双曲型方程组
双曲型偏微分方程组的数值解法研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。
双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。
有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。
下面我们将分别介绍这两类方法。
有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。
通常有限差分方法分为显式和隐式两种。
显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。
隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。
有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。
虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。
此时有限元法常被作为替代方法。
有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。
有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。
首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。
有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。
虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。
求双曲型偏微分方程组数值解的特征线法
特征线法是求解双曲型偏微分方程组数值解的一种常用方法，其基本思想是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的基本概念，特征线法的基本原理和数值求解过程，并结合实际问题进行案例分析，以便读者深入了解特征线法在实际工程和科学计算中的应用。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念1. 双曲型偏微分方程组的定义和特点双曲型偏微分方程组是指具有双曲型特征的偏微分方程组，其在数学和物理上具有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组的特点是方程中存在两个不同的特征方向，解的行为由这两个特征方向共同决定。
双曲型偏微分方程组的基本形式可以表示为：∂u/∂t + A(u)∂u/∂x = 0其中u是未知函数，t和x分别是时间和空间变量，A(u)是一个矩阵函数。
2. 双曲型偏微分方程组的物理意义和工程应用双曲型偏微分方程组描述了许多波动现象和守恒定律，因此在物理学、工程学和科学计算中有着重要的应用。
天气预报中的气象方程、弹性波动方程、流体力学方程等都可以用双曲型偏微分方程组描述，因此求解双曲型偏微分方程组的数值方法对于实际问题具有重要意义。
二、特征线法的基本原理和数值求解过程特征线法是一种求解双曲型偏微分方程组数值解的有效方法，其基本原理是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
特征线法的基本步骤包括确定特征线方程、构造数值格式、进行离散化和求解差分方程等。
1. 确定特征线方程双曲型偏微分方程组的特征线方程可以通过对方程进行特征分解得到，一般形式为：dx/∂t = λ1(u)du/∂t = λ2(u)其中λ1(u)和λ2(u)分别为特征线方程的两个特征方向，通过求解特征线方程可以确定数值方法的稳定性和收敛性。
2. 构造数值格式特征线法利用特征线方程构造数值格式，一般采用有限差分法或有限体积法进行离散化。
特征线法的数值格式应该满足守恒性、稳定性和收敛性等基本要求。
拟线性双曲型方程组的奇性
Ｖ ． Ｎ ｏ． ３６ ３ Ｍ ａｙ．２ ０８ ０
文 章 编 号 ： Ｏ Ｏ ３ ７ ２ ０ ） ３ ０ １ —０ １ ０ 一２ ６ （ ０ ８ ０ — ０ ０ ３
拟 线性 双 曲型方 程组 的奇 性
刘 法 贵 葛云 飞。 ，
（ ． 北 水 利 水 电学 院 数 学 系 ， 州 ４ ０ １ ；． １华 郑 ５０ １２ 河南 经 贸 职 业 学 院 ， 州 ４ ０ ５ ） 郑 ５ ０ ３
（ ２）
其 中 “一 （ ｌ … ， ， “ “ ， “ ） Ａ（ ）一 （ “ ） 口 （ ）∈ Ｃ ， （ 口 （） ， “ ， 声 ）∈ Ｃ （ ）且 Ｃ 模 有界． Ｒ
由严 格 双 曲 的定 义 ， “ Ａ（ ）存 在 个 实 而 互 异 的 特 征 （ ） （ ） … ， （ ） “ ， “ ， “ ．设 ｚ “ ）一 （ （ ） … ， （ ｚ “， ｚ “ ）（ （ ） 相应 地 ， （ ）一 （ “ ， ， “ ） 表 示 对 应 于 （ ） 一 １ ２ … ， “ ｒ （ ） … ｒ （ ） ） “（ ， ， ）的 左 （ 应 地 ， ） 征 相 右 特
］ ； ＋Ａ姑 （ ） ： Ａ２（ ） 一 ０ “ “ “ ＋ ｌ “ “＂ ，
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ２ ２０— １ ９
基金项 目： 河南 省 基 础 科 学 研 究 课 题 ； 南 省 教 育 厅 自然科 学 基 金 （ ０ ８ １ ０ １ ） 河 ２ ０ Ａ １０ １ 作 者 简 介 ： 法 贵 （ ９ ， 事 偏 微 分 方 程 研 究 刘 １６ 一 ， 河 华 博 从
摘 要 ： 考虑一类 拟线性退 化特征双曲型方程组 Ｃ ｕｈ 问题 ， ａｃｙ 利用特征线法和局部延拓法证 明了其经典解 的
一阶半线性双曲型方程组的精确边界能控性与能观性
ａ ‘ ｔｘ ｃ， 亡＋Ａ（ ） ，
ｕ
Ｏ ｕ
＝
，
，
札， 一）
（） １
其 中 札：（１… ， 是 （ Ｘ 的未知 向量 函数 ， 札， 札 ） ｔ ） ，
Ａ ｔ ） ｉ ｛ １ ，）・ （ ） （ Ｘ ：ｄ ｇＡ （ ，一， ｔ ｝ ， ａ ｔ ，
Ｚ
、Ｊ
建立 了一阶半线性 双曲组 的整体精确边界能控性及能观性 理论 ，对于相应的控制及观测 时间给 出
