圆的基本图形及综合训练

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专题12 圆的综合题(解析版)

专题12 圆的综合题一、圆的概念及与圆的相关概念1．圆的概念（1）定义1：把线段OP绕着端点O在平面内旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．其中，点O 叫做圆心，线段OP叫做半径．（2）定义2：平面内到定点的距离等于定长的点组成的集合叫做圆．其中定点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的有关概念与基本性质是解决圆的有关问题的基础．如圆与三角形结合的题目，经常利用半径相等，构造等腰三角形，再利用等腰三角形性质证明线段或角相等．2．与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做直径．（3）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．用符号“⌒”表示．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（4）等圆、同心圆:能够互相重合的两个圆叫做等圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．（5）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（6）等弧：能够互相重合的弧叫做等弧．二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，用图形表示点与圆的位置关系如图所示．三、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1．1°的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．2．圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．【注意】（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧．五、垂径定理及垂径定理的推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．定理的条件：（1）直径，弦（2）直径垂直弦定理的结论：（1）弦被直径平分（2）弦所对的两条弧被平分2．垂径定理的推论如果一条直线具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径的弦）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧这五个性质中的任意两个，那么这条直线就具有余下的三个性质，简称“知二推三”．【注意】在垂径定理推论中，一定不能忽视“弦不是直径”这一条件．因为一个圆的任意两条直径都能互相平分，但未必垂直．六、确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆．【注意】（1）这里的“三个点”不是任意的三点，而是指不在同一条直线上的三个点，在同一直线上的三个点不能画圆．（2）“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆．（3）过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．七、三角形的外接圆1．三角形外接圆的概念三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．【注意】（1）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，因此三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．（3）锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心在斜边（斜边中点）．2．三角形外接圆的作法要作三角形的外接圆只要找到外接圆的圆心即可，而外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点．所以只需作出两条边的垂直平分线的交点，就可以确定外接圆的圆心．八、圆周角定理1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【注意】（1）这一定理应用的前提条件是在“同圆或等圆中”，且不能丢掉“同弧或等弧所对的”这一条件．（2）定理的逆命题也成立，即在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长也相等．（3）由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．2．直径（或半圆）所对的圆周角是直角．90︒的圆周角所对的弦是直径．90的圆周角联系在一起，构造直径所对的圆周角是解决与圆有关问题的常用【注意】把圆中的直径与︒方法．九、圆内接四边形1．定义：一个四边形的四个顶点都在一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2．性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角．3．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．4．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆．【注意】（1）任何圆都有圆内接四边形，但并不是所有四边形都有外接圆．（2）圆的内接四边形可以有无数个，如果四边形有外接圆，那么它只有一个外接圆．（3）圆内接四边形对角互补的性质是计算圆周角的重要依据之一．十、直线与圆的位置关系1．直线与圆有三种位置关系：相交、相切和相离．①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线．②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的性质和判定：【注意】判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是看直线与圆的公共点的个数；二是看圆心到直线的距离与半径之间的数量关系．3．切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．符号语言∵OA⊥l于A，OA为半径，∴l为⊙O的切线．（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）【注意】（1）判定定理中的已知条件“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”缺一不可．（2）这个定理是切线最常用的判定方法，常见的辅助线是“连半径”．4．切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）【注意】（1）切线的性质中：①半径；②垂直；③经过切点，这三个条件只要满足任何两个，则必具备另外一个．其中“半径”也可看做“过圆心的直线”．（2）切线的判定与切线的性质的区别：切线的判定是在未知相切而要说明相切的情况下运用，切线的性质是在已知相切而要推出一些其他结论时运用，两者在运用时不要混淆．5．切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角．（1）定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．【注意】（1）切线长不是指切线的长度，而是指圆的切线上一点与切点之间的线段长．（2）切线长定理的基本图形要熟记，还可推出结论：这点和圆心的连线垂直平分切点弦（切点连成的弦），同时也平分这两条切线的夹角．6．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．【注意】（1）三角形的内切圆只有一个，圆的外切三角形有无数个．（2）三角形的内心是三角形角平分线的交点．（3）三角形的内心到三角形三边的距离相等．十一、正多边形的有关计算正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，因此正n边形的计算问题可转化为直角三角形的计算问题来解决，在计算时应注意：r，另一条直角边（1）这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径r，一条直角边是正n边形的边心距n是正n 边形边长n a 的一半，一个锐角是正n 边形中心角n α的一半，即180n︒．（2）正n 边形的每个中心角都等于360n︒，说明正n 边形的中心角等于它的外角．十二、弧长公式在半径为R 的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆周长2πC R =，所以1°的圆心角所对的弧长是2360180πR πR=，于是在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长180R n l π=．十三、扇形面积公式一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．因为圆的面积为2R π，所以1°的扇形的面积是2π360R ，那么圆心角为n 的扇形的面积为2π360扇形n R S =因为扇形的弧长π180n Rl =，所以扇形面积还可以表示为lR S 21=扇形．十四、圆锥 1．圆锥的基本概念圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转一周而形成的面叫做圆锥的底面．圆锥的底面是一个圆面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面．从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2．圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长.圆锥侧面展开图的面积就是它的侧面积.如果用l 表示圆锥的母线长，用r 表示它的底面半径，由上面的分析可知：12ππ2侧S r l rl == 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为︒θ，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即有2180l r θπ=π，所以360rθl=．核心考点圆的切线及相关计算圆的综合题是广东省中考的热点，以解答题形式出现，主要考查圆的切线判定和性质，以及圆的相关计算．【经典示例】如图，在△ABC 中，以BC 为直径的O 交AC 于点E ，过点E 做EF AB ⊥于点F ，延长EF 交CB 的延长线于点G ，且2ABG C ∠=∠．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若3sin 5EGC ∠=，O 的半径是3，求AF 的长．答题模板第一步，添加辅助线：连接圆的圆心和切点．第二步，证垂直：根据题目条件证明垂直．第三步，计算：利用直角三角形性质和相似三角形性质进行计算．【满分答案】（1）连接OE ，则2EOG C ∠=∠，∵2ABG C ∠=∠，∴ABG EOG ∠=∠， ∴∥AB OE ，∵EF AB ⊥，∴090AFE ∠=， ∴090GEO AFE ∠=∠=， ∴OE EG ⊥，又∵OE 是O 的半径， ∴EF 是O 的切线．（2）∵2ABG C ∠=∠，∵ABG C A ∠=∠+∠， ∴C A ∠=∠，∴BA =BC ，又O 的半径为3， ∴OE =OB =OC ， ∴BA =BC =2×3=6，在Rt △OEG 中，sin ∠EGC =OEOG ，即335OG =， ∴OG =5，在Rt △FGB 中，sin ∠EGC =BFGB ，即352FB =， ∴BF =65， ∴AF =AB -BF =6-65=245．