第六章5-指派问题(1)
运筹学课件ch5指派问题[全文]
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运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
指派问题
-2 -4 -9 -7
0 13 11 6 0 10 0 5 7 0 1 4
-4
2 11 4 2
-2
x14 1, x22 1, x31 1, x43 1
其余全为0。
步骤2：用圈0法确定 C1 中的独立0元素。若独立零元素个 素有n个，则已得最优解。若 独立零元素的个数 < n, 则转
min Z 4x11 8x12 10x54 6x55
5 xij 1 i 1,2, 5 j5 1 s.t. xij 1 j 1,2, 5 i 1 xij 0 或1
B1
B2
B3
B4
B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
入步骤3。
在只有一个0元素的行（或列）加圈，表示此人只能做该事
（或此事只能由该人来做），每圈一个“0”，同时把位于同 列（或同行）的其他零元素划去。表示此时已不能再由他
人来做（或此人已不能做其它事）。如此反复，直到矩阵
中所有零元素都被圈去或划去为至。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。 下用目前认为最简洁的方法—匈牙利法求解 (The Hungarian
Method of Assignment )。
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai (i 1,2,,5) 对新商店 B j ( j 1,2,,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j 1,2,,5) ，见下矩阵。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
指派问题的最优解法
指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。
指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。
匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。
其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。
KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。
它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。
KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。
无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。
这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。
除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。
这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。
总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。
指派问题
• 用匈牙利算法求下述矩阵对应的指派问题.
8 11 C 15 6 5 6 5 9 11 7 8 2 5 2 7 1 3 4 13 5 0 2 6 1 1 4 0 6 0 0 0 0 1 2 3 10 6 2 1 0 1 4 0 6 0 0 3 0
• 但是求解指派问题最好的算法是由Kuhn于1955
年给出的匈牙利算法.
匈牙利算法
• （对费用矩阵C做以下运算）.
1. 每行减该行最小数.
2. 每列减该列最小数.
3. 从含0最少的行（列）开始，圈出一个0，划 去其所在的行和列. 4. 重复3，直到所有的0都划去或圈出为止.
5. 若已圈出n个零，此即为最优解，否则转6.
0 1 10 2
0 2 6 1
1 4 0 6
* 0 0 * 3 0 *
0 0 10 1
0 1 6 0
1 3 0 5
1 0 4 0
• 用匈牙利算法求下述矩阵对应的指派问题.
15 19 C 26 19 18 23 17 21 21 22 16 23 24 18 19 17
x
j 1 n i 1
n
ij
1, i 1,2, , n 1, j 1,2, , n
x
ij
xij 0, i, j 1,2, , n
• 所以指派问题是多项式时பைடு நூலகம்可解的.
• 指派问题等价于求二分图的总权最小的完美匹 配.因此可以用二分图最小权匹配算法. • 将指派问题的连续松弛问题（线性规划）与运 输问题的线性规划作对比，可以看出指派问题 是一个特殊的运输问题，因此可以用求解运输 问题的表上作业法求解.
第六章_指派问题资料
Solution:
1 当分配第 i 人完成第 j 项任务
设 xij 0 否则
i, j 1, 2, , n
§2 指派问题
显然，这是一个 0-1
任务 人员
E
J
G R ai
规划问题， 也是一个 A 2 15 13 4 1
特殊的运输问题 .
B 10 4 14 15 1
所以,分配问题可用
C 9 14 16 13 1
在第一节的人员工作安排问题中，分配工作时， 只考虑人员有工作做 . 但事实上，由于工作的性质和 个人的特长不同，在完成不同的任务时，其效益是不 同的（成本、时间、利润、费用 etc.）.
设有 n 个人员去完成 n 项任务，第 i 人完成第 j 项
任务的效益为 cij 0 ，要求每人完成且仅完成一项，
可用图和矩阵给出它的数学模型及求解方法 .
§1 最大基数匹配问题 Graph Vertex Edge
Definition 4.1 设图 G = ( V，E )
15、、如如果果 MM是一E匹，配且，对而对 ei ,eejj，GM,与M ee无i j 不e j是 G
公的共匹顶 配点 ，， 则则 称称M边是子G集的M一是个极G大的匹一配个匹. 配；
列在 Y-T 中，这与 N(S) T 矛盾. 显然 M C .