了精 确 的 估 计 ， 并 揭示 了精 确 能 控 性 与 能 观 性 之 问 隐 含 的某 种 对 偶 关 系 。本 文 还 揭 示 了在 非 自治 系统 的情 形 下 ，精 确 能控 性 与 能 观 性 的 对 偶 关 系 有 可 能会 丧 失 。 关键 词 ： 阶 半 线性 双 曲型 方 程 组 ； 精 确 边 界 能控 性 ；精 确 边 界 能 观 性 ；对 偶性 一
ｆｔＸ 札 Ｊ Ｍ１ （， ， ）
其中 １ 为一个与 （，， ） ｔＸ 札 无关的正常数 。 设初始条件为
（） ４
ｔ ｏ： 札＝ （） ０ Ｘ Ｌ ＝ｔ ， ，
终端条件 为 ｔ ｔ ＋Ｔ： 札＝砂 ， ０ Ｘ Ｌ ＝ ｏ （）
收稿 日期： ０ ％０ —５ 作者简介：叶莎莎（９ １ １ ２ 向：偏微分方程
ｕ
，ｌ
ｌ ｌ
１
，Ｊ
，ｌ
分类号 ： ＡＭ Ｓ ２ ０ １ ５ ５ ； ７ ５ ； ９ ２ ； ３ ０ （０ ０ Ｌ ０ ３ Ｂ ５ ４ Ｊ ０ ９ Ｂ ５ ３
中图分类号： ７ ．７ Ｏ１５２
文献标识码： Ａ
、Ｊ
Ｕ
１ 引 言
考 虑 一 阶半 线 性 双 曲型万 程 组
一类带线性耗散项的2×2双曲型方程组解的衰减估计
？ １ ， Ｕ 一 （ ， ） ｒ 其 中 Ａ 一 （ Ｉ ＼ 口 ， ＇ ） Ｕ ： ， ） ， Ｂ ＝ （ ＼ Ｕ ：
ｂ ｌ
定理 １ 对 任 意 给定 的非 负整 数 ， 假 设 Ｕ０
∈Ｌ （ Ｒ） ｎＣ （ Ｒ） 且 Ｕ。有 紧支 集 ， 则 对 任 意 正整 数 Ｎ， 问题 （ １ ） 的解满 足下 列估 计
‘
Ｉ Ｉ （ Ｒ ） ， 其中Ｂ （ ｘ ｔ ） 一（ １ ＋
１ Ｔ
） ＿ 。 。 。 ， 常数 Ｃ仅 依
若记 Ｇ（ ， ￡ ）一 （ 则 上 式 可
以 简 写 为
Ｒ（ ） Ｇ
，
赖 于 Ｃ、 Ｎ 与 Ｕｏ （ ｚ ）的支集 。
２ 定 理 的 证 明
文［ １ ］ 中利用 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变 换 方 法 和 Ｇｒ ｅ ｅ ｎ函
数得 到 了带有 第 二声 速 的一维 线性 热 弹性方 程组 解 的衰 减估 计 。我 们 知 道 ， 衰 减 性 由特 征值 的 实 部 决定 ， 其 虚部 只影 响方 向 。从文 ［ １ ］ 的分 析 中我
Ｖｏ Ｉ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２
２Ｏ１ ３
・
大 学教 学 ・
一
类带线性耗散项 的 ２ ×２ 双 曲型方程组解 的衰减估计
蒋 盼 盼
（ 南京 航 空 航 天 大 学 理 学 院 ， 江苏 南京 ２ １ １ １ ０ ６ ）
摘
要： 本文利用 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 分 析 方 法 研 究 了一 类 带 线 性 耗 散 项 的 ２ × ２双 曲 型 方 程 组 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ
Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２
【计算流体力学】第3讲-差分方法1
a2u j
a3u j1+a4u j+2
扰动波传播方向
… j-2 j-1 j j+1 …
更多地使用上游信息
一般双曲守恒律方程
u f (u) 0 t x
f (u) f (u) f (u)
u f + f 0 t x x
df (u) 0 du
df (u) 0 du
例：
f 1 f u
u x j
时间积分，计算 出下一时刻的值
u lim u(x x) u(x) u j1 u j
x j x0
x
x
沿各自方向一维离散
➢多维方程的差分法： 维数分裂
u f1(u) f2 (u) 0 t x y
u
1. 构建差分格式
x j
已知均匀网格点上物理量的分布为uj ，
f1
x
f1
x
f2
y
f2
y
RAE2822翼型周 围的网格
问题： 原先需要计算2次导数，变换后需要计算4次，计算量增加 ✓利用坐标变换的性质，可以合并
14
坐标变换Jocabian系数的计算
已知 x x( ,)
y
y(
,)
需计算： x ,y ,x ,y
Step 1: 利用差分（或其他方法）计算出
网格间距变化要缓慢，否则会带 来较大误差
12
方法2） 在非等距网格上直接构造差分格式 （不易推广到高维）
原理： 直接进行Taylor展开，构造格式 格式系数是坐标（或网格间距）的函数
u x
j
a1u j2
a2u j1 a3u j
a4u j1 O(3 )
… j-2 j-1 j
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
线性严格双曲型方程组的初边值问题及其应用
第29卷第3期2008年6月华 北 水 利 水 电 学 院 学 报Journa l of Nort h China Institut e of W ate r Conservancy and Hydroe l ec tric Powe rVol 129No 13Jun .2008收稿日期3基金项目河南省教育厅自然科学研究资助项目();河南省基础研究资助项目作者简介刘法贵(65—),男,河南内乡人,教授,博士,主要从事偏微分方程方面的研究文章编号:1002-5634(2008)03-0099-03线性严格双曲型方程组的初边值问题及其应用刘法贵,赵 娟,郭吉强(华北水利水电学院,河南郑州450011)摘 要:考虑线性严格双曲型方程组初边值问题,利用特征线方法和局部解延拓方法,证明了其整体经典解的存在性和解对初始数据、边界数据的连续依赖性.关键词:线性双曲型方程组;初边值问题;整体经典解中图分类号:O175.27;O175.8 文献标识码:A 对于含2个自变量的一阶线性严格双曲型方程组U t +A (x,t)U x +B (x,t)U +C (x,t)=0(1)的Cauchy 问题整体经典解的存在惟一性和解的连续依赖性在许多教学参考书中都有论述[1-2],但其初边值问题则很少涉及[3-4].其中U =(u 1,u 2,…,u n )T,A (x,t),B (x,t)是具有光滑元的n 阶矩阵,C (x,t )=(c 1(x,t ),c 2(x,t ),…,c n (x,t ))T是光滑向量函数.利用特征线方法和局部解延拓方法,在区域Ω={(x,t)0≤x ≤l,t ≥0}上证明了方程组(1)整体经典解的存在惟一性和解对初始数据、边界数据的连续依赖性.1 主要结果由严格双曲型假设,不妨设方程组(1)的特征根和左特征向量分别为λ1(x,t)<λ2(x,t)<…<λm (x,t)<0<λm +1(x,t )<…<λn (x,t ) (2)L (x,t )=(l 1(x,t )l 2(x,t ),…,l n (x,t ))T式中l i (x,t)为行向量.