第七章傅里叶变化及其性质
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
第七章 傅立叶变换
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
傅里叶变换的基本性质和应用
傅里叶变换的基本性质和应用傅里叶变换，是20世纪初法国数学家傅里叶的发明，是将一个时间函数或空间函数的复杂波形分解成一系列简单的正弦波的工具。
它是信号处理和图像处理领域非常重要的一种数学变换，广泛应用于通信、图像、音频等领域。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时域信号（即关于时间的函数）转换为频域信号（即关于频率的函数）的数学工具。
在时域中，信号可以表示为一个随着时间变化而变化的函数；在频域中，信号可以表示为它的频谱分布，即各个频率成分的大小。
傅里叶变换是互逆的，也就是说，将一样以频率表示的信号进过傅里叶逆变换，可以得到原始的时域信号。
傅里叶变换和傅里叶逆变换的基本公式分别如下：$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega $$其中，$f(t)$ 是时域信号，$F(\omega)$ 是频域信号，$\omega$ 是角频率。
傅里叶变换可以看作一种基变换，将时域信号换到频域进行分析，从而可以更好地理解信号的性质。
二、傅里叶变换的基本性质1. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于一个常数乘以一个时域信号进行傅里叶变换，等价于将该常数乘以该信号的傅里叶变换。
即：$$ F(cf(t)) = cF(f(t)) $$其中，$c$ 是常数。
此外，傅里叶变换具有加权叠加的特性，也就是说，将两个时域信号求和再进行傅里叶变换，等价于分别对这两个信号进行傅里叶变换后再相加。
即：$$ F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) $$2. 时移性质傅里叶变换具有时移性质，也就是说，在时域中将一个信号向右或向左平移 $\tau$ 个单位，它的傅里叶变换相位也会相应发生$\tau$ 的变化。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
函数的傅里叶变换和反变换的性质
函数的傅里叶变换和反变换的性质傅里叶变换和反变换是函数分析中非常重要的概念，它们在信号处理和通信领域等多个应用中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论傅里叶变换和反变换的性质，以期对函数分析、信号处理以及数学等领域更深入的了解。
一、傅里叶变换的性质傅里叶变换的定义是：任何函数可以表示成以时间为自变量的正弦和余弦函数的无穷级数的形式。
也就是说，将任何函数分解成一系列的正弦和余弦函数后，我们就可以用傅里叶变换来进行函数的处理和操作。
傅里叶变换可以分为离散和连续两种形式，而它们都具有一些很重要的性质。
下面将分别介绍这些性质：1. 线性性傅里叶变换具有线性性，也就是说如果对于两个函数 f(t) 和g(t)，它们的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么对于函数 a ×f(t) + b × g(t)（其中 a 和 b 是任意实数），它的傅里叶变换就是 a × F(ω) + b × G(ω)。
2. 卷积定理卷积定理说明了傅里叶变换中频域的卷积运算可以通过时域中的乘积运算来实现。
如果函数 f(t) 和 g(t) 的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么它们在时域的卷积 f(t) * g(t) 的傅里叶变换就是F(ω) × G(ω)。
3. 改变函数的时间和频率如果函数 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而f(t − τ) 表示 f(t) 向右平移τ 个单位，那么f(t − τ) 的傅里叶变换就是F(ω) × e^{- iωτ}。
同样的道理，如果 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而 f(at) 表示将 f(t) 的时间宽度缩小到原来的 a 倍，那么 f(at) 的傅里叶变换就是 (1/a) ×F(ω/a)。
二、傅里叶反变换的性质与傅里叶变换相对应的是傅里叶反变换，它可以将函数由频域转换到时域。
傅里叶反变换的定义是：如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，那么它的傅里叶反变换就是：f(t) = (1/2π) × ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω同样的，傅里叶反变换也有一些很重要的性质：1. 线性性傅里叶反变换与傅里叶变换一样具有线性性，也就是说，如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，而另一个函数的傅里叶变换为G(ω)，那么对于函数a × F(ω) +b × G(ω)，它的傅里叶反变换就是a × f(t) + b × g(t)。
傅里叶变换的性质解析
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw
傅里叶常用变换及其性质
付立叶变换及其性质
傅里叶变换的性质这里主要介绍二维离散傅里叶变换（DFT ，discrete FT ）中的几个常用性质（可分离线、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理）：可分离性二维离散傅立叶变换DFT 可分离性的基本思想是二维DFT 可分离为两次一维DFT 。
因此可以用通过计算两次一维的FFT 来得到二维快速傅立叶变换FFT 算法 。