而 M B ， 所以 B 是最小覆盖 .
证毕
§2 指派问题
1 0 0 0
显然，Ex . 2 的可行解可 用一个 0-1 矩阵表示 .
(
xij
)
0 0
0 1
0 0
1
0
表示： A E, B R, C J, D G.
0
0
cij
指派问题
STEP 4: 调整
GO TO STEP 1
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
√ √
0 20 40 √ 60 √ 95 √
运筹学
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
M ≥ m cij ), bij = M − cij ax(
则有
∑∑b x = ∑∑(M −c )x
i=1 j =1 ij ij n i=1 j =1 n ij n n i=1 j =1 i=1 j =1
n
n
n
n
ij n n
= M∑∑xij − ∑∑cij xij = nM − ∑∑cij xij
i=1 j =1
运筹学
32a 12a 0 0 0 0 640a 0 48a 176a 96a 0 8a 56a 26a 0
运筹学
32a 12a 0 0 0 0 640a 0 48a 176a 96a 0 8a 56a 26a 0
√ √
0 20 40 √ 60 √ 95 √
运筹学
50 0 45 65 50 55 60 0 0 0 0 40 0 50 60 50 45 40 0 40
0 20 35 55 90
运筹学
0 0 (xij ) = 0 1 0
指派问题
Assignment Problems
指派问题（分配问题）
1. 指派问题及其数学模型 2. 求解指派问题的匈牙利法 3. 非标准指派问题的求解 4. 指派问题的应用举例
指派问题(含非标准指派问题)选读
第五章 整数规划§ 1整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。
其模型为：nMax(或 min)z= ' C j X jj£卢nS a ij X ij E (=,^)b ii =1,2,…mj4s.t < x j >0j =1,2"* nX i , X 2，…X n中部分或全部取整数若要求决策变量只能取值 0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。
§ 5 指派问题一. 指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。
例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。
诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下， 使指派方案的总体效果最佳。
由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。
指派问题的标准形式（以人和事为例）是： 有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为q （i, j =1,2,…n ），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n件事的总费用最少。
为了建立标准指派冋题的数学模型，引入n 2个0-1变量:0 若不指派第i 人作第j 事 J若指派第i 人作第j 件事这样，问题的数学模型可写成(5.1 )其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做， （5.2）表示每个人必做且只做一件事。
注：0 指派问题是产量（a» 销量（b j ）相等，且a i =b j =1, i , j=1,2,…n 的运输i , j=1,2,…ns.t7 X ij =1j =1,2, n i =1 n' X ij=1i =1,2, nj Txij =0,1 i, j =1,2, n(5.2)(5.3)(5.4)n问题。
为决策变量矩阵。
(5.6)的特征是它有 n 个1， 问题的一个可行解。
第五节 指派问题
第二步：进行试指派，以寻求最优解 经过第一步后,矩阵的每行每列都有了0 元素， 但我们希望找出n个位于不同行不同列的0 元素， 如果能找到，我们就以把这些元素写成1， 令其余的元素写成0 ，即得问题的最优解．
0 13 7 6 0 6 LL 0 5 3 0 1 0 0 9 2 0
13
14 16 11
10 9 7
15 13 9
目标函数：
min S 2 x11 15 x12 13 x13 14 x14
10 x21 4 x22 14 x23 15 x24
9 x31 14 x32 16 x33 13 x34
7 x41 8 x42 11 x43 9 x44
0 7 15 13 2 0 10 4 14 15 min 1 6 14 16 13 8 0 9 0 7
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
（2）出现死循环时灵活处理
例5.7 求解指派问题，系数矩阵为
n
目标函数的系数可以写成矩阵的形式，称 为系数矩阵或收益矩阵.
如例1的收益矩阵为
2 15 13 4 10 4 14 15 C 9 14 16 13 8 11 9 7
满足约束条件的可行解也可以写成矩阵形 式，称为解矩阵.
