角的平分线的性质一
角的平分线的性质(1)
11.3.1角的平分线的性质执笔人:王金梅审核人:董介文孙秀云【学习内容】教材P19-20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法,并掌握角平分线的性质。
2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中,发展几何直觉。
3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神。
【学习重点】利用尺规作已知角的平分线,角的平分线的性质的证明及运用。
【学习难点】角的平分线性质的探究;运用角平分线的性质解决相关的实际问题。
【教学准备】平分角的仪器(自制)、三角尺、圆规、多媒体课件。
【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质:若△ABC≌△DEF,则有。
2、三角形全等的判定方法有:。
3、如图,AB=AD,BC=DC,求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题:在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?学生实验:通过折纸的方法作角的平分线。
教师展示课件,并展示学生作品。
[设计意图]回忆角的平分线的定义,掌握角的平分线的简易作法。
让学生体验成功。
【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议:如何将一个角平分是一个有趣的实验课题,有一个简易平分角的仪器,如图,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?(教师演示,并介绍“平分角的仪器”的特点。
学生将实物图抽象出数学图形,思考后组内交流.)本次活动中,教师重点关注:(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形;(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等,从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。
(师生共同分析讨论,探究问题的解答.)分析:要说明AC 是∠DAC 的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB 。
角的平分线的性质
角的平分线的性质一. 根底知识1.角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2)书写格式如下列图,∵点P在∠AOB的角平分线上,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.2.角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2)书写格式如下列图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴点P在∠AOB的角平分线上.3.运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时,题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置,只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时,一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线,并且要求的点是到两线的距离相等,常常确定两线夹角的平分线上的点,这个过程就是建立数学模型的过程,这是在解决实际问题中常用的方法.4.运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中,如果出现了某个地点到某些线的距离相等,常先把实际问题转化为数学问题,即建立数学模型(角的平分线).然后根据某点到角两边的距离相等,那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下:对于角的平分线的性质和判定,一方面要正确理解和明确其条件和结论,“性质〞和“判定〞恰好是条件和结论的互换,在应用时不要混淆,性质是证两条线段相等的依据,判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时,常过角平分线上的点向角的两边作垂线,根据角平分线的性质得线段相等.同样,欲证明某射线为角平分线时,只需过其上一点向角的两边作垂线,再证线段相等即可.6.运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中,确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题,常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目,性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上〞的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形内部一点,并且交点到该三角形三边的距离都相等,其实只要作出其中两条角平分线的交点,第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点,这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条,所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如以下列图所示,三条公路l1,l2,l3两两相交于A,B,C三点,现方案修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,可供选择的地方有多少处?你能在图中找出来吗?解:三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等;∠ACB,∠ABC的外角平分线交于一点,利用角的平分线的性质和判定定理,可以得到此点也在∠CAB的平分线上,且到公路l1,l2,l3的距离相等;同理还有∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点;∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点,因此满足条件的点共有4个.作法:(1)如右图所示,作出△ABC两内角∠BAC,∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB,∠ABC的外角平分线的交点O2,∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点O3,∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点O4;故满足条件的修建点有四处,即点O1,O2,O3,O4处.课堂练习一、填空题1.:△ABC中,∠B=90°,∠A、∠C的平分线交于点O,那么∠AOC的度数为.2.角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________.3.∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5 cm,那么M到OB的距离为_________.4.如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,那么∠DOC=_________. 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,那么BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6.