数模201001A卷
广东工业大学数学建模试卷和答案—2010A
广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准 (A)
课程名称:
பைடு நூலகம்
数学建模
试卷满分 100 分
考试时间: 2010 年 6 月 28 日 (第 18 周 星期一)
一．（本小题 15 分） 1、1．数学建模的基本步骤主要是：
1）模型准备。了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象，数据等，尽量弄清楚 对象的特征，由此初步确定用那一类模型。（2 分）； 2）模型假设。根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的合理的假设。 （3 分）； 3）模型构成。根据所做的假设，用数学语言，符号描述对象的内在规律，建立包含常量，变量等的数 学模型。（4 分）； 4）模型求解。可以采用解方程，画图形，优化方法，数值方法，统计分析等各种数学方法，特别是数 学软件和计算机技术。（6 分）。 5）模型分析。对求解结果进行数学上的分析。(8 分) 6）模型检验。把求解和分析结果翻译到实际问题，与实际的现象，数据比较，检验模型的合理性和适 用性。（9 分） 7）模型应用。 （10 分）
型，确定应该如何投资？（只需建模，不用求解）
债券名称
债券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益
率(%)
A
国债
1
9
4.3
B
企业债
3
10
5.4
C
地方政府债
2
4
5.0
D
地方政府债
2
3
4.4
E
国债
1
5
4.5
2．某广告公司想在电视、广播上做广告，其目的是尽可能多的招揽顾客。下面是市
场调查结果：
201001试卷答案B
共5页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 数学模型与数学实验 考试学期 04-05-3得分适用专业 数学各专业 考试形式开卷考试时间长度 120分钟一. (20`)在计时工资制体系下,雇主的付薪方式是按计时工资率（元/小时）付薪（kt w =）。
如果雇员的满意度曲线为2/1).(3=+-c t w （c 为参数） （1） 如果协议为每天工作6小时，给出雇员的满意度曲线。
（2） 求雇员与雇主的协议曲线。
解 （1）协议时间为=t 6，对应雇员的满意度曲线上点（2/)(,3c t t +）,过此点的切线方程为 2/)()(32/)(23t T c t c t W -+=+-， 4` 它应与雇主的付薪曲线()232W kT t c T ==+一致。
由此得到t c 2=。
4` 因为12,6==c t ，所以 2/)12(3+=t w 4`（2）所求的切点为（2/27,3t t ）， 4` 协议曲线为 2/273t w =。
4`共5页 第2页二. (20`) 在层次分析法建模中，我们用到了一致矩阵的概念，即如果矩阵[]nn ija A ⨯=是成对比较矩阵，且k j i a a a jk ij ik ,,.∀=，。
证明（1）A 的转置也是一致矩阵。
（2）A 的秩为1，且A 的非零特征值位n ； 证明（1）只需验证一致矩阵的几个条件成立即可。
令 )(ij Tb A =ij ji ji ij b b a b /1,0=>= 1` jk ij ik b b b = 4` （2）只需证明对应行的元素呈比例jijkkj lj il ik lj il kj ik ij a a a a a a a a a a a ====, 3`上式表明j i ,列元素呈比例，令1=i 得所有列均与第一列呈比例，所以A 的秩为1。
2`令],,,[],,,,[][21321n Tn ij b b b a a a a a A == 3` 由 1=ii a ，得 i i a b /1= 3` Tn Tn a a a n a a a A ],,,[],,,[2121 = 2` 得非零特征值为 n. 2`共5页 第3页三. (20`)如果雨滴的下落速度v 仅与雨滴的半径r 、重力加速度g 和粘性系数μ（压强xvP ∂∂=μ）有关，利用量纲分析法給出速度v 与其它变量的关系。
数学与统计学学院2010年数学建模竞赛试题
数学与统计学学院2010年数学建模竞赛试题（请先仔细阅读竞赛要求）A题、武汉房地产价格问题房地产价格是一个备受关注的问题。
现在请你就以下几个方面的问题进行讨论1．给出你的房地产价格指标的定义（考虑房子所处的位置（交通，学校，医院，商场…），房子的户型，房子的楼层，房子的朝向，小区的内环境（绿化，容积率…等等），房子的开发商，物业，房子的质量，小区的大小，噪音大小，空气等等…）；2．请搜集武汉近两年来的房子日销售情况表（至少搜集10天的武汉的房子日销售情况表）；对你的上述房地产价格指标的定义做简化，给出一个简化的武汉的房地产价格指标的定义；并且假设：以你搜集到的10天的武汉的房子日销售情况表中时间最早的那一天武汉的房地产价格指标为100，利用你的简化的武汉的房地产价格指标的定义，计算其他天的武汉的房地产价格指标；3．请搜集相应10天的武汉（或者全国）的物价指标，请你建立武汉的房地产价格指标与武汉（或者全国）的物价指标的关系模型，并假设有一天武汉（或者全国）的物价指标，是你搜集到的10天的武汉的房子日销售情况表中时间最早的那一天的武汉（或者全国）的物价指标的100倍，请你预测那一天的武汉的房地产价格指标；4．如果某人准备在武汉买房，请你给他买房的时机的建议。
