多元正态均值向量和协方差矩阵的检验
[理学]03_多元正态分布均值向量和协差阵的检验
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(n 1 ) p T1 2 ~ F (p n, p ) (n 1 )p
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量检验可以联合使用，多元 的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各变量之间 的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析信息。
检验统计量是单一变量检验情况的推广。
2．针对有共同的未知协差阵的情形 对假设
H0：μ1 μ2
进行检验。
H1：μ1 μ2
对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为
F (n m 2) p 1T 2 ~ F ( p, n m p 1) (n m 2) p
为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出 HotellingT2分布的定义。
在单一变量的检验问题中，设 X1, X2, , Xn 来自总体
N ( , 2 ) 的样本，我们要检验假设
H0 : 0 ; H1 : 0
当 2 已知时，用统计量 z (X 0 ) n
假设 H 0 成立时，构造检验统计量为
F (n p)n ZS-1Z ~ F ( p, n p) p
（3.10）
2．针对 n m 的情形
在此，我们不妨假设 n m ，令
Z(i) X(i)
分 布 为 非 中 心 HotellingT2 分 布 ， 记 为
T 2 ~ T 2 ( p, n, μ) 。当 μ 0 时，称 T 2 服从（中心） Hotelling T 2 分布。记为T 2 ( p, n) 。
由于这一统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出
第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。
5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X ， ，p X 是相互独立的。
6.多元正态分布的任何边缘分布为 。
7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵，d 为s 维常数向量，则~d AX + 。
8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。
9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。
12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则~X ，X 和S 。
13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα 。
14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。
二、判断题1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。
2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。
3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
1T
2
~
F( p, n
m
p
1)
经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算得
X＝（64，43，30.5，63），Y＝（51.5，51，40，70.5）
490 －170 －120 245 502.5 60 175 －7.5
S
＝－170 x －120
510 10
10 332.5
310 260
；S
＝ y
i 1
i 1
S Sx Sy ~ Wp (m n 2, )
又由于
mn n＋m
(
X
Y)
~
N p (0, )
所以有
F
(n＋m 2) (n＋m
p 2) p
1T
2
~
F( p,n
m
p
1)
以后假设统计量的选取和前面统计量的选取思路是
一样的，只提出待检验的假设，然后给出统计量及其分 布，为节省篇幅，就不再重复解释。
60 175
390 50
50 450
195
－100
245 310
260
510
－7.5 195 －100 322.5
992.5
S
Sx
S
＝ y
－110 55
252.5
－110 900 60 505
55 60 802.5 160
252.5
505
其中，T 2 (n 1)[ n ( X 0 )T S 1 n ( X 0 )]
给定检验水平，查F分布表，使PF F ＝，确定出临界值F。
第三章多元正态均值向量和协方差矩阵的检验
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3
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1、总体协方差矩阵已知时