由L ≠0,通过引进可逆变换V =LU ,方程组(1)可化为V t +Λ(x,t )V x =E (x,t )V +F (x,t )(3)Λ(x,t )=diag (λ1(x,t ),λ2(x,t ),…,λn (x,t ))E (x,t)=(e ij (x,t))n ×n ,F (x,t)=(f i (x,t))1×n由于方程组(1)与方程组(3)等价,因此,考虑方程组(3)具有初始条件(4)和边界条件(5)的初边值问题t =0∶v i =φi (x),0≤x ≤l,i =1,2,…,n(4) x =0∶v j =g j (t ),t ≥0,(j =m +1,m +2,…,n )x =l ∶v i =g i (t),t ≥0,(i =1,2,…,m )(5)式中:φk (x )∈C 1([0,l ]);g k (t )∈C 1(R +);k =1,2,…,n;g k (t )具有有界的C 1模.定理1 假设式(2)成立,初始条件和边界条件满足相容性条件,λi (x,t),e ij (x,t),f i (x,t)∈C 1且具有有界的C 1模,那么初边值问题(3)—(5)在区域Ω上存在惟一的整体经典解,且解连续依赖于初始数据和边界数据.2 定理的证明2.1 经典解整体存在的惟一性为证明经典解整体存在的惟一性,只须证明V (x,t )的C 1模在Ω上有界[5].设过点(t,x )的特征线为L i ∶x =x i (t), d xd t=λi (x,t)由假设式(2),过原点及(0,l )的特征线将区域Ω划分为4个子区域D 1={(x,t )x n (t,0)≤x ≤x 1(t ,l ),t ≥0}D 2={(x,t )0≤x ≤x 1(t,l ),t ≥0}-D 1D 3=D 1={(x,t )x n (t,0)≤x ≤x 1(t,0),t ≥0}:2008-0-20:2008A110011.:19.D 4={(x,t )x 1(t ,l )≤x ≤x n (t,0),t ≥0}在区域D 1上,利用有关Cauchy 问题的结论,易知初边值问题存在惟一的整体经典解,且其解连续依赖于初始条件.在区域D 2上,过点(t,x )向下引第1,2,…,m 条特征线交于区间[0,l]内一点(0,x i ),而第m +1,m +2,…,n 条特征线交于t 轴上点(t j ,0).这样,沿特征线积分方程组(3)得v i (x,t )=φi (x i )+∫0t∑nk =1e ik(x i (s ),s )v k (x i (s ),s )d s +∫tf i(x i (s),s)d s, (i =1,2,…,m )v j (x,t)=g j (t j )+∫t j t∑nk =1e jk(x i (s),s)v k (x i (s),s)d s +∫t jt f j(x j(s),s)d s,j =m +1,m +2,…,n由此,容易得到M (t )≤M 1+M 2∫tM (t )d t这里M (t)=max 1≤k ≤nsupxv k (x,t)M i (i =1,2,…)表示正常数(可以依赖于t ).因此,由B ell m an 不等式,即得M (t)≤M 3.在区域D 3上,过点(t,x )向下引第1,2,…,m 条特征线交于直线x =l 上点(t j ,0),第m +1,m +2,…,n 条特征线交于区间[0,l ]内一点(0,x i ).则沿特征线积分方程组(3),类似可得到式(6).在区域D 4上,过点(t ,x)向下引特征线分别交直线x =0和x =l 于(t i ,0)(i =m +1,m +2,…,n )和(t j ,l )(j =1,2,…,m ).则沿特征线积分方程组(3)得v i (x,t )=g i (t i )+∫t it∑nk =1e ik(x i (s ),s )v k (x i (s ),s )d s +∫t itf i(x i(s ),s )d sv j (x,t )=g j (t j )+∫t jt∑nk =1e jk (x j (s ),s )v k (x i (s ),s )d s +∫t jtf j(x j(s ),s )d s 由此,由假设条件,同样M (t)≤M 3成立.因此,在区域Ω上,V (x,t )的C 0模有界.为证明V x (x,t)的C 0模在区域Ω上有界,对方程组(3)两端关于x 求导,得(V x )t +Λ(x,t )(V x )x =(E -Λx )V x +E x V +F x (6)则类似估计V (x,)的模有界性的方法可得到V x ≤M ,因此,初边值问题(3)—(5)在区域Ω上存在惟一的整体经典解[5]2.2 解对初始数据和边界数据的连续依赖性设初边值问题(3)—(5)对应的经典解为V (x,t ),方程组(3)对应条件(4)和(5)的经典解记为V (x,t ).令Y (x,t )=V (x,t )-V (x,t )y i (x )=φi (x )-φi (x )p i (t )=g i (t )-g i (t )则Y t +Λ(x,t)Y x =E (x,t)Y (7)t =0∶Y i =y i (x ),0≤x ≤l,i =1,2,…,n(8)x =0∶Y j =p j (t ),t ≥0,(j =m +1,m +2,…,n )x =l ∶Y i =p i (t ),t ≥0,(i =1,2,…,m )(9)在区域D 1上,利用有关Cauchy 问题的结论,易知初边值问题的经典解连续依赖于初始条件.在区域D 2上,沿特征线积分方程组(7)得y i (x,t)=y i (x i )+∫0t∑nk =1e ik(x i (s),s)y k (x i (s),s)d s,i =1,2,…,my j (x,t)=p j (t j )+∫t jt∑nk =1e jk(x i (s),s)y k (x i (s),s)d s,j =m +1,m +2,…,n由此,容易得到‖y i (x,t)‖≤‖y i (x)‖+M 5∫t‖y ‖d s,i =1,2,…,m ‖y j (x,t)‖≤‖p j ‖+M 6∫t‖y ‖d s,j =m +1,m +2,…,n因此,在区域D 2上,经典解连续依赖于初始条件和边界条件.同理,在区域D 3和D 4上,初边值问题的经典解连续依赖于初始条件和边界条件.定理1证毕.注记1:方程组(3)的线性性质是必要的.对于非线性问题,其经典解可能会在有限时间内产生奇性.