15-输入-输出反馈线性化
第五章 精确线性化方法
第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用本章安排SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用本章重点精确线性化的含义精确线性化的要精确线性化的主要思想输入输出精确线性化状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而且是整体的, 即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用微分几何回顾切空间向量场李括号李导数李括号、李导数分布和协分布定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用SISO 非线性系统的标准形定义()()⎪⎫==x h L x Φx h x Φ152()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=U i x d Φi γ中是线性无关的。
在导数L ()()()011 0110≠−=−=+−−−x h L L x h L L j i f g j j f g ad ifγγγ时，当()()⎤⎡⎤⎡−0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f fγγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形结论5.3则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。
混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化
第22卷第5期Vol.22No.5控 制 与 决 策Cont rolandDecision2007年5月 May 2007收稿日期:2006205209;修回日期:2006208215.基金项目:国家自然科学基金重点项目(50337030).作者简介:康惠骏(1949—),男,上海人,副教授,博士,从事非线性控制理论与应用的研究;谢七月(1980—),男,江西赣州人,博士生,从事非线性控制理论与应用的研究. 文章编号:100120920(2007)0520487207混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化康惠骏1,谢七月2,郑芳博1(1.上海大学机电工程与自动化学院,上海200072;2.上海交通大学电子信息与电气工程学院,上海200030)摘 要:讨论混合励磁电机系统的输入输出解耦和线性化问题.根据机电动力学原理,导出了混合励磁电机系统在与转子同步旋转的d 2q 坐标系中的动态方程.应用非线性系统几何理论,通过非线性状态反馈和坐标变换,实现了混合励磁电机系统的输入输出解耦控制和完全线性化.将原系统分解为3个线性子系统:d 轴磁链子系统、q 轴磁链子系统和转速子系统.仿真结果表明,基于输入输出线性化控制设计的混合励磁电机控制系统具有良好的动态性能.关键词:电机;混合励磁;几何理论;解耦;线性化中图分类号:TM921 文献标识码:AInput 2output decoupling and linearization of hybrid excitationsynchronous m achineKA N G H ui 2j un 1,X I E Qi 2y ue 2,Z H EN G Fang 2bo1(1.School of Mechanical and Electronic Engineering and Automation ,Shanghai University ,Shanghai 200072,China ;2.School of Electronic Information and Electrical Engineering ,Shanghai Jiaotong University ,Shanghai 200030,China.Correspondent :KAN G Hui 2jun ,E 2mail :kanghj @ )Abstract :Based on the principles of electrical and mechanical dynamics ,the dynamical equations of hybrid excitation synchronous machine (H ESM )in the d 2q coordinates rotating synchronously with the rotor are derived.The decoupling control and full linearization of H ESM system are realized with nonlinear state feedback and coordinates transformation.The H ESM is decomposed into three linear subsystems ,d axis flux subsystem ,q axis flux subsystem and rotation speed subsystem.Simulation results show that H ESM control system based on the design of input and output decoupling and linearization achieves high dynamic performance.K ey w ords :Machine ;Hybrid excitation ;G eometric approach ;Decoupling ;Linearization1 引 言 混合励磁电机是在永磁电机的基础上发展起来的一种速度调节性能优良的新型电机.混合励磁电机有永磁体励磁和电励磁两种励磁方式,避免了永磁电机气隙磁场难以调节的缺点,且容易实现气隙磁场的控制,因而具有广阔的发展前景.目前,混合励磁电机还处于试验研究阶段,尚未进入实际应用领域.国内外的相关研究主要集中于电机的设计、制造以及实验分析,有关电机数学模型的研究还很少[126].对于不同结构的混合励磁电机,其对应的数学模型也不相同.定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机[7],永磁体安装在转子上,附加励磁绕组安装在定子上,通过改变气隙磁场的路径来改变气隙磁场.励磁绕组通以不同方向的电流,其内部磁路也随之发生改变,进行能量转换的磁场相应地增强或减弱,从而实现对气隙磁场控制的目的.本文以定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机为研究对象,并将定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机简称为混合励磁电机系统.从非线性系统几何理论的观点看,混合励磁电机系统属于一类仿射非线性系统.为了对混合励磁电机系统进行有效控制,有必要应用非线性控制理论,尤其是非线性系统几何理论对其进行深入研究.文献[8]应用非线性系统几何理论,分析了混合励磁电机系统的结构特性,证明了系统在一定条件下是局部弱能控的、强可接近的和局部弱能观的.文献 控 制 与 决 策第22卷[9]在假设附加励磁绕组的励磁电流处于稳定的条件下,给出了一类混合励磁电机简化模型的解耦控制设计方法.文献[10]应用非线性几何理论研究混合励磁电机系统的可逆性,证明了系统输入输出在一定的约束条件下是可逆的.要对混合励磁电机系统进行转速和转矩的高性能控制,除了需要考虑定子和转子的机电动力学外,还应考虑附加励磁绕组的励磁电流瞬变对系统控制的影响.本文讨论包含定子、转子和附加励磁绕组机电动力学的混合励磁电机系统的解耦控制和线性化设计问题.根据机电动力学原理导出了适合于控制的混合励磁电机系统数学模型,给出了混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化设计方法.最后利用Matlab/Simulink进行仿真实现.2 混合励磁电机系统的数学模型 定子附加励磁绕组混合励磁同步电机的结构与普通永磁电机的结构类似,转子由永磁体和铁心按一定形式组成,定子绕组上仍然通以三相电流,与普通永磁电机相比,只是定子上多了一个附加的励磁绕组.可根据机电动力学原理导出混合励磁电机系统的数学模型,或称动态方程,它包括状态方程和输出方程.在建立数学模型之前,先作如下假设:1)忽略铁心的饱和;2)不计涡流损耗和磁滞损耗;3)转子上没有阻尼绕组;4)永磁材料的电导率为零;5)供电电压、气隙磁场分布和定子电流均为正弦形或准正弦形.采用固定于转子的d2q坐标系来描述和分析电机的性能十分方便,因此取永磁体基波励磁磁场的轴线为d轴(直轴),而q轴(交轴)顺着旋转方向超前d轴90°.d2q坐标系随转子以同步电角速度旋转,其位置由d轴和参考轴a2s之间的电角度θ确定,a2s 轴与三相定子绕组中A相绕组的轴线重合.由于混合励磁电机系统结构及工作原理的特殊性,其直、交轴的等效电感与永磁同步电机直、交轴的等效电感有所不同.同一轴上既有永磁体磁极,又有铁芯磁极,因此直、交轴的等效电感需根据电机的结构参数计算得出.