是通过位移函数的导数描述的，因此应用困难。 总之若以位移为基本未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方 程，即拉梅方程。 2．求解弹性力学问题的另一种方式是按应力求解，即先以 6 个应力分量为基本未知量，求得满 足平衡微分方程的应力分量之后，再通过物理方程和几何方程求出应变分量和位移分量。 需要特别注意的是，应使所求得的应变分量满足相容方程，否则将会因变形不协调而导致错误。此 外，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。由于位移边界条件一般是无法改用应力分量来表 示的，所以，对于位移边界问题和混合边界问题，一般都不可能按应力求解得到精确的解答。 由此可知，用弹性力学求解某一具体问题，就是设法寻求弹性力学基本方程的解，并使之满足 该问题的所有边界条件。然而，要在各种具体条件下寻求问题的精确解答，实际上是很困难的。研 究发现，对一些重要的实际问题，只要对其应力或应变的分布作若干的简化，则求解将变得比较简 单。为此，通常可以根据求解对象的几何形状和受载情况，将具体问题简化为平面问题、轴对称问 题等。 总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程 和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程。