漫谈数学的两重性

漫谈数学的两重性摘要：数学在人类文明的进程中发挥了巨大的作用，人类对数学本质的认识随着数学的发展也应该是多视角的。

通过对数学多个侧面的考察分析，揭示了数学在不同方面都折射出两重性的特点：数学是演绎的科学，也是归纳的事实；数学的真理性和数学基础中存在着裂缝；数学是工具，也是文化；数学是发现的，也是发明的；数学是抽象的，也是直观的。

关键词：数学演绎归纳真理文化发现发明抽象直观数学在人类社会的历史演化中发挥着巨大的作用，数学是人类思维智慧的结晶，是人类文化和文明的思想瑰宝。

数学理论的形成过程，就是人类对科学真理不断探索和追求的过程。

巴尔扎克曾经说过，没有数学，我们整个文明大厦将坍塌成碎片。

数学作为人类心灵最崇高和独特的作品，永恒矗立在人类理性发展的巅峰之上。

人类对数学本质的认识随着数学的发展与时俱进。

关于数学的定义，最为引人注目的有两个，一个是恩格斯在十九世纪给出的：数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。

一个是数学的当代定义：数学是关于模式和秩序的科学。

前一个直观，后一个抽象，人们对此见仁见智。

我们认为，这两个定义的观点是一种继承关系，是数学发展历史积淀的必然结果。

前者反映了数学的本源，后者是从数学的抽象过程和抽象结构方面对数学本质特征的阐释，反映了数学发展的当代水平。

美国著名数学家柯朗（Courant．R）在《数学是什么》中揭示了数学具有两重性的特点。

他写道：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和对完美境界的追求。

它的基本要素是逻辑和直觉、分析和推理、一般性和特殊性。

虽然不同的流派各自强调数学不同的侧面，然而，正是这些相互对立的侧面之间相互渗透和相互辨析，才构成了数学科学的生命力、实用性和崇高价值。

”因此，对数学的两重性，我们应该有一个深入的了解。

一、数学是演绎的，也是归纳的一般说来，人们认识客观世界的方式有两种，一是由认识个别的、特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳法。

一是由认识一般的事物，过渡到认识特殊、个别的事物，这种认识方法称为演绎法。

认识的深化，是在归纳和演绎的交替过程中实现的。

归纳把对许多事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。

演绎把从归纳得出的一般结论作为依据，去研究其它个别事物的特性。

因此，归纳是演绎的基础，而演绎是归纳的深化。

美国的数学教育家波利亚（Pólya．G）曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学。

另一方面，创造过程中的数学，却像是一门试验性的归纳科学。

”美国数学家冯·诺依曼（Von Neumann．J）认为，数学的本质具有两个侧面，就是数学理论的抽象性、严谨性和形式化与数学发现过程中的直观性、经验性和归纳性。

《几何原本》是数学发展史上的第一座理论丰碑。

欧几里得(Euclidean)将原有的数学知识进行梳理提炼，把理论的起点建立在人们的直觉上，找出少数最直观的原始概念和公设、公理，借助人类思维的先进逻辑推理模式，逐条推演出以后的命题，采用演绎法的体系建构了平面几何理论，从而确立了公理化思想，确立了演绎推理的范式。

人们对数学演绎体系的推崇，表达了对科学理论方法的绝对信服。

数学从此步入发展的坦途。

公理体系使得数学具有鲜明的学科特点，清晰的逻辑起点，明确的概念，正确的判断。

是演绎推理使得数学内容条理清晰，基础敦实，结论正确，因而显示出巨大的力量。

演绎可以引导归纳，当演绎推理出现阻碍时，就是向归纳提出问题，促使归纳超越模糊、零散和残缺。

然而，由逻辑演绎构筑起的理论体系制约着思维的自由，因为体系里面多是同语反复，只能环流，不能前进。

这就是欧式几何理论成为长期制约非欧几何产生的藩篱的重要原因。

由此看出，逻辑演绎的主要功能不是发现新的结论，而是架构基本概念、基本运算和基本命题之间的必然联系。

逻辑演绎擅长的是检验这些联系之间的途径是否有效，却难以确定通往正确方向的途径，因为确定通往正确方向的途径是需要做出选择的，而这恰恰是归纳法之所长。

用公理化思想呈现出的数学理论，实际上也不是逻辑演绎的一统天下，其中的原始概念就是归纳的结果。

甚至逻辑推理本身也不能说就完全是演绎的，它的发展路径是需要选择的，这只能靠归纳法来完成。

如果没有归纳法的参与，演绎法将寸步难行。

另外，数学中的公理是不能用演绎法证明的，它是基于数学家的观念归纳出来的。

演绎法所用的形式逻辑也是不能用演绎法证明的，它是基于人类思维经验的积淀和哲学信念的选择。

由此看来，演绎法的过程须臾也离不开归纳，更不要说数学里的发现和创造了。

费尔马大定理是在1637年由法国数学家费尔马(Pierre de Fermat)提出的一个猜想。

在猜想提出以后的三百多年里，一批天才的数学家都在研究它，尽管他们都是演绎推理的大师，也认识到要彻底解决这个难题是需要特殊理论工具的，但是苦于找不到这个工具，或者这个工具当时就没有诞生，所有尝试去证明它的努力都付诸东流。

英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew J. Wiles)自小就立志要证明费尔马大定理。

恰恰是他认识到谷山——志村猜想与费尔马大定理之间的联系是突破这个难题的关键，而且选择了他非常熟悉的有理数域上的椭圆曲线理论作为工具，在1994年攻克了这个数学难题。