永磁体磁极磁路和铁芯磁极磁路具有相对独立性,可分别计算永磁体磁极磁路和铁芯磁极磁路直、交轴的等效电感,然后进行求和得出.混合励磁电机系统的定子上装有附加励磁绕组,绕组中通以直流电流产生励磁磁通,因而还存在附加励磁绕组与直、交轴绕组之间的互感.从结构上看,附加励磁绕组与电机的定子电枢绕组轴线垂直,但由于电机转子结构的特殊性,转子同一直轴上,一端为高磁导率的铁芯极,另一端为低磁导率的永磁体磁极,附加直流励磁磁势作用于电机直轴的两个极端.不同极端磁势相反,但产生的磁势并不能互相抵消,否则电机就不能实现电机磁场的调节作用.因此电机附加励磁绕组与直轴之间存在互感.另外,由于转子交轴上两端磁性材料的反对称性,使得直流励磁磁势在交轴上产生的磁势为零,从而在附加励磁绕组与定子交轴绕组之间的等效互感为零.因此,附加励磁绕组可看作是直轴上的一个附加励磁绕组.设u d,u q,u f,i d,i q,i f,R d,R q,R f分别为d轴和q轴绕组及附加励磁绕组的电压、电流和电阻,且有R d=R q=R;L d,L q,L f分别为d轴和q轴绕组及附加励磁绕组的自感,M f为附加励磁绕组与电机d轴绕组的互感,Ψα为转子永磁体产生的磁链;ω为d2q 坐标系的旋转角(电角度)速度,下标d和q表示某矢量相对于d2q坐标系上的分量;Ω为转子旋转(机械)角速度,n p为电机极对数,ω=n pΩ;J为转子的转动惯量,FΩ为与转速成正比的阻转矩阻尼系数, T L为负载转矩.根据机电动力学原理,电机在与转子同步旋转的d2q坐标系中的直交轴电压方程为u d=Ri d+dΨd/d t-ωΨq,u q=Ri q+dΨd/d t+ωΨd.(1)附加励磁绕组的电压方程为u f=R f i f+dΨf/d t.(2)直交轴磁链方程为Ψd=L d i d+M f i f+Ψa,Ψq=L q i q.(3)附加励磁绕组磁链方程为Ψf=L f i f+M f i d+Ψa,(4)其中Ψf为附加励磁绕组磁链.将磁链方程(3)和(4)代入电压方程(1)和(2),并考虑到Ψa为常值,可得u d=Ri d+L dd i dd t+M fd i fd t-ωL q i q,u q=Ri q+L qd i qd t+ωL d i d+ω(M f i f+Ψa), u f=R f i f+M fd i dd t+L fd i fd t.(5)电磁转矩方程为T e=n p(Ψd i q-Ψq i d).(6) 将磁链方程(3)和(4)代入电磁转矩方程(6),得T e=n p[(L d i d+M f i f+Ψa)i q-L q i q i q]=n p[(M f i f+Ψa)i q+(L d-L q)i d i q].(7)884第5期康惠骏等:混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化 转子机电动力学方程为T e=J dΩ/d t+RΩΩ+T L.(8) 将式(5),(7)和(8)综合在一起,并把它们写成状态方程的形式,有d i d d t =-L f RL d L f-M2fi d+L f L qωL d L f-M2fi q+ M f R fL d L f-M2f i f+L fL d L f-M2fu d- M fL d L f-M2fu f,d i q d t =-L dL qωid-RL qi q-M fωL qi f+1L qu q-ΨaL qω,d i f d t =M f R fL d L f-M2fi d-M f L qωL d Lf-M2fi q- L d R fL d L f-M2f i f-M fL d L f-M2fu d+ LdL d L f-M2fu f,dΩd t =n pJ(L d-L q)i q i d+n pΨaJi q+ n p M fJ i q i f-RΩJΩ-1JT L.(9) 选择状态变量x=[x1,x2,x3,x4]T=[i d,i q,i f,Ω]T, 输入u=[u d,u q,u f]T,输出y=[y1,y2,y3]T.并令a=1L d L f-M2f,b=1L q,c=n p/J,d=L d-L q.考虑到ω=n pΩ,则混合励磁电机系统在与转子同步旋转的d2q坐标系中,可表示为如下仿射非线性系统的形式:x=f(x)+∑3i=1g i(x)u i+P(x)T L,y j=h j(x),j=1,2,3.(10)其中x∈R4,u∈R3,y∈R3,f(x)=f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)=-aL f R x1+aL f L q n p x2x4+aM f R f x3 -b L dn p x1x4-bR x2-bM f n p x3x4-bΨa n p x4 aM f R x1-aM f L q n p x2x4-aL d R f x3cd x1x2+cΨa x2+cM f x2x3-(RΩ/J)x4,g1=aL f-aM f,g2=b,g3=-aM faL d,P(x)=-1/J,y1=h1(x)=L d x1+M f x3+Ψa=Ψd,y2=h2(x)=L q x2=Ψq,y3=h3(x)=x4=Ω.3 非线性系统的输入输出解耦和线性化3.1 非线性系统的输入输出解耦控制单输入单输出非线性系统的控制设计相对简单.如能将多输入多输出非线性系统通过某种办法,转化为若干个独立的单输入单输出非线性系统,则可利用单输入单输出非线性系统的设计方法,达到简化原系统的控制目的.这里考虑这样一个综合问题:对于一个多输入多输出的非线性系统,寻找静态状态反馈控制规律,使得对于相应的闭环系统,每个输入通道独立地控制一个且只控制一个输出通道,即通过静态反馈实现输入输出解耦控制.这一问题由Morgan于1964年提出,故称为Morgan问题.本文讨论这种控制方法的控制思想和实现方案.以下讨论的是输入输出个数相同的非线性系统.设仿射非线性系统由下列方程描述:x=f(x)+∑mi=1g i(x)u i,y i=h j(x),j=1,2,…,m.(11)其中:状态x∈M,控制u∈N,输出y∈W;M,N,W分别为n,m,r维微分流形.定义1 如果系统(11)在x0的一个邻域上所有x满足下列条件:[L giL k jfh j(x),…,L giL k jfh j(x)]=0,[L giL r j-1fh j(x),…,L giL r j-1fh j(x)]≠0.1≤i≤m,1≤j≤m,0≤k j<r j-1.(12)则称非线性系统(11)在x0处具有一个向量关系度(r1,r2,…,r m).定理1[11] 如果系统(11)在x0处具有一个向量关系度(r1,r2,…,r m),且由式(13)定义的m×m矩阵(称为Falb2Wolovich矩阵或解耦矩阵)984 控 制 与 决 策第22卷D(x)=L g1L r1-1fh1(x)…L gmL r1-1fh1(x)L g1L r2-1fh2(x)…L gmL r2-1fh2(x)…ω…L g1L r m-1fh m(x)…L gmL r m-1fh m(x)(13)在x0处是非奇异的,则系统(11)在x0的一个邻域上输入输出解耦控制问题是可解的.为了便于讨论,将式(11)简写为x=f(x)+g(x)u,y j=h j(x),j=1,2,…,m.(14)其中g(x)=[g1(x) g2(x) … g m(x)],u=[u1 u2 … u m]T. 如果系统(14)满足定理1,则意味着D(x)在x0处是非奇异的,非线性解耦控制律可由下式构成:u=α(x)+β(x)v=-D-1(x)E(x)+D-1(x)v.(15)其中α(x)=[α1(x) α2(x) … αm(x)]T,β(x)=D-1(x)=β11(x)β12(x)…β1m(x)β21(x)β22(x)…β2m(x)……ω…βm1(x)βm2(x)…βmm(x),E(x)=[L r1f h1(x) … L L mfh m(x)]T,v=[v1 v2 … v m]T.于是可得闭环系统x=f(x)+g(x)α(x)+g(x)β(x)v,y j=h j(x),j=1,2,…,m.(16)在x0的一个邻域上输入输出解耦.3.2 基于非线性解耦控制的完全线性化一个非线性系统经过线性化后,便于对其进行有效的分析和设计,这是因为线性系统已有成熟的理论支持.因此,将非线性系统线性化是非线性控制的核心问题.线性化方法主要有以下两种:1)近似线性化,即用泰勒级数将系统在某一工作点附近进行线性化,取其线性主部得到系统的线性模型.它只是系统在工作点附近的线性近似,不适合大范围应用,因此也称局部线性化.2)完全线性化,即用微分几何理论将非线性系统在大范围内线性化,也称全局线性化或精确线性化,该模型适合于大范围应用.从理论上讲,经全局线性化或精确线性化的模型可在大范围使用,不存在任何误差.由r j的定义和定理1的条件可以证明微分1型:d h j,d L f h j,…,d L r jfh j(j=1,2,…,m)在x0的一个邻域上线性无关[11].当∑mj=1r j=n时,由于x0的一个邻域上的n个微分1型:d h j,d L f h j,…,d L r jfh j(j=1,2,…,m)线性无关,则可定义映射z jkj=L K j-1fh j(x),j=1,2,…,m,k j=1,2,…,r j.(17)为x0的一个邻域上的局部坐标变换.