由于 x1, x2,是, xn来自多元正态总体的简单随机样本 x1 (x11, x21,, xp1)
x2 (x12 , x22 ,, xp2 ) xn (x1n , x2n ,, xpn )
(1, 2 ,, p )
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T 2 n(Cx)CSC1 (Cx)
S
1 (n 1)
n i1
(xi
x)(xi
x)
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在例中，假定人类的体形有这样一个一般规 律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比例为6:4:1。 检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
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当T02 2 ( p)时，接受原假设； 当T02 2 ( p)时，拒绝原假设。
p P{ 2 ( p) 所计算出的样本统计量值 ,则拒绝原假设； p P{ 2 ( p) 所计算出的样本统计量值 ,则接受原假设。
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由于 0 ，所以统计量取值在0到1之间。
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由极大似然比原理，如果取值太小，说 明H0为真的时观测到此样本的概率要小得多 ，故有理由认为假设H0不成立。
可以证明当样本容量很大时
-2 ln
-2 ln
max
θ0
max θ
（L x(1) , x(2) ,..., x(n);θ) （L x(1) , x(2) ,..., x(n);θ)
第四章 多元正态总体均值向量和协差阵假设检验
1.当
已知时，检验用的统计量为
2、当
未知时，检验用的统计量为
（二）两个正态总体均值的比较检验
设从总体 中抽出一个样本
中抽出一个样本
，从总体
，要进行的假设检验为
1.两个正态分布总体方差
和
已知时，检验用的统计量
2.两个正态分布总体方差
和
未知，但
（三）多个正态总体均值的比较检验 设有k个正态总体分别为 本：各总体的样本如下：
52.8
10.9
19
4.1
44.1
11.2
20
5.5
40.9
9.4
A=0.05
通过计算
认为样本均值向量与已知均值向量无显著差别。
（二）两个正态总体均值向量的检验
设
为来自元正态总体
容量为 n的样本
为来自元正态总体
容量为 m的样本
且两样本之间相互独立
假定两总体协方差矩阵相等，现对假设
1.有共同已知协方差时，检验用的统计量为 2.有共同未知协方差阵时，检验用的统计量为：
9
87
54
585 240 80
55
520 200 60
62
440 248
10
110 77
507 270 76
60
507 189 110 69
377 260
11
107 60
364 200 94
33
260 280 88
78
299 360
12
130 61
391 200 60
51
429 190 73
63
390 320
1
125 60
338 210 66
第2章多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1。
设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v,有 ，则称X 与Y 相互独立。
2。
多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为pR 中某个随机向量的密度函数的主要条件是和 。
5．若p 个随机变量1X ，2X ， ,p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X , ,p X 是相互独立的。
6。
多元正态分布的任何边缘分布为 。
7。
若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵,d 为s 维常数向量，则~d AX + 。
8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 . 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10。
多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。
12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵,则~X ，X 和S 。
13。
若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα .14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =,且相互独立,则~21k S S S S +++= 。
二、判断题1。
多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。