如例1的解矩阵有
( x )ij 0 0 0 1 0 1 0 0 或 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 或 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
第六章 运输问题和指派问题
表6.15 特塞格公司新炼油厂的备选建造地点以及它们的主要优势 备选地点 主要优势 1.靠近加州的油田 2.可以从阿拉斯加的油田取得原油 3.十分靠近旧金山配送中心 1.靠近得克萨斯油田 2.可以从中东进口原油 3.靠近公司总部 1.较低的运营成本 2.处于配送中心的中央地域 3.已经有了穿过密西西比河的输油 途径
表6.6
求佳产品公司问题中的数据 单位成本（美元） 产品： 1 41 40 37 20 2 27 29 30 30 3 28 — 27 30 4 24 23 21 40 75 75 45 生产能力
工厂 1 2 3 要求的产量
现在管理者需要决定的是在哪个工厂里生产哪种产品， 才能使总成本最低。（注意：在不止一个工厂里生产同样 的一种产品是允许的。）
表6.1 P＆T公司的运输数据表（单位：车）
罐头加工厂 贝林翰 尤基尼 艾尔贝· 李
合 表6.2 计
产 量
75 125 100 300
仓 库 萨克拉门托 盐湖城 赖皮特城 奥尔巴古 合 计
分配量
80 65 70 85 300
P＆T公司的单位卡车的运输成本（单位：美元） 仓 库 从 至 萨克拉门托 盐湖城 赖皮特城 奥尔巴古 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685
划分学生入学区域
米德尔城学区(Middletown School District)开办了第三 所中学，需要为每一所学校重新划定这个城市内的服务区域。 在初步计划中，这个城市被分成了拥有大致相同数量人 口的9个区域。表6.12给出了每一所学校与每一个区域之间 的近似距离。最右一列给出了明年每一个区域的高中学生数 量（这些数字在未来几年之内估计会有缓慢的增长）。最下 面两行表示了每一所学校所能够安排的最少和最多的学生数 量。 学区管理者认为划分入学区域界限的适当目标是要使学 生到学校的平均路程最短。在这个初步的计划之中，他们要 确定为了实现这一目标每一个区域内有多少学生要安排到每 一所学校中，同时又要满足表6.12最后两行规定的约束条件。
《运筹学》胡运权清华版-5-05指派问题
任务 A
B
C
D
人员
甲
9
17 16
7
乙
12
7
14 16
丙
8
17 14 17
丁
7
9
11
9
解：设决策变量xij,i＝1,2,3,4; j＝1,2,3,4
xij 01
表示分派第i人做第j项工作 表示不分派第i人做第j项工作
任务 A
B
C
D
人员
甲
x11
x12
x13
x14
乙
x21
x22
x23
x24
丙
x31
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
注：若遇到在所有的行和列中，0元素都不止一个 时，可任选其中一个0元素加O；然后作一直线覆盖该 列元素（或该行元素）。
对于本例
用一直线覆 盖所在列
第一行只有 一个0元素
2 10 5 0
c'ij
5 0
0 9
3 9 2 9
0 2 0 2
x11
x21
...
xn1
1
...
x1n x2n ... xnn 1
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
17 7 17
16 14 14
7 16
-7 -7
17 -8
指派问题
Step 4、改进 1 、改进C
8 2 5√ 0 5 4 3 0 0 √ 1列中加上 ； 在已打√号的列中加上 在已打 号的列中加上θ； 13 C2 = 得到一个新矩阵 C2。 4 -2 用 C2 代替 C1，返回步骤 2. 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
0 11 C = 上述步骤可能出现三种情况 1 2 情况一： 情况一：矩阵每行都有一个打圈的 0
0 元素。此时得到问题的最优解 元素。此时得到问题的最优解.