在该局部坐标变换下,闭环系统(16)被完全线性化,其形式由如下m组方程描述:z j1=z j2, z j2=z j3,…, z jrj=v j,y j=z j1,j=1,2,…,m.这些方程组的结构表明,系统(11)通过施加解耦控制律(15)和局部坐标变换(17),可实现输入输出解耦和线性化.4 混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化设计 对于混合励磁电机系统(10),考虑输入输出解耦和线性化设计问题,假设T L=0.根据相对阶r j 的定义,计算可得r1=1,r2=1,r3=2,即满足定理1的前提条件.根据解耦矩阵(13)可得det D(x)=acL q M f x2.当x2≠0时,det D(x)≠0,即满足定理1的条件.于是可得D-1(x)=100010b(M2f-d L f)M f[-b2(d x1+cΨa+M f x3)]aM f x2bacM f x2.由式(15)可得系统(11)的解耦控制律U(t)=-D-1(x)E(x)+D-1(x)v(t),(18)其中E(x)=L d f1+M f f3L q f2ac d x2f1+(c d x1+bn pΨa+cM f x3)f2+cM f x2f3-RΩf4/J.式中:f1=f1(x),f2=f2(x),f3=f3(x),f4= f4(x).对于系统(10),由于∑3j=1r j=4=n,可得局部坐标变换z(x)=[h1(x) h2(x) h3(x) L f h3(x)]T,094第5期康惠骏等:混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化 即z 1=h 1(x )=L d x 1+M f x 3+Ψa ,z 2=h 2(x )=L q x 2,z 3=h 3(x )=x 4,z 4=L f h 3(x )=c d x 1x 2+cΨa x 2+cM f x 2x 3-(R Ω/J )x 4.(19) 由解耦控制律(18)所得形如式(16)的闭环系统,在局部坐标z 下的动态方程为z 11=v 1,y 1=z 11, z 21=v 2,y 2=z 21,z 31 z 32=010z 31z 32+01v 3,y 3=[1 0]z 31z 32.(20) 这表明当x ∈{R 4|x 2≠0}时,混合励磁电机系统(10)可通过非线性状态反馈(18)和坐标变换(19),成为输入输出解耦线性化系统(20),同时分解为3个线性子系统:直轴磁链线性子系统、交轴磁链线性子系统和转速线性子系统.5 仿真设计与分析5.1 调节器设计[12]为使系统输出y 1=ψd ,y 2=ψq 和y 3=Ω分别跟踪期望的给定信号ψdr ,ψqr 和Ωr ,设计如下调节器:v 1=-k 1(z 1-ψdr )+d ψdr /d t ,v 2=-k 2(z 2-ψqr )+d ψqr /d t ,v 3=-k 3(z 31-Ωr )-k 4(z 32- d Ωr /d t )+d 2Ωr /d t 2.(21)其中k 1,k 2,k 3,k 4为待定参数.这些参数应按以下原则选取:使得方程d d t(ψd -ψdr )=-k 1(z 1-ψdr ),d d t(ψq -ψqr )=-k 2(z 2-ψqr ),d 2d t 2(Ω-Ωr )=-k 3(z 31-Ωr )-k 4(z 32-d Ωr /d t ).(22)其原点是渐近稳定的,并且具有良好的响应特性.这里把(ψd -ψdr ),(ψq -ψqr )和(Ω-Ωr )看作方程(22)的变量.方程(22)的原点是渐近稳定的,等价于由调节器(21)和动态方程(20)所组成的系统原点是渐近稳定的.5.2 仿真设计与分析混合励磁电机额定参数如下:额定功率2kW ,额定定子电压380V ,额定定子电流5A ,额定附加励磁电流10A ,额定转速1500r/min ,额定负载3N ・m .特性参数如下:R =2.785Ω,L d =8.5m H ,L q =8.5m H ,R f =2.5Ω,L f =8m H ,M f =2.5m H ,R Ω=0,T L =0,n p =2,Ψa =0.175Wb ,J =8×10-4kg ・m 2.调节器参数如下:k 1=k 2=100,k 3=1000,k 4=52.在仿真分析中,混合励磁电机的模型以及非线性解耦线性化控制律均利用Matlab/Simulink 进行仿真实现.选取x 2=ψq =0.001Wb ,其余状态的初始值均为零.仿真工作包括以下三部分:1)电机在t =0时启动到1300r/min .当t =1.0s 时,给定d 轴磁链ψdr 发生变化,从0.25Wb 变化到0.3Wb .当t =2.0s 时,给定d 轴磁链ψdr 发生变化,从0.3Wb 变化到0.2Wb .图1(a )显示了d 轴磁链ψd 跟踪ψdr 的情况;图1(b )和图1(c )分别显示了d 轴磁链ψd 变化对q 轴磁链ψq 和转速Ω的影响;同时显示了q 轴磁链ψq 跟踪给定q 轴磁链ψqr 和转速Ω跟踪给定转速Ωr 的情况.2)电机在t =0时启动到1300r/min .当t =图1 d 轴磁链变化对q 轴磁链及转速的影响194 控 制 与 决 策第22卷1.0s时,给定q轴磁链信号ψqr发生变化,从0.04Wb变化到0.05Wb;当t=0.2s时,给定q轴磁链信号ψqr发生变化,从0.05Wb变化到0.03Wb.图2(a)显示了q轴磁链ψq跟踪ψqr的情况;图2(b)和图2(c)分别显示了q轴磁链ψq变化对d轴磁链ψq和转速Ω的影响;同时显示了d轴磁链ψd跟踪给定d轴磁链ψdr和转速Ω跟踪给定转速Ωr的情况.图2 q轴磁链变化对d轴磁链及转速的影响3)电机在t=0时启动到1300r/min.当t=1.0s时,给定转速信号Ωr发生变化,从1300r/min变化到1500r/min;当t=2.0s时,给定转速信号Ωr从1500r/min变化到1100r/min.图3(a)显示了转速Ω跟踪给定转速Ωr的情况;图3(b)和图3(c)分别显示了转速Ω变化对d轴磁链ψd和q轴磁链ψq的影响;同时显示了d轴磁链ψd跟踪给定d轴磁链ψdr和q轴磁链ψq跟踪给定q轴磁链ψdr的情况.仿真结果表明,当d轴磁链发生变化时,对q轴磁链和转速几乎没有影响;当q轴磁链发生变化时,对d轴磁链和转速也几乎没有影响;当转速发生变化时,对d轴磁链和q轴磁链同样几乎没有影响.适当选取调节器参数,能较好地实现系统输出对给定图3 转速变化对d轴磁链及q轴磁链的影响输入的跟踪控制.6 结 论 本文根据机电动力学原理,推导出由电压逆变器供电、定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机的动态方程,即混合励磁电机系统在与转子同步旋转的d2q坐标系中的动态方程.应用非线性几何理论,导出了混合励磁电机系统输入输出解耦控制规律及其存在条件,实现了混合励磁电机系统的输入输出解耦控制.通过非线性状态反馈解耦控制和非线性坐标变换,将混合励磁电机系统分解为3个线性子系统:d轴磁链线性子系统、q轴磁链线性子系统和转速线性子系统.可使用线性系统的调节器设计理论,分别对3个线性子系统进行输出对给定输入的跟踪控制设计,实现对混合励磁电机系统磁链和转速的高性能控制.仿真结果表明,基于非线性解耦线性化控制设计的混合励磁电机的控制系统,可以达到良好的动态性能.参考文献(R eferences)[1]Spooner E,Khatab S A W,Nicolaou N G.Hybrid294第5期康惠骏等:混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化 excitation of AC and DC machine[C].Electrical Machines and Drives:4th Int Conf.London,1989:48252.[2]Naoe Nobuyuki,Fukami Tadashi.Trial production of ahybrid excitation type synchronous machine[C].Electric Machines 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(上接第486页)[45]Leung M F,Santos J R,Haimes Y Y.Risk modeling,assessment and management of lahar flow threat[J].Risk Analysis,2003,23(6):132321335.[46]Yacov Y Haimes,Kaplan S,Lambert J H.Riskfiltering,ranking and management f ramework using hierarchical holographic modeling[J].Risk Analysis, 2002,22(2):3812395.[47]Raz T,Michael e and benefits of tools for projectrisk management[J].Int J of Project Management, 2001,19(1):9217.[48]张珞玲,李师贤.软件项目风险管理方法比较和研究[J].计算机工程,2003,29(3):91294.