2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是:它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布.3。
μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质： （1)E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB)=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。
多元统计分析——均值向量和协方差阵检验
多元统计分析——均值向量和协方差阵检验均值向量检验是评估两个或多个总体均值是否相等的方法。
在多元统计分析中，均值向量检验常用于比较不同组别或条件下的均值是否有差异。
假设有k个样本组别，每个组别有n个观测值，那么总共有nk个观测值。
假设每个观测值有p个测量变量，那么每个样本组别的均值向量可以表示为一个p维的向量。
我们的目标是比较这k个均值向量是否相等。
常用的均值向量检验方法有Hotelling's T-squared统计量和Wilks' Lambda统计量。
Hotelling's T-squared统计量是基于方差-协方差阵的一个推广，它考虑了样本组别的大小和协方差结构。
它的计算公式为：T^2=n(p-k)/(k(n-1))*(x1-x)^TS^(-1)(x1-x)其中，n是每个组别的观测数，p是变量的个数，k是组别的个数，x1是第一个组别的均值向量，x是总体均值向量，S是协方差阵。
T^2的分布是一个自由度为k，维度为p的非中心F分布。
Wilks' Lambda统计量是基于协方差阵的特征值的一个变换，它的计算公式为：Lambda = ，W，/，B其中，W是所有组别的散布矩阵（Within-groups scatter matrix），B是总体的散布矩阵（Between-groups scatter matrix）。
Wilks' Lambda的分布是一个自由度为k和n-k-1的F分布。
协方差阵检验是评估两个或多个总体协方差阵是否相等的方法。
在多元统计分析中，协方差阵检验常用于比较不同组别或条件下的变量之间的协方差结构是否有差异。
假设有k个样本组别，每个组别有n个观测值，那么总共有nk个观测值。
假设每个观测值有p个测量变量，那么每个样本组别的协方差阵可以表示为一个p维的矩阵。
我们的目标是比较这k个协方差阵是否相等。
常用的协方差阵检验方法有Hotelling-Lawley's Trace统计量和Pillai-Bartlett's Trace统计量。
多元统计分析-均值向量和协方差阵检验
当假设成立时，
实例
3.独立样本检验
即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有显著的差异。与单一样本T检验的原理相同，采用小概率反证法。 首先假设：H0两个样本来自同一总体,u1=u2 独立样本t检验的前提： （１）两个样本相互独立 （２）两个样本来自正态总体 若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适应条件 （３）比较的两个样本有实际意义 如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比较无意义。
பைடு நூலகம்
3、两个p维正态总体均值的检验
（2）协方差不相等的情况（见书P25）
当假设
0
H
成立时，
2
T
～
2
1
,
-
-
+
p
m
n
p
T
，从而
2
)
2
(
1
T
p
m
n
p
m
n
-
+
-
-
+
～
1
,
-
-
+
p
m
n
p
F
如在医学研究中，分析几中药物对某种疾病的疗效；
进行两组及多组间样本平均数的比较
B
A
4.方差分析
已知某校大三学生的平均身高是163cm。现从某院大三学生中随机抽取20个测量出其身高。检验该院大三学生的身高与该校大三学生的身高平均值是否相等。
建立一个原假设：H0：假设该院大三学生的身高与该校大三学生的平均身高相等。
这属于单个变量的均值与已知常数的比较
01
02
03
2.单一样本检验
统计量 基本性质：在一元统计中， 若统计量t ～t(n-1)分布，当假设为真时，统计量t2～F1,n-1分布，其否定域为 t2 F1,n-1（） 在多元统计中T2也具有类似的性质。
第三章 多元正态均值向量和协方差矩阵的检验
【例】人的出汗多少与人体内的钠和钾的含量 有一定的关系，今测量了20位成年女性的出汗 量、钠含量和钾含量。试检验：
H 0 : μ μ 0 4 50 10
2016/11/13
10
例 在企业市场结构研究中，起决定作用 的指标有市场份额X1，企业规模（资产净值 总额的自然对数）X2，资本收益率X3和总收 益增长率X4。为了研究美国市场的变动，夏 菲尔德抽取了美国231个大型企业，调查这些 企业某十年的资料。假设以前企业市场结构 的均值向量为(20,7.5,10,2)’，该调查所得的 样本均值向量和样本协方差矩阵如下。
2016/11/13 2
第一节 单个总体均值向量的推断
一、均值向量的检验
设 x1 , x2 ,, xn 是取自多元正态总体 N p ( , ) 的一个样
0 ，现欲检验 本， H 0 : μ μ0
