三角形典型题(三边关系)
人教版小学四年级数学下册第5单元第2课时 三角形三边关系典中点习题
(3)能和15 cm长的小棒围成三角形的另两根小棒的长 分别是( C )。 A．7 cm和8 cm B．9 cm和5 cm C．10 cm和10 cm
(4)已知三角形的一条边的长是6 cm，另一条边的长是 10 cm，第三条边的长一定( B )16 cm。 A．大于 B．小于 C．等于
3．下面的数据，正确的画“ √ ”，错误的画“× ”。 22 cm 33 cm 16 cm 40 cm
5 三角形
第3课时 三角形三边的关系
教材习题
1．选择合适的方法画出下面的角，并说说它们分别 是哪一种角。 （选题源于教材P46第12题）
画角略。10°、45°、60°的角是锐角，90°的角是 直角，105°、120°的角是钝角，180°的角是平角。
提示：点击 进入习题
1
2
3
4
5
6
7
知识点 1 两点之间的距离
易错辨析
4．笑笑说：“用长7 cm，7 cm和14 cm的三根小棒可以 围成一个等腰三角形。”她说得对吗？为什么？ 不对，因为7＋7＝14(cm)，三角形两边 之和不能等于第三边。
辨析：忽视了三角形任意两边之和大于第三边。
提升点 1 根据三角形三边的关系摆三角形
5．任取下面长度的三根小棒，能摆出几种不同的三角形？ 写一写。 3 cm，4 cm，4 cm，4 cm，7 cm，8 cm，8 cm
7．把一根14 cm长的吸管剪成长度为整厘米数的三段， 用线串成一个三角形，如下图。还可以怎样剪？
还可以剪成长度分别是5 cm，5 cm，4 cm的三段。(答案不唯一)
1．明明从家去学校走(中间)的路最近(填“上面”“中间 ”或“下面”)，因为两点之间，( 线段 )最短。
三角形三边关系考点汇总
三角形三边关系考点汇总一，四根木棍组合形式（先穷尽后挑选）例：已知有4根木棍，长度分别为（单位：cm）3，5，6，8.请问可以组成几个不同的三角形。
此类问题首先找到4根木棍在不考虑三角形三边关系的情况下，有几种选择方式。
分别是3，5，6；3，5，8；3，6，8；5，6，8.然后再根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，进行排除。
最后发现有三种情况。
二，直接给出三个线段长度判断此类问题一般是选择题，四个选项给出四中不同的情况让去逐一判断。
例：以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A，1，2，4 B，8，6，10 C，12，5，6 D，2，5，7碰到此类问题，仍然是考察三角形三边关系。
任意两边之和大于第三边。
任意两边之差小于第三边。
但是如果没有合适的方法，部分选项我们可能最多需要判断六次，大大的增加的该题的复杂度。
最好的办法就是把每一个选项从小打到排序。
只要两个最小的线段的和大于最长的那个线段，便一定满足任意两边之和大于第三边。
也可以看最长线段长减去最短线段长的差是否小于第三条线段的长。
若是则可以组成。
三，化简或者判断三角形的形状此类问题的核心是根据三边关系进行化简判断例3：若△ABC的三条边长度分别为a,b,c，①化简：|a-b-c|+|a+b-c|-|a+c-b|②已知三边关系满足|a-b|+(b-c)2=0，判断三角形的形状分析：该题要谨记三角形的三边关系四，已知两边（一）已知两边求第三边的取值范围例：已知三角形两边长分别为1，7，求第三边的取值范围解：设第三边长为x则： 7-1 <X<7+1解的 6<x<8（二）已知两边长，第三边范围增加限制条件例：已知三角形两边长分别为1，7，第三边边长为奇数，求第三边的取值范围分析：该题是最爱出填空题。
作为直接使用三角形三边关系，求出第三边范围之后，添加限制性条件，锁定第三边的取值范围。
要注意区分奇数与偶数。
本体答案就是7 （三）一直两边长和周长的范围，求第三边长例：已知三角形两边长分别为1，7，该三角形周长不大于16.求第三边的取值范围（四）已知两边长，周长取值范围，第三边长的限制条件。
直角三角形三边关系练习题(含答案)
直角三角形三边关系练习题(含答案)
问题一
已知直角三角形的两条直角边分别为3 cm和4 cm，请计算斜
边的长度。
解答一
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
所以斜边的长度为5 cm。
问题二
已知直角三角形的斜边长为10 cm，其中一个直角边长为6 cm，请计算另一个直角边的长度。
解答二
根据勾股定理，直角边的长度可以通过以下公式计算：
$$直角边长度 = \sqrt{斜边^2 - 另一直角边^2}$$
代入已知数值，可得：
$$直角边长度 = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$
所以另一个直角边的长度为8 cm。
问题三
已知直角三角形的一个直角边长为5 cm，另一个直角边长为12 cm，请计算斜边的长度。
解答三
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
所以斜边的长度为13 cm。
以上就是直角三角形三边关系的练习题及其答案。
希望对你有帮助！。
三角形典型题(三边关系)
一、已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．考点：三角形的外角性质．专题：计算题．分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．解答：解：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED=∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠D+∠2．∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．二、观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．。
三角形三边关系（带答案）word版本
三⾓形三边关系（带答案）word版本三⾓形三边关系(带答案)【考点训练】三⾓形三边关系-2⼀、选择题（共10⼩题）1．（2011?青海）某同学⼿⾥拿着长为3和2的两个⽊棍，想要找⼀个⽊棍，⽤它们围成⼀个三⾓形，那么他所找的这根⽊棍长满⾜条件的整数解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，52．（2012?郴州）以下列各组线段为边，能组成三⾓形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm3．（2012?海南）⼀个三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根⽊棒，任取其中三根组成⼀个三⾓形，那么可以组成的三⾓形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2011?梧州）下列长度的三条线段能组成三⾓形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，76．（2012?常州）已知等腰三⾓形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三⾓形的周长为（）A．13 B．17 C．22 D．17或227．（2011?徐州）若三⾓形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm8．（2011?南通）下列长度的三条线段，不能组成三⾓形的是（）A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，89．（2012?东莞）已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．16 10．（2011?莆⽥）等腰三⾓形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定⼆、填空题（共10⼩题）（除⾮特别说明，请填准确值）11．（2007?安顺）如果等腰三⾓形的两边长分别为4和7，则三⾓形的周长为_________．12．（2004?云南）已知三⾓形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为_________．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除13．（2007?柳州）如果三⾓形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中⼀边的长相等，那么第三边的长为_________cm．14．（2006?连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟⼀确定．你认为BC的长可以是_________．15．（2005?