(Zhang L L,Li S parision and research on models of software project risk management[J].Computer Engineering,2003,29(3):91294.)[49]张李义.信息系统开发的动态风险模糊估测方法[J].系统工程理论与实践,2001,21(10):88292.(Zhang L Y.Approach to dynamic risk estimation for information system development[J].System Engineering Theory and Practice,2001,21(10):88292.)[50]鞠彦兵,冯允成,姚李刚.基于证据理论的软件开发风险评估方法[J].系统工程理论方法应用,2003,12(3):2182223.(J u Y B,Feng Y C,Yao L G.Research on the measure of risk in the course of software development[J].Systems Engneering—Theory Methodology Applications,2003,12(3):2182223.)[51]潘陈勇.基于生命周期的软件开发动态风险管理[D].杭州:浙江大学,2002.(Pan C Y.Dynamic risk management based on the software development life cycle[D].Hangzhou: Zhejiang University,2002.)[52]方德英.IT项目风险管理理论与方法研究[D].天津:天津大学,2003.(Fang D Y.The study on theories and methods of IT project risk management[D].Tianjin:Tianjin University,2003.)[53]焦鹏.软件项目风险评估方法的研究[D].北京:北京工业大学,2003.(Jiao P.The study on software project risk assessment[D].Beijing:Beijing University of Technology,2003.)394。
现代控制理论
现代控制理论⾮线性动态系统的稳定性和鲁棒控制理论研究上世纪50年代，Kallman成功的将状态空间法引⼊到系统控制理论中，从⽽标志着现代控制理论研究的开始。
现代控制理论的研究对象是系统的数学模型，它根据⼈们对系统的性能要求，通过对被控对象进⾏模型分析来设计系统的控制律，从⽽保证闭环系统具有期望的性能。
其中，线性系统理论已经形成⼀套完整的理论体系。
过去⼈们常⽤线性系统理论来处理很多⼯程问题，并在⼀定范围内取得了⽐较满意的效果。
然⽽，这种处理⽅法是以忽略系统中的动态⾮线性因素为代价的。
实际中很多物理系统都具有固有的动态⾮线性特性，如库仑摩擦、饱和、死区、滞环等，这些⾮线性动态⾮线性特性的存在常常使系统的控制性能下降，甚⾄变得不稳定。
这就使得利⽤线性系统理论处理⾮线性动态系统⾯临巨⼤的困难。
此外，在控制系统运⾏过程中，环境的变化或者元件的⽼化，以及外界⼲扰等不确定因素也会造成系统实际参数和标称值之间出现较⼤差别。
因此，基于标称数学模型所设计的控制律⼀般很难达到期望的性能指标，甚⾄会使系统不稳定。
综上所述，研究不确定条件下⾮线性动态系统的鲁棒稳定性及鲁棒控制间题具有重要的理论意义和迫切的实际需要。
⾮线性动态系统是指按确定性规律随时间演化的系统，⼜称动⼒学系统，其理论来源于经典⼒学，⼀般由微分⽅程来描述。
美国数学家Birkhoff[1]发展了法国数学家Poincare在天体⼒学和微分⽅程定性理论⽅⾯的研究，奠定了动态系统理论的基础。
在实际动态系统中，对象往往受到各种各样的不确定的影响，所以其数学模型⼀般不可能精确得到。
因此，我们只能⽤近似的标称数学模型来描述被控对象，并据此来设计控制系统,动态系统鲁棒控制由此产⽣。
所谓鲁棒性就是指系统预期⾮线性动态系统的稳定性和鲁棒控制理论研究的设计品质不因不确定性的存在⽽遭到破坏的特性，鲁棒控制是⾮线性动态系统控制理论研究的⼀个⾮常重要的分⽀。
现代控制理论的发展促进了对动态系统的研究，使它的应⽤从经典⼒学扩⼤到⼀般意义下的系统。
3.现代测试技术-检测信号的线性化
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3.1非线性特性的处理方法
2. 提高输出输入关系的线性度 寻找具有较高线性度的输出输入关系的传感器； 寻找具有较高线性度的输出输入关系的传感器； 研究测量原理，改进测量方法，改善输出输入特性的非线性。 研究测量原理，改进测量方法，改善输出输入特性的非线性。 3. 减小测量范围 在0～x1之间近似 x1之间近似 为线性关系时， 为线性关系时， 最大误差为δ1； 0~x2之间近似 在0~x2之间近似 时， 最大误差为
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3.1非线性特性的处理方法
例：
反射强度调制型光纤位移传感器原理
从特性曲线可以看出，AB段的测量范围 从特性曲线可以看出，AB段的测量范围 窄但灵敏度大，CD段的测量范围宽但灵 窄但灵敏度大，CD段的测量范围宽但灵 敏度小。可根据需要将工作点选在M 敏度小。可根据需要将工作点选在M1或 M2。
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3.2 线性化器原理
(1)解析法 (1)解析法 设上图中传感器、 设上图中传感器、放大器及整个测量装置所要求的输出输入特性的解 析表达式分别为: 析表达式分别为:
u1 = f1( x)
u o = K ∆u
（ 9） 10） （10） 11） （11）
uo = Sx
程如下： 程如下：
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3.1非线性特性的处理方法
3. 减小测量范围 测量范围减小的程度与近似特性曲线的选取方法有关
近似特性曲线的选取(a) 最大正负误差不相等； 近似特性曲线的选取(a) 最大正负误差不相等； (b) 最大正负误差相等 如图所示，在工作点位置相同、测量精度相同的条件下， 如图所示，在工作点位置相同、测量精度相同的条件下， 采用直线 作为近似特性曲线时不如采用直线②时测量范围宽。 ①作为近似特性曲线时不如采用直线②时测量范围宽。
反馈线性化原理与应用
第四章 反馈线性化原理的应用在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。
它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。
4.1零动态在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念—“零动态”。
在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。
在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r 能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。
即若任何一个线性系统其相对阶r 严格小于其维数n ，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n ，则传递函数中就没有零点。
所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。
在这一节中这种类比将进一步推广。
考虑一个相对阶r 严格小于n 的非线性系统()()x f x g x u ⋅=+()y h x =则可通过坐标变换，变成正则形：()()()()()()Z x h x L h x L h x x x f f r r n ==⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-+φφφξη 11， ξ=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥z z r 1 ， η=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+z z r n 1 其中()()φφr n x x +⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1 ，若能使()L x g i φ=0, n i r ≤≤+1则可将系统变成下列形式：z z 12⋅= z z 23⋅=z z r r -⋅=1()()z b z a z u r ⋅=+ ()z q z r r +⋅+=11()z q z n n ⋅=或写成：()()ξξξξηξη⋅⋅=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥200 r b a u ,, ()ηξη⋅=q ,若x 0是使()()f x h x 0000==,的点，则在x 0一定有ξ=0，虽然此时η可以任意选择，但是不失一般性，可以选η=0，如果x 0是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。