H1 : μ μ0
由于总体的协方差矩阵可能未知或已知，所以在检验时 必须采用有不同的的统计量，所以我们分成两种情来讨2016/11/13
22
令
1 1 0 1 0 1 C 1 0 0
0 0 1
则与上面的原假设等价的假设为
H 0 : C 0
H1 : C 0
例
假定人类的体形有这样的一般规律：身高、胸围和
上臂围平均尺寸比例为 6： 4： 1。检验身高、胸围和上臂 围平均尺寸比例是否符合这一规律。
设 x1 , x 2 ,, xn 取自多元正态总体N p ( , )的一个样本。
前面，我们已经利用样本，检验均值向量是否等于一个指
定的向量。在实际问题中，我们也需要检验均值向量的分
第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验一、填空题1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。
2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-'=，则~12T np p n +- 。
3.若()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为 分布，记为 。
4．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。
二、判断题1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W Sp ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22n p T T 。
2．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵S n 1去代替∑。
3.2HotellingT 分布是一元统计分布中t 分布的推广。
4．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT 分布。
5．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2χ分布。
6．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量服从多元正态分布。
7．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等, 在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT分布。
三、简答题1．试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。
2．试述多元统计分析中2HotellingT分布和一元统计中t分布的关系。
多元统计分析-均值向量和协方差阵检验
81
60．8
84
59．5
上半壁围（cm） 16．5 12．5 14．5 14．0 15．5 14．0
3.独立样本检验
• 即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者 是否有显著的差异。与单一样本T检验的原理相同， 采用小概率反证法。
• 首先假设：H0两个样本来自同一总体,u1=u2 • 独立样本t检验的前提： （１）两个样本相互独立 （２）两个样本来自正态总体 若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适
6r2 (n 1)2
1 }, nr n1 n2
至少有一对ni nr
nj
检验的基本步骤：
一．提出待检验的假设H0和H1
二．给出检验的统计量及它服从的分布 三．给定检验水平 ，查统计量的分布表，确定临界值，从而得到否定域 四．根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待
（1）当 已知时，用统计量 x 0 n
其中:
1 n
x n i1 xi
为样本均值。
当假设成立时， ～N（0，1），否定域为| | /2 ， / 2 为 N (0,1) 的上 / 2 分位点。
n
（2）当 未知时，用 S 2 (xi x )2 /(n 1) 作为 2 的估计，用统计量 i 1
02
如在医学研究中， 分析几中药物对某 种疾病的疗效；
为什么多样本均值检验不采 用两两样本的t检验，而一定 要采用方差分析
统计结论都是概率性的。假 设实际情况是H0成立，那么 根据设置的显著性水平如 0.05, 平均每100次检验中 有5次会得出拒绝H0的错误 结论。
设有4个样本，若采用两两样本的t检验，共要进行4！/[2！（42）！]=6次，
由 的函数的近似分布进行检验
多元正态分布均值向量和协差阵的检验中统计量汇总