【解题技巧】证明切线，首先看是否有切点，有切点的连接圆心和切点，证垂直；没有切点的，过圆心作垂线，证明垂线段等于半径；其次，利用直角三角形和相似三角形的性质求边长．模拟训练如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，D 是边AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 经过点E ，且交BC 于点F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CE=4．【解析】（1）连接OE．∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线.（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE，∵BF=6，∴BH=3，△中，OB=5，在Rt BHO∴OH=4，∴CE=4．1．（2018·广东）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3. 【解析】（1）如图，连接OC ，在△OAD 和△OCD 中，OA OC AD CD OD OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△OAD ≌△OCD （SSS ）， ∴∠ADO =∠CDO ，又AD =CD ， ∴DE ⊥AC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°，∴∠ACB =90°，即BC ⊥AC ， ∴OD ∥BC . （2）∵tan ∠ABC =ACBC=2， ∴设BC =a ，则AC =2a ， ∴AD =AB=，∵OE ∥BC ，且AO =BO ， ∴OE =12BC =12a ，AE =CE =12AC =a ，在Rt △AED 中，DEa ，在△AOD 中，AO 2+AD 2=）2+）2=254a 2， OD 2=（OE +DE ）2=（12a +2a ）2=254a 2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切. （3）如图，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DF ADAD BD=，即DF•BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴AD DEOD AD=，即OD•DE=AD2②，由①②可得DF•BD=OD•DE，即DF DE OD BD=，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴EF DE OB BD=，∵BC=1，∴AB=ADOD=52，ED=2，BD，OB=∴EF=2.【名师点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解题的关键.2．（2017·广东）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）BC 6023π=．【解析】（1）∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ， ∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ， ∴∠OCP =∠CEB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，∠BCE +∠OBC =90°， ∴∠BCE =∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．（2）连接AC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACF =90°，∠ACE +∠BCE =90°， ∵∠BCP =∠BCE ， ∴∠ACF =∠ACE ，∵∠F =∠AEC =90°，AC =AC ， ∴△ACF ≌△ACE ， ∴CF =CE ．（3）作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =3a ，则PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CMPM BM=， ∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM ，∴tan ∠BCM =BM CM ∴∠BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长6023π=． 3．（2018·山东东营）如图，CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上．（1）求证：∠CAD =∠BDC ；（2）若BD =23AD ，AC =3，求CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CD =2．【解析】（1）连接OD ，如图所示．∵OB =OD ， ∴∠OBD =∠ODB ．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BD C．（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴BD CD AD AC=．∵BD=23 AD，∴23 BDAD=，∴2=3 CDAC，又∵AC=3，∴CD=2．【名师点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出2=3 CDAC．4．（2018·江苏淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）直线DE与⊙O相切．理由见解析；（2）图中阴影部分的面积为4.8﹣109π．【解析】（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥AC ， ∴∠OAC =90°，∵点E 是AC 的中点，O 点为AB 的中点， ∴OE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3， ∵OB =OD ， ∴∠B =∠3， ∴∠1=∠2，在△AOE 和△DOE 中12OA OD OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△DOE ， ∴∠ODE =∠OAE =90°， ∴OA ⊥AE ， ∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵点E 是AC 的中点， ∴AE =12AC =2.4， ∵∠AOD =2∠B =2×50°=100°，∴图中阴影部分的面积=2×12×2×2.4﹣21002104.83609π⨯=-π．【名师点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．5．（2018·湖北宜昌）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，延长AE 至点F ，使EF =AE ，连接FB ，FC ．（1）求证：四边形ABFC 是菱形；（2）若AD =7，BE =2，求半圆和菱形ABFC 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°， ∴AE ⊥BC ， ∵AB =AC ， ∴BE =CE ， ∵AE =EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形， ∵AC =AB ，∴四边形ABFC 是菱形．（2）设CD =x ．连接BD ． ∵AB 是直径， ∴∠ADB =∠BDC =90°，∴AB 2﹣AD 2=CB 2﹣CD 2， ∴（7+x ）2﹣72=42﹣x 2，解得x =1或﹣8（舍弃）∴AC =8，BD∴S 菱形ABFC 218=()822S ⨯π⨯=π半圆.【名师点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2018·广西钦州）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CBG =∠A ，CD 为直径，OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连接BD ．（1）求证：PG 与⊙O 相切；（2）若EF AC =58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O 的半径为8，PD =OD ，求OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）54；（3）OE 4．【解析】（1）如图，连接OB ，则OB =OD ，∴∠BDC =∠DBO ，∵∠BAC =∠BDC ，∠BDC =∠GBC ， ∴∠GBC =∠BDC ， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBO +∠OBC =90°， ∴∠GBC +∠OBC =90°， ∴∠GBO =90°， ∴PG 与⊙O 相切；（2）过点O 作OM ⊥AC 于点M ，连接OA ，则∠AOM =∠COM =12∠AOC ，易知∠ABC =12∠AOC ，又∵∠EFB =∠OMA =90°， ∴△BEF ∽△OAM ，∴EF BEAM OA=， ∵AM =12AC ，OA =OC ，∴12EF BE OC AC =，又∵58EF AC =，∴552284BE EF OC AC =⨯=⨯=. （3）∵PD =OD ，∠PBO =90°， ∴BD =OD =8，在Rt △DBC 中，BC，又∵OD =OB ，∴△DOB 是等边三角形， ∴∠DOB =60°，∵∠DOB =∠OBC +∠OCB ，OB =OC ， ∴∠OCB =30°， ∴12EF CE =，FCEF∴可设EF =x ，则EC =2x ,FC， ∴BF，由（2）知5,4BE OC =又OC =8，∴BE =10. 在Rt △BEF 中，BE 2=EF 2+BF 2，∴100=x 2+（）2，解得：x∵8，舍去，∴x=6∴EC=12﹣∴OE=8﹣（12﹣4．【名师点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.7．（2018·山东省潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC，AC，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AD．【解析】（1）如图，连接OA，交BC于F，则OA=OB，∴∠D=∠DAO，∵∠D=∠C，∴∠C=∠DAO，∵∠BAE=∠C，∴∠BAE=∠DAO，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD =90°，即∠DAO +∠BAO =90°，∴∠BAE +∠BAO =90°，即∠OAE =90°， ∴AE ⊥OA ，∴AE 与⊙O 相切于点A . （2）∵AE ∥BC ，AE ⊥OA ， ∴OA ⊥BC ， ∴AB AC =，FB =12BC ， ∴AB =AC ，∵BC ，AC ，∴BF ，AB ，在Rt △ABF 中，AF ，在Rt △OFB 中，OB 2=BF 2+（OB ﹣AF ）2，∴OB =4， ∴BD =8，∴在Rt △ABD 中，AD ==【名师点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．。