第4章-非线性系统线性化(1)
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
0
0
1
，bd
0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
功率放大器的线性化技术
02 功率放大器线性化的技术 分类
前馈线性化技术
前馈线性化技术通过引入一个额外的反馈环路，将功率放 大器的输出信号反馈到输入端，与原始输入信号进行比较 和调整，以消除非线性失真。
前馈线性化技术具有较高的线性化效果，但需要精确的信 号匹配和调整，因此实现难度较大。
反馈线性化技术
01
反馈线性化技术通过将功率放大 器的输出信号反馈到输入端，并 利用负反馈原理对输入信号进行 修正，以减小非线性失真。
多项式预失真技术通过使用多项式函数来描述功率放大器的非线性特性。预失真器通过 调整多项式的系数来产生补偿信号，以抵消功率放大器的非线性。这种方法的优点是精
度高、计算复杂度低，但需要实时计算多项式函数，可能影响实时性能。
预失真线性化技术的优缺点
优点
预失真线性化技术具有较高的线性度和较低 的成本，适用于各种类型的功率放大器。此 外，由于预失真器位于功率放大器之前，因 此可以避免功率放大器内部的热损耗和可靠 性问题。
。
模拟预失真
适用于对实时性要求较高的系 统，能够快速响应信号的变化 ，但线性化效果可能略逊于数 字预失真。
前馈线性化
通过引入额外的反馈环路，降 低功率放大器的非线性失真， 适用于对噪声和失真性能要求 高的系统。
基带扩展
通过在基带信号上添加适当的 调制，改善功率放大器的线性 范围，适用于宽带信号传输系
多载波技术
通过将信号分割成多个子载波，降 低单个载波的幅度，减小非线性失 真。
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复合反馈技术则是结合前馈和反馈技术的优点， 通过引入前馈和反馈两个环节来进一步改善功率 放大器的线性度。
反馈线性化技术的优缺点
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
第二章控制系统数学模型
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
华东师范大学系统分析与集成博士研究生课程
华东师范大学系统分析与集成博士研究生课程专业名称：系统分析与集成课程编号：B0112010711003 课程名称：非线性控制系统理论与应用课程英文名称：Nonlinear Control-System Theory and Application学分: 3 周学时总学时：54课程性质：博士学位专业课适用专业：系统理论、系统分析与集成教学内容及基本要求:教学内容：1. 反馈系统分析（包括绝对稳定性，小增益定理，描写函数方法）2. 反馈线性化（包括输入-状态线性化，输入-输出线性化，状态反馈控制）、3. 微分几何方法（包括微分几何工具，输入-输出线性化，输入-状态线性化4. Lyapunov设计方法5. Backstepping方法6. 滑模控制7. 自适应控制。
基本要求：要求掌握解决问题的思想方法和技巧。
考核方式及要求：笔试。
学习本课程的前期课程要求：线性系统教材及主要参考书目、文献与资料：1. Hassan K. Khalil：《Nonlinear System (Second edition)》。
填写人：陈树中教授审核人：顾国庆教授课程编号：B0112010711004 课程名称：分布计算与分布式系统课程英文名称：Systems and Architecture of Distributed Databases学分: 3 周学时总学时：54课程性质：博士学位专业课适用专业：系统理论、系统分析与集成教学内容及基本要求:教学内容：本课程主要讨论分布式数据库系统的原理，技术和系统结构。
在第一部分，介绍DBMS的主要成分。
第二部分介绍经典的分布数据库系统理论和系统。
第三部分主要讨论Internet/Intranet时代的分布数据库理论和系统。
基本要求：学生在理解讲课内容的基础上，阅读大量相关论文，从而对基本知识有深入理解和对前沿技术有全面的了解。
考核方式及要求：考试。
学习本课程的前期课程要求：数据库系统基础，计算机网络基础教材及主要参考书目、文献与资料：1.周龙骧等：《分布式数据库管理系统实现技术》，科学出版社，1998。
输入 输出反馈线性化
的特征值在左半开平面，则整个状态反馈控制律为
u
a c
[sin(
x1
)
sin
]
1 c
(k1x1
k2
x2
)
消去非线性项的方法普遍适用吗？显然不能希望每个
非线性系统都能消去非线性项，但一定存在具有某种结构
特性的系统，允许消去非线性项。不难看出，如果通过相 减消去非线性项 (x) ，则控制器 u 和非线性项 (x) 必须以
现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题
了。
上述讨论表明，有时对输入-输出映射进行线性化更有 意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。这种
情况称系统为可输入—输出线性化的。注意应用输入-输 出线性化，线性化的输入-输出映射并不能说明系统的全 部动态特性。在前面例子中，整个系统表示为
x1 a sin x2 x2 v y x2 注意，状态变量 x1 和输出 y 没有联系，换句话说就是线性
非线性项可以通过控制
u
x12
a
1 cos
x2
v
消去，当 / 2 x2 / 2 时，上式有明确定义。要求出新
坐标系 (z1, z2 ) 中的状态方程，可通过逆变换，即用 (z1, z2 )
表示 (x1, x2)
x1 z1
x2
sin 1
z2 a
9
非线性控制：输入—输出反馈线性化
上式当 a z2 a 时有定义。变换后的状态方程为
18
非线性控制：输入—输出反馈线性化
y(2)
(Lf h) [ f x
(x)
g(x)u]
L2f h(x)
Lg Lf h(x)u
同样，如果 Lg Lf h(x) 0 ，则 y(2) L2f h(x) ，且与 u 无关。重
反馈线性化设计方法_1(6)
g3
=0
如果它的解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
0 k IJ 0 −k J2
−
k IJ
⎤ ⎥ ⎥
0⎥
⎥ k⎥
J2 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
{ } g,
ad
f
g,
ad
2 f
g
,
ad
3 f
g
为常量，它构成一个对合集。
∇z1ad
i f
g
=
0, i
=
0,1,2
⇒
∇z1
⋅
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
f
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
2 f
g
=
0
∇z1ad
g n−1
f
≠
0
⇒
∇z1
⋅
ad
其中： 令：
f1 (x) = (x15 + x3 )(x3 + cos x2 ) + (x2 + 1)x12
u
=
1 (v − x2 +1
f1 )
有：
&y& = v
反馈线性化设计方法
利用线性控制方法对这个二重积分关系设计跟踪控制器：
现代控制技术在电力输电系统中的应用
现代控制技术在电力输电系统中的应用电力输电系统的控制问题对电力系统的安全稳定运行具有深远的影响，其系统本身所具有的强非线性特性，需要先进的控制技术以提高系统的性能。
本文电力输电系统中所用的非线性控制技术和神经网络技术进行简述，以期能使现代控技术在电力输电系统中得到更广泛的应用。
标签：控制技术；输电系统；应用1 电力输电系统非线性控制技术高压直流输电和灵活交流输电（HVDC&FACTS ）技术的飞速发展，给电力输电系统的控制技术提出了新的要求。
为了有效利用输电系统的资源、保护电网平稳顺利运行，提高对电力系统振荡稳定、潮流分布、紧急事故及经济运行的控制能力，必须采用先进的控制理论和方法来实现对电力输电系统的控制。
20世纪80年代末，电力系统控制专家卢强院士最早将非线性控制理论引入到电力系统，最近十多年来，学术界围绕着非线性控制理论在电力系统的应用开展了大量研究工作。
按照控制方法的不同可以分为：反馈线性化方法、非线性鲁棒控制方法等。
（1）反馈线性化方法。
反馈线性化包括基于微分几何理论的输入对状态进行反馈线性化、直接反馈线性化、输入输出线性化、逆系统方法等，这些都是解决输电系统非线性系统控制问题的有效途径，其基本方法可概括为通过恰当的非线性坐标变换与非线性状态反馈将非线性系统精确线性化，使其输入、输出之间关系用一个线性的模型来代替，然后再利用线性系统相关知识和设计方法对其进行分析与综合。
其中尤其是以基于微分几何理论的非线性系统精确线性化的研究成果最多，并成功运用于工程实践，取得良好效果。
例如反馈线性化在高压直流输电系统电压源换流器的精确线性化设计的应用。
（2）非线性鲁棒控制法。
现代电力系统在实际运行中还存在着负荷的波动变化、运行方式的变换以及故障引起的拓扑结构的变化等诸多不确定因素。
为了解决这些难题，国内外学者针对输电系统非线性鲁棒控制进行了大量的研究。