中南民族大学数学与统计学学院2010年首届数学建模竞赛要求1、参赛者为中南民族大学任意在校本科生, 以队为单位参赛。
学生自愿组队，每队有且仅有三人，鼓励学生跨院系组队。
比赛开始后不允许更换队员。
2、竞赛时间为：2010年4月9日16时至4月14日16时。
3、竞赛按照甲、乙组分别命题，甲组(参加对象为2007,2008级学生)分为A，B两题，乙组(2009级学生)分为C，D两题，每个参赛队可任选一题，4月9日16时起可在院网页上下载试题。
4、竞赛采取开放的竞赛方式，竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析
.
解答
若 a > 1 时，f (x) = a2x + 3ax − 2 在区间 x ∈ [−1, 1] 上单调递增，
则 f (1) = a2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a2 + 3a − 10 = (a − 2)(a + 5) = 0 ⇒ a = 2；
若 0 < a < 1 时，f (x) = a2x + 3ax − 2 在区间 x ∈ [−1, 1] 上单调递减，
求 a 的最大值.
解答
f ′(0) = c,
f
′(x)
=
3ax2
+
2bx
+
c
⇒
ff
′(1) ′1
= 3a + 3
=a
2b + c, +b+c
24
2 ⇒a=
f ′(0) + f ′(1) − 2f ′
1
3
2
f ′(0) = c = 1,
⩽ 2 |f ′(0)| + |f ′(1)| + 2 f ′ 1
······ x = 99 时，y = −98, −97, · · · , 97, 98 共 197 个整点. 所以区域内部整点的个数是 98(3 + 197) = 9800.
2 4. 已知 {an} 是公差不为 0 的等差数列，{bn} 是等比数列，其中 a1 = 3, b1 = 1, a2 =
b2, 3a5 = b3，且存在常数 α, β 使得对每一个正整数 n 都有 an = logα bn + β，则
+ 5r
−
2
=
0.
2010年数学建模A题论文
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要运用了积分知识和几何知识分析解决储油罐的变位识别和罐容表标定问题。
模型一的对象是小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体）。
我们首先运用几何知识对变位罐体进行分析，得到垂直于罐体的液高1h 和储油罐水平状态下的液高2h 之间的关系，2h =1h +1L ×tan()α（倾斜角α，1L =0.4m ，为罐体长的一部分）。
然后以椭圆中心为中心，以椭圆的长轴和短轴分别为x 轴y 轴，建立空间直角坐标系，再对x 求定积分可得椭圆面上的储油面积为S =(2)f h dx ⎰，继而求得储油的体积V =S ×L （L 为罐体的水平总长度）。
并且在不同的情况下，运用分段函数的思想将罐容分为四段，解得各部分罐容表达式。
并且，以附件一中给出的油位高度为自变量，运用matlab 求得对应的罐容。
将求的的罐容与附件一中加上初始油量后的罐容相比较，分析数据得到其平均误差率为0.038371<0.05，较为合理。
因此，便可根据上述函数关系编定小椭圆罐体罐体变位后的油位高度1h 间隔为1cm 的罐容表标定。
模型二对于图4所示的实际储油罐，可由题中所给数据算出球冠形封头的半径为1.625m,所对应的圆心角为134.76度，弧长为 3.822m考虑到所对圆心角较大及弧长相对于油罐的高度D = 3m 相差不是很大，利用问题一中的模型可近似的认为 当液面由倾斜状态转化为水平状态时，两球冠形内的液面高度与卧式圆柱体内的液面高度近似相等，都等于圆柱体内的油在水平状态下的高度2h ，此时罐内液体的体积为两球冠形封头内液体的体积与圆柱体内液体的体积之和。
当油罐同时在倾斜和偏转的状态下时，利用油浮子测得的液面高度为3h ,3h 可化为仅在倾斜状态下的液面高度1h ，进而转化为水平状态下的液面高度2h ，从而h2可油位高度及纵向倾斜角α和横向偏转角β 表示出来，即()()()()()()13cos ,212tan 3cos tan h R h R h h R h R βαβα=+-=+=+-+cos(β)在已建立的较合理的模型一的基础上建立问题二的模型，将h2带入即可求得罐体变位后储油量与油位高度和变位参数α，β的关系。
2010数学建模a题广东省成绩
2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