根据快速傅里叶变换的计算要求，需要图像的行列数均满足2的n 次，如果不满足，在计算FFT 之前先要对图像补零以满足2的n 次。
一个M 行N 列的二维图像f(x,y)，先按行对列变量y 做一次长度为N 的一维离散傅里叶变换，再将计算结果按列向对变量x 做一次长度为M 傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果，如下式所示：()()()()∑∑-=-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=10102exp 2exp ,1,M x N y M ux j N vy j y x f MN v u F ππ 将上式分解开来就是如下两部分，首先得到F(x,v)再由F(x,v)得到F(u,v)：∑-=-=-=101...10]/2exp[),(1),(N y N v N vy j y x f N v x F ，，，π∑-=-=-=101,...,1,0,]/2exp[),(1),(N x M v u M ux j v x F M v u F πu=0,1,2,…M-1；v=0,1,2,...N-1计算过程如下图所示：每一行有N 个点，对每一行的一维N 点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u)，再对得到F(x,u)按列向对每一列做M 点的离散傅里叶变换，就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v)同样，做傅里叶逆变换时，先对列向做一维傅里叶逆变换，再对行做一维逆傅里叶变换，如下式所示：()()()()∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10102exp 2exp ,,M u N v M ux j N vy j v u F y x f ππ x=0,1,2,…M-1；y=0,1,2,...N-1周期性和共轭对称性由傅里叶变换的基本性质可以知道，离散信号的频谱具有周期性。
傅里叶变换知识点总结
傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。
一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。
2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。
（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。
（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。
（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。
三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。
2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换性质及定理
(1-15)
(1-16)
• 将变量t与ω
互换 2f ( ) F (t)e jtdt
所以
2πf(-ω) ←→ F(t)
特别地， 当f(t)是t的偶函数， 那么
F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω)
即有
f () 1 F(t) 2
(1-17)
•
例1-6 已知F1(ω)如图1-10所示， 利
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。 利用一个
低通滤波器（在后面介绍）， 滤除2ω0附
近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低 通 滤波 器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
信号与系统
傅里叶变换性质及定理
•
1. 线性
•
若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)， 则
•
af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω)
• 式中, a、 b为任意常数。
(3.3-1)
•证
af1(te jtdt
b
f(-t) ←→ F(-ω)
尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中 就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中 就一定压缩； 即信号的脉宽与频宽成反比。
•
一般时宽有限的信号， 其频宽无限，
反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）
时， 其能量成比例的减少（增加）， 因
此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。 也
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明
B
2
Bf
1
例3-7-1 例3-7-2
相移全通 网络
例3-7-3
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的 频谱。 解：
令f 0 t 表示矩形单脉冲 信号，其频谱函数 0 , F
f t
E
T
其中G t 为矩形脉冲，脉冲幅度 E， 为
E
f t
脉宽为 , 试求其频谱函数。 o t 解： 2 2 已知矩形脉冲 t 的频谱G 为 G (a)矩形调幅信号的波形 G E Sa 2 因为 1 f t G t e j 0t e j 0t 2 根据频移性质， t 频谱F 为 f 1 1 F G 0 G 0 2 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