泸州）⼀个等腰三⾓形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为_________cm．16．（2007?贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是_________．17．（2006?梧州）△ABC的边长均为整数，且最⼤边的边长为7，那么这样的三⾓形共有_________个．18．（2004?芜湖）已知等腰三⾓形的⼀边等于5，另⼀边等于6，则它的周长等于_________．19．（2004?⽟溪）已知⼀个梯形的两底长分别是4和8，⼀腰长为5，若另⼀腰长为x，则x的取值范围是_________．20．（2004?嘉兴）⼩华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根⼩⽊棒中选出三根摆成⼀个三⾓形，那么他选的三根⽊棒的长度分别是：_________，_________，_________（单位：cm）．三、解答题（共10⼩题）（选答题，不⾃动判卷）21．已知三⾓形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数．（1）请写出⼀个三⾓形符合上述条件的第三边长．（2）若符合上述条件的三⾓形共有n个，求n的值．（3）试求出（2）中这n个三⾓形的周长为偶数的三⾓形所占的⽐例．22．如果⼀个三⾓形的各边长均为整数，周长⼤于4且不⼤于10，请写出所有满⾜条件的三⾓形的三边长．23．⼀个三⾓形的边长分别为x，x，24﹣2x，（1）求x可能的取值范围；（2）如果x是整数，那么x可取哪些值？24．已知三⾓形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除25．三⾓形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x2﹣3x）cm、（﹣x2+6x﹣2）cm①求这个⾓形的周长；②x是否可以取2和3？如果可以，求出相应的三⾓形的周长；如果不可以，请说明理由．26．⼀个四边形的周长是48cm，已知第⼀条边长是acm，第⼆条⽐第⼀条边的2倍长3cm，第三条边等于第⼀、第⼆两条边的和．（1）⽤含a的代数式表⽰第四条边．（2）当a=7时，还能得到四边形吗？说说理由．28．如图，在四边形ABCD内找⼀点O，使OA+OB+OC+OD之和最⼩，并说出你的理由．29．若三⾓形三边长分别为2x，3x，10，其中x为正整数，且周长不超过30，求x的取值范围．写出这个三⾓形的三边长．30．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满⾜|a﹣4|+（b﹣1）2=0，求△ABC中c边的长．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除【考点训练】三⾓形三边关系-2参考答案与试题解析⼀、选择题（共10⼩题）1．（2011?青海）某同学⼿⾥拿着长为3和2的两个⽊棍，想要找⼀个⽊棍，⽤它们围成⼀个三⾓形，那么他所找的这根⽊棍长满⾜条件的整数解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5考点：三⾓形三边关系．分析：⾸先根据三⾓形三边关系定理：①三⾓形两边之和⼤于第三边②三⾓形的两边差⼩于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．解答：解：设他所找的这根⽊棍长为x，由题意得：3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，∵x为整数，∴x=2，3，4，故选：C．点评：此题主要考查了三⾓形三边关系，掌握三⾓形三边关系定理是解题的关键．2．（2012?郴州）以下列各组线段为边，能组成三⾓形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm考点：三⾓形三边关系．分析：根据三⾓形的三边关系“任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边”，进⾏分析．解答：解：根据三⾓形的三边关系，知A、1+2＜4，不能组成三⾓形；B、4+6＞8，能够组成三⾓形；C、5+6＜12，不能组成三⾓形；D、2+3=5，不能组成三⾓形．故选B．点评：此题考查了三⾓形的三边关系．判断能否组成三⾓形的简便⽅法是看较⼩的两个数的和是否⼤于第三个数．3．（2012?海南）⼀个三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm考点：三⾓形三边关系．分析：已知三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，根据在三⾓形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．解答：解：设第三边长为x，则由三⾓形三边关系定理得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．因此，本题的第三边应满⾜4＜x＜10，把各项代⼊不等式符合的即为答案．3，4，11都不符合不等式4＜x＜10，只有7符合不等式，故答案为7cm．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除故选C．点评：此类求三⾓形第三边的范围的题，实际上就是根据三⾓形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根⽊棒，任取其中三根组成⼀个三⾓形，那么可以组成的三⾓形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三⾓形三边关系．专题：压轴题．分析：从4条线段⾥任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三⾓形三边关系，舍去即可．解答：解：四条⽊棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三⾓形．故选B．点评：考查了三⾓形三边关系，三⾓形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．5．（2011?梧州）下列长度的三条线段能组成三⾓形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，7考点：三⾓形三边关系．专题：应⽤题．分析：根据三⾓形的三边关系“任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边”进⾏分析．解答：解：根据三⾓形的三边关系，知A、1+2=3，不能组成三⾓形，故A错误；B、3+4＞5，能够组成三⾓形；故B正确；C、1+1＜3，不能组成三⾓形；故C错误；D、3+4=7，不能组成三⾓形，故D错误．故选：B．点评：本题考查了三⾓形的三边关系，判断能否组成三⾓形的简便⽅法是看较⼩的两个数的和是否⼤于第三个数，难度适中．6．（2012?常州）已知等腰三⾓形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三⾓形的周长为（）A．13 B．17 C．22 D．17或22考点：等腰三⾓形的性质；三⾓形三边关系．专题：分类讨论．分析：由于等腰三⾓形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进⾏讨论．解答：解：当4为底时，其它两边都为9，∵9、9、4可以构成三⾓形，∴三⾓形的周长为22；当4为腰时，其它两边为9和4，∵4+4=8＜9，∴不能构成三⾓形，故舍去．故选C．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除点评：本题考查了等腰三⾓形的性质和三⾓形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题⽬⼀定要想到两种情况，分类进⾏讨论，还应验证各种情况是否能构成三⾓形进⾏解答，这点⾮常重要，也是解题的关键．7．（2011?徐州）若三⾓形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm考点：三⾓形三边关系．专题：应⽤题．分析：已知三⾓形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三⾓形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．解答：解：设第三边长为xcm．由三⾓形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，解得3＜x＜15．故选C．点评：本题考查了三⾓形三边关系定理的应⽤．关键是根据三⾓形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．8．（2011?