GDA0905 GDA0215 GDA3106 GDA1204 GDA2005 GDA1703 GDA2803 GDA1405 GDA1010 GDA0108 GDA2002 GDA0122 GDA0407 GDA1604 GDA2704 GDA0503 GDA6301 GDA2507 GDA1701 GDA2401 GDA3001 GDA0802 GDA2802 GDA1410 GDA1502 GDA0301 GDA2603 GDA1006 GDA0404 GDA2109 GDA1301 GDA6704 GDA0116 GDA2601 GDA6801
3915 3819 4191 4127 3865 4144 4049 3790 4208 3177 3862 3193 4160 3718 4041 3885 3230 4027 4142 3983 4066 3837 4048 3797 3730 4092 3705 4201 4153 3954 3103 4283 3186 3701 4286
省队号 GDA2403 GDA0601 GDA0131 GDA6305 GDA2003 GDA0115 GDA0106 GDA6813 GDA3603 GDA0302 GDA0214 GDA2402 GDA1201 GDA1501 GDA1412 GDA0208 GDA1704 GDA2404 GDA0504 GDA0128 GDA1506 GDA2911 GDA0309 GDA3105 GDA1202 GDA6803 GDA1806 GDA0225 GDA1313 GDA6401 GDA0305 GDA1504 GDA0406
2010全国大学生数学建模竞赛A题
2010全国大学生数学建模竞赛A题合作人：何争流，史剑作者：学院：计算机科学与技术；学号：文摘：加油站、燃油生产厂一般都用储油罐来储存燃油，并通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
但许多储油罐在使用一段时间后，罐体位置会因地基变形等原因发生变化，从而导致罐容表发生改变，故需定期对罐容表进行重新标定。
关键词：储油罐，变位，重新标定，几何法，拟合--插值法。
正文：储油罐可能发生纵向倾斜和横向偏转，故需从这两方面研究罐体变位后的标定问题，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，进而对罐容表进行重新标定。
两端平头的小椭圆形储油罐情形拟合—插植法首先我们根据所给的数据，求出拟合函数：设x为测得油位高度，y为罐内油量。
(1)进油情形：1、无变位进油，初值为262L。
设v为测量体积，h为测量高度，对表中数据进行拟合。
2、斜变位进油（θ=4.1），初始值为215L。
设v2为测量体积，h2为测量高度，则由表中数据进行拟合。
对无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）进油时的数据作图、拟合得到油位高度与罐内储油量的函数关系。
函数的差别为系数不同，而系数不同是由角度不同引起的，所以我们想到对系数关于θ插值，得出θ为变位角，转化为弧度表示则a7 = -2.7165e-005*g-5.5000e-008a6=0.0134*g+2.4000e-005a5= -2.7332*g+0.0043a4=315.3631*g+0.42a3= -2.0587e+004*g-26a2=8.0726e+005*g+1200a1= -1.6824e+007*g+4600a0=1.5337e+008*g+19000当θ=1.8时，g=0.0314,带入上面的式子得到：y=-9.0841e-007*x^7+4.4497e-004*x^6-0.0816*x^5+10.3274*x^4-672.7597*x^3+2.6561e+004*x^2-5.2394e+005*x+4.8373e+006根据这个方程，计算得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的实际罐容量。
2010年研究生数学建模A题
这里有个键固定着丆上台应该转不了
图 2 大型数控精密内外圆磨床的结构示意图 工件工作箱固装在上台上，它通过专用夹具装夹工件，使工件绕工件工作箱主轴以较慢的 转速旋转，同时随三个工作台的复合运动改变待加工工件与砂轮的相对位置。三个台的运动必 须相互配合，使工件与砂轮相切磨削，加工出满足要求的旋转体。 三个工作台的运动分别由三组步进电机控制。步进电机是一种精密数控电动机，每输入一
A 特殊工件磨削加工的数学建模
某科研单位和工厂研制了一种大型精密内外圆曲线磨床，用来加工具有复杂母线旋转体的 特殊工件，如导弹天线罩等，这些工件具有硬度高、尺度大、加工精度高和母线为连续光滑曲 线等特点。图 1 是几类加工工件示例，工件 1 的内外母线均为凸的，工件 2 的内母线是非单调 凸的。这些工件的最后精密成形工艺采用磨削加工。
中台转轴 工件工作箱 夹具基准面
`
中台两对称轴
b
中台 夹具基体 上台
R
螺母 丝杠
传动系统
步进电机
图 4 上台相对中台的转动示意关系 磨床的磨削工具是能磨削高硬度材质的金刚砂轮（指磨削表面含有超高硬度的金刚砂
2
