漫谈数学的两重性

漫谈数学的两重性

摘要：数学在人类文明的进程中发挥了巨大的作用，人类对数学本质的认识随着数学的发展也应该是多视角的。通过对数学多个侧面的考察分析，揭示了数学在不同方面都折射出两重性的特点：数学是演绎的科学，也是归纳的事实；数学的真理性和数学基础中存在着裂缝；数学是工具，也是文化；数学是发现的，也是发明的；数学是抽象的，也是直观的。

关键词：数学演绎归纳真理文化发现发明抽象直观

数学在人类社会的历史演化中发挥着巨大的作用，数学是人类思维智慧的结晶，是人类文化和文明的思想瑰宝。数学理论的形成过程，就是人类对科学真理不断探索和追求的过程。巴尔扎克曾经说过，没有数学，我们整个文明大厦将坍塌成碎片。数学作为人类心灵最崇高和独特的作品，永恒矗立在人类理性发展的巅峰之上。

人类对数学本质的认识随着数学的发展与时俱进。关于数学的定义，最为引人注目的有两个，一个是恩格斯在十九世纪给出的：数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。一个是数学的当代定义：数学是关于模式和秩序的科学。前一个直观，后一个抽象，人们对此见仁见智。我们认为，这两个定义的观点是一种继承关系，是数学发展历史积淀的必然结果。前者反映了数学的本源，后者是从数学的抽象过程和抽象结构方面对数学本质特征的阐释，反映了数学发展的当代水平。

美国著名数学家柯朗（Courant．R）在《数学是什么》中揭示了数学具有两重性的特点。他写道：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和对完美境界的追求。它的基本要素是逻辑和直觉、分析和推理、一般性和特殊性。虽然不同的流派各自强调数学不同的侧面，然而，正是这些相互对立的侧面之间相互渗透和相互辨析，才构成了数学科学的生命力、实用性和崇高价值。”因此，对数学的两重性，我们应该有一个深入的了解。

一、数学是演绎的，也是归纳的

一般说来，人们认识客观世界的方式有两种，一是由认识个别的、特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳法。一是由认识一般的事物，过渡到认识特殊、个别的事物，这种认识方法称为演绎法。认识的深化，是在归纳和演绎的交替过程中实现的。归纳把对许多事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。演绎把从归纳得出的一般结论作为依据，去研究其它个别事物的特性。因此，归纳是演绎的基础，而演绎是归纳的深化。

美国的数学教育家波利亚（Pólya．G）曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学。另一方面，创造过程中的数学，却像是一门试验性的归纳科学。”美国数学家冯·诺依曼（Von Neumann．J）认为，数学的本质具有两个侧面，就是数学理论的抽象性、严谨性和形式化与数学发现过程中的直观性、经验性和归纳性。

《几何原本》是数学发展史上的第一座理论丰碑。欧几里得(Euclidean)将原有的数学知识进行梳理提炼，把理论的起点建立在人们的直觉上，找出少数最直观的原始概念和公设、公理，借助人类思维的先进逻辑推理模式，逐条推演出以后的命题，采用演绎法的体系建构了平面几何理论，从而确立了公理化思想，确立了演绎推理的范式。人们对数学演绎体系的推崇，表达了对科学理论方法的绝对信服。数学从此步入发展的坦途。

公理体系使得数学具有鲜明的学科特点，清晰的逻辑起点，明确的概念，正确的判断。是演绎推理使得数学内容条理清晰，基础敦实，结论正确，因而显示出巨大的力量。演绎可以引导归纳，当演绎推理出现阻碍时，就是向归纳提出问题，促使归纳超越模糊、零散和残缺。

然而，由逻辑演绎构筑起的理论体系制约着思维的自由，因为体系里面多是同语反复，只能环流，不能前进。这就是欧式几何理论成为长期制约非欧几何产生的藩篱的重要原因。由此看出，逻辑演绎的主要功能不是发现新的结论，而是架构基本概念、基本运算和基本命题之间的必然联系。逻辑演绎擅长的是检验这些联系之间的途径是否有效，却难以确定通往正确方向的途径，因为确定通往正确方向的途径是需要做出选择的，而这恰恰是归纳法之所长。

用公理化思想呈现出的数学理论，实际上也不是逻辑演绎的一统天下，其中的原始概念就是归纳的结果。甚至逻辑推理本身也不能说就完全是演绎的，它

的发展路径是需要选择的，这只能靠归纳法来完成。如果没有归纳法的参与，演绎法将寸步难行。另外，数学中的公理是不能用演绎法证明的，它是基于数学家的观念归纳出来的。演绎法所用的形式逻辑也是不能用演绎法证明的，它是基于人类思维经验的积淀和哲学信念的选择。由此看来，演绎法的过程须臾也离不开归纳，更不要说数学里的发现和创造了。

费尔马大定理是在1637年由法国数学家费尔马(Pierre de Fermat)提出的一个猜想。在猜想提出以后的三百多年里，一批天才的数学家都在研究它，尽管他们都是演绎推理的大师，也认识到要彻底解决这个难题是需要特殊理论工具的，但是苦于找不到这个工具，或者这个工具当时就没有诞生，所有尝试去证明它的努力都付诸东流。英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew J. Wiles)自小就立志要证明费尔马大定理。恰恰是他认识到谷山——志村猜想与费尔马大定理之间的联系是突破这个难题的关键，而且选择了他非常熟悉的有理数域上的椭圆曲线理论作为工具，在1994年攻克了这个数学难题。他说“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中饮茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经揭示了谷山-志村猜想与费尔马大定理之间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费尔马大定理，我必须做的一切就是证明谷山——志村猜想。”由此可见，怀尔斯找到实现他童年梦想的道路首先应该取决于归纳法。

我们在完成对一个数学问题的证明和计算之前，往往是通过归纳推理建立猜想，探究证明的途径和计算的程序，形成较为成熟的思路，而后才用演绎法把它呈现出来。归纳法通过试验、观察和联想，总能得到有别于逻辑的判断，因此，归纳法成为人们探索和发现真理的主要工具。要创造新的数学领域，就要有新的观念，开拓新的领域，创立新的方法，提出新的概念。在这些方面，演绎法都是望尘莫及的，试验、类比、观察、推广、概括、检验等归纳方法却起着不可替代的作用。坐标系的建立，集合论的发现，微积分的确立等几乎所有数学里程碑的矗立，无一不是归纳的结果。如此看来，归纳法是数学理论的助产士，它不仅不会影响数学的严谨性，而且还增强了人们对数学严谨性的信心，使人们对数学的无矛盾性深信不疑。

归纳是演绎的基础，演绎是归纳的升华。归纳与演绎是人类认识世界的两