幼儿认识圆形练习题

幼儿认识圆形练习题
在幼儿园的学习过程中，认识和学习各种形状是一个重要的环节。

其中，认识圆形是其中的一部分内容。

为了帮助幼儿更好地认识和学习圆形，下面将给出一些针对幼儿的圆形练习题。

1.请你找出下面图片中的圆形。

（插入图片1）
2.请你用手指指出下面图片中的圆形。

（插入图片2）
3.请你在下面图片中圈出圆形。

（插入图片3）
4.请你找出下面图片中的不是圆形的形状。

（插入图片4）
5.请你帮助小猫找到圆形的宝宝。

（插入图片5）
6.小明的妈妈给他做了一个蛋糕，蛋糕是圆形的，请你画出这个蛋糕的轮廓。

7.小明有一个篮球，它是一个圆形的，请你画出这个篮球的样子。

8.小红想要画一个太阳，她知道太阳是圆形的，请你画出太阳的轮廓。

9.请你找出下面图片中的圆形。

（插入图片6）
10.请你找出下面图片中的不是圆形的形状。

（插入图片7）
通过这些练习题，幼儿可以通过观察和操作，进一步认识和理解圆形这一形状。

在练习的过程中，还可以辅以相关的教具和故事，以帮助幼儿更好地理解和记忆圆形。

六年级数学圆的教案6篇

六年级数学圆的教案6篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第24章圆的复习-九年级数学上册教学课件(人教版)

原所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
理
C
精
炼
O
8mm
A
B
提
D
升
与圆有关的概念
典 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
例 2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦.
原 4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
理 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
炼【注意】(1)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点.
(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
提
(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
升
(4)一个三角形的内切圆是唯一的.
点与圆的位置关系
典 1.在△ABC中,∠C=90º,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆例心,1为半径作⊙C,则( C )
原 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦, 理并且平分这条弦所对的两条弧；
精 3.垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 炼
提升
圆的基本性质
典 1.圆的对称性：例圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
原 2.有关圆心角、弧、弦的性质：
理
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、
° 精炼
提升
典 6.如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点例 E.若BC=BE.求证：△ADE是等腰三角形．
原理
精炼
提升
典 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC. 例 (1)若∠CBD=39º,求∠BAD的度数；原 (2)求证：∠1=∠2. 理

第一单元《圆》综合达标训练提优测评卷 2022—2023北师大版六年级上册(含答案)