粒） ，磨外圆时根据工件母线的形状，砂轮可采用圆柱体式或轮式，作内圆磨削的砂轮为轮式。 圆柱型砂轮的主要几何参数是砂轮直径 和砂轮厚度 a 。轮式砂轮的主要几何参数有砂轮最大 纵截面（垂直于砂轮转轴的最大截面）的直径 和砂轮厚度 a ，以及其横截面（通过砂轮转轴 的截面）的外端轮廓线参数（理论上它可以是任一凸光滑曲线，但工程上常选用半径为 r 、张 角 不大于 180 的圆弧） ，合理的砂轮几何参数是加工能否实现的关键因素之一（见图 5） 。 在 整个加工过程中工件与砂轮不应脱离接触。
3
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高教杯数学建模竞赛——2001年A题优秀论文【数学建模】（可编辑）
高教杯数学建模竞赛——2001年A题优秀论文【数学建模】A题血管的三维重建四院九九向为王瑛伍微摘要：对此问题我们提出的是一个搜索模型，从而求出原始球（形成包络的球）的半径，以及中轴线。
首先我们把每一个切片图的bmp文件转化为一个512×512的0,1矩阵（0代表无象素，1代表有）。
再求切片的轮廓线，也存为0，1矩阵。
然后在题设条件下证明了以下几个结论：1．能够被切片包含的半径最大的圆的半径等于原始球（形成包络的球）的半径；2．可以被切片包含的圆的半径一定小于等于原始球的半径；3．不能被包含于切片的圆的半径一定大于原始球的半径。
根据上述结论，对每一个切片，只要找到能够被切片包含的半径最大的圆就能求出原始球的半径。
我们设计了一个二分搜索算法求该半径，再根据半径搜索求出每个切片和中轴线相交的点的坐标。
算法概要：1．求粗略的r （原始球半径上限）；2．求粗略的rmin（原始球半径下限）；3．切片内所含的标准圆（以原始球的半径为半径的圆）的圆心O不可能在离切片边缘距离小于rmin的点。
则在切片上去掉这些点后，就得到了O可能存在的位置区域；4．用二分法不断缩小原始球半径r0可能的取值范围，从而求出r0；5．求出切片内所含的标准圆的圆心的坐标，这就是为切片和中轴线相交的点的坐标。
搜索原始球的半径时，因为所给的图象数据的精度有限，所以在执行算法时遵循以下规则：1．在判断一个圆面是否有一部分在切片的外部时，把这个圆和切片都看成由一个一个的像素点组成，若圆面中有像素点在切片的外部，就认为圆超出了切片；2．几何上的半径为r的圆面转化为像素圆面的方法是，当一个像素的中心离圆心的距离小于等于r时，这个像素属于这个圆面；3．因为所给数据精度有限，所以包含于切片中的以原始球的半径为半径的圆可能不止一个。
取这些圆的圆心的重心为含于切片内的标准圆的圆心，即中轴线与切片的交点。
最后对中轴线上已知的点进行拟合，由于一个z只对应于一个x和一个y,故可分别对其投影分别在YZ、ZX平面上进行多项式拟合，求出y=f1(z)和y= x=f2(z)。
2010年数学建模试题(全部)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2010全国大学生数学建模竞赛_A题_论文
x m k x m1 i
i 1 k
（k=1,2,„，n）
一般通过一次累加生成就能使数据呈现一定的规律，若规律不够，可增加累 加生成的次数。同理一次累加序列为
x 1 {x 1 1, x 1 2, x 1 n}
在数据生成的基础上，用线性动态模型对生成数据拟合和逼近。对 x 1 建立 模型
v
u
hj
Y I K
C
MPC
C
Y
六、模型建立、求解
6.1 模型一 6.1.1 模型分析： 经过对多篇往届世博会总结报告的感性认识， 世博会参观人次数可以作为评 估世博会影响力的重要指标之一。 目前世博会正在进行， 参观人数总量还未统计。 故建立灰色系统模型 GM（1,1） ，通过对上海近十年的入境旅游人数，对 2010 年 上海入境人数进行预测， 进而预测出参观世博会的人数。再通过现有的每天的上 海世博会进园人数估算整个世博会的参观人数，最终与模型对比，在验证模型可 靠性的同时， 得出相对准确的上海世博会参观人数。最后与历届世博会参观人次 数定量分析比较得出上海世博会的影响力。 6.1.2 模型建立： 灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称 为贫信息系统。 入境旅游人数的发展变化受到错综复杂的因素影响，他们的共同
x (0) (i )
x ( m ) (i )
xij
yห้องสมุดไป่ตู้j
vi
ur
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Xj
决策单元 j 的输入量 决策单元 j 的输出量 输入权重 输出权重 效率评价指数 国民收入增量 政府投资增量 投资乘数 消费增量 边际消费倾向 人均消费 人均收入
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ (1)最新修正版