§4.3
傅里叶变换的性质
主要内容
对称性质 线性性质
奇偶虚实性
时移特性
尺度变换性质
频移特性
微分性质
时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系；
•用性质求F(ω)；
傅里叶变换的性质
证明
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换分别为 $F(w)$ 和 $G(w)$，则有 $F(w) = int f(x) e^{-2pi i x w} dx$ 和 $G(w) = int g(x) e^{-2pi i x w} dx$。对 $a f(x) + b g(x)$ 进 行傅里叶变换，得到 $(a f(x) + b g(x)) star e^{2pi i x w} = a F(w) e^{2pi i x w} + b
详细描述
在进行傅里叶变换时，如果对信号进行了尺度变换，那么需要使用逆变换来还原信号。 逆变换是将傅里叶变换的复数指数部分取共轭后再乘以原信号，从而得到还原后的信号。
尺度变换的共轭
总结词
尺度变换的共轭是指在进行尺度变换时 ，将复数指数的共轭值乘以信号的过程 。
VS
详细描述
在进行尺度变换时，为了保持信号的能量 不变，需要对复数指数取共轭。这是因为 傅里叶变换中的复数指数具有共轭对称性 ，即如果一个复数取共轭，其傅里叶变换 的结果也会取共轭。因此，在进行尺度变 换时，需要将复数指数取共轭后再乘以信 号，以保持信号的能量不变。
时移的逆变换
要信号通过傅里叶反变 换恢复到原始状态的过程。
要点二
详细描述
在傅里叶反变换中，如果已知一个频谱函数经过了相位变 化，那么可以通过逆变换将其恢复到原始的时间信号。这 个过程相当于在频率域上对相位进行补偿，以抵消时间平 移带来的影响。
时移的共轭
总结词
解释
频移的共轭表明，当函数在时间 轴上取反时，其傅里叶变换在频 率轴上取反。
03 共轭性质
共轭
共轭
如果函数$f(t)$的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么$f(-t)$的傅里叶变换 是$F(-omega)$。
傅里叶变换的基本性质
注意：微积分关系式成立的条件
第一步：求F2 (w)及F2 (0)：
F2 (w) =
F[ f2 (t)] =
F{2E [d(t + t
t )+ 2
d(t -
t )2
2d(t)]}
=
2E
-
(e
jwt 2
+
jwt
e2
-
2) = -
8E sin2 ( wt )
t
t
4
ò 且F2(0) =
¥
- ? f2 (t)dt = 0
f (t) 玾 F(
)
= Fn (w) （jw）n
0时，
例4（书例3-6）
已知三角脉冲信号 求其频谱 F(w)
f
(t)
E (1
2
t
)
0
(t )
2
(t )
2
f (t) E
0
2
t
2
解一：用时域积分性质
F (w)
F1 (w)
逆向应用
F2 (w)
f (t)
E
0
=
(1-
e-
)G j2wτ 2wc
(w)
从中可以得到幅度谱为
F
(ω)
=
ìïïíïïî
2 0
sin (wτ)
( ω < ωc ) ( ω < ωc )
在实际中往往取τ = π ,此时上式变成 ωc
F
ω
2
sin
πω ωc
0
( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。
傅里叶变换及其性质课件
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
傅里叶变换的性质
03
共轭性质
共轭对称
定义
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变 换相等，则称该函数具有共轭对称性质。
数学表达式
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(-omega)$。
应用
在信号处理中，共轭对称性质可以用于对称信号的分 析和合成。
共轭反对称
定义
01
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变
换互为相反数，则称该函数具有共轭反对称性质。
数学表达式
02
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(-
t)$ 的傅里叶变换是 $-F(-omega)$。
应用
03
在信号处理中，共轭反对称性质可以用于分析信号的
周期性
傅里叶变换具有周期性，这意味着对于一个函数进行傅里叶变换后，其结果仍具有周期性。这 是因为傅里叶变换将一个时域函数转换为频域函数，而频域函数中的频率分量具有周期性。
周期性的具体表现是，对于一个具有周期T的函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)在频域中也是周期性 的，周期为2π/T。
傅里叶级数
傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，它适用于具有有限个离散频率 分量的信号。
总结词
频域对称性质揭示了信号在频域和时间域之间的对称关系，为信号处理提供了重要的理论依据。
时间反转与频域反转
时间反转
将信号在时间轴上反转，其傅里叶变换在频域上会产生负 频率分量。
频域反转
将信号在频域上反转，其在时间域上会产生负时间位移。
总结词
时间反转与频域反转的性质表明，信号在时间域和频域的反转 具有对应关系，这种关系在信号处理和通信领域中具有重要应
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例7 -1：用MATLAB符号运算求解法求单边指数信号 f (t) e-2tu(t)的傅里叶变换。
>> ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)'); >> Fw=fourier(ft)
Fw =
1/(2+i*w)
例7 - 2：用MATLAB 符号运算求解法求 F (w） 1 1 w2
