(统编版)2020高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算知识导航学案新人教A版必修04

合集下载

【2020】最新高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算2-2-1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必

2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．
提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．
(1)① ② ③ [(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
① ＋＝＋＝ .
② ＋＝＋＝ .
③ ＋＋＝＋＋＝ .
(2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
[自主预习·探新知]
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0 ＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
三角
形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量A 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行
四边
形法则
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量A ＝a＋b.
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( )
(2) ＋＝0.( )
(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．( )

2020年最新人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.2平面向量的线性运算教案

要性 .
的一组正交基底； xe 1+ye 2 叫做 a 关于基底｛ e1， e2｝的分解式；（ x,y ）叫做 a 关于基底｛ e1，e2｝下的坐标，即 a＝（ x,y ）；x(y)
本 97 页的两个概念，学生知道这些名词就可
是向量 a 在横 ( 纵 ) 轴上的正投影向量的在
以了
2020年最新
例 32．课本 97 页例 2 已知直线 AB上任意点 P 及直线 AB外一点 O。以｛OA，OB}为基底，写出向量 OP的分解式
熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势
这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体
情况而定
课练习 1：课本 103 页练习 A2,4,5;B1,2,3,4 堂练习 2：课本 105 页练习 A1,2,3 ； B1,2 练练习 3：课本 98 页练习 A1,3,5;B1,3,4 习
为 A(-2 ， 1) ， B（ 3 ， 4）， C（ -1 ， 3 ），则顶点 D 标运算
的坐标为 ___________ ．（向量的坐标表示）
④理解两个向量共线
的充要条件
③如：已知 A(0,1) ，B (3, 4) 且点 C 在 AOB 的
平分线上，若 OC 2 ，则向量
OC _________ ．（定比分点）
组讨论 .
对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不
同的发展
师生共同完成
这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈
时间
学生自主完成
温习巩固，逐步理解
课后反馈
2020年最新

2019-2020高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算2-2-2向量减法运算及其几何意义知识巧解学案新人教A

W：你有如此多的荣耀，那么是否还有烦恼之事呢？
零向量：当然有了，在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意，如平行向量的定义，向量共线定理，两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼，在此我向大家真诚地说一声：对不起，这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.
已知向量a、b，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则 =a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.这是向量减法的几何意义.
图2-2-17
(2)在定义相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，求作a-b.
图2-2-18
在平面内任取一点O，作 =a， =-b，则由向量加法的平行四边形法则可得 =a+(-b)=a-b.
W：你与其他向量有什么共同之处呢？
零向量：既然我是向量王国的一个成员，就具有向量的基本性质，如既有大小又有方向，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，还定义了与实数的积.
W：你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢？
零向量：首先，我的方向是不定的，可以与任意的向量平行.其次，我还有其他一些向量所没有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的线性运算中，我与实数0很有相似之处.
材料信息探究
材料：采访零向量
W：你好！零向量.我是《数学天地》的一名记者，为了让在校的高中生更好地了解你，能不能对你进行一次采访呢？
零向量：当然可以，我们向量王国随时恭候大家的光临，很乐意接受你的采访，让高中生朋友更加了解我，更好地为他们服务.
W：好的，那就开始吧！你的名字有什么特殊的含义吗？
零向量：零向量就是长度为零的向量，它与数字0有着密切的联系，所以用0来表示我.
A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算知识导航学案新人教A版必修04