所谓鲁棒性是指标称系统Σ0所具有的某一种性能品质，对于具有不确定性的系统集（Σ0，ΔΣ）的所有成员均成立，亦即系统预期的设计品质不因不确定性的存在而破坏。
压电定位平台Hammerstein 建模与反馈线性化控制
第30卷第14期2022年7月Vol.30No.14Jul.2022光学精密工程Optics and Precision Engineering压电定位平台Hammerstein建模与反馈线性化控制黄涛1，罗治洪1，陶桂宝1*，凌明祥2*（1.重庆大学机械与运载工程学院，重庆400044；2.中国工程物理研究院总体工程研究所，四川绵阳621999）摘要：压电定位平台以压电陶瓷、柔性铰链作为驱动及放大机构，具有高定位精度和快响应速度，被广泛应用于各种精密/超精密定位领域。
压电定位平台面临的主要挑战是压电陶瓷的固有迟滞非线性特性，这严重影响平台的定位和跟踪精度。
针对此问题，提出一种基于Hammerstein结构的迟滞建模方法及基于此模型的输入-输出反馈线性化控制策略。
首先，建立Hammerstein结构的迟滞模型，并进行模型参数估计。
接着，以基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化控制策略设计跟踪控制器。
最后，在压电定位平台上对建立的模型和设计的跟踪控制器进行实验验证。
模型辨识实验结果表明：提出的Hammerstein模型能有效地拟合压电定位平台输入量与输出量之间的迟滞非线性特性，其均方根误差小于0.5μm。
轨迹跟踪实验结果表明：设计的跟踪控制器对期望信号（幅值60μm，频率100Hz）的跟踪均方根误差为0.9266μm，相较于基于改进的速率相关PI（Modified Rate-dependent Prandtl-Ishlinskii，MRPI）模型的前馈补偿跟踪控制、基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合跟踪控制，精度分别提高81.22%、46.25%。
关键词：压电陶瓷；压电定位平台；迟滞非线性；Hammerstein模型；反馈线性化控制中图分类号：TP391.4；TH691.9文献标识码：A doi：10.37188/OPE.20223014.1716 Hammerstein modeling and feedback linearization control forpiezoelectric positioning stageHUANG Tao1，LUO Zhihong1，TAO Guibao1*，LING Mingxiang2*（1.College of Mechanical and Vehicle Engineering，Chongqing University，Chongqing400044，China；2.Institute of Systems Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang621999，China）*Corresponding author，E-mail：ling_mx@，gbtao@Abstract：A piezoelectric positioning stage is driven and amplified by piezoelectric ceramic and flexible hinges，which can provide high positioning accuracies and response speeds.Thus，it is widely used in vari⁃ous precision/ultra-precision positioning fields.However，the primary challenge presented by the piezo⁃electric positioning stage is the inherent hysteresis nonlinear characteristics of piezoelectric ceramics，which significantly affects the positioning and tracking accuracy of the piezoelectric positioning stage.Hence，a hysteresis modeling method based on the Hammerstein structure and an input-output feedback linearization control strategy is proposed herein.First，hysteresis modeling based on the Hammerstein structure is pro⁃posed，and the parameters are estimated.Subsequently，based on the Hammerstein model，a tracking controller is designed via an input–output feedback linearization control strategy.Finally，the proposed 文章编号1004-924X（2022）14-1716-09收稿日期：2022-04-07；修订日期：2022-05-10.基金项目：国家重点研发计划项目（No.2018YFB1701203）；国家自然科学基金项目（No.52075179）第14期黄涛，等：压电定位平台Hammerstein建模与反馈线性化控制Hammerstein model and the designed tracking controller are experimentally verified on a piezoelectric posi⁃tioning stage.The experimental results of model identification reveal that the proposed Hammerstein mod⁃el can effectively fit the hysteresis nonlinearity between the input and output of the piezoelectric positioning stage and that its root mean square error is less than0.5μm.Meanwhile，the experimental results of tra⁃jectory tracking indicate that the designed tracking controller can track the desired signal（amplitude60μm；frequency100Hz）with a root mean square error of0.9266μpared with the feedforward compensation tracking control based on the modified rate-dependent Prandtl-Ishlinskii（MRPI）model and the compound tracking control of feedforward compensation based on the MRPI model and proportional-in⁃tegral-derivative feedback，the proposed model offers an accuracy improvement of81.22%and46.25%，respectively.Key words：piezoelectric ceramic；piezoelectric positioning stage；hysteresis nonlinearity；hammerstein model；feedback linearization control1引言以压电陶瓷作为驱动元件，以柔性铰链作为导向放大机构的压电定位平台能够提供高定位精度和快响应速度，已广泛应用于微机械制造、微型零件的操作与装配、超精密加工、生物工程、生命与医疗科学、光学调整、原子力显微镜、扫描隧道显微镜、半导体制造设备以及光电等领域［1］。
第七章非线性系统的反馈线性化
反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被 控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统 理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
7.1 反馈线性化基本概念
反馈线性化设计步骤是：
（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过 程可以微分几何方法；
（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状
态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1
例1 考察控制一个水槽的高度h到特定高度hd, 控制输入u，初始 高度为h0.