南通）下列长度的三条线段，不能组成三⾓形的是（）A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8考点：三⾓形三边关系．专题：计算题．分析：根据三⾓形三边关系定理：三⾓形两边之和⼤于第三边，进⾏判定即可．解答：解：A，∵3+4＜8∴不能构成三⾓形；B，∵4+6＞9∴能构成三⾓形；C，∵8+15＞20∴能构成三⾓形；D，∵8+9＞15∴能构成三⾓形．故选A．点评：此题主要考查学⽣对运⽤三⾓形三边关系判定三条线段能否构成三⾓形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和⼤于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成⼀个三⾓形．9．（2012?东莞）已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．16考点：三⾓形三边关系．专题：压轴题；探究型．分析：设此三⾓形第三边的长为x，根据三⾓形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．解答：解：设此三⾓形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选C．点评：本题考查的是三⾓形的三边关系，即任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边．10．（2011?莆⽥）等腰三⾓形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除。
七年级数学下册 3.1.1 三边关系试题(基础巩固提优+课外拓展提优+开放探究提优,pdf) (新版)北师大版
第三章㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三 角 形１㊀认识三角形第１课时㊀三边关系㊀㊀１．认识三角形的概念及基本要素．２．掌握三角形三边之间的关系．１．若三角形两条边分别是２c m和７c m,则第三边c的范围是㊀㊀㊀㊀,当周长为偶数时,第三边长为㊀㊀㊀㊀,若周长为５的倍数时,第三边长为㊀㊀㊀㊀．２．若等腰三角形的腰长为６,则它的底边长a的取值范围是㊀㊀㊀㊀;若等腰三角形的底边长为４,则它的腰长b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．３．一个木工师傅现有两根木条,它们的长分别为３０c m和５０c m,他要选择第三根木条,将它们钉成一个三角形木架,设第三根木条为x c m,则x的取值范围是㊀㊀㊀㊀,若第三根木条是整十数,则第三根木条可以有㊀㊀㊀㊀种选择．４．认识三角形后,勤于探索的贝贝和晶晶又用玩游戏的方式探索起来．贝贝:给出下列四组线段,请你找出能构成三角形的一组．晶晶略一思考,就正确地找了出来是(㊀㊀)．A．２c m,４c m,６c mB．３c m,８c m,４c mC．７c m,７c m,３c mD．９c m,５c m,３c m５．若三角形的两边长分别为３和５,则其周长l的取值范围是(㊀㊀)．A．６＜l＜１５B．６＜l＜１６C．１０＜l＜１６D．１１＜l＜１３６．以长度为５,７,９,１３中的三条线段为边,能组成一个三角形的情况有(㊀㊀)．A．１种B．２种C．３种D．４种７．在下列各题中给出的三条线段不一定能组成三角形的是(㊀㊀)．A．a＋１,a＋２,a＋３(a＞０)B．三条线段的比是４ʒ６ʒ８C．３c m,８c m,１０c mD．３a,５a,２a－１(a＞０)８．在周长为p的三角形中,最长边m的取值范围是(㊀㊀)．A．p３ɤm＜p２B．p３＜m＜p２C．p３＜mɤp２D．p３ɤmɤp２９．已知әA B C的周长为４８c m,最大边与最小边之差为１４c m,另一边与最小边之和为２５c m,求әA B C各边的长．１０．已知在әA B C中,A B＝A C,点D在A C的延长线上．求证:B D－B C＜A D－A B．(第１０题)１１．若三角形的三边长都是正整数,一边长为４,但它不是最短边,写出８种满足所有条件的三角形的三边长．１２．如图,A C㊁B D相交于点O,试说明:A C＋B D＞１２(A B＋B C＋C D＋D A)．(第１２题)惟有真才能血性,须从本色见英雄. 黄㊀兴受人者,常畏人;与人者,常骄人.皇甫谧１３．әA B C 的三边a ,b ,c 都是正整数,且满足a ɤb ɤc ,如果b ＝４,那么这样的三角形共有(㊀㊀)．A．４个B ．６个C ．８个D．１０个１４．各边长均为整数且各边均不相等的三角形的周长小于１３,这样的三角形有(㊀㊀)．A．１个B ．２个C ．３个D．４个１５．如果三角形的两边长分别为２和４,且第三边的长为奇数,试讨论三角形的第三边应为多少?若第三边为偶数,求这个三角形的周长．１６．已知a ,b ,c 是三角形三条边的长,试判断代数式a ２－２a b－c ２＋b２值的正负．１７．已知a ,b ,c 是әA B C 的三边,化简:|a －b －c |＋|a ＋b －c |－|b －c －a |＋|c －a －b |．１８．如图,草原上有４口油井,位于四边形A B C D 的４个顶点处,现在要建立一个维修站H ,试问维修站H 建在何处,才能使它到４口油井的距离之和HA ＋H B ＋H C ＋HD 为最小?说明理由．(第１８题)１９．(２０１２ 广东)已知三角形两边的长分别是４和１０,则此三角形第三边的长可能是(㊀㊀)．A．５B ．６C ．１１D．１６２０．(２０１２ 湖南长沙)现有３c m ,４c m ,７c m ,９c m 长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(㊀㊀)．A．１B ．２C ．３D．４２１．(２０１２ 湖南郴州)以下列各组线段为边,能组成三角形的是(㊀㊀)．A．１c m ,２c m ,４c m B ．４c m ,６c m ,８c m C ．５c m ,６c m ,１２c m D．２c m ,３c m ,５c m２２．(２０１２ 浙江义乌)如果三角形的两边长分别为３和５,第三边长是偶数,则第三边长可以是(㊀㊀)．A．２B ．３C ．４D．８２３．(２０１２ 广东茂名)如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答:㊀．(第２３题)４８,则a ＝２３c m ,b ＝１６c m ,c ＝９c m ．１０．ȵ㊀A D －A B ＝A C ＋C D －A C ＝C D ,又㊀B D －B C ＜C D ,ʑ㊀B D －B C ＜A D －A B ．１１．如:１,４,４;２,４,４;２,３,４;２,４,５;３,３,４;３,４,４;３,４,５;３,４,６等１２．在әA O D 中,A O ＋D O ＞A D ;在әA O B 中,A O ＋B O ＞A B ;在әB O C 中,B O ＋C O ＞B C ;在әC O D 中,C O ＋D O ＞C D ．四个不等式两边分别相加,并化简,得２A C ＋２B D ＞A B ＋B C ＋C D ＋D A ,所以A C ＋B D ＞１２(A B ＋B C ＋C D ＋D A )．１３．D ㊀１４．C１５．设第三边为x ,根据三边关系,得４－２＜x ＜４＋２,所以２＜x ＜６．所以第三边若为奇数,第三边长为３或５;若第三步为偶数,则第三边长为４,此时三角形的周长＝２＋４＋４＝１０．１６．㊀a ２－２a b －c ２＋b２＝(a －b )２－c２＝(a －b －c )(a ＋c －b )．ȵ㊀a －b －c ＜０,a ＋c －b ＞０,ʑ㊀a ２－２a b －c ２＋b ２＜０．１７．因为a ,b ,c 是әA B C 的三边,所以a －b －c ＜０,a ＋b －c ＞０,b －c －a ＜０,c －a －b ＜０,所以原式＝－(a －b －c )＋(a ＋b －c )＋(b－c －a )－(c －a －b )＝－a ＋b ＋c ＋a ＋b －c ＋b －c －a －c ＋a ＋b＝４b －２c ．１８．维修站H 建在两条对角线A C ㊁B D 的交点处便符合要求,现不妨任取异于H 的一点H ᶄ,连接AH ᶄ㊁B H ᶄ㊁C H ᶄ㊁DH ᶄ,则AH ᶄ＋C H ᶄ＞A C ＝AH ＋C H ,①B H ᶄ＋DH ᶄ＞B D ＝B H ＋DH ,②①＋②,得A H ᶄ＋C H ᶄ＋B H ᶄ＋D H ᶄ＞A H ＋C H ＋B H ＋D H ．ʑ㊀对角线A C ㊁B D 的交点H 处到４口油井的距离之和为最小．(第１８题)１９．C ㊀２０．A㊀２１．B ㊀２２．C ㊀２３．稳定性第三章㊀三角形１㊀认识三角形第１课时㊀三边关系１．５c m＜c ＜９c m㊀７c m㊀６c m ２．０＜a ＜１２㊀b ＞２３．２０＜x ＜８０㊀５４．C ㊀５．C ㊀６．C ㊀７．D㊀８．B９．设三角形的三边长为a ,b ,c ,且a ＞b ＞c ．由已知,可得a －c ＝１４,b ＋c ＝２５,a ＋b ＋c ＝。
八年级三角形三边关系的试题