如图,CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB,垂足为G,那么CF______FG,CE________CF.7.如图,AB、CD相交于点E,∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN,那么直线MN与PQ的关系是_________.8.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到________________相等.9.点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A=60°,那么∠BOC的度数为_____________.10.在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,假设BC=32且BD∶CD=9∶7,那么D到AB的距离为.二、选择题11.三角形中到三边距离相等的点是〔 〕A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12.如图,∠1=∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,以下结论错误的选项是〔 〕A 、PD =PEB 、OD =OEC 、∠DPO =∠EPOD 、PD =OD13.如图,直线l 1,l 2,l 3表示三条相互穿插的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,那么可供选择的地址有〔 〕A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14.如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,且AB =6㎝,那么△DEB 的周长为〔 〕 A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15.如图,MP ⊥NP ,MQ 为△MNP 的角平分线,MT =MP ,连接TQ ,那么以下结论中不正确的选项是〔 〕A 、TQ =PQB 、∠MQT =∠MQPC 、∠QTN =90°D 、∠NQT =∠MQTNTQPM第15题16.如图在△ABC 中,∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于D ,如果AC =3 cm ,那么AE +DE 等于( )EDCBAA .2 cmB .3 cmC .4 cmD .5 cm17.如图,AB =AC ,AE =AF ,BE 与CF 交于点D ,那么对于以下结论:①△ABE ≌△ACF ;②△BDF ≌△CDE ;③D 在∠BAC 的平分线上.其中正确的选项是〔〕A .①B .②C .①和②D .①②③EDC BAF18.如图,AB =AD ,CB =CD ,AC 、BD 相交于点O ,那么以下结论正确的选项是〔〕A .OA =OCB .点O 到AB 、CD 的距离相等C .∠BDA =∠BDCD .点O 到CB 、CD 的距离相等19.△ABC 中,∠C =90°,点O 为△ABC 三条角平分线的交点,OD ⊥BC 于D ,OE ⊥AC 于E ,OF ⊥AB 于F ,且AB =10cm ,BC =8cm ,AC =6cm ,那么点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为〔〕A .2cm ,2cm ,2cm ;B . 3cm ,3cm ,3cm ;C . 4cm ,4cm ,4cm ;D . 2cm ,3cm ,5cm20.两个三角形有两个角对应相等,正确说法是〔〕A .两个三角形全等B .如果还有一角相等,两三角形就全等C .两个三角形一定不全等D .如果一对等角的角平分线相等,两三角形全等三、解答与证明21.如图,△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,求证:D 到AB 、AC 的距离相等.22.如图,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥AB 于F ,BE 、CF 相交于点D ,假设BD =CD .求证:AD 平分∠BAC .DCBAO 第18题23.如图,BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD ,且交BE 于E .求证:AE 平分∠FAC .DF CBAE24.如图,AB =AC ,AD =AE ,DB 与CE 相交于O . (1)假设DB ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)假设没有第〔1〕中的条件,是否有这样的结论"试说明理由.DCBAOE25.如图,∠B =∠C =90°M 是BC的中点,DM 平分∠ADC ,求证:AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图.在△ABC 中,∠A 、∠B 的角平分线交于点O ,过O 作OP ⊥BC 于P ,OQ ⊥AC 于Q ,OR ⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.〔1〕求BP、CQ、AR的长.〔2〕假设BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,假设∠A=60゜,求证:OE=OF.2.如图.AE、BD是△ABM的高.AE、BD交于点C,且AE=BE,BD平分∠ABM.〔1〕求证:BC=2AD;〔2〕求证:AB=AE+CE;〔3〕求证:DE平分∠MDB3.如图,点M〔2,2〕,将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处,角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B,AP平分∠OAB,交OM于点P,PN⊥x轴于N,把角尺绕点M旋转时:〔1〕求证:OM平分∠AOB;〔2〕求OA+OB的值4.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE交于点H,连CH.〔1〕求证:△ACD≌△BCE;〔2〕求证:CH平分∠AHE;〔3〕求∠CHE的度数.〔用含α的式子表示〕家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________.2、∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5 cm,那么M到OB的距离为_________.3、如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,那么∠DOC=_________.4、如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是角平分线,DE ⊥AB 于E ,且DE =3 cm ,BD =5 cm ,那么BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到________________相等。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义:从三角形一个顶点出发,将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段,称为这个角的角平分线。
(1)一个角有且只有一条角平分线。
(2)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(3)角平分线与这个角的对边相交,交点将对边分为两条线段,这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义:连接三角形一个顶点与对边中点的线段,称为这个顶点的中线。
(1)一个三角形有且只有三条中线。
(2)中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
(3)中线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
