Black-Scholes期权定价模型的数值求解-梅树立庞守林

3.股价波动度之估算 (1).历史波动度(historical volatility))， 其公式如下：
天
( Ri－R ) n 1 i 1
n
2
年 天 252
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时间平方根法则 如果我们以日数据来计算波动率，所得到的是每日波动率的估算值， 至于延伸为N天期的波动率，则一般都利用时间平方根法则来求取。 估算周波动率，N = 5；估算月波动率，N = 21；估算年波动率，N = 252。
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买权卖权等价理论 C－P＝S－K(1＋r)-T 对同一标的资产（如同一支股票）、同一履约价格、同一到 期日之买权与卖权来说，在某个时点的买权、卖权相对价格 （买权减去卖权）应该等于当时股价减去履约价格之折现， 否则会有套利的机会。
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有股利情况下，欧式的买权卖权等价理论
C－P＝S－D(1＋r)－t－K(1＋r)－T
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价内、价外及价平选择权
一般习惯上，将选择权的履约价格相对于股价的大小，区分 为价内、价外及价平三种选择权。 1. 价内选择权(in-the-money option) 对买权而言，当股价大于履约价格时，称此买权为价内买权。
8
2. 价外选择权(out-of-the-money option) 对买权而言，当股价小于履约价格时，称为价外买权。 3.价平选择权(at-the-money option) 对买权或卖权而言，当股价等于履约价格时，称为价平选择 权。

t
过去的第i天，权重是
(1 - ) i -1 (rt2 -i )

(1- )
。
i 1
i -1
39
估计Lambda 务实上，RiskMetrics使用以下的优化方法，来求算个别资产 最佳的值 min RMSE= s.t.
1 N
(r
i 1

2
i 1
ˆ i 1 ( )) -
2
26
Black-Scholes买权价格公式(无配息)
C＝S．N(d1)－Ke－rT N(d2)
S 2 1 ln ＋ ( r ＋ )T 其中，d1 = 2 K T
d2 =
S 2 ln ＋( r 1 )T 2 K d1 T
T
27
C：买权目前理论价值call price S：目前的股价 stock price K：履约价格 strike price r：无风险利率（以年为标准）riskless rate T：到期日之长短（以年为单位）maturity ln：自然对数 logrithm ：股价报酬波动度（以年为标准）volatility N(d1) :为标准正态分布概率密度函数Normal distribution
C＝S e－qT N(d1)－Ke－rT N(d2)
其中，d1 = d2 =
S 2 ln ＋( r q＋ 1 )T 2 K T
S 2 ln ＋( r q 1 )T 2 K d1 T
T
30
Black-Scholes卖权价格公式(配息yield q)
P＝Ke－rT N(-d2)－S e－qT N(-d1)
價外
股價
18
時間價值 20 18.47 15 10 5 0 12.62 8.72 4.93
一年
半年
三個月 一個月 到期期限
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期权（Option）基本概念 Black-Scholes期权定价模型 Black-Scholes模型的差分法求解 小波多尺度数值求解方法
1973年，芝加哥大学教授Black和MIT教授Scholes在 Journal of Political Economy上发表了一篇题为《期权定价 和公司负债》的论文；同年，哈佛大学教授Merton在《贝 尔管理科学学报》上发表了另一篇论文《期权的理性定价 理论》。这两篇论文奠定了期权定价理论基础。
2 其中，d1 = ln S ＋( r q＋ 1 )T 2
K
T
T
31
d2 =
S 2 ln ＋( r q 1 )T 2 K d1 T
B-S公式中的N(d1)一般称为避险比率(hedge ratio)或对冲率， 或delta。
C N(d1) = S 其中，ΔC：买权变动的大小 ΔS：股价变动的大小
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移动平均 在以上的历史波动率估计中，我们可以加上窗口的设计，在每一个时 间点，我们选取过去Ｎ个数据为样本，计算其标准偏差当时间往前， 则窗口也往前移一个数据点，并且删除最后一个数据
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(2).隐含波动度(implied volatility) 利用市场上选择权的交易价格，代入B-S 公式反求出报酬 的波动度。 国外学者发现同样的股票，由价内选择权 及价外选择权所 求出来的隐含波动度常常不一样，通常价内的隐含波动度会 高于价 外的隐含波动度，一般称为笑状波幅 (volatility smile)。
Black-Scholes模型的主要概念 假设有一包含股票及其买权的投资组合，藉由不断调整适当 的股票与买权之比率，可使投资组合在短时间内达到无风险 的状态。在无套利情形下，该投资组合应赚得无风险报酬。 因此得到买权对股价及时间的偏微分方程式，另外再加上到 期日买权价值的边界条件，而得到买权公式解。
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买权敏感度 delta() delta是用来衡量选择权标的资产价格变动对选择权价格的影 响。
C Δ＝ ＝N (d1 )＞0 S
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买权敏感度 gamma() gamma是用来衡量delta的敏感度，也就是当股价变动时，避 险比率delta变动的情况。
N(d1 ) N' (d1 ) Γ＝ 2＝ ＝ ＞0 S Sσ T S
若一个随机过程{X(t),t>=0}满足： (1) X(t)是独立增量过程； (2) 任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望为0， 方差为c^2*t的正态分布； (3) X(t)关于t是连续函数。 则称{X(t),t>=0}是维纳过程(Wiener process)或布朗运动。
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内含价值与时间价值
选择权的价格或称为权利金(premium)，是指买方所支付或卖 方所收到的价款。权利金可分为两部分：内含价值(intrinsic value)与时间价值(time value)。
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选择权价值＝内含价值＋时间价值
买权(C)的价值可表示如下： C＝max(0, S－K)＋时间价值 卖权(P)的价值可表示如下： P＝max(0, K－S)＋时间价值
2
2
1
40
EWMA模型是由JP Morgan于其发展的风险控管系统 RiskMetrics中使用。 计算的结果，日数据的最佳的值为0.94，月数据最佳的值为 0.97。
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(4).随机波动度(Stochastic Volatility) GAHCH Model
rt c i rt -i i t -i i X t,i t
3
选择权依买入或卖出的权利可分为买权(看涨期权，Call Option)及卖权(看降期权，Put Option)两种。 买权赋予持有人买入标的资产之权利。
卖权赋予持有人卖出标பைடு நூலகம்资产之权利。
4
履约价格 选择权契约中，在未来某一段期间内以约定的价格，买卖某 一定数量的标的资产，此约定的价格称为履约价格(Exercise price)或执行价格(Strike price)。
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因 素 股價(S) 履約價格(K) 到期日(T) 股價波動度( 無風險利率(R) 股利(D)
買權變動方向
賣權變動方向