2.2 平面向量的线性运算知识梳理一、向量加法1.向量加法的定义如图2-2-1，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=+BC=AC.图2-2-1求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.2.向量加法的运算律(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量减法的定义与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.求两个向量差的运算叫做向量的减法：a-b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b 的相反向量-b.三、向量数乘1.向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；(3)当λ=0时，λa=0.2.向量数乘的运算律设λ、μ是实数，则有：(1)λ(μa)=(λμ)a； (结合律)(2)(λ+μ)a=λa+μa； (第一分配律)(3)λ(a+b)=λa+λb. (第二分配律)知识导学要学好本节内容，可从数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，从而顺理成章地接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量.通过探究类比数的运算性质，理解向量的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律.疑难突破1.向量加法的运算法则.剖析：（1）向量加法的平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.图2-2-2如图2-2-2，以A为起点作向量AB=a，AD=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则以A为起点的对角线就是向量a与b的和，记作向量a+b=.（2）向量加法的三角形法则：根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.使用三角形法则特别要注意“首尾相接”.具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和.简记“首尾相连，首是首，尾是尾”.如设a=AB,b=BC,c=CD,则a+b+c=AB+BC+CD=AD.用三角形法则求两个向量和的步骤是：第一步：将b（或a）平移，使两个向量的一个起点与另一个终点相连；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和，也就是“作平移，首相连”.注意：三角形法则和平行四边形法则是向量和的基本方法.但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则.2.对向量加法的理解应该掌握哪几点？剖析：(1)两个向量的和仍是一个向量.(2)当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|,这是三角形两边之和大于第三边的向量表示.(3)特殊位置关系的两向量的和：①向量a与b共线且方向相同时，a+b的方向与a（或b）的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|.如图2-2-3(1).②向量a与b反向且|a|＜|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|；如图2-2-3(2).图2-2-33.如何从“相反向量”这个角度求作a-b？三角形法则可行吗？平行四边形法则呢？剖析：a-b的作法从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则. 减法的三角形法则作法：∵(a-b) + b= a+ (-b) + b= a+ 0= a，∴在平面内取一点O，作OA=a, = b,则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量(注意：差向量“箭头”指向被减向量).具体作法如图2-2-4(1)(a、b不共线)和图2-2-4(2)(a、b共线).减法的平行四边形法则作法：当a、b不共线时，如图2-2-4（1）中，在平面内任取一点O，作=a，OB=-b，则由向量加法的平行四边形法则可得=a+（-b）=a-b，这是向量减法的平行四边形法则.若a、b同向共线，如图2-2-4(2)；若a、b异向共线，如图2-2-4(3).图2-2-44.向量数乘的几何意义剖析：(1)对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa，当a与b反方向时，有b=-μa. (2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得b=μa.(3)判断A、B、C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得=μ.(4)如果向量a与b不共线，且λa=μb，那么λ=μ=0.(5)向量λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出，如图2-2-5.图2-2-5。

