2020学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1_1_2一元一次不等式和一元二次不

1．1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法[读教材·填要点]1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系1．“若ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集是空集，则a 、b 、c 满足的关系是b 2－4ac <0且a >0”是否正确？提示：当Δ＝0时，易知ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集也是∅，从而满足的条件应为“a >0且b 2－4ac ≤0”．2．当a <0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |α<x <β}． 3．一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合．[例1] 不等式x 2－1<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <2且x ≠1}C ．{x |－1<x <2且x ≠1}D ．{x |x <－1或1<x <2}[思路点拨] 根据不等式性质把b a<0转化为ab <0，再求解． [精解详析] 因为不等式x －2x 2－1<0， 等价于(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}． [答案] D解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即f xg x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0g x ≠0⇒f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0.f xg x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f x ＞0g x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧fx ＜0g x ＜0⇒f (x )·g (x )＞0.1．解不等式：x ＋1x －2≤2. 解：∵x ＋1x －2≤2，∴x ＋1x －2－2≤0.即－x ＋5x －2≤0. ∴x －5x －2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －5x －2≥0，x －2≠0，∴x <2或x ≥5.即原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}.含参数的一元二次不等式的解法[例2] [思路点拨] 由于a ∈R ，故分a ＝0，a >0，a <0讨论． [精解详析] 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1<0， 即x >1.若a <0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，即x <1a或x >1.若a >0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故(1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a >1时，由(*)式可得1a<x <1；(3)当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．2．若k ∈R ，求解关于x 的不等式：x 22－x<k ＋1x －k2－x.解：不等式x 22－x <k ＋1x －k 2－x 可化为x 2－k ＋1x ＋k2－x<0，即(x －2)(x －1)(x －k )>0.当k <1时，x ∈(k,1)∪(2，＋∞)； 当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1<k <2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)； 当k ≥2时，x ∈(1,2)∪(k ，＋∞).一元二次不等式的实际应用[例3] 70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销售将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R 应怎样确定？[思路点拨] 由题意求出在此项经营中所收附加税金，建立不等关系转化为不等式问题求解．[精解详析] 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元， 从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R ， 由题意得70(100－10R )R %≥112， 整理，得R 2－10R ＋16≤0.∵Δ＝36＞0，方程R 2－10R ＋16＝0的两个实数根为x 1＝2，x 2＝8.然后画出二次函数y ＝R 2－10R ＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R |2≤R ≤8}． 答：当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x ，用x 来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．3．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为 3 000a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解：(1)根据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0,50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝100－x ×3 000×1＋2x %＋3 000ax100＝－60x 2＋3 000a ＋1x ＋300 000100＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值； ②若25(a ＋1)>50，即a >1， 则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．[对应学生用书P6]一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤1} C ．{x |x <－3或x >1}D ．{x |x <－1或x >3}解析：因为M ＝{x |－1≤x ≤3}，全集U ＝R ， 所以∁U M ＝{x |x <－1或x >3}． 答案：D2．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1. 答案：C3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2， 则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2.答案：C4．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，有f(－1)＝x2－5x＋6>0，①且f(1)＝x2－3x＋2>0，②联立①②解得x<1或x>3.故选C.答案：C二、填空题5．若不等式－x2＋2x－m>0在x∈[－1,0]上恒成立，则m的取值范围是________．解析：由m<－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x，x∈[－1,0]的最小值即可．又∵u在[－1,0]上递增，∴u min＝－1－2＝－3.∴m<－3.答案：(－∞，－3)6．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是______________．解析：由题意知，k2－6k＋8≥0，即(k－2)(k－4)≥0，∴k≥4或k≤2，又∵k≠0，∴k的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)7．若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为________________．解析：(等价转化法)将原不等式化为：m(x2－1)－(2x－1)<0.令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则原问题转化为当－2≤m≤2时，f(m)<0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f 2<0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－1－2x －1<0，2x 2－1－2x －1<0，解得－1＋72<x <1＋32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋328．已知方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m 的取值范围为________．解析：设函数f (x )＝x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15， 则由题意：即⎩⎪⎨⎪⎧－12m ＋69＞0，m 2－4m －5＜0.∴－1＜m ＜5. 答案：(－1,5) 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R? 解：(1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0.若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，日利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500， 由日利润不少于1 300元， 得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 解：(1)对任意的x 1，x 2∈R ，f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0.由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a <0，解得A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，0.(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a.解得0<a ≤－2＋ 5.即a 的取值范围是(0，－2＋5]．。