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
2 15 C= 13 4
10 9 7 4 14 8 14 16 11 15 13 9
2 4 11 4
0 11 B= 2 0
8 7 5 0 10 4 3 5 0 11 9 5
Step 2、确定 1中线性独立的 元素 元素. 、确定C 中线性独立的0元素 从第一行开始，若该行只有一个 元素 就对这个0 元素， 从第一行开始，若该行只有一个0元素，就对这个 元素加圈，然后划去其所在列的其它0元素 元素;若该行 元素加圈，然后划去其所在列的其它 元素 若该行 没有其它0元素或有两个以上 元素（ 元素或有两个以上0元素 没有其它 元素或有两个以上 元素（已划去的不 ），转下一行 直到最后一行为止。 转下一行； 计），转下一行；直到最后一行为止。 然后,从第一列开始 若该列只 然后 从第一列开始,若该列只 从第一列开始 0 有一个0元素 就对这个0元素 元素,就对这个 有一个 元素 就对这个 元素 11 加圈（同样不考虑已划的） 加圈（同样不考虑已划的）, 再划去其所在行的其它0元素 元素; 1 再划去其所在行的其它 元素 C = 2 若该列没有0元素或有两个以 若该列没有 元素或有两个以 元素， 上0元素，则转下列直到最后 元素 0 一列为止。 一列为止。 重复上述步骤. 重复上述步骤
Chapter 6.5 指派问题
√
1 2 4 3 ◎ 0
◎
0 3 1 3 6 ◎ 3 Ø 0 0 2 Ø 1 3 0 0 0 Ø 2 4 ◎ 3 3 Ø 5 0
√ √
√ √ √ √
√
l =m=4 < n=5
1 2 4 3 ◎ 0
◎
0 3 1 3 6 ◎ 3 Ø 0 0 2 Ø 1 3 0 Ø 2 4 ◎ 0 0 3 3 Ø 5 0
在实际中经常会遇到这样的问题有n项不同的任务需要n个人分别完成其中的一项但由于任务的性质和各人的专长不同因此各人去完成不同的任务的效率或花费的时间或费用也就不同
5.5 指派问题
指派 问题（Assignment Problem , AP）是 一种特殊的线性规划问题，也属于 0-1 整数规 划问题 .
问题描述：在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项， 但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也 就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完 成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所 需时间最少），这类问题称为指派问题或分派问题。
• 第二步：画最少0元素的覆盖线，求维数r, 检验是否能找到最优解； • 当维数r =矩阵阶数时，则已能找到最优解， 转第四步； • 当维数r <矩阵阶数时，则还不能找到最优 解，转第三步；
0 0 0 0 0 13 7 0 13 4 2 15 个独立零元 每行每列有零元素，能保证有 n6 0 6 9 0 15 2 1 1 10 4 14 素吗？ C 8 3 9 14 0 13 7 0 5 3 2 16 0 0 1 0 0 7 8 11 91 5 9
指派问题1
匈牙利指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些 任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情 况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎 样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务的 总的效率最高，这就是指派问题。也是一个简单的0—1 整数规划。即：
i 1 这个人做第 件事 xi 0 这个人不做第i件事
(1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然 后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务 已指派完，不必再考虑别人了。 (2) 给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为 止。
第三步：做最少直线覆盖所有0元素
2 1 ◎ 0 2 2
5
◎ 0
5 3 4 2 3 Ø 0 ◎ 0 3
√
加2
3 3 ◎ 0 0 Ø 6 2 5 2 0 Ø 3
√ 减2
第四步，变换矩阵(bij)
以增加0元素：没有被 直线覆盖的所有元素中
的最小元素为2，然后
√ 减2 打√各行都减去2；打 √各列都加上2，得如 下矩阵，并转第二步进 行试指派：
Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable X11 X12 X13 X14 X15 X21 X22 X23 X24 X25 X31 X32 X33 X34 X35 X41 X42 X43 X44 X45 X51 X52 X53 X54 X55 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
指派问题求解方法
指派问题求解方法
指派问题的求解方法主要包括以下步骤：
1. 建立效率矩阵：对于n个任务和n个执行任务的人，建立一个nn的效率矩阵，矩阵中的元素表示第i个人完成第j项任务时的效率或所需时间、成本等。
2. 对效率矩阵进行归一化处理：通过行归约和列归约，使效率矩阵中每行每列都出现0元素。
行归约是指找出每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；列归约是指找出每列的最小元素，分别从每列中减去这个最小元素。
3. 指派任务：从归一化后的效率矩阵中找出独立的零元素，即每行每列各有一个元素为0。
将任务指派给这些独立零元素所在的行或列中对应的人。
若某行（列）中只有一个零元素，对该零元素标1，表示这个任务就指派给某人做。
每标一个1，同时将该零元素同列的其他零元素标为2，表示此任务已不能由其他人来做。
如此反复进行，直到系数矩阵中所有的零元素都已经被标为1或者2为止。
4. 确定最优解：将0（1）所在位置记为1，其余位置记为0，则获得了该问题的最优解。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
05指派问题
t
i 1 j 1 p 1 q 1
n
n
n
n
ip
d jq xij x pq
18
车间选址问题
min tip d jq xij x pq
i 1 j 1 p 1 q 1 n n n n n
组合优化
s.t.
