三角形典型题(三边关系)

已知△ABC ,

(1)如图1，若D点是A ABC内任一点、求证：/ D= / A+ / ABD+ / ACD .

(2)若D点是△ABC外一点，位置如图2所示.猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)

(3 )若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论.

考点：三角形的外角性质

专题：计算题.

分析：(1)由/ BDC= / 2+ / CED , / CED= / A+ / 1,可以得出/ D= / A+ / ABD+ / ACD .

(2) 由/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB，/ A+ / ABC+

/ ACB=180 ，/ D+ / DBC+DCB=180 ，可以得出/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360

(3) 根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可

知/ AED= / 1+ / A，/ AED= / D+ / 2，所以可知/ A+ / 1= / D+ / 2 即/D+ / ACD= / A+

解答：解：(1)证明：延长BD交AC于点E .

•••/ BDC 是A CDE 的外角，•••/ BDC= / 2+ / CED ,

•••/ CED 是△ABE 的外角，•/ CED= / A+ / 1 .

•••/ BDC= / A+ / 1+ / 2 .即/ D= / A+ / ABD+ / ACD .

(2 )•••/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB ,

/ A+ / ABC+ / ACB=180 ，/ D+ / DBC+DCB=180 , •••/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360

(3)证明：令BD、AC交于点E,

•••/ AED是△ABE的外角，

•••/ AED= / 1+ / A ,

•••/ AED 是ACDE 的外角，

•••/ AED= / D+ / 2 .

•••/ A+ / 1 = / D+ / 2 即/ D+ / ACD= / A+ / ABD .

形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.

(1)如图，A ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由. 厶

(2)将(1)中点P移至A ABC内，得图②，试观察比较A BPC的周长与A ABC的周长的

(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与A ABC 的周长的大小，并说明理由.

(4)将(3)中的点P2移至△ABC夕卜，并使点P j、P2与点A在边BC的异侧，且/ P1BC v/ ABC , / P2CB v/ ACB ,得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与A ABC的周长的大小，并说明理由.

（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1,如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与A ABC的周长的大小，并说明理由.

考点：三角形三边关系分析：（1 ）、（2）、（3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边

之差进行解答；

（4）通过将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P i、P2落在MBC内，转化为（3）情形，从而问题得解；

（5）延长B i P i、C1P2分别与AB相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答.

解答：解：（1）BP+PC v AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段

最短.

（2）ABPC的周长v A ABC的周长.理由:

如图，延长BP 交AC 于M，在A ABM 中，BP+PM v AB+AM ,在APMC 中，PC v PM+MC , 两式相加得BP+PC v AB+AC，于是得：ABPC的周长v A ABC的周长.

（3）四边形BP1P2C的周长v A ABC的周长.理由:

如图，分别延长 BP. CP 2交于M ，由(

2)知，BM+CM V AB+AC ，又卩汨2< P 1M+P 2M , 可得，BP 1+P 1P 2+P 2C V BM+CM V AB+AC ，可得结论.

或：作直线 P 1P 2 分别交 AB 、AC 于 M 、N (如图)， ABMP 1 中，BP 1V BM+MP 1, △AMN 中，MP 1+P 1P 2+P 2M V AM+AN ，AP2NC 中，P 2C V P 2N+NC ，三式相加得：BP 1+P 1P 2+P 2C

(4) 四边形BP 1P 2C 的周长V △ABC 的周长.理由如下：将四边形 折，

使点P i 、P 2落在MBC 内，转化为(3)情形，即可.

(5) 比较四边形 B 1P 1P 2C 1的周长V A ABC 的周长.理由如下： 如图，分别作如图所示的延长线交 △ABC 的边于M 、N 、K 、H ,在^NM 中，NB J +B J PI+P J M V BM+BN ，又显然有，B i C i +C i K v NB i +NC+CK ，及 C 1P 2+P 2H V C i K+AK+AH ，及 P 1P 2 V P 2H+MH+P i M ，将以上各式相加，得 B 1P 1+P 1P 2+P 2C+B i C i V AB+BC+AC ，于是得结论.

点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，

通过作辅助线进行解

答. 如图，已知直线\J 12, 13、14和12分别交于点A 、B 、C 、D ，点P 在直线13或14上且不 与点 A 、

B 、

C 、

D 重合.记/ AEP= / 1，/ PFB= / 2，/ EPF= / 3.

(1) 若点P 在图(1 )位置时，求证：/ 3= / 1+ / 2 ;

(2) 若点P 在图(2)位置时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系；

(3) 若点P 在图(3)位置时，写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系并给予证明；

(4)

若点P 在C 、D 两点外侧运动时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系. BP 1P 2C 沿直线BC 翻

V AB+AC ，可得结论.