第一单元《圆》综合训练习题2022—2023北师大版六年级上册（含答案）一、选择题1. 下面三幅图的阴影部分的周长相比较，（）。

A．图（1）大B．图（2）大C．图（3）大2. 画一个周长是56.52厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米。

A．3 B．6 C．9 D．123. 外圆半径为R，内圆半径为r的一个圆环的面积等于（）。

A．π（R²－r²）B．π（R－r）²C．2πR－2πr D．π（R＋r）²4. 车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）。

A．半径 B．直径 C．周长 D．面积5. 小明在三张边长为8厘米的正方形彩色卡纸上分别画出不同规格的圆形（如图所示），将图中的圆形剪下后，正方形彩色卡纸一定会有剩下的废料，下面说法正确的是（）。

A．甲种彩色卡纸剩下的废料多B．乙种彩色卡纸剩下的废料多C．丙种彩色卡纸剩下的废料多D．剩下的废料同样多二、填空题6. 一个周长是12.56厘米的圆，若它的直径扩大到原来的4倍，则周长扩大到原来的_________倍，面积扩大到原来的___________倍。

7. 用一根6.28dm长的铁丝弯成一个圆形铁环，这个铁环的直径是( )dm，面积是( )2dm。

8. 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径为30cm，要骑过18.84m长的钢丝，车轮要转____________周。

（取3.14）9. 如图,长方形和圆的面积相等，圆的周长是6.28厘米，长方形的长是( )厘米。

请你任选一种（画示意图、写文字、列算式等）方式表达：( )10. 一个车轮滚动100圈前进了188.4米，这个车轮的半径是( )米。

11. 一个钟表分针长10厘米，时针长8厘米，从2时走到3时，分针所扫过的面积是__________平方厘米，分针尖端走过的周长是__________厘米；从3时到6时，时针扫过的面积是__________平方厘米。

（取3.14）12. 圆周率是圆的和的比值，它是一个小数．13. 在一个直径是6米的圆形水池周围，修一条2米宽的石子路。

2020年中考数学压轴题训练-圆的综合(学案)

第03讲中考压轴题-圆的综合考点梳理一．近5年中考双压轴之圆的综合考点归纳二．题型概述几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。

它常用相似图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。

三．解题策略1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论）2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。

年份知识点2015考察圆切线的性质求边长，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识2016考察圆的切线证明，翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，，相似三角形的判定与性质．2017考察圆垂径定理求半径、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识2018考察圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质2019考察圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值问题3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径，作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。

感悟实践1、（2015年深圳中考第22题）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．2、（2016年深圳中考第22题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．3、（2017年深圳中考第22题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．上的动点，且cos∠4、（2018年深圳中考第22题）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为晦ABC（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．5、（2019年深圳中考第22题）闯关练习1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．2．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P 从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．3．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．4．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．5．己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．考场直播1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．能力平台1．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．3．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．5．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．7.如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．21。

第一单元圆(讲义) 小学专项训练

第一单元圆（讲义）小学数学六年级上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练）1.圆的各部分名称。

（1）圆心。

画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。

圆心一般用字母O表示。

（2）半径。

用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。

半径一般用字母r表示。

（3）直径。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。

直径一般用字母d表示。

2.圆的特征。

（1）圆是由一条曲线围成的封闭图形，无顶点。

（2）在同一圆内，有无数条半径且长度都相等；有无数条直径且长度都相等。

（3）在同圆或等圆中，直径是半径的２倍，半径是直径的一半，用字母表示为ｄ＝2ｒ或ｒ＝ｄ÷２。

3.用圆规画圆的方法。

第一步：确定半径。

把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。

第二步：确定圆心。

把圆规有针尖的一脚固定在一点。

第三步：旋转一周。

把圆规装有铅笔的那只脚旋转一周就画出一个圆。

4.圆的轴对称性。

圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴。

5.常见的轴对称图形。

等腰三角形、等腰梯形和半圆都有1条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条称轴。

6.欣赏与设计图案。

欣赏图案就是运用观察、分析的方法理解图案的设计过程。

设计图案就是根据基本图形的特点，运用平移、旋转和轴对称的知识设计图案。

7.圆的周长。

围成圆的曲线的长是圆的周长，一般用字母C表示。

圆的周长的大小与半径的长短有关。

8.圆周率。

任意一个圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率，用字母π表示。

它是一个无限不循环小数，π的值在３.１４１５９２６和３.１４１５９２7之间。

计算时，π通常取它的近似值３.1４。

用公式表示圆周率：圆周率=圆的周长÷半径=π。

9.圆的周长计算公式。

圆的周长＝直径×圆周率或圆的周长＝半径×２×圆周率。

如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。

《圆的认识》练习课

《圆的认识》练习课《《圆的认识》练习课》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标：熟练掌握圆的周长公式和面积公式，进一步应用圆的周长公式和面积公式解决简单的实际问题，体验图形和生活的联系，感受平面图形的学习价值，激发数学学习的兴趣，增强学好数学的自信心。

教学重点：运用圆的周长公式或面积公式解决实际问题。

教学难点：正确计算简单组合图形的面积。

教学准备：课件教学过程：短时学习：32=42=0.62=0.72=82=92=102=502=一、知识再现1.谈话：我们已经学习了圆的周长和面积，谁来说说是怎样计算的?教师根据学生的回答板书：C=πd或C=2πr;S=πr。