x
i 1 n j 1
ij
1, j 1, , n 1, i 1, , n
23
算法
• “男士选择，女士决定”
组合优化
• 每位男士都选择他最钟爱的女士。 • 如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这几位男 士中除了她最喜欢的之外，对其他男士都表示拒绝。 • 被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒绝之外 的最满意女士。如果存在冲突（包括和之前选择某女 士的男士发生冲突），则再由相应的女士决定拒绝哪 些男士。 • 以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。
m3 : w1
组合优化 • 不论每人的偏好顺 序为何，稳定婚姻 总是存在，且用上 述算法可在 O(n 2 ) 内找到一组稳定婚 姻。 • “女士选择，男士 决定”算法也可找 到一组稳定婚姻。
25
最优性
组合优化
• 称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在该 组婚姻中，每位男士都认为其配偶不比任 何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。 • 男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必是 女方最劣的。 • “男士选择，女士决定”算法给出的总是一 组“男方最优” 的稳定婚姻。
xij 0
4
匈牙利算法
• 两位匈牙利数学家D. König和E. Egervary于先后证明了若干关于二 部图匹配问题的重要性质 • 1953年，H. W. Kuhn在以上工作 基础上给出了求解指派问题的匈牙 利算法，这是组合优化问题最早的 有效算法之一
数学建模6.5指派问题
4.删掉该行和该列；
5.在剩余的Cij中重复1~4步n次，就可选出n个 独立的Cij 。
3
4 1
5 2 6 (7) 1 1
4
2 5 2 5
9 (9)
(10)
2
这个解是最优 解，最小总成 本为24.
55
性质
从原成本矩阵C的任一行(列)中各元素加(减)
一个常数,得到新的成本矩阵,则此两成本矩阵的
指派问题的最优解是相同的.
cij di 证明：设矩阵C的第i行对应的常数为di， cij
xij (cij di ) xij z di xij z di f cij
这样只找到 3个独立0
画覆盖线的方法
• 刚才每个独立0，都画了两条线，把覆盖0 数目少的一条拿走，保留另一条.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0 0 0
0 0 0
0
0
0
0 C 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 0
j 1 i 1 n n
匈牙利数学家 康尼格(D.Konig)的定理
运筹学__指派问题1
二 匈牙利算法
思路 算法原理 算法步骤
（一） 思路
匈牙利法基于这样一个明显的事实： 如果在m阶效率矩阵中，所有元素cij≥0， 而其中有m个位于不同行不同列的一组0元 素， 则在解矩阵中，只要令对应于这些0元素 位置的xij＝1，其余的xij＝0，就得到最优 解。 此时的最优解为０
•如效率矩阵为 •恰有4个不同行 不同列的0系数
利用这个性质，可使原系数矩阵变换为含有很多
0元素的新系数矩阵，而最优解保持不变，
在系数矩阵(bij)中，把位于不同行不同列的0元素， 简称为独立的0元素。
问题是：
能否找到位于不同行、不同列的m个0元素？
若能在系数矩阵(bij)中找出m个独立的0元素； 则令 解矩阵(xij)中对应这m个独立的0元素的xij 取值为1， 其他元素取值为0。
0 13 7 0
66 9 5 3 2
010 0
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø，得
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记，得
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø，得
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
(三) 匈牙利算法的步骤
例7:
任务 人员
甲 乙 丙 丁
E
J
G
R
2 15 13 4
10 4 14 15
9 14 16 13
7
8 11 9