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B. C.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin 80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--=(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===， 37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数AB C DA 1B 1C 1D 1 O学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种. 【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A BC D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3237.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯=,21122ACD S ADCD a ∆==. 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin 3DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos 1/3O O O OD OD ∠===（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D)9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y =【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 222222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+故min ()3PA PB ∙=-+.此时x =【解析2】法一： 设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--∙==+-≥或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010全国大学生数学建模A题参考答案
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”。
（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。
具体需要把握以下几个方面：第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式，正确的结果(具体表达形式不唯一)是：21[()2arcsin ]2a h b V ab h b bh h ab L b bπ-=+--+，其中,,a b L 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，h 为罐内的油位高度。
通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。
表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 油位高度/cm油量/L 10 163.59 40 1199.31 70 2489.15 100 3659.88 20 450.27 50 1621.00 80 2910.84 110 3946.55 30803.54602055.07903306.611204110.15（2）讨论罐体变位的影响，要求给出纵向倾斜变位后修正模型，用不同方法可能有不同的表达形式，但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。
将变位参数代入模型，计算出修正后的罐容表标定值，并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。
实际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在257L 以上，平均误差达到190L 以上，平均相对误差达30%以上。
数学建模2010A题
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其 他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞 赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变.按照有 关规定,需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示 意图,其主体为圆柱体，两端为球冠体.图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 ３是罐体横向偏转变位的截面示意图。
我们参赛选择的题号是（从Ａ／Ｂ/C/D 中选择一项填写）：
A
ﻩ我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）:
所属学校（请填写完整的全名）：
南通大学
参赛队员 （打印并签名） ：1.
２.