2.揭题：今天这节课，我们一起来比较它们的计算方法。

(板书课题)二、基本练习1.完成教材第101页“练习十五”第10题。

让学生独立完成，集体订正时说说是怎样计算的。

2.完成教材第101页“练习十五”第11题。

引导学生比较：面积是围成的平面部分的大小，周长是圆一周的长度;圆的面积用面积单位，圆的周长用长度单位。

3.完成教材第101页“练习十五”第12题。

学生读题，理解题意。

说说第一个问题要我们求什么?第二个问题呢?指名板演，评价交流。

三、综合练习1.完成教材第101页“练习十五”第13题。

指导学生运用画辅助线的方法，估算每种鲜花占花圃面积的几分之几，再计算每种花卉的种植面积。

2.完成教材第101页“练习十五”第14题。

引导学生根据图形作直观的判断，并说说判断的依据。

3.完成教材第101页“练习十五”第15题。

四、反思总结通过本课的学习，你有什么收获?《圆的认识》整理与练习教学目标：1.加深对圆的认识，进一步理解圆周率的含义，掌握圆的周长和面积公式，并应用公式解决相关的实际问题。

2.进一步积累认识图形的学习经验，体会等积变形、转化等数学思想方法，增强空间观念。

教学重点：进一步掌握圆的周长和面积公式，并能应用公式解决相关的实际问题。

圆的培优专题(含解答)

第4题第5题第6题第1题第2题第3题BAD ＝. （BAD ＝BAC ＋CAD ＝40＋60＝100）∠∠∠∠︒︒︒ （ABC ＝ADC ＝25）∠∠︒第7题第8题第9题第10题第11题第12题第1题第2题第3题∴BC ＝2293310+=第4题第5题第6题过点O 作OE BC ，则BC ＝2CE ＝⊥566、如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为的中点，E 为OB 上一点，AEC ＝，CE 的延»AB ∠60︒＝，∴CD ＝2CF ＝323处，方向移地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求AC，连接DE∠︒∠90︒＝290︒延长线上一点，且1180︒＝.的斜边上中线，连DE，AD，BD2CB＝CE＝CD.，AD，BD轴于点A、B，求OA＋OB的值.AM、BM∠PBC DP第1题第2题第3题第4题»第5题（设元，列方程）第6题第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题于D.OCBOAD，且四边形OFEA是矩形是等边三角形是等腰直角三角形，，PA＝9，求OM的长.4、如图，正方形ABCO 的顶点分别在轴、轴上，以AB 为弦的⊙M 与轴相切于F ，y x x已知A ，求圆心M 的坐标.(0,8)解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E∵⊙M 与轴相切，即OC 是⊙M 的切线x ∴EF OC ，⊥又四边形ABCO 是正方形∴EF AB ，⊥又A （0，8）即AB ＝EM ＝OA ＝8∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝，则EM ＝8－x x∴，∴，即MF ＝52224(8)x x +-=5x = ∴点M 的坐标为（－4，5）圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD 为⊙O 的直径，A 为的中点，AD 交BC 于E ，过D 作⊙O 的切线，交»BCBC的延长线于F. （1）求证：DF ＝EF ；（2）若AE ＝2，DE ＝4，求DB 的长.（1）证：如图，连接AB∵BD 为⊙O 的直径，DF 为⊙O 的切线∴BAD ＝BDF ＝90∠∠︒∴ABC ＋AEB ＝ADB ＋FDE ＝90∠∠∠∠︒又ABC ＝ADB ，AEB ＝DEF ∠∠∠∠ ∴DFE ＝DEF ，∴DE ＝EF∠∠（2）解：如图，过点F 作FG ED ，则EG ＝GD ＝2＝AE ，⊥又BAE ＝FGE ＝90，AEB ＝GEF ，∠∠︒∠∠∴△ABE ≌△GFE （ASA ）， ∴BE ＝EF ，即DE 为R △BDF 的斜边上中线BD，∠＝CEB ，∠120︒，若CAB＝，求的值.＝2BF的半径为5，AE＝8，求△BEM的面积.8，求OM的长.BCD∠BCD＝DCM，，AF＝2，IF＝ID，图－1图－2又AOC ＝，QP ＝QO ∠30︒ ∴QOP ＝QPO ＝∠∠30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒∴OCP ＝∠40x =︒（2）如图－2，设COQ ＝， ∠x 又AOC ＝，QP ＝QO ∠30︒ ∴QOP ＝QPO ＝∠∠30x +︒ 又OC ＝OQ∴OQP ＝OCQ ＝∠∠60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴COQ ＝∠20x =︒∴OCP ＝∠100︒（3）如图－3，设QPO ＝∠x ∴QP ＝PO ，则QOP ＝QPO ＝∠∠x ∴OC ＝OQ∴OCQ ＝OQC ＝∠∠2x ∴230x x +=︒ ∴QPO ＝＝10∠x ︒∴OCP ＝20∠︒圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

圆的综合知识点总结(初中数学)

圆的基本概念和性质要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧:在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎩⎨⎧⇒⎭⎬⎫平分弦所对的弧平分弦垂直于弦直径(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）弧、弦、圆心角、圆周角要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义:如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

圆的典型基本图形教案资料

圆的典型基本图形图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点。

（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：①CK=CD ；BK=DE ；CK=BE/2=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB （或AC 2=AD•AB ）（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD 于E 时（如图5），则： ①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD•BG=DG 2/4=DC 2图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。