第三章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验中统计量汇总一、单个正态总体(),p N ∑μ均值向量的检验 （1）已知总体协方差阵∑100::μμμμ≠=H H ，，在0H 成立的条件下，212000()()~()T n p χ-'=--X μΣX μ，拒绝域：220()T p αχ>.（2）未知总体协方差阵∑0100::μμμμ≠=H H ，在0H 成立的条件下，21000(1)()()~(,)()n pT n F p n p n p --'=----X μV X μ.拒绝域：20(1)(,)()n pT F p n p n p α->--.二、两个正态总体(1122(,)(,)p p N N ∑∑μμ和)均值向量的检验 (1) 当协方差阵相等时(12∑=∑),两个正态总体均值向量的检验012112::H H =≠μμμμ，,在0H 成立的条件下210(2)()()(,1)(1)nm n m pT V F p n m p n m n m p -+-'=--+--++--X Y X Y . 拒绝域:2(2)(,1)(1)n m pT F p n m p n m p α+->+--+--.(2) 当协方差阵不相等时,两个正态总体均值向量的检验 n m =(成对检验)012112::H H =≠μμμμ，,令,1,2,,i i i i n =-=Z X Y ，此时假设检验问题转换为01:0:0H H =≠Z Z μμ，，在0H 成立的条件下，210(1)~(,)()n pT n F p n p n p --'=--Z Z V .拒绝域： 20(1)(,)()n pT F p n p n p α->--n m ≠，在此，我们不妨假设m n <，令()()()()()1111nmi i i i i j j n m m n m ===-+-⋅∑∑Z X Y Y Y n i ,,2,1 =. Y X Z Z -==∑=ni i n 1)(1.()()1()()ni i i ='=--∑S Z Z Z Z()()()()()()11111()()()()nnn i i j i i ji j j n n m n m n ==='⎡⎤⎡⎤=---⋅---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑X X Y Y X X Y Y 假设0H 成立时，构造检验统计量为1()~(,)n p nF F p n p p-'=--Z S Z . 或 210(1)~(,)()n pT n V F p n p n p -'=---Z Z ,这里1V n =-S . 拒绝域: 20(1)(,)()n pT F p n p n p α->--.三、多个正态总体均值向量的检验第一个总体： (1)(1)(1)(1)12(,,,)i i i ip X X X =X ，1,,2,1n i =, 第二个总体： (2)(2)(2)(2)12(,,,)ii i ip X X X =X ，2,,2,1n i =,…… …… …… 第k 个总体： ()()()()12(,,,)k k k k i i i ip X X X =X ，k n i ,,2,1 =, 全部样品的总均值向量：()()111r n k r i r i n ===∑∑X X .各总体样品的均值向量：()()()11r n r r i i r n ==∑X X ，1,2,,r k = .组间离差阵: ()()1()()kr r r r n ='=--∑A XX X X .组内离差阵: ()()()()()()11()()rn k r r r r i i r i =='=--∑∑E X X X X .总离差阵: ()()()()11()()rn k r r i i r i =='=--∑∑T XX X X .012k H ===μμμ ：,在0H 成立时,ET∧=服从Wilks 分布(,,1)p n k k ∧--.表 Λ与F 统计量的关系p n k - 1k - F 统计量及分别任意 任意 1()11~(,1)n k p F p n k p p --+-Λ⋅--+Λ任意 任意 2 ()11~(2,2(1))n k p F p n k p p --+-Λ⋅--+Λ1 任意 任意 1~(1,)1n k F k n k k --Λ⋅---Λ 2任意任意11~(2(1),2(1))1n k F k n k k ---Λ⋅----Λ在这里我们特别要注意，Wilks 分布表也可用2χ分布或F 分布来近似,巴特莱特（Bartlett ）提出了用2χ分布来近似.设~(,,1)p n k k ΛΛ--，令 (1()2)ln ln t V n p k -=---+Λ=Λ. 则V 近似服从2((1))p k χ-分布。
多元正态分布均值向量和协差阵的检验m
的样本，则统计量 t 其中 显然
2 2 与前面给出的 T 统计量形式类似，且 X ~ N 0, ， n 由此可见，T 2分布是一元统计分布中 t分布的推广。
HotellingT
2
分布基本性质
在一元统计中，若统计量t ~ t n 1分布， 则t 2 ~ F 1, n 1分布，即把t分布的统计量转 化为F统计量来处理，在多元统计分析中T 2 统计量也具有类似的性质。
n p 2 给定检验水平 ，查F分布表，使P T F ， n 1 p 可确定出临界值 F，再用样本值计算出 T 2。 n p 2 若 T F，则否定H 0，否则H 0相容。 n 1 p
H 0 : 0
H1 : 0
这里所谓的不合理，并不是形式逻辑中的绝对矛 盾，而是根据小概率原理，即发生概率很小的随 机事件再一次试验中几乎不可能发生，通常把概 率不超过0.05的时间当做小概率事件。
二、假设检验中的否定域和接受域
H0 为原假设或零假设，H1为对立假设或备择假 设
