2008年考研数学二真题及解析

⎜ ⎝
1
−2
⎟ ⎠
.
⎛ 2 −1⎞
(B)
⎜ ⎝
−1
2
⎟. ⎠
⎛2 1⎞
(C)
⎜ ⎝
1
2
⎟ ⎠
.
⎛ 1 −2 ⎞
(D)
⎜ ⎝
−2
1
⎟ ⎠
.
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【答案】 应选(D).
【详解】 λE − A = λ −1 −2 = (λ −1)2 − 4 = λ 2 − 2λ − 3 = (λ +1)(λ − 3) = 0 −2 λ −1
【答案】 应选(A). 【详解】利用极坐标，得
(C) v f (u2 ) u
v (D) f (u)
u
∫∫ ∫ ∫ ∫ F(u, v) =
f (u2 + v2 ) dudv =
v
dv
u
f ( r2 ) rdr = v
u f (r 2 )dr ，所以 ∂F
= vf (u2) ．
D u2 − v2
0 1r
2008 年考研数学二试题分析、详解和评注
一，选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )
(1) 设 f (x) = x2 (x −1)(x + 2) ，则 f ′(x)的零点个数为【 】．
(A) 0. 【答案】应选(D).
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3．
【详解】 f ′(x) = 4x3 + 3x2 − 4x = x (4x 2 + 3x − 4) ．
令 f ′(x) = 0 ，可得 f ′(x) 有三个零点．故应选(D).
a
∫ (2) 曲线方程为 y = f ( x) ，函数在区间 [0,a ]上有连续导数，则定积分 xf ′(x)dx 在几何上 0
(C) y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0 . (D) y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = 0 .
【答案】 应选(D).
【详解】由 y = C1ex + C2 cos 2x +C3 sin 2x ，可知其特征根为 λ1 = 1， λ2,3 = ±2 i ，故对应的特征值方程为 (λ − 1)(λ + 2i)(λ − 2i) = ( λ −1)( λ2 + 4)
= λ 3 + 4λBiblioteka Baidu− λ 2 − 4
= λ 3 − 4λ 2 + 4λ − 4
所以所求微分方程为 y′′′ − y′′+ 4 y′− 4 y = 0．应选(D).
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(4) 判定函数 f (x) = ln x ， ( x > 0) 间断点的情况【 】． | x −1|
0
0
的面积．故应选(C).
(3) 在下列微分方程中，以 y = C1ex + C2 cos 2x +C3 sin 2x（ C1, C2 , C3 为任意的常数）为通
解的是【 】．
(A) y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 .
(B) y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 .
则
λ1
=
−1,
λ2
=
3
，记
D
=
⎛ ⎜ ⎝
1 −2
−2 1
⎞⎟，则 ⎠
λ −1 λE − D =
2 = (λ −1)2 − 4 = λ 2 − 2λ − 3 = (λ + 1)(λ − 3) = 0
2 λ −1
则 λ1 = −1, λ2 = 3 ，正负惯性指数相同.故选 D.
二、填空题：(9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.)
1
∂u
故应选(A).
(7) 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A3 = 0 ，则下列结论正确的是【 】．
(A) E − A 不可逆，则 E + A不可逆. (C) E − A 可逆，则 E + A 可逆.
【答案】应选(C).
(B) E − A 不可逆，则 E + A 可逆. (D) E − A 可逆，则 E + A 不可逆.
(B) 若{xn }单调，则{ f (xn )}收敛
(C) 若{ f (xn )} 收敛，则{xn }收敛.
【答案】 应选(B).
(D) 若{ f (xn )} 单调，则{xn }收敛.
【详解】若若{xn }单调，则由函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界知，若 { f ( xn )} 单调有界，
(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点．
(C) 有两个无穷间断点.
(D)有两个跳跃间断点.
【答案】 应选(A).
(5) 设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界， {xn }为数列，下列命题正确的是【 】．
(A) 若{xn }收敛，则 { f ( xn )} 收敛
(9) 已知函数 f ( x) 连续，且 lim 1 − cos[ xf ( x)] = 1，则 f (0) = x→0 (ex −1) f ( x)
【答案】 应填 2 ．
因此若{ f (xn )} 收敛．故应选(B).
∫∫ (6) 设函数 f (x) 连续， x2 + y2 = 1， x2 + y2 = u2 ,u > 1，若 F(u, v) = f (u2 + v2 )dudv ，
D u2 − v2
则 ∂F = 【 】． ∂u (A) vf (u2 )
(B) vf (u)
【详解】 (E − A)(E + A + A2) = E − A3 = E ， (E + A)(E − A + A2) = E + A3 = E ．
故 E − A ， E + A 均可逆．故应选(C).
(8)
设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
，则在实数域上，与
A
合同矩阵为【
】．
⎛ −2 1 ⎞
(A)
表示【 】．
(A) 曲边梯形 ABCD 的面积．
(B) 梯形 ABCD 的面积．
(C) 曲边三角形 ACD 面积． 【答案】 应选(C).
(D) 三角形 ACD 面积．
∫ ∫ ∫ 【详解】
a xf ' (x)dx =
a
xdf (x) = af (a) −
a
f ( x)dx ，
0
0
0
∫ ∫ 其中 af (a) 是矩形面积， a f (x)dx 为曲边梯形的面积，所以 a xf ' (x)dx 为曲边三角形 ACD