点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。

四个论断中，知一推三。

（2）①G 是⊿BCD 的内心；②③⊿BCO ∽⊿CDE(或BO•DE=CO•CE ）（3）如图（3），若①BC=CE ，则：②tan ∠ADE=AE/AD=1/2； ③BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：如右图：（1）DE 切⊙O ↔ E 是BC 的中点；（2）若DE 切⊙O ，则： DE=BE=CE ；如图1：DE ∥AB ↔⊿ABC 、⊿CDE图5图4图3图2图1CG=GD图形4：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）（2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO•AE =2R 2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .图形5：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。

(完整版)圆的初步认识练习题

(完整版)圆的初步认识练习题
圆是几何学中的一种基本图形，具有许多特殊性质。

本文将为
您提供一些关于圆的初步认识练题，帮助您巩固和加深对圆的理解。

问题一
给定一个圆，已知其半径为$5cm$，求圆的直径、周长和面积。

问题二
已知一个圆的周长为$12\pi cm$，求其半径和面积。

问题三
某个圆的直径为$8cm$，求其周长和面积。

问题四
在平面直角坐标系中，圆心位于原点，半径为$3$的圆的方程是什么？
问题五
已知一个圆心为$(2, 3)$，半径为$6$的圆，求它的方程。

问题六
判断下列说法是否正确，并简要解释为什么：
1. 一个圆的直径是两个半径的和。

2. 圆的内接四边形是一个矩形。

3. 一个平行于坐标轴的圆心为原点的圆的方程是$x^2 + y^2 = r^2$。

问题七
在平面直角坐标系中，已知圆心为$(2, -3)$，半径为$r$的圆与$x$轴和$y$轴相交于四个点$A$、$B$、$C$和$D$。

若$AB$的斜率为$-\frac{1}{3}$，求$r$的值。

问题八
一个圆与$x$轴和$y$轴相交于四个点$A$、$B$、$C$和$D$，已知$AB=3$，$BC=4$，求圆的半径。

以上是关于圆的初步认识的练习题，希望能帮助您加深对圆的理解。

在解答问题时，可以借助相关的公式和几何知识进行推导和计算。

通过练习，相信您会对圆的性质有更深入的认识。

圆的几何综合题 (27题)