第一步：变换系数矩阵,使指派问题的 系数 矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素： ➢从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素。 ➢再从所得系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
第6章指派问题与旅行商问题
第6章 指派问题与旅行商问题一、指派问题的匈牙利算法1、最小化指派效益矩阵（或费用矩阵）的每一行各元素分别减去该行中的最小元素；→新效益矩阵（或新费用矩阵）的每一列各元素分别减去该列中的最小元素；→判别：如果找出n 个在不同行不同列的0元素，停止运算，最优解即为这些“0”对应位置，否则→标记每一行或列只有一个“0”元素为“*0”，一旦标记，就划去“*0”所在的行或列； →在剩下的矩阵中重复前面步骤。
冲刺模拟试卷（一）第11题冲刺模拟试卷（四）第11题冲刺模拟试卷（五）第11题冲刺模拟试卷（八）第11、12题2、最大化指派在最大化的效益矩阵中，用最大的那个元素分别减去矩阵中的所有元素；→利用上面得“最小化指派”运算即可。
冲刺模拟试卷（三）第11题冲刺模拟试卷（七）第11题二、旅行商问题的匈牙利算法1、问题描述：从点0v 出发经n v v v ,....,,21点各一次，最后返回0v 的路径最短者。
2、求解：利用“最小化指派”运算→读取结果：从0v 开始，从第一行中找出“*0”对应的列i v ，得到i v v →0；从i v 开始，从第二行中找出“*0”对应的列j v ，得到j i v v →；当出现断裂时，选择小集合进行重新调整，选择最短的！冲刺模拟试卷（一）第12题冲刺模拟试卷（二）第7、14题冲刺模拟试卷（四）第12题冲刺模拟试卷（五）第12、13题冲刺模拟试卷（六）第12题冲刺模拟试卷（七）第12题三、哥尼斯堡七桥问题1、欧拉图：联通图中没有奇点存在；联通的非欧拉图：一定会有偶数个奇点。
2、从一般图到最优的欧拉图：相邻的奇点直接增加一条连线；圈上的连线长不过圈的一半；两点之间不能出现重叠（只能有1条或2条连线）。
冲刺模拟试卷（一）第10,、13题冲刺模拟试卷（二）第9、15题冲刺模拟试卷（四）第13题冲刺模拟试卷（六）第10题冲刺模拟试卷（七）第14题冲刺模拟试卷（八）第14题。
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第五节 指派问题
引例： 有一份中文说明书， 将译成英、 日 、 德 、 俄 引例 ： 有一份中文说明书 ， 将译成英 、 四种文字。分别记作E、 、 、 。现有甲、 四种文字。分别记作 、J、G、R。现有甲、乙、丙、 丁四人。 丁四人 。 他们将中文说明书翻译成不同语种的说明 书所需时间如表5—7所示 。 问应指派何人去完成何 所示。 书所需时间如表 所示 工作，使所需总时间最少？ 工作，使所需总时间最少？
第五节 指派问题
φ 13 6 (0) (0) 5 φ 1
7 (0) 6 9 3 2 (0) φ
0 0 ( xij ) = 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
可见m=n=4，所以得最优解为上面第二个矩阵。 ，所以得最优解为上面第二个矩阵。 可见 这表示：指定甲译出俄文，乙译出日文， 这表示：指定甲译出俄文，乙译出日文，丙译出 英文，丁译出德文。 英文，丁译出德文。所需总时间最少
第五节 指派问题
min zb= ∑ ∑ bijxij=0
i
j
min z= ∑ ∑ cijxij=c31+c22+c43+c14=28（小时） （小时）
i j
刚才从各行、 刚才从各行、列中减去的数字之和为 2+4+9+7+4+2=28。 。 从上面的三个式子可以看出， 从上面的三个式子可以看出，原系数矩阵因 为减掉28后得到的最优目标值为零 后得到的最优目标值为零， 为减掉 后得到的最优目标值为零，所以原指 派问题的最优目标函数值位28。 派问题的最优目标函数值位 。
第五节 指派问题
（ 5） 若 （ 0） 元素的数目 等于矩阵的阶 ） ） 元素的数目m等于矩阵的阶 数n，那么这指派问题的最优解已得到。 ，那么这指派问题的最优解已得到。 若m<n，则转入第三步。 ，则转入第三步。 现用引例的（ 矩阵， 现用引例的（bij）矩阵，按上述步骤 进 行 运 算 。 按 步 骤 （ 1 ） ， 先 给 b22 加 然后给b “ （ ） ” ， 然后给 34加 “ （ ） ” ， 划掉 b11 ， b41 ； 按 步 骤 （ 2 ） ， 给 b43 加 ” 划掉b 最后给b （）”，划掉 44，最后给 14加”（）”， 得到： 得到：
第五节 指派问题
!