八年级三角形三边关系的试题1．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角选A2．图中三角形的个数是（）A．8个B．9个C．10个D．11个【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形即可．【解答】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形．故选B．【点评】此题考查了三角形，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．3．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．4．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1B．6C．7D．10【考点】三角形三边关系【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，分别求出x的最小值、最大值，进而判断出x的值可能是哪个即可．【解答】解：∵4﹣3=1，4+3=7，∴1＜x＜7，∴x的值可能是6．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）三角形的两边差小于第三边．5．在同一平面内，线段AB=7，BC=3，则AC长为（）A．AC=10B．AC=10或4C．4＜AC＜10D．4≤AC≤10【考点】三角形三边关系；两点间的距离．【分析】此题要分三点共线和不共线两种情况．三点共线时，根据线段的和、差进行计算；三点不共线时，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行计算．【解答】解：若点A，B，C三点共线，则AC=4或10；若三点不共线，则根据三角形的三边关系，应满足大于4而小于10．所以4≤AC≤10．故选：D．【点评】此题主要考查了线段的和与差以及三角形的三边关系，关键是要考虑全面，此题有两种情况，不要漏解．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．7．已知△ABC的三边a，b，c的长度都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，则这样的三角形共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个【考点】三角形三边关系．【分析】由三角形的三边关系与a≤b＜c，即可得a+b＞c，继而可得b＜c＜a+b，又由c﹣b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，即可得1＜a≤5，然后分别从a=2，3，4，5去分析求解即可求得答案．【解答】解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．∵b＜c，∴b＜c＜a+b，又∵c﹣b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，∴1＜a≤5，∴a=2，3，4，5．当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；∴一共有1+2+3+4=10个．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题难度较大，解题的关键是根据三角形的三边关系与a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，b=5去分析求解，得到a=2，3，4，5．二．填空题（共7小题）8．三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和等腰三角形两类．【考点】三角形．【分析】三角形按边分，可分为两类：不等边三角形和等腰三角形；进而解答即可．【解答】解：三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形；故答案为：等腰．【点评】此题考查了三角形的分类．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．9．平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，用它们作顶点可以组成三角形的个数是4个．【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）填空．【解答】解：∵平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，∴用它们作顶点可以组成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4个．故填：4．【点评】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接成为三角形．10．已知三角形的三边的长分别是5、x、9，则x的取值范围是4＜x＜14．【考点】三角形三边关系．【分析】由三角形的两边的长分别为9和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：9﹣5＜x＜9+5，即：4＜x＜14．故答案为：4＜x＜14．【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．11．一个三角形的两边长分别为2cm和9cm，若三角形的周长为奇数，则第三边长为8或10cm．【考点】三角形三边关系．【点评】考查了三角形的三边关系，关键是结合已知的两边和周长，分析出第三边应满足的条件．12．若一个三角形的两条边相等，一边长为4cm，另一边长为7cm，则这个三角形的周长为15cm或18cm．【考点】三角形三边关系．【分析】分情况考虑：当相等的两边是4cm时或当相等的两边是7cm时，然后求出三角形的周长．【解答】解：当相等的两边是4cm时，另一边长为7cm，则三角形的周长是4×2+7=15cm，当相等的两边是7cm时，则三角形的周长是4+7×2=18cm．故答案为：15cm或18cm．【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2·1·c·n·j·y13．小明和小丽是同班同学，小明家距学校2千米，小丽家距学校5千米，设小明家距小丽家x千米，则x的值应满足3≤x≤7．【考点】三角形三边关系．【分析】小明家、小丽家和学校可能三点共线，也可能构成一个三角形，由此可列出不等式5﹣2≤x≤5+2，化简即可得出答案．【解答】解：依题意得：5﹣2≤x≤5+2，即3≤x≤7．故答案为：3≤x≤7；【点评】本题考查的是三角形三边关系定理的应用，解此类题目时要注意三个地点的位置关系．。
三角形三边关系例题20道
三角形三边关系例题20道已知三角形的两边长分别为5和8，则第三边的取值范围是？答案：第三边大于3且小于13。
若三角形的两边长分别为2和6，则第三边的最大整数值是？答案：8（因为第三边小于两边之和8+2=10，且大于两边之差6-2=4，所以最大整数值为8）。
一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边为偶数，则第三边的长为？答案：8或6（因为第三边小于10且大于4，且为偶数，所以只能是8或6）。
已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围在数轴上表示出来为？答案：在数轴上，第三边的取值范围是从5到13（不包括端点）。
若三角形的两边长分别为m和n，且m < n，m + n = 12，则m的取值范围是？答案：0 < m < 6（因为m + n = 12，所以n = 12 - m，又因为m < n，所以m < 12 - m，解得m < 6；又因为m > 0，所以0 < m < 6）。
一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则此三角形的周长不可能是？答案：20cm（因为第三边小于13cm且大于3cm，所以周长不可能为20cm）。
已知三角形的两边长分别为a和b，且a2 = 25，ab = 12，则此三角形的第三边的最大值是？答案：根据余弦定理，cosC = (a2 - c2 + b2) / 24。
由于-1 ≤ cosC ≤ 1，所以可以得到c的取值范围，进而求出第三边的最大值。
但此处更直接的方法是利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，结合a2 = 25和ab = 12求出a和b的具体值（或范围），然后求出第三边的最大值。
由于计算较复杂，此处不给出具体答案，但方法是这样的。
实际上，由于a和b的具体值可以通过解二次方程得到（注意a 和b都是正数），然后可以求出第三边的最大值。
8-20题（由于篇幅限制，只给出简要描述和答案）：已知两边长，求第三边可能的最小整数值。
人教版2022-2023学年数学八年级上学期三角形的三边关系练习题含答案