2.2平面向量的线性运算

2.2 平面向量的线性运算教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．教学难点：理解向量加减法的定义．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题探究，合作交流1提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？232. 思考|a +b |，|a |，|b |存在着怎样的关系？3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a ，b ∈R ，有a +b =b +a ，（a +b ）+c =a +（b +c ）．任意向量a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2. 当a ，b 不共线时，|a +b |<|a |+|b |（即三角形两边之和大于第三边）; 当a ，b 共线且方向相同时，|a +b |=|a |+|b |;当a ，b 共线且方向相反时，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |）．其中当向量a 的长度大于向量b 的长度时，|a +b |=|a |-|b |;当向量a 的长度小于向量b 的长度时，|a +b |=|b |-|a |．一般地，我们有|a +b |≤|a |+|b |．3. 如下左图，作AB =a ，AD =b ，以AB 、A D 为邻边作ABC D ，则BC =b ，DC =a ．因为AC =AB +AD =a +b ，AC =AD +DC =b +a ，所以a +b =b +a ．如上右图，因为AD =AC +CD =（AB +BC ）+CD =（a +b ）+c ，AD =AB +BD =AB +（BC +CD ）=a +（b +c ），所以（a +b ）+c =a +（b +c ）．综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和-a 互为相反向量．于是-（-a ）=a ．我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a +（-a ）=（-a ）+a =0．所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =-b ，b =-a ，a +b =0．A.平行四边形法则如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．讨论结果：①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．三、拓展创新，应用提高例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，OB=b．以OA、OB 为邻边作OACB，连接OC，则OC=a+b．例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d．45例4 如图，ABC D 中， AB =a ，AD =b ，你能用a 、b 表示向量AC 、DB 吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC =a +b ，同样，由向量的减法，知DB =AB -AD =a -b ．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．课堂作业1．下列等式中，正确的个数是（）①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-（-a ）=a ⑤a +（-a ）=0 A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -DB 等于（）A ．FDB ．FC C ．FED ．BE 3．下列式子中不能化简为AD 的是（）A ．（AB +CD ）+BC B ．（AD +MB ）+（BC +CM ） C ．BM AD MB -+ D ．OC -OA +CD4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的（） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心参考答案：1．C 2．D 3．C 4．A .第2课时教学目标一、知识与技能1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．二、过程与方法充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地0·a=0），它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．三、情感、态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．教学重点、难点教学重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教学关键：两个向量共线的等价条件的探究过程的引导.教学突破方法：从向量共线的定义出发，引导学生分组讨论，得出结果．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导．学习方法：合作探讨，在向量加减法的基础上进行推广．教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课前一节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．二、主题探究，合作交流提出问题：①探究：已知非零向量a，试一试作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）．②你能说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a=0，而不是0·a=0．这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a，λ-a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：（λ+μ）a=λa+μa和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．67对问题①，学生通过作图可发现，OC =OA +AB +BC =a +a +a ．类似数的乘法，可把a +a +a 记作3a ，即OC =3a ．显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a |=3|a |．同样，由下图可知，PN =MN QM PQ ++=（-a ）+（-a ）+（-a ），即（-a ）+（-a ）+（-a ）=3（-a ）．显然3（-a ）的方向与a 的方向相反，3（-a ）的长度是a 的长度的3倍，这样，3（-a ）=-3a ．对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1） |λa |=|λ||a |；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反．由（1）可知，λ=0时，λa =0．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么（1）λ（μa ）=（λμ）a ；（2）（λ+μ）a =λa +μa ；（3）λ（a +b ）=λa +λb ．特别地，我们有（-λ）a =-（λa ）=λ（-a ），λ（a -b ）=λa -λb ．对问题③，向量共线的等价条件是：如果a （a ≠0）与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b =λa ．推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b =μa ；当a 与b 反方向时，有b =-μa ．关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定． ②它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．三、拓展创新，应用提高例1 计算：（1）（-3）×4a ；（2）3（a+b）-2（a-b）-a；（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．解：（1）原式=（-3×4）a=-12a；（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．例2如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b．你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．解：分别作向量OA、OB、OC过点A、C作直线AC（如上图）．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．事实上，因为AB=OB-OA=a+2b-（a+b）=b，而AC=OC-OA=a+3b-（a+b）=2b，于是AC=2AB．所以A、B、C三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3 如图，ABC D的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示MA MB MC、、和MD吗？89活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABC D 中，∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA =21-AC =21-（a +b ）=21-a -21b ， MB =21DB =21（a -b ）=21a -21b ，MC =21AC =21a +21b ，MD =MB -=-21DB =-21a +21b ．点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．四、小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件． 2．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．课堂作业1．31[21（2a +8b ）-（4a -2b ）]等于（） A ．2a -b B ．2b -a C ．b -a D ．a -b2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则k 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0 3．若向量方2x -3（x -2a ）=0，则向量x 等于（）A ．56a B ．-6a C ．6a D ．56-a 4．在△ABC 中，AE =51AB ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB =a ，AC =b ，则BF 用a 、b 表示的形式是BF =_________．5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA +OC OB +=31e 1-21e 2，则OP ON OM ++=________．106．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，求证：OG =31（a +b +c ）．参考答案：1.B2. C3. C 4．-a +51b 5．31e 1-21e 2． 6．连接A G 并延长，设A G 交BC 于M ． ∵AB =b -a ，AC =c -a ，BC =c -b ，∴AM =AB +21BC =（b -a ）+21（c -b ）=21（c +b -2a ）． ∴AG =32AM =31（c +b -2a ）．∴OG =OA +AG =a +31（c +b -2a ）=31（a +b +c ）．。