拒绝原假设的区域称为拒绝域或否定域，否定域 之外的区域为接受域 若根据样本值计算的统计量之值落入拒绝域，则 认为原假设不成立，称为在显著性水平α下拒绝 H0，否则认为成立，称为在显著性水平α下接受
关于μ和∑的各种形式的假设检验
构成了本章内容。本章的许多内容 是一元的直接推广，但由于多指标 问题的复杂性，本章只列出检验用 的统计量，详细介绍如何使用这些 统计量做检验。
第一节 均值向量的检验 第二节 协差阵的检验
假设检验的四个基本步骤：
⑴提出待检验的假设H0和H1。 ⑵给出检验的统计量及其服从的分布。 ⑶给定检验水平α，查统计量的分布表，
多元统计分析——均值向量和协方差阵检验
某地区农村男婴的体格测量数据
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60．6
上半壁围（cm） 16．5
2
76
58．1
12．5
3
92
63．2
14．5
4
81
59．0
14．0
5
81
60．8
15．5
6
84
59．5
14．0
这是假设检验问题： H0 ：μ = 0 ， H1 ：μ≠ 0
第7页/共31页
3.独立样本检验 • 即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有显著的差异。与
1 1 n1 n2
当 H0 成立时，t 服从自由度为 n1 n2 2 的 t 分布，即 t t(n1 n2 2) 。
检验规则为：
当| t | t /2 (n1 n2 2) 时，拒绝 H0 ；
当| t | t /2 (n1 n2 2) 时，接受 H0 。
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3、两个p维正态总体均值的检验
——这就需要用到均值比较的方法
第1页/共31页
2.单一样本检验
• 已知某校大三学生的平均身高是163cm。现从某院大三学生中随机抽取20个测量出其身高。检验该院大三 学生的身高与该校大三学生的身高平均值是否相等。
• 建立一个原假设：H0：假设该院大三学生的身高与该校大三学生的平均身高相等。 • 这属于单个变量的均值与已知常数的比较
第2章多元正态分布均值向量和协差阵的检验m资料
N p , 的样本，且 X
1n n 1
X ，
n
S
X X
X X 。
1
8
1.协差阵∑已知时均值向量的检验
H0： 0 0为已知向量
H1： 0
假设H0成立，检验统计量为：
T02 n X 0 1 X 0 ~ 2p
给定检验水平 ，查 2分布表使 P T02 ，
T
2
F，则否定H
0，否则H
相容。
0
12
2.协差阵∑未知时均值向量的检验
当 未知时，要用样本协差 阵 1 S去代替 ， n -1
因为n -1S 1是 1的无偏估计量。
n
S
X X
X X ~ Wp n 1,
i 1
n X 0 ~ N p 0,
则 T 2 n 1 n X 0 S 1 nX 0 ~ T 2 p, n 1
可确定出临界值 ，再用样本值计算出 T02，若
T02
，则否定
H
，否则
0
H
相容。
0
9
1.协差阵∑已知时均值向量的检验
一元统计中，当 2已知时，作均值检验所取
的统计量为：
U X 0 ~ N 0，1
n
显然
U 2
n
X 0 2
2
n
X
0
2
1
X
0
与前面给出的检验统计量T02形式相同。
10
一、霍特林（Hotelling）T2分布 这一统计量的分布是由Harold Hotelling
首先提出来的，因此称为HotellingT2分 布。 我国的统计学家许宝騄先生1938年用不同 方法也导出了T2分布的密度函数，但表达 式很复杂。
应用多元统计分析-第三章 均值向量和协差阵检验
假设检验的过程-以妇女身高为例
首先要提出一个原假设，如妇女身高的
均值等于160cm（ 160cm）。这种原假
设也称为零假设（null hypothesis），记 为H0。 与此同时必须提出对立假设，如妇女身
高均值不等于160cm（ 160c）m。对立
假设又称为备选假设或备择假设 （alternative hypothesis）记为H1。
如果是两个以上总体的均值检验，则将 用到方差分析，到方差分析一章时，再 进行介绍。
根据一个样本对其总体均值大小进行检验
例3.1：如果你买了一包标有500g重的一包红糖， 你觉得份量不足。于是你找到监督部门； 当然他们会觉得一包份量不够可能是随机的。 于是监督部门就去商店称了50包红糖（数据在 sugar.sav）； 其中均值（平均重量）是498.35g；这的确比 500g少，但这是否能够说明厂家生产的这批红 糖平均起来不够份量呢？ 于是需要统计检验。 首先，可以画出这些重量的直方图（图5.）
这一步一般都可由计算机软件来完成。
第五，进行判断：如果p-值小于或等于a，
就拒绝零假设，这时犯错误的概率最多
为 ；如果p-值大于 ，就不拒绝零假
设，因 为证据不足。
假设检验的过程
在这个意义上，p-值又称为观测的显著 性水平（observed significant level）。 在统计软件输出p-值的位置，有的用“pvalue”，有的用significant的缩写“Sig” 就是这个道理。
n
如果 (x X ) 2cm 真是由抽样误差造成的， 那么它就不应该大于2或3个标准差，即
(x
X
)
2或3
n
如何假设检验?
反之，如果：
多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验.