例如方程组 5u 5t +5u 5x -u +w -1=05v 5t +25u 5x -5w 5x-2u +w -v 2+2w v -w 2=05w 5t +25u 5x -5w 5x-2u +w =0(10)其特征值为 λ1=-1, λ2=0, λ3=1对应的左特征向量分别为=(,,),=(,,),3=(,,)则此方程组为半线性严格双曲型方程组考虑方程组()的初边值问题001 华 北 水 利 水 电 学 院 学 报 2008年6月t C 04.l 110-1l 201-1l 100.11 t =0∶u =u 0(x ),v =v 0(x ),w =w 0(x ),x ≥0x =0∶u =g (t ),t ≥0x =l ∶u =w(11)其中u 0(x ),v 0(x ),w 0(x )∈C 1([0,l ]),g (t )∈C 1(R +)具有有界的C 1模,且v 0(x )-w 0(x )=1(12)容易计算(v -w )t =(v -w )2(13)则得(v -w )(x,t )=(1-t )-1因此,当t →1-时,(v -w )(x,t )→∞.所以解在t =1处发生爆破.注记2:利用上述方法可以考虑方程组(3)具有如下边界条件的初边值问题x =0∶v j =f j (v 1,v 2,…,v m ,t ),(j =m +1,m +2,…,n )x =l ∶v i =f i (v m+1,v m +2,…,v n ,t ),(i =1,2,…,m )其中f j ,f i ∈C 1,且f j (0,0,…,0,t )=0,f i (0,0,…,0,t)=0能得到相仿的结论.3 应 用当管道中流量迅速改变(例如用阀门进行调节)时,水的加速或减速是伴有很大的压力变化,这种现象称为水锤(wate r ha mme r ).考虑到实用上的原因,探讨水流变化速率与所产生的水锤压力之间的关系是重要的.在研究水锤时,应该将水与管道看作是可以变形的,否则,管道中的水流突然停止流动意味着管道中水的全部质量的无限大的减速,这就会迫使阀门处产生无限大的压力.Jouko w sky -A llievi (出口处流量变化引起)水锤问题作为一维问题来研究,其方程组表达式为5v 5t +5<5x =-2kv 5<5t +c 25v5x=0(14)式中:v (x,t)为流速;<=p ρ+g h;p (x,t)为水的压力强度;ρ(x,t )为水的密度;h 为管道的高程;g 为重力加速度;c >0为常数.容易计算方程组(14)的特征值为λ1=-c, λ2=c考虑下面的初边值问题5v 5t +5<5x=-2kv 5<5t +c 25v5x=0t =0∶v =f (x ),φ=g (x ),x ∈[0,l ]x =0∶φ=cv +h 1(t ),t ≥0-x =l ∶φ=-cv +h 2(t ),t ≥0(15)式中:f (x ),g (x )∈C 1;h 1(t ),h 2(t )∈C 1,且具有有界的C 1模.定理2 假设f (x ),g (x ),h 1(t ),h 2(t )满足相容性条件,则初边值问题(15)在所考虑的区域上存在惟一的连续整体经典解,且经典解连续依赖于初始条件和边界条件.参 考 文 献[1]戴嘉尊.数学物理方程[M ].南京:东南大学出版社,2002.[2]陈祖墀.偏微分方程[M ].北京:中国科学技术出版社,1993.[3]谷超豪,李大潜.数学物理方程[M ].北京:高等教育出版社[M ],2002.[4]刘法贵.数学物理方程[M ].郑州:黄河水利出版社,2007.[5]L i Ta tian,YuWenci .BoundaryVa lue P roblem forQ uasili n 2ea r Hyperbolic Syste m s [M ].US A:Duke Unive rsity Pre ss,1985.I n it i a l Bounda r y V a lue Pr oblem a nd Its App lic a t i on s for Str i c t L i nea r Hyper bol ic Equa t i on sL IU Fa 2gui,ZHA O Juan,G UO J i 2qiang(North China I nstitute of W ater Conserv ancy and Hydr oelectric Po wer,Zhengzhou 450011,China )Ab stra ct:Considering the initia l boundary value p roblem for strict linea r hy pe rbolic equa tions,and usi ng the cha racteristicsm ethod and l oca l extansion m ethod,the gl obal existence of c l a ssi ca l soluti ons and conti nuous dependence of cla ssi ca l sol u ti ons are proved .K y y q ;y ;101第29卷第3期刘法贵等: 线性严格双曲型方程组的初边值问题及其应用 e w or d s:linea r h p erbo lic e ua ti o n s in itia l boun da r valu e p r o b le m gl o bal classical s o lu tion。
双曲型偏微分方程组的数学模型及算法研究
双曲型偏微分方程组的数学模型及算法研究双曲型偏微分方程组是数学中的一个重要分支，其广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学以及计算机科学等多个领域。
本文将介绍双曲型偏微分方程组（以下简称双曲型PDE）的基本概念，数学模型及其算法研究。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念双曲型偏微分方程可以简单地表示为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t)$$其中，$u(x,t)$是待求函数，$f(x,t)$是已知函数，$a$是常数。
对于双曲型偏微分方程中的函数$u(x,t)$，其趋势和形状通常会随着时间或空间的变化而发生变化。
这种性质决定了双曲型PDE的求解方法与其它类型偏微分方程组不同。
二、双曲型偏微分方程的数学模型在实际问题中，双曲型偏微分方程可以用来描述声波、水波、热传导等现象。
以声波方程为例，我们可以得到：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0$$此时$f(x,t)=0$。