水槽的系统模型为ddth 0A(h)dh
反馈线性化控制器取为
u [b c sin2 t](ax2 kx)
得到的闭环系统方程为 x kx
对于一般结构，须用微分几何方法 7
7.2 微分几何知识
为了分析非线性系统，把状态变量空间视为微分流形，认 为系统状态方程右端各向量是定义在流形上的向量场集合，这 种应用流形上的向量场来研究非线性动力学方法，被称为微分 几何方法。
q1 q2
hq2
hq1
hq1 0
hq2
q1 q2
g1 g2
1 2
4
其中，q q1, q2 T 为关节角，τ 1,2 T 为关节输入。
H11
m1lc21
I1
m2
l12
l2
c2
2l1lc2
cos q2
I2
H22 m2lc22 I2
H21 H21 m2l1lc2 cos q2 m2lc2 I2
1.1 HONEYWELL PKS系统—系统结构
FTE （Fault Tolerant Ethernet）网络可连接：PKS服务器、操作站、 ACE（Application Control Environment）、TPS等其他PC网络硬件
1. 100MHz Power PC603E处理器 带有8MB RAM
2.
3.
4MB
Flash ROM 用于存储程序
锂电池（系统失电后能够维持5-6天程序）
4.
5.
最多支持8个I/O机架和64个I/O模块
控制器可以是冗余或非冗余的配置
6.
占用两个槽位的位置
Fault Tolerant EtherNet Bridge(FTEB) FTE网络通讯接口卡
3.需要通过IOLINK接口电缆A＆B与IOPS连接
PM
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
I/O卡件
工程单位转换 报警处理 开关量输入时间 开关量输出脉宽调制（脉冲设定） 输入/输出线性化 输出读反馈校验 输出故障保持/清除
FTA（Field Terminal Aboard）端子板
锦州25-1油田中控系统培训手册
1.HONEYWELL PKS系统 1.1 HONEYWELL PKS系统—系统结构
JZ251平台中控系统采用的是HONEYWELL产品，过程控 制（PKS）采用C200控制器，火气及ESD系统采用SM系统。 一、PKS系统硬件结构组成：
Control Processor(CP) C200控制器
传感器与检测技术课后题答案
第1章 概述1.1 什么是传感器？传感器定义为能够感受规定的被测量并按照一定规律转换成可用输出信号的器件和装置，通常由敏感元件和转换元件组成。
1.2 传感器的共性是什么？传感器的共性就是利用物理规律或物质的物理、化学、生物特性，将非电量（如位移、速度、加速度、力等）输入转换成电量（电压、电流、电容、电阻等）输出。
1.3 传感器由哪几部分组成的？由敏感元件和转换元件组成基本组成部分，另外还有信号调理电路和辅助电源电路。
1.4 传感器如何进行分类？（1）按传感器的输入量分类，分为位移传感器、速度传感器、温度传感器、湿度传感器、压力传感器等。
（2）按传感器的输出量进行分类，分为模拟式和数字式传感器两类。
（3）按传感器工作原理分类，可以分为电阻式传感器、电容式传感器、电感式传感器、压电式传感器、磁敏式传感器、热电式传感器、光电式传感器等。
（4）按传感器的基本效应分类，可分为物理传感器、化学传感器、生物传感器。
（5）按传感器的能量关系进行分类，分为能量变换型和能量控制型传感器。
（6）按传感器所蕴含的技术特征进行分类，可分为普通型和新型传感器。
1.5 传感器技术的发展趋势有哪些？（1）开展基础理论研究（2）传感器的集成化（3）传感器的智能化（4）传感器的网络化 （5）传感器的微型化1.6改善传感器性能的技术途径有哪些？（1）差动技术（2）平均技术（3）补偿与修正技术(4) 屏蔽、隔离与干扰抑制 (5) 稳定性处理第2章传感器的基本特性2.1 什么是传感器的静态特性？描述传感器静态特性的主要指标有哪些？答：传感器的静态特性是指在被测量的各个值处于稳定状态时，输出量和输入量之间的关系。
主要的性能指标主要有线性度、灵敏度、迟滞、重复性、精度、分辨率、零点漂移、温度漂移。
2.2 传感器输入-输出特性的线性化有什么意义？如何实现其线性化？答：传感器的线性化有助于简化传感器的理论分析、数据处理、制作标定和测试。
常用的线性化方法是：切线或割线拟合，过零旋转拟合，端点平移来近似，多数情况下用最小二乘法来求出拟合直线。
非线性控制8反馈线性化课件
将非线性模型在某一工作点附近进行线性化，忽略远离该点的输入和输 出值。局部线性化适用于工作点附近的分析和设计。
03
全局线性化
将非线性模型在整个工作范围内进行线性化，考虑所有可能的输入和输
出值。全局线性化适用于全局范围内的分析和设计。
反馈线性化的原理
反馈线性化的基本思想是通过引入适当的反馈控制器 ，使得非线性系统的输出能够跟踪期望的参考轨迹。
线性系统
指系统的输出与输入之间存在线性关 系的系统，即输出量是输入量的线性 组合。
非线性系统的特性
输入与输出关系复
杂
非线性系统的输入与输出关系通 常比较复杂，无法简单地通过线 性方程来描述。
动态行为多样
非线性系统的动态行为多种多样 ，可以表现出混沌、分岔、自激 振荡等复杂行为。
对初始条件敏感
非线性系统的状态对初始条件非 常敏感，即使初始条件只有微小 的变化，也可能导致系统状态的 巨大差异。
馈线性化的应用领域。
研究如何将8反馈线性化与其 他控制方法相结合，以获得更
好的控制效果。
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非线性控制8反馈线性化课 件
目 录
• 非线性系统概述 • 反馈线性化原理 • 非线性系统的8反馈线性化方法 • 8反馈线性化在非线性系统中的应用 • 8反馈线性化的优势与挑战
01 非线性系统概述
非线性系统的定义非线性系统源自指系统的输出与输入之间存在非线性 关系的系统，即系统的输出量与输入 量之间的关系不是线性的。
总结词
利用自适应算法调整反馈增益，实现非线性系统的线性化控制。
详细描述
基于自适应反馈的方法是通过引入自适应控制器，利用自适应算法不断调整反馈增益，使得非线性系 统的状态轨迹能够跟踪期望的线性系统轨迹。这种方法的关键在于设计合适的自适应算法，以保证系 统的稳定性和跟踪性能。
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非线性控制：输入—输出反馈线性化
乘积形式 (x)u 出现。如果矩阵 (x) 在所讨论的区域是非
奇异矩阵，则可以通过 u (x)v 消去，其中 (x) 1(x)
是矩阵 (x) 的逆矩阵。因此，如果能利用反馈消去非线性
项，就可以将非线性状态方程转变成一个可控的线性状态
方程。
考虑如下结构的非线性状态方程：
非线性项可以通过控制
u
x12
a
1 cos
x2
v
消去，当 / 2 x2 / 2 时，上式有明确定义。要求出新
坐标系 (z1, z2 ) 中的状态方程，可通过逆变换，即用 (z1, z2 )
表示 (x1, x2)
x1 z1
x2
sin 1
z2 a
9
非线性控制：输入—输出反馈线性化
上式当 a z2 a 时有定义。变换后的状态方程为
u (x) (x)Kx
(13.4)
假设非线性状态方程不具有形如式(13.1)的结构，是否
意味着就不能通过反馈对系统线性化呢？回答是否定的。
7
非线性控制：输入—输出反馈线性化
回顾前面的内容，系统的状态模型并不是惟一的，它取决
于状态变量的选择，即使所选择的一种状态变量不能使系
统状态方程具有形如式(13.1)的结构，还可以选择其他状 态变量。例如，对于系统
(13.6)