第二章多兀正态总体均值向量和协差阵的假设检验什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。
多元分析也涉及这方面内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。
本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。
不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设H0和H1。
第二步，给出检验的统计量及它服从的分布。
第三步，给定检验水平a，查统计量的分布表，确定临界值匕，从而得到否定域。
第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策(拒绝或接受) 。
由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。
本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不给出推导过程，最后给出几个实例。
同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT 2分布和Wilks分布的定义，它们分别是一元统计中t分布和F分布的推广。
§ 3.1均值向量的检验为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出Hotelli ngT2分布的定义。
1 HotellingT2分布定义设X〜N p(~[),S〜W p( n, Z)且X与S相互独立，n _p，则称统计量T2二nXS’X的分布为非中心Hotelli ngT 2分布，记为T2~T2(p ,n』)。
当—0时，称T2服从(中心)Hotelli ngT 2分布,记为T 2( p, n)，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling提出来的，故称为HotellingT 2分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T2分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。
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Var
(x)
cov(
x2 ,
x1
)
var( x2 )
cov(xp , x1) cov(xp , x2 )
cov(x1, xp ) cov( x2 , xp )
var( xp )
2020/5/23
5
由于样本均值
x
~
Np
(
,
1 n
)
，所以有
T02
(x
0
)
1 n
1
(x
0 )
n(x 0 )1(x 0 )
H0 : C H1 : C
其中C为一已知的kp阶矩阵，k<p， rank(C)=k ， 为已知的k维向量。根据多元正态分布的性质可知
Cx ~ Nk (C,CC), rank(CC) k, CSC 0
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25
Cx
~
Nk
(C,C
Σ n
C),
(n 1)S ~ Wp (n, Σ)
第三章 多元正态均值向量和协方差
矩阵的检验
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1
内容
第一节 单个总体均值向量的推断 第二节 单个总体均值分量间结构关系的检验 第三节 两个总体均值的检验 第四节 两个总体均值分量间结构关系的检验 第五节 多个总体均值的比较检验（多元方差分析） 第六节 正态总体协方差矩阵的检验 第七节 在SAS多元假设检验过程
S2
1 n2 1
n2 i1
(yi
y)(yi
y)
34
霍特林（Hotelling）统计量T 2为：
1
T
2
n1n2 n1 n2
(x
y)
(n1
E n2
2)
(x y)
当原假设为真的条件下，统计量
n1 n2 p(n1
n2
p 1T 2)
2
~
F(
p,
n1
n2
p
1)
检验的规则为：
当
n1 n2 p(n1
12
注：似然比统计量
在数理统计中关于总体参数的假设检验， 通常还可以利用最大似然原理导出似然比统 计量进行检验。
设p维总体的密度函数为
f (x,θ)
其中 θ 是未知参数，θΘ参数空间。
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13
有如下假设：
H0 : θΘ0
H1 : θ Θ0
现在从总体中抽出容量为n的样本
x（1），x（2），...，x（n）
2
76
58.1
12.5
3
92
63.2
14.5
4
81
59.0
14.0
5
81
60.8
15.5
6
84
59.5
14.0
检验三个指标的均值是否有关系
1 6
1
1 4
2
3
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30
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
2
,
3至少有两个不相等
T 2 n(Cx)CSC1 (Cx) ~ T (k,n 1)
CSC ~ Wk (n,CΣC)
nCx ~ Nk ( nC,CΣC),
T 2 nCx C CSC1 Cx C
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26
为了检验H0：C= ，可以用统计量
T 2 n(Cx )CSC1 (Cx )
当为真时 H0：C= 时
n k T 2 ~ F(k,n k) k(n 1)
对给定的显著性水平，检验的规则
p P{ 2 ( p) 所计算出的样本统计量 值 ,则拒绝原假设； p P{ 2 ( p) 所计算出的样本统计量 值 ,则接受原假设。
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7
2、总体协方差矩阵未知时 总体的协方差矩阵未知，用样本的协方差矩阵