该方程表示了声波在空气中的传播，其中$a$是声速，$u(x,t)$表示声波幅度。
可以看到，随着时间的推移，声波的幅度会发生变化，而空气中声波的传播速度$a$是固定不变的。
这种性质决定了声波传播方程是一个双曲型偏微分方程。
同样地，在热传导问题中，我们也可以得到一个双曲型偏微分方程模型：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=k\frac{\partial u}{\partial t}$$其中，$k$是热扩散系数。
这个方程描述了热传导的过程。
可以看到，随着时间的变化，温度分布图的形状和趋势也会随之改变。
双曲型偏微分方程模型的重要性在于其可以精确描述相应现象的物理过程，从而为实际应用提供基础和便利。
“非齐次拟线性双曲型方程组整体经典解”一文的注记
考 虑 如 下 常 微 分 方 程 的 Ｃ ｕ ｈ 题 ａ ｃｙ问
（） ｙ＿ ｌ ｆ ］ Ｙ－ ２ ， 刈 ｆ ［ ｙ（ ） ［ Ｙ ］ ｆ
（） ７
【 （ ）＝Ｙ Ｙ０ 。
引 理 ， 明 了 Ｃｕｈ 证 ａ ｃｙ问 题 （ ） 体 经 典 解 的存 在 １ 整 性 ， 考 虑 了解 的破 裂 问题 ， 富 了 “ 齐 次 拟线 性 并 丰 非 双 曲型方 程组整 体经典 解 ” 文 的主要结论 ． 一
维普资讯
第２ ８卷 第 ６期
２０ ０ ７年 ｌ ２月
华
北
水
利
水 电
学
院
学
报
Ｖ０ ． ． １２８ Ｎｏ ６
Ｄｅ ． ２ ０７ ｃ ０
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｈ Ｃｈ ｎ ｎ ｔ ｕｅ ｏ ａ ｅ ｎ ｅｖ ｎ ｙ ａ ｄ Ｈｙ ｒ ｅｅ ｔ ｃ Ｐｏ ｒ ｏ ｒ ａ ｆＮｏ ｉ ａ Ｉ ｓｉ ｔ ｆＷ ｔ ｒＣｏ ｓ ｒ ａ ｃ ｎ ｄ ｏ ｌｃｒ ｗｅ ｔ ｉ
要 ： 用 常 微 分 方 程 Ｃ ｕｈ 利 ａｃｙ问题 的 比较 引理 ， 明 了 一 类 拟 线 性 双 曲 型 方 程 Ｃ ｕｈ 证 ａｃｙ问 题 整 体 经 典 解 的
存 在 性 ， 富 了“ 齐 次 拟 线 性 双 曲 型 方 程 组整 体 经 典 解 ” 丰 非 一文 的 主要 结 论 ． 关 键 词： 比较 引 理 ； 拟线 性 双 曲型 方 程 Ｃ ｕｈ ａｃ ｙ问题 ； 体 经 典 解 整
Ｙ ￡一 ∞ （） 定 理 １的证明 （ ２ １） 在方 程 （ ） 边对 求 导 ， １两 得
则 Ｃｕｈ ａ ｃｙ问题 （ ） ｔ ０上存 在惟 一整体 经典解 ． １在 ＞ －
第三章 双曲型方程的差分方法
P
n+1
n
A j-2 B j-1 Q C jபைடு நூலகம்D j+1 j+2
设过P点的特征线与t = tn的交点为Q，则u ( P) = u (Q). 若Q不是网格点（当aλ < 1时），u (Q)未知，但Q周 围的网格点A, B, C , D等上的值已知，可用插值法 （沿x方向）给出u ( Q )的近似值，从而得到u ( P) = u (Q).
2 2 τ τ a a +1 n n n n n n = − − + − + ( ) ( 2 un u u u u u u j j j +1 j −1 j +1 j j −1 ) 2 2h 2 h 截断误差：O(τ h 2 ) + O(τ 2 h 2 ) + O(τ 3 )，
是二阶精度的差分格式．
增长因子为 kh 2 2 2 G (τ , k ) = 1-2a λ sin - iaλ sin kh 2 kh 2 2 2 2 2 4 G (τ , k ) = 1-4a λ 1 − a λ sin 2 如果满足条件 a λ ≤ 1，则有 G (τ , k ) ≤ 1．
区别： 当a > 0时，迎风格式可写为：
+1 n n n n n n un u u u u 2 u u − − − + ah j j j +1 j −1 j +1 j j −1 +a = 2h 2 τ h2 Lax − Friedrichs格式： +1 n n n n n n un u u u u 2 u u − − − + 1 ah j +1 j j j +1 j −1 j j −1 +a = aλ 2 h2 τ 2h 两式左边相同，都以O(τ + h 2 )逼近于对流方程，
双曲型方程组
t=0 t=1
0.4
t=2
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-5
0
5
10
x
u
0.015 0.01
0.005 0
-0.005 -0.01
-0.015-5
t=0 t=4 t=3 t=2 t=1
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
0
5
10
x
j=1
✓变换成为了彼此独立的n个单波方程
j=2
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件
如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A
B
➢特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征 值的符号确定
➢可推广到一般的双曲型方程组 4
Copyright by Li Xinliang
x (t) u
x
任意控制体
“间断处满足积分方程”
V
u t
f
(u)dxdt x
0
Green 公式
udx f (u)dt (u u ) ( f f )t 0 D f f x d u u t dt
充分小的积分路线 D 两侧均视为常值
✓快速记忆法：(1) u df u 0 间断传播的速度
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U A U 0 t x U (u1,u2 ,......um )T
如果矩阵A 可以被对角化： A S1ΛS
U S1ΛS U 0
t
x
S U ΛS U 0
t
偏微分方程中的双曲方程与守恒定律
偏微分方程中的双曲方程与守恒定律在偏微分方程中，双曲方程与守恒定律是两个重要的概念。
双曲方程是描述波动传播的方程，而守恒定律则是描述系统物质或能量守恒的规律。
在偏微分方程中，这两个概念常常相关联，深深影响着方程的性质与解的形式。
双曲方程是一类描述波动传播的方程。
在一维情况下，典型的双曲方程是波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中，$u(x, t)$是描述波动的函数，$c$是波速。