(4)三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义:三角形的三条角平分线与三条中线的交点,称为三角形的心。
(1)三角形的心是三角形内部的一个点。
(2)三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
(3)三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状:(1)如果一个三角形的三条角平分线相等,那么这个三角形是等边三角形。
(2)如果一个三角形的三条中线相等,那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题:(1)利用角平分线求解三角形的角度。
(2)利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质,可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法:1.习题:在三角形ABC中,角A的角平分线与中线交于点D,若AD=3,BD=4,求AB的长度。
答案:由于点D是角A的角平分线与中线的交点,根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3,BD=4,所以AB=5。
2.习题:在等边三角形EFG中,求证:每条角平分线也是中线。
答案:由于三角形EFG是等边三角形,每个角都是60度。
根据角平分线性质,每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线,所以每条角平分线也是中线。
3.习题:在三角形APQ中,若角APQ的角平分线与中线交于点M,且AM=4,PM=6,求AB的长度。
人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》教学设计
人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》这一节的内容主要包括角平分线的定义、性质及其在几何中的应用。
学生通过学习这一节内容,可以进一步了解角的平分线与角的大小、角的边长之间的关系,为后续学习三角形、多边形等几何知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前,已经学习了角的概念、垂线的性质等知识,具备了一定的几何基础。
但部分学生对角平分线的理解可能仍存在困难,因此在教学过程中需要加强对角平分线概念的讲解,并通过大量的实例让学生加深对角平分线的认识。
三. 教学目标1.了解角平分线的定义及其性质;2.学会运用角平分线解决一些简单的几何问题;3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质;2.角平分线在几何中的应用。
五. 教学方法1.采用讲解法,让学生理解角平分线的定义和性质;2.运用示例法,让学生通过观察、分析、归纳角平分线的性质;3.采用练习法,让学生在实践中运用角平分线解决几何问题;4.运用小组合作法,让学生在讨论中加深对角平分线性质的理解。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、几何模型等;2.准备一些有关角平分线的练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过复习角的概念、垂线的性质等知识,引导学生进入新课的学习。
2.呈现(10分钟)利用课件、图片等展示角平分线的定义和性质,让学生直观地了解角平分线。
3.操练(10分钟)让学生通过观察、分析、归纳角平分线的性质,并尝试解答一些有关角平分线的问题。
4.巩固(10分钟)让学生分组讨论,运用角平分线的性质解决一些几何问题,加深对角平分线性质的理解。
5.拓展(5分钟)引导学生思考:角平分线在实际生活中有哪些应用?让学生联系生活实际,拓宽思路。
6.小结(5分钟)对本节课的内容进行总结,强化学生对角平分线性质的记忆。
7.家庭作业(5分钟)布置一些有关角平分线的练习题,让学生课后巩固所学知识。
角的平分线的性质
角的平分线的性质(一)武汉初级中学刘欣教学任务分析教学目标知识技能1.掌握用尺规作已知角的平分线的方法.2.掌握角平分线的性质.数学思考在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中,发展几何直觉.解决问题1、提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.2、初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.情感态度在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,通过合作、交流、讨论,增强学生的合作、沟通能力.重点角的平分线的性质的证明及运用.难点角的平分线的性质的探究.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1] 新课引入1、如图所示,在S区有一个集贸市场,在公路和铁路所成角的平分线上有一点P,从P点出发到公路、铁路修两条路,怎样修建距离最短?这两条路有什么关系?2、不利用工具,你能将一张用纸片做的角分成两个相等的角吗?3、下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗?教师提出问题,引起学生的思考,从而引出课题学生实验:通过折纸的方法作角的平分线.教师活动:播放多媒体课件,演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC的方法.学生活动:观看多媒体课件,讨论操作原理.让学生感受数学与生活实际的联系学生回忆角的平分线的定义.掌握角的平分线的简易作法.说明用其他实验的方法可以将一个角平分.培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SS S)解决问题的能力.[活动2]用尺规作角的平分线1、通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.2、你能利用三角形全等的知识说明OC 是∠AOB的平分线吗?3、作平角∠AOB的平分线OC,把它反向延长得到直线CD,说出直线CD与直线AB 有什么关系?学生相互讨论,交流,总结。
初中数学《角的平分线的性质(第1课时)》教学设计
教学设计(一)创设情景,提出问题如图是小明制作的风筝,AB=AD,BC=DC.不用度量,就知道AC是∠DAB的角平分线,你知道其中的道理吗?师生活动:学生根据三角形全等的知识口述其中的道理,从而引入新课.(二)合作探究,形成知识问题1:在练习本上画一个角,怎样得到这个角的平分线?师生活动:学生可能用量角器,也可能用折纸的方法动手操作,然后回答问题.追问1:你能评价这些方法吗?在生产生活中,这些方法是否可行呢?师生活动:学生分析并回答──利用量角器比较方便,但是有误差;利用折叠的方法比较简捷,但是只限于可以折叠的材质,若在木板、钢板等材料上操作,此方法就不可行了.追问2:下图是一个平分角的仪器,其中AB =AD,BC =DC,将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,射线AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗?师生活动:教师启发学生将实际问题抽象为数学模型,并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理.小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3:从利用平分角的仪器画角的平分线中,你受到哪些启发?如何利用直尺和圆规作一个角的平分线?师生活动:师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线.教师与学生共同归纳,得出利用尺规作角的平分线的具本方法.如果学生没有思路,教师可作如下提示:1.