人教版2022-2023学年数学八年级上学期三角形的三边关系练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．同角的余角相等D．三角形具有稳定性2．下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定，如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓A．1B．2C．3D．43．已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm4．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A．4和6B．6和8C．8和12D．20和30 5．如果三角形的两边长分别为4和7，则周长L的取值范围是（）A．3＜L＜11B．6＜L＜16C．14＜L＜22D．10＜L＜216．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14二、填空题7．若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的最大值为________．8．已知a，b，c是ABC的三边长，则b c a a b c a b c--+-+---=______．9．安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为_____．三、解答题10的小数部分为a，8b，求a+b的平方根．11．（1）计算：232cos45°；（2）解不等式组：() 31225233x xx x⎧+>-⎪⎨+≤-⎪⎩．12．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∠EF．证明：∠BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∠∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（______________）∠BC∠ED（________）∠∠AED=________（________________）∠12∠AED=12∠ABC∠∠1=________∠BD∠EF（________________）．参考答案：1．D【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．故选：D．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，通常会把图形变成分成三角形，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．2．A【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法去达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．【详解】如图，A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边故答案为：A．【点睛】本题考查了三角形的稳定性的问题，掌握三角形的稳定性是解题的关键．3．C【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．【详解】设第三边的长为x，∠ 角形的两边长分别为5cm和8cm，∠3cm＜x＜13cm,故选C．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．4．D【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．【详解】解：如图，设AB=10，对角线相交于点E，它的两条对角线的长为4和6时，465102AE BE++==<，不符合题意；它的两条对角线的长为6和8时，687102AE BE++==<，不符合题意；它的两条对角线的长为8和12时，812102AE BE++==，不符合题意；它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，AB BE AE+>，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．5．C【分析】根据三角形的三边关系，可得3＜第三边＜11，即可求解．【详解】解：∠4+7＝11，7﹣4＝3，∠3＜第三边＜11，∠4+7+3＜L＜11+4+7，即14＜L＜22．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．6．C【分析】通过解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．【详解】解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得（x-3）（x-4）=0，∠x-3=0或x-4=0，解得x=3，或x=4；∠等腰三角形的两腰长是3或4；∠当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；∠当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14；故选：C ．【点睛】本题综合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．7．7【分析】根据三角形三边关系定理得出5-3＜a ＜5+3，求出即可．【详解】解：由三角形三边关系定理得：5-3＜a ＜5+3，即2＜a ＜8，即符合的最大整数a 的值是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出2＜a ＜8是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．8．33a b c -+【分析】根据三角形三边关系定理，确定绝对值中式子的符号后化简即可．【详解】∠a ，b ，c 是ABC 的三边长，∠a +c ＞b ，b +c ＞a ， ∠b c a a b c a b c --+-+---=a c b a b c a b c +-+-++--=33a b c -+，故答案为：33a b c -+．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．9．5或6【分析】设共有x 间宿舍，则共有(313)x +个学生，然后根据每间住6人，则还有一间不空也不满，列出不等式组进行求解即可．【详解】解：设共有x 间宿舍，则共有(313)x +个学生，依题意得：3136(1)3136x x x x +>-⎧⎨+<⎩，解得：1319 33x<<．又x为正整数，5x∴=或6．故答案为：5或6．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出不等式组进行求解．10．a+b的平方根为±1；34<，43-<-，由不等式的性质求得a、b 的值，再计算求值即可；【详解】解：∠34<，∠526<<，∠43-<-，∠485<<，∠253a=-=，844b==∠a+b＝1，∠a+b的平方根为±1；【点睛】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，平方根的计算；掌握无理数的估算方法是解题关键．11．（1）82；（2）﹣5＜x≤﹣1【分析】（1）根据有理数乘方，最简二次根式，特殊角的三角函数值，二次根式的加减法计算求解；（2）根据一元一次不等式组的解法，先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集．【详解】解：（1）232cos45°＝2＝＝82；（2）() 31225233x xx x⎧+>-⎪⎨+≤-⎪⎩①②，不等式∠的解集是：x＞﹣5，不等式∠的解集是：x≤﹣1，∠原不等式组的解集是：﹣5＜x≤﹣1．【点睛】本主要考查了实数的运算，一元一次不等式组的解法，理解有理数乘方，最简二次根式，特殊角的三角函数值，二次根式的加减法，一元一次不等式组的解法是解答关键．12．角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∠BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∠∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义）∠BC∠ED（已知）∠∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∠12∠AED=12∠ABC∠∠1=∠2∠BD∠EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．。
三角形三边关系练习题
三角形三边关系练习题三角形三边关系练习题三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质和关系时，我们经常会遇到各种各样的练习题。