波动方程的解往往可以表示为两个关于$x$和$t$的函数的叠加，分别代表波的左行和右行传播。
双曲方程的性质决定了其解的行为具有一定的局部性。
在解析上，双曲方程的解需要满足初始值与边界条件，且受到信息传播速度的限制。
这使得双曲方程可以描述波传播过程中的局部细节，例如波的衍射、折射等现象。
另一方面，守恒定律描述了系统中物质或能量守恒的规律。
在偏微分方程中，守恒定律常常表现为守恒方程的形式：$$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \nabla \cdot\boldsymbol{f}(\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{0}$$其中，$\boldsymbol{u}$是描述系统状态的向量函数，$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{u})$是守恒通量。
守恒定律表明，系统中物质或能量的总量在时间和空间上是守恒的，即系统的总物质或能量量不会随着时间和空间的演化而改变。
在双曲方程与守恒定律的关系中，可以通过守恒定律推导出双曲方程。
例如，一维守恒方程组如下：$$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \frac{\partial\boldsymbol{f}(\boldsymbol{u})}{\partial x} = \boldsymbol{0} $$若守恒方程组满足双曲型条件，则可以将其线性化为双曲方程。
【国家自然科学基金】_双曲型方程组_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
科研热词 自适应 有限体积法 拟线性双曲型方程组 守恒律 存在性 双曲型守恒律方程组 三维非结构网格 三次样条插值 tvd方法 gdq方法 cauchy问题
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号
科研热词 1 爆破 2 泛函方法 3 可压缩欧拉方程
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ห้องสมุดไป่ตู้7 18 19 20 21 22 23 24 25
科研热词 推荐指数 非均匀 1 误差估计 1 群不变解 1 精确解 1 电路理论 1 物业 1 混合方法 1 时域有限差分法 1 方程组 1 数值解 1 对称性 1 增长率 1 周期 1 双曲系统 1 双曲型方程组 1 双曲型 1 分裂格式 1 偏差 1 伪双曲型积分微分方程 1 传输线暂态过程 1 传输线方程 1 上确界 1 symmetry reduction, monge-ampere 1 equation, exact monge-ampère方程 1 exponential growth rate, generalized 1 entropy, lar
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4
2014年 科研热词 磁单极子 拟四元数代数 初边值问题 maxwell方程组 推荐指数 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
科研热词 跨音速流 自由边值问题 线性外力场 生命跨度 激波 混合型方程 方程 整体经典解 拟线性双曲型方程组 弱线性退化 守恒律 双曲平均曲率流 双曲型方程 双曲型 不变量 riemann monge-ampère goursat问题
用WENO方法求解双曲型守恒律方程组的初(边)值问题
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｓ ｐ ｐｅ ｓ ｃ ｎｃ ｒ ｅ ｔ ｈ ＥＮＯ ｃ ｅ ｅ ｏ ｔ ｎ ｔａ ｎ ｓｒ ｃ ｉ ａ ｒ ｉ ｏ ｅ ｎ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅ Ｗ ｓ ｈ ｍ ｓ ｆ ｒ ｂｏ ｈ ｉ ｉｉ ａ ｄ ｌ
Ｗｅ ｈ ｅ ｓｅ ｔ ｌ ｎｏｃｌ ｔｒ （ Ｅ ｉ ｔｄＥ ｓｎｉ ｌ Ｎｏ —ｓｉａｏｙ Ｗ ＮＯ）Ｍｅｈ ｄ ｇ ａｙ ｌ ｔｏ
ｆ ｒ Ａ ｙ ｒ ｌｃ Ｓｙ ｔ ｍ ｒ Ｃ ｏ ｅ ｖ ｔ ｏ ｗｓ ｏ Ｈ ｐｅ ｂｏ ｉ ｓ ｅ ｏ ｆ ｎｓ ｒ ａ ｉ ｎ Ｌａ
唐云 良 盛 万 成
摘要 本 文用 ＷＥ Ｏ 算法解 决双 曲型守恒律方 程组初 （ Ｎ 边值） 问题 ．给 出一种 满足
熵条 件、 Ｓ ６熵条件 和边界熵 条件 的 ＷＥ ＮＯ算 法。通过这个 算法就能得 到守恒律方程 组 的数值解 ，数值解和理 论解是非 常吻合的 ． 关键 词 守恒律 方程组 ， Ｗ Ｅ ＮＯ算法 ，边界熵条件 ， 熵条件
， ● ● Ｉ●１） ３
理 论 上 ，我 们 知道 在 一 些情 下 边 界 上会 出现 激 波反 射 和 激 波 反射 ．这 里仅 考 虑 况 ０ ㈣ ） 两 种情 况 ： １ ｎ≤一ｔ ） ， 上 一＜０＜Ｕ ； ） ＜一 上 ｏ２ ｕ ｔ 一＜０＜ｕ ０＜ｕ ． 一
ＤＴ ｎ、Ｓ ａ ｇ ．ａ ． ｎ 以及 ＴＺ ａ ｇ［４ １对于两维守恒律方程组的 Ｒｅ ｎ Ｙ ． ｎ （ ，５ ｈ ２ ，） ｉ ｍａｎ问题 已经
得到 了 既是数 值 又是解 析 解 ． 们发 现 ： 某些 初始 条件 下 ， 他 在 经典 的弱 解是 不存 在 的；
第二章 双曲型方程
积分之，得
x at c1 ,
x at c2 .
作代换
则方程(2.1.1)化成
u 0.
(2.1.2)
积分之,得
u f ( ) g ( ),
(2.1.3) (2.1.4) (2.1.5) (2.1.6)
u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at ), （称为D’Alembert解）
§2.1弦振动方程的初值问题——决定任意函数法 1.无界弦的自由振动
(2.1.1)
(1)求形式解（先求泛定方程包含任意函数的解，再由定解条件决定
任意函数）： 把(2.1.1)化成容易积分的形式，方程(2.1.1)的特征方程为
(dx) a (dt) 0
2 2 2
即
(dx adt)(dx adt) 0.
u[ ].
(2)求(2.2.3)的解：
( x, y, z ) C 2，考虑 ( x, y, z ) 在以 M ( x, y, z )为心，at M 上的平均值 为半径的球面 S at 上的点.