系数矩阵（ 中找出n 个独立的0元素 元素； 系数矩阵（bij）中找出 个独立的 元素；则令解矩阵 中对应这n个独立的 元素的元素取值为1， 个独立的0元素的元素取值为 （ xij） 中对应这 个独立的 元素的元素取值为 ， 其它元 素取值为0，将其代入目标函数中得到z ， 素取值为 ， 将其代入目标函数中得到 b=0， 它一定是最 这就是以（ 为系数矩阵的指派问题的最优解。 小。这就是以（bij）为系数矩阵的指派问题的最优解。也 就也就得到了原问题的最优解。 就也就得到了原问题的最优解。 库恩（ 年提出了指派问题的解法， 库恩（W.W.Kuhn）于1955年提出了指派问题的解法， ） 年提出了指派问题的解法 他引用了匈牙利数学家康尼格（ 他引用了匈牙利数学家康尼格 （ D.Konig）一个关于矩阵 ） 元素的定理： 中0元素的定理：系数矩阵中独立 元素的最多个数等于覆 元素的定理 系数矩阵中独立0元素的最多个数等于覆 盖所有0元素的最少直线数 这解法称为匈牙利法。 元素的最少直线数。 盖所有 元素的最少直线数 。 这解法称为匈牙利法 。 以后 在方法上虽有不断改进，但仍沿用这名称。 在方法上虽有不断改进，但仍沿用这名称。以下用引例来 说明指派问题的解法。 说明指派问题的解法。
第五节 指派问题
1 = 0 当指派第 当不指派第 i 个人去完成第 i 个人去完成第 j 项任务 j 项任务
x ij
当问题要求极小化时数学模型是： M in z= ∑ ∑
i j
c ij x ij
① ② ③ ④
∑
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x ij = 1 ， j=1， 2… n ， …
∑
j
x ij = 1 ， i=1， 2… n ， …
0 0 ( x ij ) = 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
第五节 指派问题
显然，这不是最优。 显然 ， 这不是最优。 解矩阵中各行各列的 元素之和都是1。 元素之和都是 二．指派问题解的特性 指派问题是运输问题的特例， 指派问题是运输问题的特例，也是线性规 规划） 划（0 – 1规划）的特例，当然可用求运输问题、 规划 的特例，当然可用求运输问题、 整数规划或0-1规划的解法去求解 规划的解法去求解。 整数规划或 规划的解法去求解 。 这就如同 用单纯形法求运输问题一样是不合算的。 用单纯形法求运输问题一样是不合算的。利用 指派问题的特点可有更简便的解法。 指派问题的特点可有更简便的解法
第五节 指派问题(1) 指派问题(1)
一．指派问题的数学模型 在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n 在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成 项任务，恰好有n 个人可承担这些任务。 项任务，恰好有 个人可承担这些任务。由于每人 的专长不同，各人完成任务（或所费时间） 的专长不同，各人完成任务（或所费时间），效率 也不同。 也不同 。 于是产生应指派哪个人去完成哪项任务 使完成n 项任务的总效率最高（ 使完成 项任务的总效率最高 （ 或所需总时间最 小）。这类问题称为指派问题或分配问题 （Assignment problem）。 ） 先通过下面的引例了解指派问题的特征
第五节 指派问题
2 10 (cij ) = 9 7 15 13 4 4 14 15 14 16 13 8 11 9
-2 -4 -9 -7
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
-4 -2
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
第五节 指派问题