3。
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名):
7月 7日
日期: 201６ 年
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两 端平头的椭圆柱体）,分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况 做了实验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影 响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 (2)对于图1所示的实际储油罐,试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型, 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之 间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件２）, 根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cｍ的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型 的正确性与方法的可靠性。
数学建模10年竞赛题及参考答案
第七届数学建模竞赛与第一届数学竞赛赛题2010-5-16系部 班级 学号 姓名 成绩2010桂林理工大学第一届数学竞赛赛题1、请叙述高等数学的主要内容。
（10分）2、将累次积分rdr r r f d ⎰⎰2cos 0)sin ,cos (πθθθθ化成直角坐标下的累次积分。
（5分） 3、已知正项级数∑∞=1n n a 发散，判定级数∑∞=+11n nna a 的敛散性。
（5分） 4、设)(t x x =由方程0sin 12=-⎰--t x u du et 所确定，请计算022=t dtxd 。
（10分）5、求0)1(22222=--++dy x y y x ydx x ，10==x y 的特解。
（10分） 6、设)(x f 具有二阶导数，在0=x 的某去心邻域内0)(≠x f ，且0)(lim=→xx f x ， 4)0(''=f ，请计算xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。
（10分） 7、设00,21,2,)21ln()(=≠->⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f 且，请计算)0()100(f 。
（10分） 8、设)(lim 1x f x →存在，)(x f 在]1,0[上可积，且恒有)(lim 3)(243)(112x f dx x f x x x f x →--+=⎰，求)(x f 。
（10分）9、设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=，证明存在),(+∞-∞∈c 使0)('=c f 。
（10分） 10、计算dS zx ⎰⎰∑2，其中∑是柱面az z x 222=+被锥面22y x z +=所截下的部分。
（10分）11、设)(x ϕ二阶连续可导，L 为不过y 轴的任一闭曲线，且曲线积分0)('])()('[2=--+⎰dy x dx x yx x x x Lϕϕϕ，求函数)(x ϕ。
2010数学建模试题(数学系各专业)
第一部分：基本操作（任选三题）（1）求当 x =1, y =2 时的z值。
其中：z =（2）用 while 循环求 1～200 之间的整数之和。
（3）输入如下两个矩阵 A 和 B ，对矩阵 A 和 B 作关系运算，标识出两矩阵中元素相等的位置，元素值不等的位置，并标识出矩阵 A 中所有小于 0 的元素。
143328523B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦123213321A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （4）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。
2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（5）用曲面图命令 surf 表现函数22z x y =+的图像。
（6）绘制颜色为蓝色，数据点用五角星标识的下述函数在(0,5)上的虚线图。
sin xy xe=（7）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。
2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（8）用plot 、fplot 绘制函数y=cos(tan(πx))图形（9）用ezplot 绘制函数exy-sin(x+y)=0在[-3，3]上图形。
（10）在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。
要求 （1）、在图形上加格栅、图例和标注 （2）、定制坐标 （3）、以不同角度观察马鞍面第二部分：基本建模题（任选两题）问题一：俗话说“大饺子能装馅”，是组建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。
问题二：层次分析法使用层次分析法解决一个实际问题，比如，为学校评选优秀学生过优秀班级构造层次分析模型；给自己毕业后选择工作做出决策；为高中毕业生建立一个填报志愿的层次结构模型。
2010年数学建模全国一等奖论文(A题)
4
四 模型分析