新人教版高中数学必修第二册《平面向量的运算》导学案

平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA → ＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB → ＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE → ＝OC → ＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC → ＋AB →；（2）DB → ＋CD → ＋BC →；（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA →．解：（1）BC → ＋AB → ＝AB → ＋BC → ＝AC →．（2）DB → ＋CD → ＋BC→ ＝BC → ＋CD → ＋DB→ ＝（BC → ＋CD → ）＋DB→ ＝BD → ＋DB →＝0．（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DF → ＋FA → ＝AC → ＋CD → ＋DF → ＋FA→＝AD → ＋DF → ＋FA → ＝AF → ＋FA →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB → ，水流的速度为OA → ，以OA → ，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA → ＋OB → ＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB → ＝a ，BC → ＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝AC→法则三角形法则图形前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB 结论对角线OC →就是a 与b 的和法则平行四边形法则图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、精炼反馈1．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP →的结果等于（）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP → D ．SQ→解析：选B ．OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → ＝OQ → ＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC → ＝AB → ＋AD →，则一定有（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC → ＝AB → ＋AD → 得AD → ＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO → ＋AC →；（2）DE → ＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB → ＋MB → ）＋（－OB → －MO →）；（2）AB → －AD → －DC →．解：（1）法一：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝（AB → ＋BO → ）＋（OM → ＋MB → ）＝AO → ＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM→＝AB → ＋（MB → ＋BO → ）＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋OM → ＝AB → ＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB → －DC → ＝CB →．法二：原式＝AB → －（AD → ＋DC → ）＝AB → －AC → ＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC → ＝b ，AE → ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD → ，BC → ，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD → ＝AE → ＝c ，BC → ＝AC → －AB →＝b －a ，故BD → ＝BC → ＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD → －AC →等于（）A ．CB → B ．BC→ C ．CD → D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC → ＝CD →．2．化简：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＋AD →＝________．解析：原式＝CB → ＋BD → ＋DC → ＋AD → ＝CD → ＋DC → ＋AD → ＝0＋AD → ＝AD →．答案：AD→3．已知Error!＝10，|AC → |＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB → ＝AB → －AC →，所以|CB → |＝|AB → －AC →|．又Error!≤|AB → －AC → |≤|AB → |＋|AC →|，3≤|AB → －AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC →．又|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA → |，所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23[（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）]．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(13a－b)－(a－23b)＋（2b－a）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b)＝23(52a －1112b)＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB → ＝e 1＋e 2，BC → ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB → ＝e 1＋e 2，BD → ＝BC → ＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB → ，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有{k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD →|，所以AB → ＝2DC → ，DC → ＝12AB →．（1）AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN→ ＝－12DC → －AD → ＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN →，所以2MN → ＝（MD → ＋MC → ）＋DA → ＋CB → ＋（AN → ＋BN → ）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN →＝0．所以2MN → ＝DA → ＋CB →，所以MN → ＝12（－AD → －BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈1．13[12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）]等于（）A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB → ＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（）A ．BO →B ．AO→ C ．CO → D ．DO→解析：选A ．BD → ＝AD → －AB → ＝BC → －AB → ＝3e 2－2e 1，BO → ＝12BD → ＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB → ＝2e 1－8e 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD → ＝CD → －CB →＝e 1－4e 2．又AB → ＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB → ＝2BD → ，所以AB → 与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB → |＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD → ·BC → ；②AB → ·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD → ∥BC →，且方向相同，所以AD → 与BC →的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为AB → 与AD →的夹角为60°，所以AB → 与DA →的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×(－12)＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC → ·BD →．解：因为AC → ＝AB → ＋AD → ，BD → ＝AD → －AB →，所以AC → ·BD → ＝（AB → ＋AD → ）·（AD → －AB → ）＝AD → 2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋(－a·b |b |2)·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM → ＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×(－45)e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算第1课时预习导航学案

2.2 平面向量的线性运算（第1课时）预习导航课程目标学习脉络1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．3．掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算.1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．2．向量加法的三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．3．向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？提示：(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示，AC＝AB＋AD (平行四边形法则)．又∵BC＝AD，∴AC＝AB＋BC (三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同．思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？提示：能．向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则的实质是三角形法则的连续应用．4．向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考3 零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？提示：对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.思考4 ||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|之间的大小关系是怎样的？提示：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||＝|a＋b|.。

高中数学2.2平面向量的线性运算教案2人教版必修4.doc

平面向量的基本概念与线性运算（一）【教学目标】1.了解平面向量的实际背景。

2. 理解平面向量的概念及向量相等的含义。

3.理解向量的几何表示。

4. 掌握向量加法，加法的运算，并理解其几何意义。

【教学重难点】1．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

2．掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

3.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

4.掌握向量减法的三角形法则。

【课前预习】基本知识点：(1) 既有又有的量叫做向量，向量可以用来表示．(2) 向量 AB 的大小，也就是向量AB的(或称) ，记作 AB(3) 长度向量叫做零向量，记作0 ；长度为_ 的向量叫做单位向量．(4) 方向或的两个向量叫做平行向量，也叫做．规定： 0 与平行．(5) 长度且方向的向量叫做相等向量；与 a 长度且方向的向量叫做相反向量．规定： 0 的相反向量是．(6)向量的加法和减法：如图所示，已知在中设 AB a, AD b , 则a b ， a b(7) 向量的分解：已知向量 AB ，O为平面内任意一点，则AB AO OB；AB OB OA。