三．指派问题的解法 第一步： 使指派问题的系数矩阵经变换， 第一步 ： 使指派问题的系数矩阵经变换 ， 在各行各列中都出现0元素 元素。 在各行各列中都出现 元素。 从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素； 从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素； 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。 小元素。 若某行（ 已有0元素 那就不必再减了。 元素， 若某行（列）已有 元素，那就不必再减了。引 例的计算为： 例的计算为：
第五节 指派问题
（0）这表示对这行所代表的人，只有一 ）这表示对这行所代表的人， 种任务可指派。然后划去（ ）所在列（ 种任务可指派。然后划去（0）所在列（行） 的其它0元素 记作φ， 元素， 的其它 元素，记作 ，这表示这列所代表 的任务已指派完，不必再考虑别人了。 的任务已指派完，不必再考虑别人了。 元素列（ （2）给只有一个 元素列（行）的0元素 ）给只有一个0元素列 元素 记作（ ） 然后划去（ ） 加 “ （ ） ” ， 记作 （ 0）； 然后划去 （ 0） 所在行的0元素 记作φ。 元素， 所在行的 元素，记作 。 （3）反复进行（1）（2）两步，直到所 ）反复进行（ ） ）两步， 元素都被“ 出和划掉为止。 有0元素都被“（）”出和划掉为止。 元素都被
第五节 指派问题
指派问题的最优解有这样的性质， 指派问题的最优解有这样的性质 ， 若从系数矩 的一行（ 各元素中分别减去该行（ 阵（cij）的一行（列）各元素中分别减去该行（列） 的最小元素， 得到新矩阵（ 那么以（ 的最小元素 ， 得到新矩阵 （ bij ） ， 那么以 （ bij ） 为 系数矩阵求得最优解和用原系数矩阵求得最优解相 同利用这个性质，可使原系数矩阵变为含有很多0元 同利用这个性质，可使原系数矩阵变为含有很多 元 素的新系数矩阵，而最优解保持不变。 素的新系数矩阵，而最优解保持不变。 在系数矩阵（ 在系数矩阵（bij）中，我们关心位于不同行不同 列的0元素 简称为独立的0元素 元素。 元素。 列的 元素 。 简称为独立的 元素 。 若能在得到了原 问题的最优解。 问题的最优解。
第五节 指派问题
第二步： 进行试指派， 以寻求最优解。 为此， 第二步 ： 进行试指派 ， 以寻求最优解 。 为此 ， 按以下步骤进行。 按以下步骤进行。 经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有 经第一步变换后 ， 元素； 个独立的0元素 了 0元素 ； 但需找出 个独立的 元素 。 若能找出 ， 元素 但需找出n个独立的 元素。 若能找出， 就以这些独立0元素对应解矩阵 元素对应解矩阵（ 中的元素为1， 就以这些独立 元素对应解矩阵 （ xij ） 中的元素为 ， 其余为0，这就得到最优解。 较小时， 其余为 ，这就得到最优解。当n 较小时，可用观察 试探法去找出n 个独立0元素 元素。 较大时， 法、试探法去找出 个独立 元素。若n 较大时，就 必须按一定的步骤去找，常用的步骤为： 必须按一定的步骤去找，常用的步骤为： 从只有一个0元素的行 （ 列 ） 开始， 给这个0元 从只有一个 元素的行（ 开始 ， 给这个 元 元素的行 素加“ 素加“（）”，记作
第五节 指派问题
元素， （4）若仍没有划“（）”的0元素，且同行（列 ）若仍没有划“ 元素 且同行（ 元素至少有两个（ 的0元素至少有两个（表示对这人可以从两项任务 元素至少有两个 中指派其一） ， 这可用不同的方案去视探。 从剩 中指派其一 ） 这可用不同的方案去视探 。 元素最少的行（ 开始， 比较这行各0元素 有 0元素最少的行 （ 列 ） 开始 ， 比较这行各 元素 元素最少的行 所在列中0元素的数目 选择0元素少的那列的这 元素的数目， 所在列中 元素的数目 ， 选择 元素少的那列的这 元素加“ 表示选择性多的要“礼让” 个0元素加“（）”（表示选择性多的要“礼让” 元素加 选择性少的）。然后划掉同行同列的其它0元素。 选择性少的） 然后划掉同行同列的其它 元素。 元素 可反复进行，直到所有0元素都已 元素都已“ 可反复进行，直到所有 元素都已“（）”出和划 掉为止。 掉为止。