4.1 问题一的分析 4.1.1 无变位模型分析 通过对储油罐在无变位情况下的分析，利用平行截面面积求积分的方法，建 立计算容积的数学模型，并通过计算机仿真求出罐内储油的容积， 从而得出罐内 油位高度与储油量的对应关系。另外，利用matlab仿真技术进一步对实际检测数 据来分析，检验模型的正确性与方法的可靠性。 4.1.2 纵向变位 α 度模型分析 通过对储油罐在纵向变位角为 α 情况下的分析，将储油罐油容积的求解分 成三种情况讨论。一是在油位高度小于 2.05 tan α 条件下建立数学模型；二是油 位高度大于 2.05 tan α 且小于 1.2 − 0.4 tan α 条件下建立模型；三是油位高度大于 1.2 − 0.4 tan α 且小于 1.2 条件下建立模型。根据平行截面面积求积分的方法，建 立罐内油位高度与储油量的对应关系， 并计算出罐容表标定值。 另外利用 Matlab 对该模型进行仿真，并与附录表中的实测数据进行比较， 参照比较的结果实现对 模型的优劣判断，并计算出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 4.2 问题二的分析 首先分析罐内储油量和油位高度与变位参数纵向倾斜角度 α 关系，通过积分 求得体积，为简化积分，将图形分段积分，最后得到体积关于油位高度的函数表 达，再分析油罐横向偏转倾斜 β 后，罐内储油量与油位高度的关系，由于横向倾 斜对液面的垂直距离影响很小，可近似忽略， 最终可得到体积关于油位高度的数 学模型。再通过最小二乘拟合，根据附表二中的数据，得到最接近实际的偏转角 α、β ，将 α 和β 的近似值代入上述数学模型，并用 Matlab 仿真出函数曲线，与 真实曲线进行误差分析，验证模型的真实性和合理性。
2010数学建模竞赛A题获奖作品答案
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲1105所属学校（请填写完整的全名）：中国海洋大学参赛队员 (打印并签名) ：1.刘润华2.赵利娜3.刘泽指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组日期：2010年9月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是罐体变位对罐容表的影响。
通过建立空间直角坐标系，利用体积的二重积分求出进油量，得出罐内油位高度与储油量的关系。
对于问题一，我们分别对储油罐无变位和倾斜角为 4.1α= 的纵向变位两种情况分别进行研究，对罐体无变位情况我们建立直角坐标系求出进油量的底面进行求解即可得到罐内油的体积；对于有倾斜积，利用柱体的体积公式V S h=底角的情况我们先利用定积分求出沿罐外壁方向切面的面积，再根据油浮子示数与实际油面与罐底之间的关系，沿油罐外壁对切面面积进行积分求出罐内油的总体积。
对于问题二，我们首先根据油罐中的液面分布情况，将问题分为三种情况，可是考虑到实际因素，只对液面与两端球冠有交点并且不接触到油罐的顶端这种情况进行考虑。
又因为储油罐的横向和纵向的变位在实际中非常小，所以将此问题两端球冠处的液面分布进行平行简化，进而针对两球冠和中间的柱体分别进行积分，进而建立储油罐内的容量V与桶内油浮子所表示的液面高度h之间的数学模型。
10年春季学期《数学模型及数学软件》试卷AB卷解评分参考详解
10年春季学期《数学模型及数学软件》试卷A B卷解评分参考详解(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除22010年春季学期《数学模型及数学软件》试卷A 卷一、 填空题（每空2分，满分14分）：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模的基本步骤还是有规律可循的。
所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 、 、、 、 。
2、 在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第n 期的市场需求量n x 、市场供给量n y 及价格n q 等之间满足12120,36n n n n x q y q -=-+=-，那么该商品的均衡价格是 ，供求关系是否能稳定？二、简答题（每小题2分，满分8分）： 从下面一段不太明确的叙述中确定出要研究的问题，指出需要搜集哪些数据资料（至少列举3个），要做些什么建模的具体前期工作（至少列举3个），指出可以建立何种类型的数学模型：“一座高层办公楼有三部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。
1、要研究的问题是2、所需搜集资料为3、要做的具体建模前期工作4、可以建立 模型，亦可 模型三、M 程序翻译题（每小题6分，满分12分）： 将下列Matlab 程序翻译成为数学模型或数学问题.1、 f = [13 ,9, 10 ,11, 12,8];A = [ ,, 1 ,0,0, 0; 0, 0, 0, ,, ];b = [800; 900];Aeq=[1, 0 ,0 ,1, 0 ,0; 0 ,1, 0 ,0, 1, 0; 0 ,0, 1,0 ,0 ,1];beq=[400, 600, 500];vlb = zeros(6,1);vub=[];[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)2、x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);3z=cos(x);plot(x,y,'r',x,z,'go')gtext('sin(x)');gtext('cos(x)');四、刹车问题（12 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S 米，刹车时的速度V 千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系S=KV 2T （K 为常数），现有一辆空车，它在60千米/小时的速度下行驶的刹车距离为10米。
中央电大本科数学建模试题2010年1月
市之间的可通道路及其间距离如图一所示(单位 : k m ) .试设计-个从叫到叫的运输路线，使
625
|得分 l 评卷人 l
I
]
I
三、计算题(每题 2 5 分 ， 满 分 5 0 分丁
1.求解决策变量带有上下界的线性规划模型:
max Z=XI +Xz
2Xl +xz 二三 4 ，
s. t.
3XI + 2 x z 豆豆 1 2 ，
2~xz::::三 4 ，
Xl 二二 o .
并说明:(1)若约束条件右端项表示资源，那么资源的利用情况怎样?
家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件进货一次的批发手续费为200存储费用为每件001元天店主不希望出现缺货现象则最优进货周期与最优进货量分别为
试卷代号 : 1 0 8 8
座位号IT]
中央广播电视大学 2 0 0 9 - 2 0 1 0学年度第一学期"开放本科"期末考试(半开卷)
数学建模试题
2010 年1 月
2. Q=10 一丁 = 8 . 5 3 4 9 ( 万 元 )
3. s=k 主二三
y
508
5P
4.