在用平分角的仪器画角的平分线时,把仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等(AB=CD),怎样在作图中体现这个过程呢?2.在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢?追问4:你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗?师生活动:学生用三角形全等进行证明,明确作图的理论依据.【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理,体会数学的应用价值,同时从中获得启发,用尺规作角的平分线,增强作图技能.最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢?首先思考下面的问题:1.操作测量:任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC,在OC上任取一点P,取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E 为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:此处的思考内容,重在发展学生的发散思维,肯定学生的闪光点2.观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结论:____________ 3.通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质?师生活动:学生动手操作,独立思考,然后汇报自己的发现.学生互相补充,教师指导,一起猜想出角的平分线的性质.追问1:通过动手实验、观察比较,我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗?1.明确命题中的已知和求证.已知:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.(如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角两边的距离相等)2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E.求证:PD=PE.3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)符号语言:∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,∴PD=PE.师生活动:教师首先引导学生分析命题的条件和结论.如果学生感到困难,可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式,然后引导学生逐字分析结论,进而发现并找出结论中的隐含条件(垂直).最后让学生画出图形,用符号语言写出已知和求证,并独立完成证明过程.学生动手操作,独立思考,然后汇报自己的发现.学生互相补充,教师指导,追问2:由角的平分线的性质的证明过程,你能概括出证明几何命题的一般步骤吗?师生活动:师生共同概括证明几何命题的一般步聚:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.追问3:角的平分线的性质的作用是什么?师生活动:学生回答,角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等,与以前的方法相比,运用此性质不需要先证两个三角形全等.【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质,体会研究几何问题的基本思路.以角的平分线的性质的证明为例,让学生概括证明几何命题的一般步聚,发展他们的归纳概括能力.而反思性质,可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷.(三)巩固提高1.下列结论一定成立的是()A.如图1,OC 平分∠AOB,点P 在OC 上,D,E 分别为OA,OB 上的点,则PD =PE.B.如图2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,则PD=PE .C.如图3,OC 平分∠AOB,点P 在OC 上,PD⊥OA,垂足为D.若PD =3,则点P 到OB 的距离为3.图1 图2 图32.如图4,△ABC中,∠B =∠C,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB =FC.图4师生活动:学生先独立思考,然后小组交流,派代表回答,教师适时点拨,并板演证明过程.【设计意图】通过有梯度的训练,提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力.板书设计性质一:角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB(OP平分∠AOB)PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图, OP 为∠AOB 内一条射线, C,D 分别为 OA ,OB 上两点,且∠PCO+∠PDO=180°, PC=PD.求证: OP 平分∠A0B.课后反思本课时重在理解掌握性质定理一,并将其灵活应用到具体的几何问题中去,一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”,1是角平分线,2是涉及到垂直(或90度),两者缺一不可。
角平分线的性质(一)
12.3 角平分线的性质(一)备课人:汤庆许鑫一、学习目标:应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.二、学习重点:会用尺规作一个已知角的平分线.三、学习难点:会用角的平分线的性质.四、复习:1、复习思考:什么是角的平分线?以前是怎样画一个角的平分线的?2、如何画点到直线的距离?(看课本48-49完成以下内容)五、自主学习(看课本48-49完成以下内容)1、探究:上图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明__________________________.2已知:∠AOB,求作:∠AOBOB 作法:(1)以___为圆心,________为半径画弧,交______于_____,交_____于____.(2) 分别以____,____为圆心,大于___________的长为半径画弧,两弧在_____的内部交于点C.(3)画______,__________即为所求的平分线。
议一议:1.在上面作法的第二步中,去掉“大于12MN的长”这个条件行吗?六、合作探究(一)角平分线的性质1、如上图,OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA, PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长,观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结论:角的平分线的性质__________________________________________.如何证明角的平分线性质。
首先,要分清其中的“已知”和“求证”。
已知为_____________________,要证的结论是._________________ 一般情况,证明一个几何命题时,会有怎样的步骤?如图,已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。
角的平分线的性质(一)