本文将介绍一些常见的三角形三边关系练习题，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
练习题一：已知三角形的两条边长分别为5cm和8cm，这两条边之间的夹角为60度。
求第三条边的长度。
解析：根据三角形的边长关系，任意两边之和大于第三边，我们可以先判断这个三角形是否存在。
5 + 8 = 13，13大于第三边，所以这个三角形是存在的。
根据余弦定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为第三边的长度，a和b分别为已知的两条边的长度，C为这两条边之间的夹角。
代入已知条件，即可求得第三边的长度：c² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60°c² = 25 + 64 - 80 * 0.5c² = 25 + 64 - 40c² = 49c = √49c = 7所以，这个三角形的第三边长为7cm。
练习题二：已知三角形的两条边长分别为6cm和9cm，这两条边之间的夹角为120度。
求第三条边的长度。
解析：同样地，我们先判断这个三角形是否存在。
6 + 9 = 15，15大于第三边，所以这个三角形是存在的。
利用余弦定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知条件，即可求得第三边的长度：c² = 6² + 9² - 2 * 6 * 9 * cos120°c² = 36 + 81 - 108 * (-0.5)c² = 36 + 81 + 54c² = 171c = √171所以，这个三角形的第三边长为√171 cm。
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。
3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
大于它不相邻的任意一个内角。
4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。
七年级下册数学三角形典型题
【七下数学】三角形4大经典例题解析便于理解三角形一．知识框架二．知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
12.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°；三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）。
三角形三边关系的典型题例析
三角形三边关系的典型题例析三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10. 故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2 （1）（2003年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A.5cm、7cm、10cmB.7cm、10cm、13cmC.5cm、7cm、13cmD.5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a－3，a，3(其中a＞3)；（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形. （3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形. 三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例 4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm两部分，求这个三角形的腰长.简析如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12x＝12，且y+12x＝21；或x+12x＝21，且y+12x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.简析 设第三边长为x 厘米，因为9-2<x<9+2，即7<x<11，而x 是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.四、求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.B C图2图1 D C B A例7 已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.简析因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc －2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值.简析因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4简析由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C.例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c.因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c . 所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ). 所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24. 所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a 由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 已知P 是△ABC 内任意一点，试说明:AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由. 简析 如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD . 在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ； 在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )， 综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).。
三角形三边关系应用的六种常见题型
三角形三边关系应用的六种常见题型1. 判断三角形类型的题型：判断题型是三角形三边关系应用中常见的题目类型之一。
在这类题目中，通常会给出三条边的长度，要求判断这三条边能否组成一个三角形，并根据三边的关系确定三角形的类型。
例如，给定三条边长为3、4和5的线段，我们需要判断这三条线段能否组成一个三角形。
根据三角形的综合定理，任意两边之和大于第三边，则它们可以组成一个三角形。
因此，由3、4和5这三个数字可以构成一个三角形。
2. 求三角形周长的题型：求三角形周长是另一个常见的三边关系应用题型。
在这类题目中，通常会给出三角形的边长，并要求计算三角形的周长。
例如，给定一个三角形的边长分别为5、7和9，我们需要计算这个三角形的周长。
根据三角形的定义，三角形的周长等于三条边的长度之和。
因此，这个三角形的周长为5 + 7 + 9 = 21。
3. 求三角形的面积的题型：求三角形的面积是三角形三边关系应用中常见的题目类型之一。
在这类题目中，通常会给出三角形的边长，并要求计算三角形的面积。
例如，给定三角形的边长分别为3、4和5，我们需要计算这个三角形的面积。
可以使用海伦公式来计算三角形的面积，公式为：面积= √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]，其中p为三角形的半周长，a、b和c为三角形的边长。
计算得到半周长p=(3+4+5)/2=6，代入公式中可以得到面积= √[6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 - 5)] = √[6 * 3* 2 * 1] = √36 = 6。
4. 判断三角形的相似性的题型：判断三角形的相似性是三角形三边关系应用中另一个常见的题目类型。
在这类题目中，通常会给出两个三角形的边长，并要求判断是否相似。
例如，给定两个三角形的边长分别为3、4和5以及6、8和10，我们需要判断这两个三角形是否相似。
根据相似三角形的性质，如果两个三角形的对应边长成比例，则它们是相似的。
八年级数学上册 第十一章《三角形》小专题(一)三角形三边关系的巧用试题 (新版)新人教版