他说“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中饮茶。

谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经揭示了谷山-志村猜想与费尔马大定理之间的联系。

我感到极大的震动。

我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费尔马大定理，我必须做的一切就是证明谷山——志村猜想。

”由此可见，怀尔斯找到实现他童年梦想的道路首先应该取决于归纳法。

我们在完成对一个数学问题的证明和计算之前，往往是通过归纳推理建立猜想，探究证明的途径和计算的程序，形成较为成熟的思路，而后才用演绎法把它呈现出来。

归纳法通过试验、观察和联想，总能得到有别于逻辑的判断，因此，归纳法成为人们探索和发现真理的主要工具。

要创造新的数学领域，就要有新的观念，开拓新的领域，创立新的方法，提出新的概念。

在这些方面，演绎法都是望尘莫及的，试验、类比、观察、推广、概括、检验等归纳方法却起着不可替代的作用。

坐标系的建立，集合论的发现，微积分的确立等几乎所有数学里程碑的矗立，无一不是归纳的结果。

如此看来，归纳法是数学理论的助产士，它不仅不会影响数学的严谨性，而且还增强了人们对数学严谨性的信心，使人们对数学的无矛盾性深信不疑。

归纳是演绎的基础，演绎是归纳的升华。

归纳与演绎是人类认识世界的两个基本方法，他们相互影响，相互补充，相得益彰。

例如，在证明恒等式2)1(-x =122+-x x ，可以将x 的三个特殊值代入进行检验，如果等号都成立，就能肯定它是恒等式。

这是归纳法。

那么为什么只用三个特殊值就能证明这个恒等式呢？这就需要用演绎法证明，因为二次方程最多只有两个根。

在这个具体问题上，演绎法支持了归纳法，演绎法证明了归纳法的有效性。

中国古代的数学不可谓不发达，但是却只是停留在归纳的层次上，没有出现像欧几里德《几何原本》那样严密逻辑演绎的著作。

历史告诉我们，没有逻辑演绎是可以有数学的，没有归纳法就一定不会有数学。

但是没有逻辑演绎不会有成熟的数学。

中国古代的数学没有形成理论系统，就是因为中国没有逻辑演绎的传统。

在数学发展的历史上，应该说归纳法是居于主导地位的，演绎则居于主体地位，它们共同组成了数学腾飞的双翼。

中学数学作为数学的基础，当然兼具归纳和演绎的特征，我们在数学教学中既要培养学生演绎思维的缜密，又要培养学生观察、归纳、类比、联想、推广、猜想、实验等合情推理的思维习惯，在教证明之前，先教好猜想。

在数学教材中，对知识的呈现形式大多都采用演绎的方式。

我们的教师在做教学设计时，要根据学生的认知特点，大多情况下，都有必要将数学知识的呈现形式改造成归纳的方式，以利于激发学生的学习兴趣和创新能力。

数学教学的功夫要用在研究归纳法的教学上，当然，这样做决不能以淡化演绎法的教学做交换。

二、数学的真理性和数学基础中的裂缝数学作为一门逻辑严密的科学，虽然都认为它是数学家心智自由的创造物，但是还没有任何一位严肃的自然科学家提出，数学的真理性必须经过实践的检验后，才能应用于其它科学领域。

这不仅仅是因为数学植根于客观世界，深刻揭示了客观世界的必然规律，极大地推动了科学技术的进步。

还因为数学理论是建立在逻辑的基础之上，根据逻辑规则进行演绎推理，形成了抽象的形式。

逻辑是人类公认的对客观世界进行思维的正确方法和理论，数学中所反映的抽象结构、秩序和变化，是客观世界里最基本的概念和最本质的关系。

所以，数学的本质具备了客观性和真理性。

但是，数学自身并没有孤芳自赏，数学从来不忌讳自身的瑕疵。

二十世纪初，巍然屹立的数学大厦的基础陆续发现了裂缝，最著名的就是罗素（Russell）悖论。

于是，数学家们开始关注和审视数学基础的问题。

德国数学家康托（Cantor）在十九世纪下半叶创立了集合论，初期曾经遭到一些数学家的诘难。

但是也有一些数学家们发现，从自然数和康托集合论出发，可能建立起数学理论的大厦。

在1900年的国际数学家大会上，法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)就宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。

今天，我们可以说绝对的逻辑严密性已经达到了”。

德国数学家希尔伯特(David Hilbert）一直坚信“人类理性提出的问题，人类的理性一定能够回答”的理念，他在大会上提出了二十三个数学问题，其中第二个就是关于确立数学体系的协调性，即无矛盾性。

然而，仅仅过了三年，英国数学家罗素就在集合论里发现了漏洞，提出了罗素悖论。

所有集合可以分为两类：第一类的集合以其自身为元素，即P={A∣A∈A}，第二类的集合不以自身为元素，Q={A∣A∉A}。

显然P∩Q= 。

那么，集合Q作为元素，应该属于P 呢？还是属于Q呢？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，引出矛盾。

若Q∈Q，根据第二类集合的定义，Q∉Q，还是矛盾。

罗素悖论被通俗地称为理发师悖论。

某个城市里有一位理发师，他为且仅为城市里所有不给自己刮脸的人刮脸。

那么，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸。

如果他给自己刮脸呢，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

罗素悖论所涉及的只是集合论中最基本的概念和关系，简洁明了，却使集合论产生了悖论，这极大地震动了数学界。

这时，希尔伯特经过思考，提出了一个元数学方案，希望能构造一个有关自然数的有限公理系统，从若干公理出发，用逻辑演绎的方法，经过有限步骤将系统形式化，以克服悖论给数学带来的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法真理性的怀疑。