双树实验学校教师导学案学科:数学主备人:侯铁文课题角的平分线的性质(一)周次4 总课时数16 授课时间课型新授教学目标1.应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.2.会用尺规作一个已知角的平分线.3.在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神.重点难点角的平分线的作图方法的提炼.教学手段多媒体教学程序教学内容个性设计设置提纲引导预习已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.(2)分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC即为所求.激趣生疑明确目标议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?展示交流精讲释疑演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC的方法.AB=ADBC=DCAC=AC所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠CAD=∠CAB.即射线AC就是∠DAB的平分线.老师再提出问题:通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.(2)分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC即为所求.教师根据学生的叙述,作多媒体课件演示,使学生能更直观地理解画法,提高学习数学的兴趣1.在上面作法的第二步中,去掉“大于12MN的长”这个条件行吗?2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?(设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯)盘点收获总结提升本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,•探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法.巧设练习达标检测任意画一角∠AOB,作它的平分线.作业布置板书设计教学反思。
角的平分线(基础)知识讲解
角的平分线〔基础〕【学习目标】1.掌握角平分线的性质,理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释:用符号语言表示角的平分线的性质定理:假设CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.要点二、角的平分线的逆定理角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释:用符号语言表示角的平分线的判定:假设PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图〔1〕以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E.〔2〕分别以D、E为圆心,大于12DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部〔包括顶点〕且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心,定长为半径的圆.【典型例题】类型一、角的平分线的性质【高清课堂:角平分线的性质,例2】1.如图,∠ACB =90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,DE ⊥AB 于E ,ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证:AE =CF【答案与解析】证明:∵BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE =DC 〔角的平分线上的点到角两边的距离相等〕在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE =CF【总结升华】利用角平分线的性质可得DE =DC ,为证明三角形全等提供了条件.2、如图, △ABC 中, ∠C = 90︒, AC = BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB =6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cm cm D. 以上都不对【答案】B ;【解析】由角平分线的性质,DC =DE ,△DEB 的周长=BD +DE +BE =BD +DC +BE =AC +BE=AE +BE =AB =6.【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.举一反三:【变式】已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,且:3:2AB AC =,则△ABD 与△ACD 的面积之比为〔 〕A .3:2B .3:2C .2:3 D.2:3【答案】B ;提示:∵AD 是△ABC 的角平分线,∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离,又∵:3:2AB AC =,则△ABD 与△ACD 的面积之比为3:2.3、如图,OC 是∠AOB 的角平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA 交于点D ,PE ⊥OB 交于点E ,F 是OC 上除点P 、O 外一点,连接DF 、EF ,则DF 与EF 的关系如何?证明你的结论.【答案与解析】:解:DF=EF .理由如下:∵OC 是∠AOB 的角平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA 交于点D ,PE ⊥OB 交于点E , ∴PD=PE ,由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ,∴∠OPD=∠OPE ,∴∠DPF=∠EPF .在△DPF 与△EPF 中,PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DPF ≌△EPF ,∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质.由角平分线的性质得到线段相等,是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂:角平分线的性质,例3】4、已知,如图,CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B =∠C ,BF =CF.求证:AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明: ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC 〔已知〕∴∠CDF =∠BEF =90°∵∠DFC =∠BFE(对顶角相等)∵ BF =CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF =EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ,FD ⊥AC 〔已知〕∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三:【变式】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E ,F ,BE=CF .求证:AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明:∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形.BD DC BE CF =⎧⎨=⎩, ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF 〔HL 〕,∴DE=DF ,∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴AD是角平分线.类型三、点的轨迹5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.【答案】以A为圆心,半径为3cm的圆.【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形.【总结升华】此题所求圆心的轨迹,就是到顶点的距离等于定长的点的集合,因此应该是一个圆.。