0.2
-4
0
-0.5
0
0.5 -50 0 50
t
w
7.2 傅里叶变换的性质 7.1.2 尺度变换的性质
例7-5：设矩形信号f(t)=u(t+1/2)-u(t-1/2),用MATLAB 命令绘出该信号及其频谱。 当信号f(t)的时域波形扩展为原来的2倍，或压缩为原 来的1/2时，则分别得到f（t/2)和f(2t),用MATLAB命 令绘出f(t/2)和f(2t)的频谱图，并加以比较。
2 abs(1/w sin(1/2 w))
2 1 0
-20 0 20
w
2 abs(1/w sin(w))
2 1 0
Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)
1 0.5
0 -1 0 1
t
Heaviside(t/2+1/2)-Heaviside(t/2-1/2)
1 0.5
0 -1 0 1
t
Heaviside(2 t+1/2)-Heaviside(2 t-1/2)
1 0.5
0 -1 0 1
t
解：取w0
12 , A
4,
1 2
>> ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');
>> FW=simplify(fourier(ft))
4 cos(2 6 t) (Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4)) 8 abs(w sin(1/4 w)/(-w2+144 2))
>> ft1=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)'); >> subplot(321) >> ezplot(ft1,[-1.5 1.5]),grid on >> FW1=simplify(fourier(ft1)); >> subplot(322) >> ezplot(abs(FW1),[-10*pi 10*pi]),grid on >> axis([-10*pi 10*pi -0.2 2.2]) >> ft2=sym('Heaviside(t/2+1/2)-Heaviside(t/2-1/2)'); >> subplot(323) >> ezplot(ft2,[-1.5 1.5]),grid on >> FW2=simplify(fourier(ft2)); >> subplot(324) >> ezplot(abs(FW2),[-10*pi 10*pi]),grid on >> axis([-10*pi 10*pi -0.2 2.2]) >> ft3=sym('Heaviside(2*t+1/2)-Heaviside(2*t-1/2)'); >> subplot(325) >> ezplot(ft3,[-1.5 1.5]),grid on >> FW3=simplify(fourier(ft3)); >> subplot(326) >> ezplot(abs(FW3),[-10*pi 10*pi]),grid on >> axis([-10*pi 10*pi -0.2 2.2])
的傅里叶逆变换 f（t)。
>> syms t >> FW=sym('1/(1+w^2)'); >> ft=ifourier(Fw,t) ft = exp(-2*t)*heaviside(t)
7.1 傅里叶变换的实现 7.1.2 连续时间信号的频谱
例7 - 3：用MATLAB 命令绘出例 7 -1中 单边指数信号的幅度值 和相位值。
相位图
>> subplot(212) >> ezplot(phase);grid on >> title('相位图')
1 0 -1 -6 -4 -2 0 2 4 6
w
例7
-
4：已知调制信号f
(t)
AG
(t) cosw0t
[u(t
)
2
- u(t
-
2 )]c os w0 t ,
用MATLAB命令求其频谱。
Fourier反变换的语句格式分为三种： (1) f=ifourier(F);它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于w的函数 (2) f=ifourier(F,v)；它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。 (3) f=ifourier(F,u,v)；是对关于v的函数F进行变换，返回函数f是关于u的函数。
第七章 傅里叶变化及其性质
7.1 傅里叶变换的实现 7.1.1 MATLAB符号运算求解法 7.1.2 连续时间信号的频谱图 7.2 傅里叶变换的性质 7.2.1 尺度变换特性
7.1 傅里叶变换的实现 7.1.1 MATLAB符号运算求解法
Fourier变换的语句格式分为三种： (1) F=fourier(f);它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于w的函数 (2) F=fourier(f,v)；它返回函数F式关于符号对象v的函数，而不是默认的w。 (3) F=fourier(f,u,v)；是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数。
>> ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');
幅度值
>> FW=fourier(ft);
0.4
>> subplot(211) >> ezplot(abs(FW));grid on >> title('幅度值')
0.2
-6 -4 -2 0 2 4 6
w
>> phase=atan(imag(FW)/real(FW/4*w)/(-w^2+144*pi^2)
2
0.8
>> subplot(121)
0.6
>> ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on
0
0.4
>> subplot(122)
-2
>> ezplot(abs(FW),[-24*pi 24*pi]),grid on