T* 句 2 0 ， Q "
=2000
二、分析判断题(每题1 5分.满分 3 0分)
1.解(1)更换自来水龙头及其费用、节约下来的水费两个因素，两者的比较可用于确定建
模目标 s …… 8分
(2) 数 据 调 查 z 学 校 平 均 每 个 月 的 用 水 量 ， 食 堂 的 用 水 量 、 卫 生 间 用 水 量 、 宿 舍 用 水 限 量 、 定
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5．（20分）某企业根据去年(t=0)的统计得知，共有技术人员300 名，其中技术员职称（初级职称）的有140名，助理工程师（中级职 称）100名，工程师（包括高级工程师，高级职称）60名。现规定技 术员每年可以有30%晋升为助理工程师，又有10%的技术员因各种原 因调离该企业，余下60%留任原岗位，助理工程师每年要有40%留 任，30%晋升工程师，30%调离,工程师则每年有60%留任，40%调离 或退休。同时，该企业计划每年向社会招聘80名大学生一补充技术 员队伍。现要求 （1）建立合适的数学模型，以便可以预测今后若干年内该企业中的 各类技术人员的人数分布情况；（只要求建立数学模型，不要求具 体结果） （2）在（1）的基础上，建立合适的数学模型，以便可以预测今后 若干年内该企业中的技术人员总量情况。（只要求建立数学模型， 不要求具体结果）
（)
A. B. C. D.
3. 模28倒数表中可能出现的数是
()
A. 12
B.5
C.14
D.7
4. 线性最小二乘法得到的函数不可能为
（）
A.线性函数 B. 对数函数 C. 样条函数 D. 指数函数
5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有
（）
A.泛函在处取极值的充要条件是泛函变分；
B. 泛函在处取极值的充分条件是泛函变分；
试确定x与y的最佳拟合多项式的阶数，确定该拟合函数表达式，并估
计加热1小时时的温度。
4.（20分）如果在用层次分析法建模时构造了某个判断矩阵， （1） 计算矩阵A的最大特征值（保留到小数点后2位，采用其它方法
计算不给分）； （2） 判断该矩阵能否通过一致性检验？
附表 随机一致性指标值
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
（）
5.一阶线性齐次差分方程平衡点的稳定性由系数矩阵谱半径决定。
()
四．应用题（共70分）
1.（5分）某外贸进出口公司拟用集装箱托运甲乙两种货物，每包体
积、重量、可获利润及集装箱数目所受限制见下表：
货物 体积（立方米） 重量（千克） 利润(千元)
（包）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
集装箱限
24
13
制
问每个集装箱中两种货物各装多少包，可以使所获利润最大？试对该
问题建立合适的数学模型，不需要求出具体结果。
2（10分）深水中的波速与波长、水深、水的密度和重力加速度有关。 用量纲分析法确定与其余变量之间的关系。
3.（15分）某种电热水器加热时间x与水温y之间有如下的实验数
据：
x（ 分钟） 15 20 25 30 35
y（℃)
12.16 13.97 14.96 15.49 16.8
C. 泛函在处取极值的必要条件是泛函变分；
D. A,B,C均正确
三．判断题（每题2分，共10分）
1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（
）
2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
（）
3. Matlab软件内置命令程序可以直接求解一般的整数线性规划问题。
（）
4. Volterra模型得到的周期解里，食饵与捕食者可以同时达到峰值。
。
4. 根据Malthus模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初
值3倍所需时间为(假设初值为正)
。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素。
二．选择题：（每题2分，共10分）
1. 在下列Leslie矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是
(
)
A. ； B. ； C. ； D.以上都不对
2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是
东 南 大 学 考 试 卷（A卷）
姓名
学号
班级
课程名 数学建模与实 称验
考试学 期 09-10-2
得分
适用专 各专业 业
考试 形式 闭卷
考试时 120分
间长度
钟
学号
姓名
一．填空题：（每题2分，共10分）
1. 阻滞增长模型的解为
。
2. 用Matlab做常微分方程数学实验，常用的命令有
。
3. 整数m关于模12可逆的充要条件是：