小专题(一)三角形三边关系的巧用“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”是常考的重要知识点之一.解题时注意方程思想和分类讨论思想的应用,注意根据题意列方程(组)或不等式(组)进行求解,解题时容易忽视检验所得的三角形是否存在,巧用三角形的三边关系往往能化难为易,起到事半功倍的解题效果.类型1判断三条线段能否组成三角形1.判断下列所给的三条线段能否围成三角形?(1)5,5,a(0<a<10);(2)a+1,a+2,a+3;(3)三条线段的长度之比为2∶3∶5.解:(1)∵0<a<10,∴5+5>a,因而能构成三角形.(2)当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形.(3)∵三条线段之比为2∶3∶5,∴设三条线段为2k,3k,5k,∵2k+3k=5k,因而不能组成三角形.类型2确定三角形的个数2.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有(B)A.2种B.3种C.4种D.5种3.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有9个.4.现有长为7 cm,3 cm的木棒各一根,另有一堆长短不等的木棒若干,请在这堆木棒里选取长为偶数且能与原两根木棒钉成三角形的木棒,则符合条件的木棒有几种?解:设符合条件的木棒的长为x cm,则4<x<10,又x为偶数,则x可取6和8,故符合条件的木棒有两种.类型3确定第三边或字母的取值范围5.若三角形三条边长分别是3,1-2a,8,则a的取值范围是(B)A.a>-5B.-5<a<-2C.-5≤a≤-2D.a>-2或a<-56.一个三角形有两边长为2和5,则第三边长x的取值范围是3<x<7.若它的周长是偶数,则第三边的长为5.类型4确定等腰三角形的边长7.已知有两边相等的三角形的两边长分别为6 cm,4 cm,则该三角形的周长是16 cm或14 cm.8.在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的周长分为10 cm和18 cm两部分,求△ABC 各边的长.解:设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm,BC=y cm,∵BD是腰上的中线,∴AD=DC=x cm.若AB+AD=10 cm,则解得此时组不成三角形,应舍去.若AB+AD=18 cm,则解得∴AB=AC=12 cm,BC=4 cm,即△ABC各边的长分别为12 cm,12 cm和4 cm.类型5在代数中的应用9.已知等腰△ABC的周长为10,求腰长x的取值范围.解:设腰长为x,则底边长为10-2x,依题意得解得<x<5.故腰长的取值范围为<x<5.10.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b满足|a-4|+(b-2)2=0,c为奇数,求△ABC的周长.解:∵|a-4|+(b-2)2=0,∴a-4=0且b-2=0,∴a=4,b=2,∴2<c<6.∵c为奇数,∴c=3或5,∴△ABC的周长为4+2+3=9或4+2+5=11.11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|.解:∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b+c>0,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b-c>0,∴|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|=(a+b+c)-[-(a-b-c)]-(a-b+c)-(a+b-c)=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c=0.类型6证明线段之间的不等关系12.如图,点P是△ABC内任意一点.试说明:PB+PC<AB+AC.证明:延长BP交AC于点D,在△ABD中,PB+PD<AB+AD,①在△PCD中,PC<PD+CD,②①+②得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC<AB+AC.13.如图,P为△ABC中任意一点.证明:AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).证明:延长BP交AC于点D,∵在△ABD中,AB+AD>PB+PD,在△DPC中,DP+DC>PC,∴AB+AD+DP+DC>PB+PD+PC,∴AB+CA>PB+PC.同理AC+BC>PA+PB,AB+BC>PA+PC,∴2AB+2AC+2BC>2PA+2PB+2PC,即AB+BC+CA>PA+PB+PC.又∵PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>CA,∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA,∴PA+PB+PC>(AB+BC+CA),∴AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).。
《三角形的三边关系》习题
《三角形的三边关系》习题
1．三角形一边长为a＝2，按三边不等关系不等式求得另两边中一条边b＜7，则第三边c＝_ ___，ab的取值范围是____＜ab＜7．
2．三角形一边长为a＝10，另一边长为b＝7，则第三边c范围是______，周长P的范围_____ __．
3．—个三角形的三边长分别为4，7，x那么x的取值范围是( )
A．3<x<11B．4<x<7
C．-3<x<11D．x>3
4．若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是( )
A．3，8，4B．4，9，6
C．15，20，8D．9，15，8
5．如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是( )
A．15B．16C．8D．7
6．三角形的两边长分别是5和8，周长恰好是7的倍数，则第三边长是_____．
7．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为5．那么它的周长是( )
A．8B．11C．13D．11或13
8．已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组
23
328
,
,
x y
x y
⎧-=
⎨
+=
⎩
则此等腰三角形的周长为
( )
A．5B．4C．3D．5或4
9．已知△ABC的周长是12cm，且三角形的三边的长是连续的整数，求三角形三边的长．。
三角形三边的关系 (2)
第三课时教学内容三角形的特性(三)，教材第62页的例3及第66页练习十五的第7-8题。
教学目标1.通过操作、探索,发现三角形三边之间的关系:三角形任意两边之和大于第三边。
2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并能解决有关的问题。
3.提高学生逻辑思维能力,以及培养学生“猜测—验证—总结”的学习习惯。
重点难点重点: 通过操作、探索,发现三角形三边之间的关系:三角形任意两边之和大于第三边。
难点:会判断三条边是否组成三角形。
教具学具多媒体课件、剪刀、白纸。
教学过程一、情景导入1.这是一个钝角三角形,你能作出它的三条高吗?2.小明画了三角形的一条高,你说他画的对吗?为什么?3.谈话引入，板书课题：三角形的特性(三)二、自主探究1.验证三角形的两边之和大于第三边。
剪出下面4组长度的纸条。
(单位:厘米)(1)6、7、8 (2)4、5、9 (3)3、6、10 (4)8、11、11用每组纸条摆三角形,哪些能摆出三角形?哪些不能摆出三角形?(学生拼摆三角形,小组讨论,全班交流)2.学生汇报：能摆成三角形的是(1)和(4),不能摆成三角形的是(2)和(3)。
3.对比摆三角形的三根纸条的长度你能发现什么?4.归纳概括：三角形任意两边之和大于第三边。
三、探究结果汇报1.通过前面的探究学习,你又知道了哪些三角形的知识?2.下面每组中的三条线段能否围成一个三角形?说明理由。
(1)3cm、7cm、5cm (2)6cm、2cm、2cm (3)8cm、4cm、4cm3.从长度分别为3厘米、5厘米、8厘米、4厘米的4根小棒中选出3根,围成一个三角形。
你准备怎么选?为什么?四、师生总结收获1.通过这节课的学习,你有什么收获?你对自己有什么评价?2.如果三角形的两条边长分别是7厘米和3厘米,那么第三条边可能是几厘米?(结果取整厘米数)3.同学们,老师这有一个活动角,角的两边长分别是9cm、7cm,要加一根多长的小棒能够组成一个三角形?最小是多少,最大是多少?(结果取整厘米数)五、作业设计板书设计三角形的特性(三)三角形任意两边之和大于第三边。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
已知△ABC ,
(1)如图1，若D点是A ABC内任一点、求证：/ D= / A+ / ABD+ / ACD .