圆的几何综合题成都市龙泉驿区第九中学陈礼勇一、历年圆的几何综合题回顾1、一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题；2、一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等；3、常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值等；4、常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等；二、命题规律：1、圆中的如下定理出现的频率很高：垂径定理及其推论，圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论，切线的性质及其判定定理；2、常与等腰三角形(两半径加弦)，直角三角形（直径、半圆），相似三角形，全等三角形和锐角三角函数的概念结合考查；3、相似三角形基本图形的分解是关健，如：正A字形（A1形）、斜A字形（A2形）、正八字形（X1形）、斜八字形（X2形或蝴蝶形）、射影定理图、共角共边相似（A3形）图等出现的频率很高.4、结合重要的几何定理（及其逆定理）的基本图形命题，如弦切角定理的逆定理，切线长定理的逆定理，相交弦定理，切割线定理，割线定理等（具体见后面的例题）三、常见的几何模板及辅助线回顾1、三角形：图中若有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看；线段垂直平分线，常向两端把线连；要证线段倍与半，延长缩短可试验；三角形中两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线.2、四边形：平行四边形出现，对称中心等分点；梯形里面作高线，平移一腰试试看；平行移动对角线，补成三角形常见；证相似，比线段，添线平行成习惯；等积式子比例换，寻找线段很关键；直接证明有困难，等量代换少麻烦；斜边上面作高线，比例中项一大片.3、圆：半径与弦长计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；切线长度的计算，勾股定理最方便；要想证明是切线，半径垂线仔细辨；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点圆心连，垂径定理要记全；圆周角边两条弦，直径和弦端点连；弦切角边切线弦，同弧对角等找完；如果遇到相交圆，不要忘作公共弦；内外相切的两圆，经过切点公切线；若是添上连心线，切点肯定在上面；要作等角添个圆，证明题目少困难.四、27题解题程序1、画：生长性画图，边画图边解决三个小问；2、标：将题中的已知条件标在图中；3、标：将未知问题、猜想的结论标在图中；4、联：联系知识点、联想常见的几何模块、不同知识进行联结，联系前面证明的结论；5、写：写出解题过程. 五、常见定理及基本图形分析1、垂直于弦的直径，径连弦得射影定理；如2007成都、2010成都、2011成都.2、角平分线加“相似三角形的斜八字形”会出现“共边共角相似”：如2009成都、2010成都.3、以切线长定理的基本图形，关于切线的性质与判定的证明，出现两公共底边的两等腰三角形：如2007成都、2012辽宁朝阳、2012北京.4、直径与切线（性质或判定）相结合命题：如2007成都、2012成都、2012湖北天门、2012辽宁朝阳、2012北京、2012福建甫田、2012辽宁锦州. （1）圆中常见的二级图G FE O DC BA垂径定理图垂径定理与射影定理点C 为弧AF 中点 AB 垂相交弦定理图直于CD ，有AE=CEED C BA点C 为弧BD 中点，有切割线定理图割线定理图切线长定理图 ABC ∽△BEC(2）部分中考题图形选2007成都 2008成都 2009成都2010成都 2011成都 2012成都2012湖北天门2012辽宁朝阳2012北京中考2012福建甫田2012辽宁锦州六、中考真题分析⊥于点D，过点B作⊙O 1、（成都中考2007，10分）如图，A是以BC为直径的O上一点，AD BC，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与的切线，与CA的延长线相交于点E GCB的延长线相交于点P．=；（1）求证：BF EF（2）求证：PA是⊙O的切线；=，且⊙O的半径长为32，求BD和FG（3）若FG BF的长度．2、（成都中考2008，共10分）如图，已知⊙O 的半径为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧AB 上的一个动点（不与点A ，点B 重合）.连结AC ，BC ，分别与⊙M 相交于点D ，点E ，连结DE.若AB=23. (1)求∠C 的度数； (2)（2）求DE 的长； (3)（3）如果记tan ∠ABC=y ，ADDC=x （0<x<3），那么在点C 的运动过程中，试用含x 的代数式表示y.3、（成都中考2009，共10分）．如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ． (1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； (2)求证：AE=BF ；（3）若3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积.4、（成都中考2010，共10分）．已知：如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE ，BC 于点P ，Q ．（1）求证：P 是ACQ ∆的外心；（2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长；（3）求证：2()FP PQ FP FG +=．5、（成都中考2011，共10分）已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点为圆心，以OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B ，D 两点．过点B 作B K ⊥AC ，垂足为K ．过点D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC ，AB ，⊙O 及CB 的延长线相交于点E ，F ，G ，H ．（1）求证：AE=CK ；（2）如果AB=a ，AD=a a (31为大于零的常数），求BK 的长；（3）若F 是EG 的中点，且DE=6，求⊙O 的半径.6、（成都中考2012，共10分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）求证：KE=GE ；（2）若2KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23FG 的长．7、（2013年成都）如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：（2）若3tan 4ADB ∠=，4333PA AH -=，求BD 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.8、（2014年成都）如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是⌒AC 上异于A,C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G. （1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB=5，⌒AP =⌒BP ，求PD 的长；（3）在点P 运动过程中，设x BGAG=，y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值范围）9、（2013年北京)如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E ．（1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长．10、（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．11、（2014•南昌）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）求△OPC的最大面积；（2）求∠OCP的最大度数；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．12、（2014辽宁盘锦）如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交B C于点E，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若cosA=12,AB=83AG=3BE的长；(3)若cosA=12,AB=3BE的取值范围.G FEDO CBA13、（2013泸州)如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CDA CBD ∠=∠. （1）求证：2CD CA CB =⋅；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12,2tan 3CDA ∠=，求BE 的长.14、（2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ．（1）当BC=1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．E15、（2014•德阳）如图，⊙O 中，FG 、AC 是直径，AB 是弦，FG ⊥AB ，垂足为点P ，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，交GF 的延长线于点E ，已知AB=4，⊙O 的半径为．（1）分别求出线段AP 、CB 的长；（2）如果OE=5，求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果tan ∠E=，求DE 的长．第24题图EOAD16、（2014•甘孜州）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC 2=2CD •OE ；（3）若cos ∠BAD=，BE=，求OE 的长．17、（2012湖北天门8分）如图，D 为O ⊙上一点，点C 在直径BA 的延长线上，CDA CBD ∠=∠．（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）过点B 作O ⊙的切线交CD 的延长线于点E ，若26tan 3BC CDA =∠=，，求BE 的长． EO DBCA18、（2012北京中考）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．EDCBOA19、(2012辽宁朝阳)如图已知P 为⊙O 外一点．PA 为⊙O 的切线，B 为⊙O 上一点，且PA=PB ，C 为优弧AB 上任意一点（不与A ，B 重合），连接OP ，AB ，AB 与OP 相交于点D ，连接AC ，BC ．（1）求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若2tan BCA 3∠=，⊙O，求弦AB 的长．20、（2012辽宁锦州）如图：在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 做直线DE 垂直BC 于F ，且交BA 的延长线于点E. （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若cos ∠BAC=31，⊙O 的半径为6，求线段CD 的长.B21、(福建甫田2012，本小题满分10分)如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上，延长BC 到点D ，使得 CD ＝BC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，点G 为DF 的中点，连接CG ，OF ，FB ． (1)(5分)求证：CG 是⊙O 的切线；(2)(5分)若△AFB 的面积是△DCG 的面积的2倍，求证：OF ∥BC ．EO22、（福建厦门2012，本题满分9分）已知：如图8，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E ，∠BCD ＝∠BAC . （1）求证：AC ＝AD ；（2）过点C 作直线CF ，交AB 的延长线于点F ，若∠BCF ＝30°,则结论“CF 一定是⊙O 的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.图8A23、（肇庆2012，本小题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P . 求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BEC ∽△ADC ；（3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．24、如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC ，CF ，AC ．（1）求证：BC=CF ；（2）若AD=6 ，DE=8 ，求BE 的长；（3）求证：AF + 2DF = AB ．25、（湖北十堰2012）如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ∥AC ，且∠CBD=∠BAC ，OD 交⊙O 于点E ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 为线段OD 的中点，证明：以O ，A ，C ，E 为顶点的四边形是菱形；（3）作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G （如图2），求FG ：FC 的值．EDCB OA26、（2012年湖北襄阳市）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，1tan 2F ∠=，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． CFED OBAP27、(2012广西桂林，10分)如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心，顺次连接A ，O 1，B ，O 2．(1)求证：四边形AO 1BO 2是菱形；(2)过直径AC 的端点C 作⊙O 1的切线CE 交AB 的延长线于E ，连接CO 2交AE 于D ，求证：CE ＝2O 2D ； (3)在(2)的条件下，若△AO 2D 的面积为1，求△BO 2D 的面积．DCEO 2O 1BA28、（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B，C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由．DlFE OCBA29、（2011四川宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上到一点E 使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．O HG ED CBA30、（2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．。