角平分线的性质是什么
角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点,称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线,这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线,可过该点向另一边作垂线;
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线,可延长该垂线段交于角的另一边;
3、在角平分线的两边截取等线段,构造全等。
三角形的三条角平分线交于一点,称作三角形的内心。
三角形的'内心到三角形三边的距离相等。
三角形一个角的平分线,这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知,三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角,所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角的平分线的性质
角的平分线的性质一. 基础知识1.角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2)书写格式如图所示,∵点P在∠AOB的角平分线上,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.2.角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2)书写格式如图所示,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴点P在∠AOB的角平分线上.3.运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时,题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置,只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时,一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线,并且要求的点是到两线的距离相等,常常确定两线夹角的平分线上的点,这个过程就是建立数学模型的过程,这是在解决实际问题中常用的方法.4.运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中,如果出现了某个地点到某些线的距离相等,常先把实际问题转化为数学问题,即建立数学模型(角的平分线).然后根据已知某点到角两边的距离相等,则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下:对于角的平分线的性质和判定,一方面要正确理解和明确其条件和结论,“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换,在应用时不要混淆,性质是证两条线段相等的依据,判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时,常过角平分线上的点向角的两边作垂线,根据角平分线的性质得线段相等.同样,欲证明某射线为角平分线时,只需过其上一点向角的两边作垂线,再证线段相等即可.6.运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中,确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题,常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目,性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形内部一点,并且交点到该三角形三边的距离都相等,其实只要作出其中两条角平分线的交点,第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点,这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条,所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如下图所示,三条公路l1,l2,l3两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,可供选择的地方有多少处?你能在图中找出来吗?解:三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等;∠ACB,∠ABC的外角平分线交于一点,利用角的平分线的性质和判定定理,可以得到此点也在∠CAB的平分线上,且到公路l1,l2,l3的距离相等;同理还有∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点;∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点,因此满足条件的点共有4个.作法:(1)如右图所示,作出△ABC两内角∠BAC,∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB,∠ABC的外角平分线的交点O2,∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点O3,∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点O4;故满足条件的修建点有四处,即点O1,O2,O3,O4处.课堂练习一、填空题1.已知:△ABC 中,∠B =90°, ∠A 、∠C 的平分线交于点O ,则∠AOC 的度数为 .2.角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________.3.∠AOB 的平分线上一点M ,M 到 OA 的距离为1.5 cm ,则M 到OB 的距离为_________.4.如图,∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ,且CD =CE ,则∠DOC =_________. 5.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是角平分线,DE ⊥AB 于E ,且DE =3 cm ,BD =5 cm ,则BC =_____cm .6.如图,CD 为Rt △ABC 斜边上的高,∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ,FG ⊥AB ,垂足为G ,则CF ______FG ,CE ________CF .7.如图,已知AB 、CD 相交于点E ,∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ,则直线MN 与PQ 的关系是_________.8.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到________________相等. 9.点O 是△ABC 内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A =60°,则∠BOC 的度数为_____________.10.在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,若BC =32且BD ∶CD =9∶7,则D 到AB 的距离为 .第4题第5题第6题第7题二、选择题11.三角形中到三边距离相等的点是( )A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 12.