基本练习：1. （必修 4 课本 57 页）下列结论中正确的是________（ 1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（ 2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（ 3）若a和b都是单位向量，则 a = b ；（4）两个相等向量的模相等。

2.（必修 4 课本 57 页）设 O是正三角形 ABC的中心，则向量AO BO CO是 _________向量（相等，共线，模相等，共起点）3. （必修 4 课本 57 页）判断题：1）长度相等的向量是相等向量。

（） 2 3)平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。

）相等向量是共线向量。

（）( )建邺高中高三数学讲学稿（一轮复习）平面向量4. 在ABCD 中，BC CD BA5. 在△ABC中，AB c，AC b ．若点D满足BD 2DC ，则 AD ________【典型例题】 B A例 1．如图，设 O是正六边形的中心，分别写出图中与DAC O F的模相等的向量以及方向相同的向量。

(全国通用版)2020高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课

『规律总结』解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．
〔跟踪练习 2〕如图所示，解答下列各题： (1)用 a、d、e 表示D→B； (2)用 b、c 表示D→B； (3)用 a、b、e 表示E→C； (4)用 c、d 表示E→C．
『规律总结』掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算时，常用的变形如下：
(1)运用A→B＝－B→A化减为加； (2)运用A→B＋B→A＝0 或A→B＋B→C＝A→C化繁为简； (3)运用A→B＝O→B－O→A转化为共起点的两个向量的差．
〔跟踪练习 4〕如图所示，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，求O→D．
[解析] B→C＝O→C－O→B＝c－b，又A→D＝B→C，∴A→D＝c－b， ∴O→D＝O→A＋A→D＝a＋c－b．
1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；
③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；
[解析] (1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B ＝d＋e＋a＝a＋d＋e． (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c． (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e． (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d．
向量加减法的综合运用
典例 3 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点，且向量O→A，O→B，O→C， O→D满足O→A＋O→C＝O→B＋O→D，则四边形 ABCD 的形状为___平__行__四__边__形___．
命题方向2 ⇨利用已知向量表示其他向量

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算第2课时课堂探究学案

2.2 平面向量的线性运算（第2课时）课堂探究探究一向量的减法运算1.2．向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相接且相加；(2)起点相同且相减．做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现．同时注意向量加法、减法法则的逆向运用．【典型例题1】化简下列各式：(1) AB－AC＋BD－CD；(2)( AB＋CD)＋(BC＋DE)－(EF－EA)．解：(1) AB－AC＋BD－CD＝CB＋BD－CD＝CD－CD＝0.(2)( AB＋CD)＋(BC＋DE)－(EF－EA)＝(AB＋BC)＋(CD＋DE)－(EF－EA)＝AC＋CE－AF＝AE－AF＝FE.探究二用已知向量表示未知向量1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB”改为“＋BA”．3．在减法的逆运算中，一定要注意“共起点”“指向被减向量终点”这两个方面．【典型例题2】如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用a，b，c表示向量BD，BE，CE.思路分析：寻找图形中已知向量与所表示向量的关系，再灵活运用三角形法则或平行四边形法则表示即可．解：∵四边形ACDE 为平行四边形，∴CD →＝AE ＝c ，BC ＝AC －AB ＝b －a .∴BD ＝BC ＋CD ＝b －a ＋c ， BE ＝AE －AB ＝c －a ， CE ＝AE －AC ＝c －b .探究三向量减法的综合运用向量a ＋b ，a －b 的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简．转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解．【典型例题3】已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OD ＝OB －OC ，∴DA ＝CB .∴|DA |＝|CB |，且DA ∥CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形．答案：平行四边形。