圆的图形面积练习题

圆的图形面积练习题圆是几何学中的一个基本图形，具有独特的性质和特点。

在求解圆的面积时，我们可以通过一些练习题来加深对圆的认识和理解。

下面，我们一起来解答一些关于圆的面积练习题。

题目一：已知圆的半径为5cm，请计算其面积。

解析：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π约等于3.14，r表示半径。

将题目中给出的半径代入公式，可得到A = 3.14 * 5² =3.14 * 25 = 78.5cm²。

因此，该圆的面积为78.5平方厘米。

题目二：已知圆的面积为100平方米，请计算其半径。

解析：根据圆的面积公式A = πr²，我们可以将已知的面积和半径代入公式进行求解。

即100 = 3.14 * r²。

将该方程变形为 r² = 100 / 3.14，再开方可得到r = √(100 / 3.14) ≈ √31.85 ≈ 5.65。

因此，该圆的半径约为5.65米。

题目三：已知圆的直径为12cm，请计算其面积。

解析：题目中给出的是直径，而圆的面积公式一般涉及的是半径。

因此，我们需要将直径转换为半径。

由于直径等于半径的两倍，所以该圆的半径为12 / 2 = 6cm。

将半径代入圆的面积公式，可得到A = π * 6² ≈ 3.14 * 36 ≈ 113.04。

因此，该圆的面积约为113.04平方厘米。

通过以上的三道练习题，我们可以发现计算圆的面积并不困难，只需要掌握好面积公式和进行简单的数值计算即可。

但是，圆的面积与圆的半径和直径之间存在着一定的关系，我们需要根据题目给出的条件进行相应的转换和计算。

在实际生活中，我们常常会遇到需要计算圆的面积的问题。

例如，在装修房间的时候，计算地板面积或者墙面面积时，往往会用到圆的面积。

此外，在生活中绘制的圆盘、观测的圆形物体等，也会涉及到圆的面积的计算。

总结起来，掌握计算圆的面积是非常重要的。

通过练习题的求解，可以帮助我们加深对圆的面积公式的理解和运用，并在实际问题中灵活运用，解决实际问题。

第五单元完美的图形圆第2课时圆的认识与画圆练习(教案)- 数学六年级上册

圆的认识与画圆练习教学内容：青岛版数学六年级上册第2课时。

教学目标：1.进一步体会圆的特征；熟练掌握圆的各部分名称，能灵活、正确地按要求画圆，用圆的知识来解释生活中的简单现象；认识扇形，知道扇形的大小与圆心角的关系。

2.在画圆练习中，发展学生的空间观念。

3.经历对圆的认识知识的整理梳理，培养学生归纳、概括能力。

4.培养学生独立思考及综合运用知识解决问题的能力。

教学重点和难点:教学重点：进一步体会圆的特征，熟练的按要求画圆。

教学难点：归纳圆的特征，发展空间观念，应用所学知识解决生活中的实际问题。

教具、学具：教师准备：多媒体课件、圆规、三角板。

学生准备：圆规、三角板。

教学过程：一、问题回顾，再现新知。

1.谈话导入：同学们，还记得上节课我们学习交通中的圆吗？说一说你对圆都有哪些了解？（引导学生回顾有关圆的知识。

）预设：（1）圆的画法；（2）圆的各部分名称；（3）圆的特征；（4）圆是轴对称图形。

……2.自主整理圆的知识。

请同学们用自己喜欢的方法整理有关圆的知识。

教师出示复习指导：（1）我们是用什么工具画圆的？说一说是怎样画的？（2）什么是圆心、半径、直径？用哪个字母表示？（3）同一个圆里半径和直径有什么关系？（4）圆是轴对称图形吗？有多少条对称轴？（5）什么是扇形，扇形的大小与什么有关？3.汇报交流，构建知识网络。

学生汇报，其他生认真倾听及时补充，教师根据学生的回答将知识点适当板书，形成知识网。

（1）用图钉、细线和铅笔画圆。

圆的画法：（2）用圆形的盖子。

①圆规两脚分开定好两脚尖距离；（3）用圆规画圆②把有针尖的一脚固定在一点上；③把有铅笔的一脚旋转一周。

圆圆心：圆规针尖固定一点叫圆心，用O表示。

的圆的各半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径用r表示。

部分名称直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径d表示。

认识（1）同一个圆里有无数条半径和直径；圆的特征：所有的直径都相等，所有的半径都相等；直径是半径的2倍d=2r，半径是直径的r=d／2（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-圆的基本性质

初中数学竞赛辅导讲义---圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45D ．16175思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ．(1)求∠COA 和∠FDM 的度数；(2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒ ⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a ．是轴对称图形但不是中心对称图形．b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25C ．3D ．316 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ，则∠CAB=．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是，该图形与圆O 的位置关系是．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB×AC ．⌒ ⌒ ⌒17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长； (2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒参考答案。