其中，( A, B) 是可控的，且对于所有 x D ， x) 为非奇异
矩阵，则称系统(13.5)是可反馈线性化的（或可输入/状态
线性化）。
当我们要关注某些输出变量时，例如在跟踪控制问题
① 所谓“足够光滑”是指后面出现的所有偏导数都有定义且是连续的。 12
非线性控制：输入—输出反馈线性化
y
h x
[
f
(x)
g ( x)u ]
Lf
h(x)
Lg h( x)u
Lf h(x)
h x
f (x)
称为 h 关于 f 或沿 f 的 Lie 导数，这种表示方法类似于 h 沿
系统 x f (x) 轨迹的导数。当重复计算关于同一向量场或
17
非线性控制：输入—输出反馈线性化
一新向量场的导数时，这种新表示法较为方便。例如，要
系统在 D0 {x 2 | x2 0}上的相对阶为 1。
21
非线性控制：输入—输出反馈线性化
例 13.2 考虑系统
x1 x1 x2 x2 u y x1
计算 y 的导数，得
y x1 x1 y
因而，对于所有 n 1 ， y(n) y x1 。在这种情况下，系统 不具有符合上述定义的相对阶,因为输出 y(t) x1(t) et x1(0) 与输入 u 无关。
13.2 输入-输出线性化
考虑单输入—单输出系统
16
非线性控制：输入—输出反馈线性化
x f (x) g(x)u
(13.7)
Байду номын сангаас
y h(x)
(13.8)
其中 f ， g 和 h 在定义域 D Rn 上足够光滑。映射
f : D Rn 和 g : D Rn 称为 D 上的向量场。导数 y 为
其中
中，则可用状态方程和输出方程描述状态模型。对状态方
程线性化，没有必要对输出方程也线性化。例如，如果系
统
x1 a sin x2 x2 x12 u
的输出为 y x2 ，则变量代换和状态反馈控制为
可得
z1
x1
，
z2
a sin
x2
，u
x12
a
1 cos
x2
v
13
非线性控制：输入—输出反馈线性化
z1 z2 z2 v y sin 1 z2
15
非线性控制：输入—输出反馈线性化
化反馈控制使得 x1 由 y 是不可观测的。在设计跟踪控制 时，应该保证变量 x1 具有良好性能，即在某种意义上是稳 定或有界的。一个仅采用线性输入-输出映射的简单控制 设计，可能会导致信号 x1(t) 不断增长。例如，假设设计一 个线性控制器，使输出 y 稳定在常数值 r 上，则 x1(t) x1(0) ta sin r ，当 sin r 0 时，x1(t) 会变得无界，这 类内部稳定问题可以用零动态概念解释。
a 虽然状态方程是线性的，但由于输出方程是非线性的，因
此求解关于 y 的跟踪控制问题仍然很复杂。观察 x 坐标系
中的状态方程和输出方程可以发现，如果状态反馈控制采
用 u x12 v ，就能够将 u 到 y 的输入-输出映射线性化，此 时线性模型为
x2 v y x2
14
非线性控制：输入—输出反馈线性化
18
非线性控制：输入—输出反馈线性化
y(2)
(Lf h) [ f x
(x)
g(x)u]
L2f h(x)
Lg Lf h(x)u
同样，如果 Lg Lf h(x) 0 ，则 y(2) L2f h(x) ，且与 u 无关。重
复这一过程可看出，如果 h(x) 满足
Lg Lif1h(x) 0 ， i 1, 2,, 1 ； Lg Lf 1h(x) 0 则 u 不会出现在 y, y,, y(1) 的方程中，但出现在 y() 的方程
当 lim x T ( x) 时，T 是全局微分同胚映射（证明参见文献[165]
或文献[212]）。 11
非线性控制：输入—输出反馈线性化
滑①。如果存在一个微分同胚映射 T : D Rn ，使得
Dx T (D) 包含原点，且可以通过变量代换 z T (x) 将系统
(13.5)转化为下形式： z Az B (x)[u (x)]
用到以下表示：
Lg
Lf
h(x)
(Lf h) x
g ( x),
L2f
h(x)
Lf
Lf
h(x)
(Lf h) x
f
(x),
Lkf
h(x)
Lf
Lkf1h( x)
(
Lk 1 f
h)
x
f
(x),
L0f h(x) h(x)
如果的 Lgh(x) 0 ，则 y Lf h(x) ，与 u 无关。如果继续计
算 y 的二阶导数，记为 y(2) ，得
1
x1 x12
,
x2
x1 。
第 13 章 反馈线性化
考虑这样一类非线性系统
1
非线性控制：输入—输出反馈线性化
x f (x) G(x)u y h(x) 是否存在一个状态反馈控制 u (x) (x)v 及变量代换
z T(x) 把非线性系统转换为等效的线性系统。13.1 节通过几个简 单例子引入全状态线性化（full-state linearization）和输 入-输出线性化两个概念，并给出其表示方法。
要求T () 和 T 1() 必须连续可微。
具有连续可微逆映射的连续可微映射称为微分同胚。
如果雅可比矩阵 [T / x] 在点 x0 D 是非奇异矩阵，则根
10
非线性控制：输入—输出反馈线性化
据反函数定理①，存在一个 x0 的邻域 N ，使得限定在 N 内
的T 是 N 上的微分同胚。如果映射T 是 Rn 上的微分同胚，
中，带一个非零系数，即
y( ) Lf h(x) Lg Lf 1h(x)u
上述方程清楚地表明系统是可输入-输出线性化的，因为 由状态反馈控制
19
非线性控制：输入—输出反馈线性化
u Lf h(x) v Lg Lf 1h(x)
把输入-输出映射简化为
y() v
这是一个 积分器链。这时，整数 称为系统的相对阶，
x Ax B (x)[u (x)]
(13.1)
其中， A 为 n n 矩阵， B 为 n p 矩阵，矩阵对 ( A, B) 是可
控矩阵，函数 : Rn R p 和 : Rn R pp 定义在包含原点
的定义域 D Rn 上，且矩阵 (x) 对于每个 x D 都是非奇
6
异矩阵。
且T (Rn ) Rn ，则称T 为全局微分同胚映射②。
至此我们可以给出可反馈线性化系统的定义。
定义 13.1 一个非线性系统 x f (x) G(x)u
(13.5)
其中 f : D Rn 和 G : D Rnp 在定义域 D Rn 上足够光
① 参见文献[10]的定理 7.5。
② 当且仅当对所有 x Rn ，[T / x] 是非奇异矩阵，且T 是正则的，即
现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题
了。
上述讨论表明，有时对输入-输出映射进行线性化更有 意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。这种
情况称系统为可输入—输出线性化的。注意应用输入-输 出线性化，线性化的输入-输出映射并不能说明系统的全 部动态特性。在前面例子中，整个系统表示为
x1 a sin x2 x2 v y x2 注意，状态变量 x1 和输出 y 没有联系，换句话说就是线性
非线性控制：输入—输出反馈线性化
课前测验
一、分析以下非线性系统的原点是否稳定、是否渐近稳定、是否 全局渐近稳定。
1、 x1 x1 x2 x22 , x2 x2 x1 ； 2、 x1 sin x2 , x2 5x1 ；
3、x1 sin x2 , x2 x1 x23 ；
4、x1
x2
x1 x2 x2 x1 (1 x12 )x2 u, 0
其输出为 y x1 。计算输出导数，得
y x1 x2 y x2 x1 (1 x12 )x2 u
因此，系统在 2 上的相对阶为 2。当输出 y x2 时，有
y x2 2x2[x1 (1 x12 )x2 u]
非线性控制：输入—输出反馈线性化
对于系统（13.1），可以通过状态反馈