若
S
M at 的外法线方向（也就是半径的）方向余弦为 ( , , ) ，则
x at
故
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) x at x at ( ) ( ) [ f1 (0) f 2 (0)]. 2 2
(0) (0)
1 u xx yu yy 2 u y 0, ( y 0), （如图2.9）其中 例2 求解第三问题 u x 2 y 1 ( x), ( x 0), 1 (0) 2 (0). u y 0 2 ( x), ( x 0). x 2 y 解令 可将方程化成 u 0, 从而 u f1 ( ) f 2 ( ). x 2 y
偏微分 方程组
偏微分方程组引言偏微分方程组是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍偏微分方程组的基本概念和解法，以及其在实际问题中的应用。
一、偏微分方程组的定义和分类偏微分方程组是包含多个未知函数及其偏导数的方程组。
其一般形式可以表示为：F(u1,u2,...,u n;∂u1∂x,∂u2∂x,...,∂u n∂x;∂u1∂y,∂u2∂y,...,∂u n∂y;...;∂n u1∂x n,∂n u2∂x n,...,∂n u n∂x n;...)=0其中u1,u2,...,u n是未知函数，x,y,...是自变量，∂u i∂x ,∂u i∂y,...,∂u i∂x n是偏导数。
常见的偏微分方程组包括椭圆型、双曲型和抛物型方程组。
具体分类和性质如下：1. 椭圆型方程组椭圆型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的。
椭圆型方程组的特点是解的正则性较好，在边界上的条件较容易给出。
常见的椭圆型方程组有拉普拉斯方程、泊松方程等。
2. 双曲型方程组双曲型方程组满足以下条件：在每个点上，存在至少一个特征值的实部是正的，至少一个特征值的实部是负的。
双曲型方程组的特点是解的传播速度有限，存在波动解。
常见的双曲型方程组有波动方程、传热方程等。
3. 抛物型方程组抛物型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的且至少有一个特征值的实部是为零。
抛物型方程组的特点是解的传播速度无穷大，并且存在各种稳定解。
常见的抛物型方程组有热传导方程、扩散方程等。
二、偏微分方程组的解法解偏微分方程组是一个复杂的问题，常用的解法有以下几种：1. 变量分离法变量分离法是一种基本的解偏微分方程组的方法。
通过假设解可以表示为各个变量的乘积形式，然后将方程组代入，并使得每个变量对应的方程都成立。
最终得到的解是原偏微分方程组的解。
2. 特征线法特征线法适用于特殊的偏微分方程组，其中每个方程可以写成特定形式。
该方法的基本思想是将偏微分方程组转化为常微分方程组，并通过求解常微分方程组得到原偏微分方程组的解。
一类双曲型守恒律方程组的初边值问题
上海大学硕士学位论文一类双曲型守恒律方程组的初边值问题姓名：姚爱娣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：盛万成20070401摘要双曲型守恒律方程（组）的初值和初边值问题一直是数学家和物理学家关注的热点问题．边界熵条件的提出解决了一般初边值问题的不适定同题．初边值问题在理想悬浮物的沉积理论及控制论等中有广泛的应用．本文主要考虑构造一个含有乒波解的一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的解．利用ＤｕｂｏｉｓＦ和ＬｅＦｌｏｃｈＰ在Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．（１９９８，７１）中所得到的结果，选取一对合适的熵流对，使得在边界ｚ＝０上得到了一个边界熵条件．通过求解相应的Ｒｉｅｍａｎｎ问题，并利用这个边界熵条件及基本波的相互作用构造性的得到了方程组初边值问题的解．类似于一个边界的情况，又给出了边界ｚ＝１上的熵条件，进而得到了具有两个边界的初边值问题的解的构造．这里的初边值都是分段常数．关键词・初边值问题，相互作用，乒激波，熵流对，边界熵条件，Ｒｉｅｍａｎｎ问题．ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓ－ｔｅｍｆｏｒｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｆｏｒａａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄｆｏｒｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎａｎｄｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｐｈｙｓｉｃｉｓｔｌｏｎｇｔｉｍｅ．Ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｍａｋｅｓｔｈｅｃａｎｖａｌｕｅｐｒｏｂ－ｏｆｌｅｍｂｅｗｅｌｌ－ｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｄｅａｌｂｅａｐｐｌｉｅｄｗｉｄｅｌｙｉｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｅｄｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｆｏｒｉｕｌｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓｔｅｍｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｗｉｔｈ８－ｓｈｏｃｋｗａｖｅ￥．Ａｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ￡＝０ｊ８ｄｅｒｉｖｅｄｔｈａｎｋｓｔｏＤｕｂｏｉｓＦａｎｄＬｅＦｌｏｃｈＰ’ｓｂｙｔａｋｉｎｇａｒｅｓｕｌｔｓ（Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．，１９９８，７１）ｓｕｉｔａｂｌｅｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｉｕｘｐａｉｒ．ＢｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄＲｉｅｍａｕｎｂｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｅｏｕｓｔｒｕｃｔｉｖｅｌｙｂｏｕｎｄａｒｙｏｆｏｎｅｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｗａｖｅｓ．Ａｎａｌｏｇｕｅｔｏｔｈｅｃａｓｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ｗｅｏｂｔａｉｎａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ善＝１．ｔｈｅｎｗｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｄａｔａｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔａｔｅｓ．ｗｉｔｈｔｗｏｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｈｅｒｅ，ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙＫｅｙｗｏｒｄｓ：ａｙｅｐｉｅｃｅｗｉｓｏｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙＷａＶｅｓ，Ｒｉｅｍａｎｕｐｒｏｂｌｅｍ，５－ｓｈｏｃｋＶｉＲＶｅ８，ｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｌｕｘｐａｉｒ，ｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．原创性声明本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作．除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果．参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．０７．＆２－０本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即－学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容．（保密的论文在解密后应遵守此规定）繇娥姊臌。
具间断系数线性双曲型方程组
２０ ，７ １：８—９ ０７２ Ａ（） ４１２ １
数学物理学报 其
中
具 间断系数线性双 曲型方程组
刘 法贵
（ 华北水利 水 电学院数 学系 郑州 ４ ０ １） ５０ １
葛云 飞