(2)若D点是△ABC外一点，位置如图2所示.猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)
(3 )若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论.
考点：三角形的外角性质
专题：计算题.
分析：(1)由/ BDC= / 2+ / CED , / CED= / A+ / 1,可以得出/ D= / A+ / ABD+ / ACD .
(2) 由/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB，/ A+ / ABC+
/ ACB=180 ，/ D+ / DBC+DCB=180 ，可以得出/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360
(3) 根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可
知/ AED= / 1+ / A，/ AED= / D+ / 2，所以可知/ A+ / 1= / D+ / 2 即/D+ / ACD= / A+
解答：解：(1)证明：延长BD交AC于点E .
•••/ BDC 是A CDE 的外角，•••/ BDC= / 2+ / CED ,
•••/ CED 是△ABE 的外角，•/ CED= / A+ / 1 .
•••/ BDC= / A+ / 1+ / 2 .即/ D= / A+ / ABD+ / ACD .
(2 )•••/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB ,
/ A+ / ABC+ / ACB=180 ，/ D+ / DBC+DCB=180 , •••/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360
(3)证明：令BD、AC交于点E,
•••/ AED是△ABE的外角，
•••/ AED= / 1+ / A ,
•••/ AED 是ACDE 的外角，
•••/ AED= / D+ / 2 .
•••/ A+ / 1 = / D+ / 2 即/ D+ / ACD= / A+ / ABD .
形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.
(1)如图，A ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由. 厶
(2)将(1)中点P移至A ABC内，得图②，试观察比较A BPC的周长与A ABC的周长的
(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与A ABC 的周长的大小，并说明理由.
(4)将(3)中的点P2移至△ABC夕卜，并使点P j、P2与点A在边BC的异侧，且/ P1BC v/ ABC , / P2CB v/ ACB ,得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与A ABC的周长的大小，并说明理由.
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1,如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与A ABC的周长的大小，并说明理由.
考点：三角形三边关系分析：（1 ）、（2）、（3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边
之差进行解答；
（4）通过将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P i、P2落在MBC内，转化为（3）情形，从而问题得解；
（5）延长B i P i、C1P2分别与AB相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答.
解答：解：（1）BP+PC v AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段
最短.
（2）ABPC的周长v A ABC的周长.理由:
如图，延长BP 交AC 于M，在A ABM 中，BP+PM v AB+AM ,在APMC 中，PC v PM+MC , 两式相加得BP+PC v AB+AC，于是得：ABPC的周长v A ABC的周长.
（3）四边形BP1P2C的周长v A ABC的周长.理由:
如图，分别延长 BP. CP 2交于M ，由(
2)知，BM+CM V AB+AC ，又卩汨2< P 1M+P 2M , 可得，BP 1+P 1P 2+P 2C V BM+CM V AB+AC ，可得结论.
或：作直线 P 1P 2 分别交 AB 、AC 于 M 、N (如图)， ABMP 1 中，BP 1V BM+MP 1, △AMN 中，MP 1+P 1P 2+P 2M V AM+AN ，AP2NC 中，P 2C V P 2N+NC ，三式相加得：BP 1+P 1P 2+P 2C
(4) 四边形BP 1P 2C 的周长V △ABC 的周长.理由如下：将四边形 折，
使点P i 、P 2落在MBC 内，转化为(3)情形，即可.
(5) 比较四边形 B 1P 1P 2C 1的周长V A ABC 的周长.理由如下： 如图，分别作如图所示的延长线交 △ABC 的边于M 、N 、K 、H ,在^NM 中，NB J +B J PI+P J M V BM+BN ，又显然有，B i C i +C i K v NB i +NC+CK ，及 C 1P 2+P 2H V C i K+AK+AH ，及 P 1P 2 V P 2H+MH+P i M ，将以上各式相加，得 B 1P 1+P 1P 2+P 2C+B i C i V AB+BC+AC ，于是得结论.
点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，
通过作辅助线进行解
答. 如图，已知直线\J 12, 13、14和12分别交于点A 、B 、C 、D ，点P 在直线13或14上且不 与点 A 、
B 、
C 、
D 重合.记/ AEP= / 1，/ PFB= / 2，/ EPF= / 3.
(1) 若点P 在图(1 )位置时，求证：/ 3= / 1+ / 2 ;
(2) 若点P 在图(2)位置时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系；
(3) 若点P 在图(3)位置时，写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系并给予证明；
(4)
若点P 在C 、D 两点外侧运动时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系. BP 1P 2C 沿直线BC 翻
V AB+AC ，可得结论.
考点：平行线的性质；三角形的外角性质•
专题：证明题；探究型.
分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l l、I2的平行线，利用平行线的性质得到和/ 1、/ 2相等的角，然后结合这些等角和/ 3的位置关系，来得出/ 1、/ 2、/ 3的数量关系.
解答：解：（1 ）证明：过P作PQ //h //I2,
由两直线平行，内错角相等，可得：
/ 1= / QPE、/ 2= / QPF;
•••/ 3= / QPE+ / QPF ,
•••/ 3= / 1+ / 2.
(2)/ 3= / 2- / 1 ;
证明：过P作直线PQ // l1// 12,
则：/ 1= / QPE、/ 2= / QPF ;
•••/ 3= / 2- / 1.
(3)/ 3=360° -Z 1-/2.
证明：过P 作PQ // l i // I2；
同(1)可证得：/ 3= / CEP+ / DFP ;
•••/ CEP+ / 仁180°，/ DFP+ / 2=180°,
•••/ CEP+ / DFP+ / 1+ / 2=360°, 即/ 3=360° - / 1-/ 2 .
(4)过P 作PQ // l1// l2;
①当P在C点上方时，
同(2 )可证：/ 3= / DFP- / CEP ;
•••/ CEP+ / 仁180°，/ DFP+ / 2=180°,
•••/ DFP- / CEP+ / 2- / 仁0,
②当P 在 D 点下方时，
/ 3= / 2- Z 1，解法同上.
综上可知：当P在C点上方时，/ 3= / 1-Z 2,当P在D点下方时，/ 3= / 2- Z 1 . 点评：此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键.。