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算第2课时预习导航学案新人教A版必修07

2.2 平面向量的线性运算（第2课时）
预习导航
1．相反向量
如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量
(2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量．
2．向量的减法
的起点放在一起，则a－
向向量a的终点的向量
思考1若OA＝a，OB＝b，则AB，BA如何用a，b表示？
提示：AB＝OB－OA＝b－a，BA＝OA－OB＝a－b.
思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a＋b|和|a－b|的几何意义是什么？
提示：如图所示，设OA＝a，OB＝b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵四边形OACB是平行四边形，∴|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
思考3向量加法与减法的几何表示的区别？
提示：向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在
一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．。

[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算导学案

2.2 向量的线性运算课堂导学三点剖析1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律【例1】在四边形中，已知AB =a ，AD =b ，BC =c ，试用向量a ,b ,c 表示向量DC . 思路分析：连结，则将四边形ABCD 分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将用a ,b ,c 与来表示，即可求出.解：在下图中作向量.由向量加法的三角形法则，得AC =a +c ，AC =b +DC .所以 a +c =b +DC . 因此=a +c -b .温馨提示找到向量AC 并以AC 建立DC 与a ,b ,c 的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，设=a ,=b ，求作向量a -b ,21a -b ,b +21a . 思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解：如图a -b =-=.21a -b =-=. b +21a =AD +DF =AF . 2．对向量数乘运算律的理解和应用【例3】设x 是未知量，解方程2（x-31a ）-21(b -3x+c )+b =0. 思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决. 解：原方程化为2x-32a -21b +23x-21c +b =0, 27B-32a +21b -21c =0, 27x =32a -21b +21c , ∴x =214a -71b +71c . 3.向量共线的应用【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=31|BD|.求证：M 、N 、C 三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M 、N 、C ），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a ,b 表示出，，问题就可以解决.证明：∵AD =a ,AB =b , ∴=-=a -b . ∴MN =BN MB +=21b +31 =21b +31 (a -b )= 31a +61b =61(2a +b ). 又∵=+=21b +a =21 (2a +b ), ∴=3.又与有共同起点，∴M、N 、C 三点共线.温馨提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.各个击破类题演练1已知平行四边形ABCD ，=a ，=b ，用a 、b 分别表示向量，.思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.解：连结、DB ，由求向量和的平行四边形法则，则=AB +AD =a +b .依减法定义得，DB =AB -AD =a -b .变式提升1(2006广东高考，4)如右图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于（）A.-BC +21 B.-BC -21 C.-21 D.+21 思路分析：由三角形法则得知=-=21-. 答案：A类题演练2若O 为平行四边形ABCD 的中心，=4e 1，BC =6e 2，则3e 2-2e 1=______________. 解：3e 2=21,2e 1=21AB ,∴3e 2-2e 1=21-21AB =21(-AB )=21(+BA )=21BD . 答案：21 变式提升2 化简32［(4a -3b )+ 31b -41(6a -7b )］=__________________. 解析：原式=32(4a -3b +31b -23a +47b ) =32［(4-23)a +(-3+31+47)b ］ =32(25a -1211b )=35a -1811b .答案：35a -1811b 类题演练3设x 为未知向量，解方程31x +3a -152b =0. 解：原方程化为31x+(3a -152b )=0, 所以31x =0-(3a -152b ),31x=-3a +152b .所以x=-9a +52b . 变式提升3(2006山东高考，文4)设向量a =（1，-3），b =（-2，4）.若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（）A.(1，-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6) 解析：依题可知4a +(3b -2a )+c =0,所以c =2a -4a -3b =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案：D类题演练4已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1+3e 2，BC =6e 1+23e 2，CD =4e 1-8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A 、B 、D 三点共线，只需证、共线，根据题目的条件如何才能求得呢？显然=++ 证明：∵AD =AB ++=2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2=12e 1+18e 2=6（2e 1+3e 2） =6， ∴向量与向量共线. 又∵和有共同的起点A ，∴A、B 、D 三点共线.变式提升4a =e 1+2e 2,b =3e 1-4e 2，且e 1、e 2共线，则a 与b （）A.共线B.不共线C.可能共线，也可能不共线D.不能确定思路分析：∵e 1与e 2共线，则存在实数e 1=λe 2,∴a =e 1+2e 2=(λ+2)e 2,b =3e 1-4e 2=(3λ-4)e 2,∴a =λ+32λ-4b ,故a 与b 共线. 答案：A。