S
1 (n 1)
n i1
(xi
x)(xi
x)
替代 T02 n(x 0 )1(x 0 ) 中的总体协方差，得
当
nk T k(n 1)
2
F
(k , n
k)
时，拒绝原假设；
当
nk T k(n 1)
2
F
(k , n
k)
时，接受原假设。
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27
特别当=0 ，即检验H0:C=0 ， H1:C0，则
T 2 n(Cx)CSC1 (Cx)
S
1 (n 1)
n i1
(xi
x)(xi
x)
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28
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2
第一节 单个总体均值向量的推断 一、均值向量的检验
设 x1,x2, ,xn 是取自多元正态总体 N p (,) 的一个样 本， 0 ，现欲检验
H0 : μ μ0 H1 : μ μ0 由于总体的协方差矩阵可能未知或已知，所以在检验时 必须采用有不同的的统计量，所以我们分成两种情况来讨 论。
36
检验的统计量T 2 ndSd1d
其中 d x y
Sd
n
1
1
n
i1(di
d)(di
d)
当原假设 0为真时，统计量
n p T2 p(n 1)
服从自由度为n p和 p 的 F 分布。
检验规则为：
当时
n p T2 p(n 1)
F ( p, n
p)
，拒绝原假设，否则接受原
假设。
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在例中，假定人类的体形有这样一个一般规 律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比例为6:4:1。 检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
2
,
3至少有两个不等
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29
某地区农村男婴的体格测量数据如下
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60.6
上半臂长（cm） 16.5
37
中小企业的破产模型 为了研究中小企业的破产模型，首先选定了X1总负债 率（现金收益/总负债），X2收益性指标（纯收入/总财 产），X3短期支付能力（流动资产/流动负债）和X4生产 效率性指标（流动资产/纯销售额）4个经济指标，对17个 破产企业为“1”和正常运行企业“2”进行了调查，得资 料如下。如果这些指标是用来做判别分析和聚类分析的变 量，他们之间没有显著性差异是不恰当的，所以检验所选 择的指标在不同类型企业之间是否有显著的差异。
x (x1, x2, , xn1 )和 y ( y1, y2 , , yn2 ) 且 0，n1, n2 p。
考虑假设 H0 : 1 2； H1 : 1 2
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32
根据两个样本可得1和2的无偏估计量为
x
1 n1
x n1
i1
i
y
1 n2
y n2
i 1
i
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33
X
n
p)
，接受原假设。
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9
【例】人的出汗多少与人体内的钠和钾的含量 有一定的关系，今测量了20位成年女性的出汗 量、钠含量和钾含量。试检验：
H 0 :μ μ0 4 50 10
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10
例 在企业市场结构研究中，起决定作用
的指标有市场份额X1，企业规模（资产净值 总额的自然对数）X2，资本收益率X3和总收 益增长率X4。为了研究美国市场的变动，夏 菲尔德抽取了美国231个大型企业，调查这些 企业某十年的资料。假设以前企业市场结构 的均值向量为(20,7.5,10,2)’，该调查所得的 样本均值向量和样本协方差矩阵如下。
样本的联合密度函数为
n
（ L x(1), x(2),..., x(n);θ) f (x(i);θ) i1
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14
引入似然比统计量
max
θ0
max θ
（L x(1) , x(2) ,..., x(n);θ) （L x(1) , x(2) ,..., x(n);θ)
由于0 ，所以统计量取值在0到1之间。
n
(Xi X)(Xi X) n(X μ0 )(X μ0) i1
A n(X μ0)(X μ0)
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19
有
A0 A n(X μ0)(X μ0)
A
n(X μ0 )
n(X μ0) I
A 1 n(X μ0)A1(X μ0)
A0 A
1
n(X
μ0
17
原假设成立时，有
np
max Σ0
L(μ
0
,
Σ)
(2
)
2
A0 n
n/2 np
e2
n
其中 A0 (X - μ0 )(X - μ0 ) i1
A n 2 0
A
n 2
A0 A
n
2
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18
我们来讨论一下，似然比检验的 统计 量和霍特林的T平方统计量的关系。
n
A0 (Xi X X μ0 )(Xi X X μ0 ) i1
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22
1 1 0 0
令
C 1
0
1
0
1 0 0 1
则与上面的原假设等价的假设为
H0 : C 0
H1 : C 0
例 假定人类的体形有这样的一般规律：身高、胸围和
上臂围平均尺寸比例为6：4：1。检验身高、胸围和上臂 围平均尺寸比例是否符合这一规律。