（ 河南经贸职业学院 郑州 ４ ０ ５） ５０ ３
１６ ８
数
学
物
理
学
报
、０． Ａ ，２ １７
２ 主要结果
考 虑方 程组 （） 如下 初始 数据 １具
ｔ
＝
０ Ｕ Ｉ ＋， ： ＝＜
ｆ一 ＜ ， ０
＞ ０
（） ６
的 Ｒｅ ｎ ｉ ｍａ ｎ问题 ．
根据文献 ［ｊ ４ 引进广义势函数 ］
差 有界 ． （） 中最 后一个 积分 为 Ｌｓ积分 ． ４式 — 定义 １ 经典 弱解 概念 的推 广 ． 是 基 于定义 １ ｎ ， ｉ Ｄｉｇ ｌ 明 了下面 定理 ． ， ｇＬ 和 Ｗａ ｎＩ 证 定理 １ 若 ０ ∈Ｃ（ ｎＢ 。（ 或 ｕ （） ， Ｃ ｕｈ （） Ｒ） Ｖ１ Ｒ） 。 ｏｘ ∈ 则 ａ ｃｙ问题 （）或问题 （）存 ３（ ２） 在 整体 解 ｗ ｔ （ （ Ｘ ＝ （ ）． （， 或 ｔ ） ｔ ） ） ， ， 例 １ 考虑 如下 Ｃ ｕｈ ａ ｃｙ问题
（ ａ ．（ ｔ ． ） ｅ
） ０ 】 ∈［ ×Ｒ
，
对 Ｑｔ∈Ｌ （ ， 】 ＞０ 成立，则该可测解也是唯一的． （ ） ［ ） ０ （ ） 本文考虑 方程 组 （） Ｒｅ ｎ １ 的 ｉｍａ ｎ问题 ， 明了在 定义 １ 证 意义下整 体解 的存在性 （ 理 ２． 定 ）
维普资讯
一
１ ｎ 在点 Ｘ ） （） ０间断 ，且 ａｘ 一０ ０ ａｘ ＋０； （ｏ ） （ｏ ） ２ ａｘ ） ，（） ） （ｏ ：Ｏａｘ 连续 ，但在 ｚ ０间断． 则 Ｃ ｕｈ ａｃｙ问题 （） ２ 存在 定义 １意义 下 的可测解 ，但不 存在 一般 函数 意义 下的解 ． Ｂｏ ｃ ｕ ｕｈ ｔ Ｆ和 Ｊ ｍｅ Ｉ 考虑 了下述 Ｃ ｕ ｈ ａ ｓ 。 Ｆ】 ａ ｃｙ问题
具线性退化特征拟线性双曲型方程组的边值问题
（ 郑 州 财经 学 院 计 算机 系 ， 郑州 ４ ５ ０ ０ ４ ４ ）
摘 要： 研 究如 下 的一阶 拟 线性 双 曲型方程 组 ／ Ｚ ＋ Ａ（ “ ） “ ＋ ｇ （ ／ Ｚ ）＝ ０ （ ）
具 有耗散 型 线性 退化 特征 的情 形 下 ， 其 边值 问题 经典 解 的整 体 存 在 性 ， 以及 当 — ｏ 。时 解 的 渐近 性
在 光滑 边界 ＝ （ ｔ ） （ （ ０ ）＝０ ）上 ：
＝
（ １ ）
Ｐ＝１
∑
＋∑ｇ 班 （ ｆ ） ＋ ｇ ｓ （ ） ６ （ ）
， ｋ＝１
在 光滑 边界 ＝２ ７ ： （ ｔ ） （ （ ０ ）＝０ ）上 ：
：
∑
＋∑ｇ 咖 （ ） “ ＋ ｇ ｒ （ ） ６ （ ）ｒ ＝ １ ， ２ ， …， ｍ
存在 ， 造成 在边 界上 反 射波 的强 度可 能会 大 于入 射波 的强度 ， 或者 在 边 界上 有 波 的连 续 反 射 现 象发 生 ， 但 对
于特殊 的边界情 况 则不 同。 于具 （ 严格 ） 对 角 占优矩 阵 的拟 线性 双 曲型方 程 组 ， 有 如下 结果 ： （ １ ） 李 大潜 等人 在 考虑 一般 的具 内部 耗 散对 角 型主部 的非齐 次拟 线性 严格 双 曲型方 程 组 的 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ
中图分 类号 ： Ｏ １ ７ ５
文 献标 识码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ０ ０ ８— ３ ７ １ ５ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５— ０ ｌ １ ２— ０ ５
０ 引 言
Hale Waihona Puke 拟 线性 双 曲型 方程 组是 偏微 分 方程 研究 领域 的一个 重 要 组成 部 分 。 当前 ， 研 究结 果 比较 成 熟 的是 关 于
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1
1) 一阶常系数偏微方程组
U U A 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： A S 1 ΛS
U U S1 ΛS 0 t x S U U ΛS 0 t x
diag(1 , 2 ,...... m )
第2 讲 双曲型方程组及其间断解
§2.4 双曲型方程及其数学性质
1. 双曲方程边界条件的提法
考虑方程组： 令：
f(U) A U U f(U) 0 t x
U (u1 , u2 ,...... u m )T
U U A 0 t x
如果矩阵A 能通过相似变换对角化
双曲型
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考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下：
可推广到一般的双曲型方程组
3
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2） 一维Euler方程
U F(U) 0 t x
U ( , u, E )T
A F(U) U
u 2 F(U) u p ( E p)u
A S 1 ΛS
令：
Ru
d
c
同理，沿特征线2：
dx / dt u c
du c d 0 d d u 1 c S d 2 2 dR / d 沿特征线1： R不变来自对于等熵完全气体
2c R u 1 2c S u 1
寻找积分因子：
R R( , u )
dR R u R d u
R R c 1; u
沿特征线1： dx / dt u c 有：
d (u c) d t x
第1个方程转化为 则有
du c d 0 d d
保持不变
Riemann 不变量 知识点，牢记！
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一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变
例2.1： 有限振幅波的传播问题
目的： 学会如何运用Riemann不变量解题
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
4
知识点
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2. 双曲型方程组的特征方程
U U A(U) 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
变系数方程组的情况
令：
A S 1 ΛS
U U S1 ΛS 0 t x S U U ΛS 0 t x ωk ( S( U U Λ )0 t x
令
1 S ... m
（行向量）
x x( sk ) 满足： dx / dsk k t t ( sk ) t sk
令： 即：
V SU
有
v j x 0
V V Λ 0 t x
v j t
j
m个方程完全解耦， 可独立求解
x jt 0 有m 条特征线： m个特征相容关系式： v j const.
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
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diag(1 , 2 , 3 )
1 u, 2 u c, 3 u c
对于左边界：
条件
u 0 and u 0 and u 0 and u 0 and u c u c u c u c
描述
边界条件设定
超音速入口 亚音速入口 超音速出口 亚音速出口
则有：
R 0
S 0
R R( )
S S ( )
Riemann不变量
沿特征线： Riemann不变量保持不变
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常见情况讨论: 一维等（均）熵运动
U U B 0 t x
U u
u B c 2 /
u
例如，膨胀波
矩阵B的特征值
1, 2 u c
c S c
u u c[ t (u c) x ] [ t (u c) x ] 0 u u c[ (u c) ] [ (u c) ] 0 t x t x
对于两自变量情况,可化为：
11
21
u1 u 12 2 0
u1 u 22 2 0
2个常微方程
如果存在积分因子，使得
* du * du dR 111 1 1 12 2
* du * du dS 221 1 2 22 2
双曲方程边界条件提法
U U A 0 t x
v j t
j
v j x
0
j=1
变换成为了彼此独立的n个单波方程
j=2
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件 如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A B
特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征 值的符号确定
U U k )0 t x
U j t k U j x )0
在x-t空间引入曲线：
d dx dt dsk x dsk t dsk
j
kj (
j
kj
dU j dsk
0
（变系数情况）虽然不能解耦，但还能转换成常微方程
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