)


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買權價值
S K線
時間價值
內含價值
45 K 價平
價外
價內
目前股價
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賣權價值
K
時間價值
K S線
內含價值
K 價內 價平
（1）它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未 来预测中所需的全部信息。 （2）维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的 概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。 （3）它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区 间的长度呈线性增加。 期货定价模型BS模型中，期货价格及其所依赖的标的资产价格 都受同一种不确定因素的影响，两者也都是遵循相同的维纳过程。
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Black-Scholes公式中变数的选取 1.到期期限 一般用年（1年以365天计）来表示，亦即使用与计算利息一 致的方式来计算到期期限。
2.无风险利率 无风险利率(risk-free rate)是指没有任何违约风险的资产之收 益率，所以政府发行的公债或国库券之利率，均可视为无风 险利率。
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Black-Scholes卖权价格公式(无配息)
P＝Ke－rT N(-d2)－S．N(-d1)
S 2 1 ln ＋ ( r ＋ )T 其中，d1 = 2 K T
d2 =
S 2 ln ＋( r 1 )T 2 K d1 T
T
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Black-Scholes买权价格公式(配息yield q)
C
2
45
买权敏感度 vega(v) vega或称kappa，是用来衡量标的价格波动度改变对选择权价 格的影响，也就是波动度每上升一单位对选择权价格的影响。
C rT v＝ ＝Ke σ
T N' (d 2 )＝S T N ' (d1 )＞0
i 1 i 1 i 1 R M S
t tzt
2 t p i 1
z t N(0,1)
2 t -i
i
i
i 1
Q
2 t -i
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用来衡量因五个变量发生变动时，选择权价格变化的情况。 由于一般习惯上常常用希腊字母(Greek)来表示这些变量变动 对选择权价格的影响，因此选择权敏感度分析有时称为选择 权Greeks。
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B-S模型中假设股价服从对数常态分配，有时称股价服从几何 布朗运动(Geometric Brownian Motion)
dS＝Sdt ＋SdZ
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Black-Scholes偏微分方程式
C C 1 2 2 C ＝rC－rS － S σ t S 2 S2
C (T , S (T )) g ( S (T ))
梅树立

期权（Option）基本概念 Black-Scholes期权定价模型 Black-Scholes模型的Matlab求解 小波多尺度数值求解方法
选择权(option)是一种衍生性证券(derivative security)，持有人 有权利在未来某一段期间内（或某一特定日期），以约定的 价格向卖方买入或卖出一定数量的标的资产(underlying asset)。
0 現在 t 發放D元股利 T 到期日
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没有股利情况下，美式的买权卖权等价理论 －T S－K Ca － Pa S － K ( 1 ＋ r) 有股利情况下，美式买权卖权等价理论 S－D(1＋r)－t－K Ca－Pa S－K (1＋r)－T
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影响选择权价格的因素 1. 股价 2. 履约价格 3. 到期日的长短 4. 标的资产价格的波动幅度 5. 无风险利率 6. 股利
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到期日 选择权契约中约定的未来某一特定日期称为到期日(Maturity date; Expiration date)，此某一段期间亦即权证的存续期间。
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美式选择权与欧式选择权 选择权可依履约时间的不同，分为美式选择权及欧式选择权。 美式选择权(American option)可在到期日前（含）的任何一天 履约，向卖方买入或卖出股票或约定的标的资产；而欧式选 择权(European option)仅能在到期日当天履约，买入或卖出股 票。美式选择权此种提早买入或卖出股票的特性，称为提早 履约(early exercise)。
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(3).指数加权移动平均(EWMA) 虽然市场上最近的讯息比远久以前的讯息来的重要，但是移 动平均法给所有的数据点权重是一样的。 EWMA的作法是，越近的数据，权重给的越大，因此捕捉了 波动群聚的现象。因此与移动平均相比，EWMA对于市场冲 击反应较快。
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EWMA公式
t
i -1 2 (r t -i ) i 1 i -1 i 1