如图,∠1=∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,下列结论错误的是( )A 、PD =PEB 、OD =OEC 、∠DPO =∠EPOD 、PD =OD 13.如图,直线l 1,l 2,l 3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14.如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,且AB =6㎝,则△DEB 的周长为( )A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15.如图,MP ⊥NP ,MQ 为△MNP 的角平分线,MT =MP ,连接TQ ,则下列结论中不正确的是( )A 、TQ =PQB 、∠MQT =∠MQPC 、∠QTN =90°D 、∠NQT =∠MQTNTQPM第15题16.如图在△ABC 中,∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于D ,如果AC =3 cm ,那么AE +DE 等于( )EDCBAA .2 cmB .3 cmC .4 cmD .5 cm17.如图,已知AB =AC ,AE =AF ,BE 与CF 交于点D ,则对于下列结论:①△ABE ≌△ACF ;②△BDF ≌△CDE ;③D 在∠BAC 的平分线上.其中正确的是( )A .①B .②C .①和②D .①②③EDC BAF18.如图,AB =AD ,CB =CD ,AC 、BD 相交于点O ,则下列结论正确的是( )A .OA =OCB .点O 到AB 、CD 的距离相等C .∠BDA =∠BDCD .点O 到CB 、CD 的距离相等19.△ABC 中,∠C =90°,点O 为△ABC 三条角平分线的交点,OD ⊥BC 于D ,OE ⊥AC 于E ,OF ⊥AB 于F ,且AB =10cm ,BC =8cm ,AC =6cm ,则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为( )A .2cm ,2cm ,2cm ;B . 3cm ,3cm ,3cm ;C . 4cm ,4cm ,4cm ;D . 2cm ,3cm ,5cm 20.两个三角形有两个角对应相等,正确说法是( )A .两个三角形全等B .如果还有一角相等,两三角形就全等C .两个三角形一定不全等D .如果一对等角的角平分线相等,两三角形全等 三、解答与证明21. 如图,已知△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,求证:D 到AB 、AC 的距离相等.DCAO 第18题22. 如图,已知BE ⊥AC 于E ,CF ⊥AB 于F ,BE 、CF 相交于点D ,若BD =CD .求证:AD 平分∠BAC .23. 如图,已知BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD ,且交BE 于E .求证:AE 平分∠FAC .F CAE24. 如图,已知AB =AC ,AD =AE ,DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第(1)中的条件,是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE25.如图,∠B =∠C =90°M 是BC的中点,DM 平分∠ADC ,求证:AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图.已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR ⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.(1)求BP、CQ、AR的长.(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:OE=OF.2.如图.AE、BD是△ABM的高.AE、BD交于点C,且AE=BE,BD平分∠ABM.(1)求证:BC=2AD;(2)求证:AB=AE+CE;(3)求证:DE平分∠MDB3.如图,点M(2,2),将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处,角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B,AP平分∠OAB,交OM于点P,PN⊥x轴于N,把角尺绕点M旋转时:(1)求证:OM平分∠AOB;(2)求OA+OB的值4.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE交于点H,连CH.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)求证:CH平分∠AHE;(3)求∠CHE的度数.(用含α的式子表示)家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________.2、∠AOB 的平分线上一点M ,M 到 OA 的距离为1.5 cm ,则M 到OB 的距离为_________.3、如图,∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ,且CD =CE ,则∠DOC =_________.4、如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是角平分线,DE ⊥AB 于E ,且DE =3 cm ,BD =5 cm ,则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到________________相等。
12.3 角的平分线的性质
距离与点 O 到 CD 的距离之和是 .
第 3页(共 15页)
15.如图, ABC 中, DF 平分 BDE , EF 平分 DEC , 求证: AF 平分 BAC .
二、作图—尺规作图的定义
16.下列作图语句的叙述正确的是 ( )
A.以点 O 为圆心画弧 C.延长线段 BC 到点 D ,使 CD BC
第 1页(共 15页)
12.3 角的平分线的性质
一、角平分线的性质 1.(2020 春•扶风县期末)如图,在 ABC 中,AD 是角平分线,DE AB 于点 E ,ABC 的面积为 15,AB 6 , DE 3 ,则 AC 的长是 ( )
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
A.8
B.6
C.5
D.4
2.(2019 秋•长清区期末)如图,RtABC 中,C 90 ,AD 平分 BAC ,交 BC 于点 D ,AB 10 ,SABD 15 ,
则 CD 的长为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.(2019 秋•博兴县期中)如图所示,在 ABC 中,AC BC ,AE 为 BAC 的平分线,DE AB ,AB 7cm ,
DC 2 ,则 ABD 的面积为 .
11.(2019 秋•广丰区期末)平面上有三条直线两两相交且不共点,那么平面上到此三条直线距离相等的点
的个数是 .
12.(2018 秋•黔南州期末)如图,已知 ABC 的周长是 21,OB ,OC 分别平分 ABC 和 ACB ,OD BC
于 D ,且 OD 4 , ABC 的面积是
ABC 内角平分线的交点满足条件;
如图:点 P 是 ABC 两条外角平分线的交点,
角的平分线的性质1
A
C
P
O
E
B
归纳
角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距 离相等。
D A C P O E B
新授 几何语言描述: ∵OC平分∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB ∴PD= PE
O
D
A C
P
E
B
范例 例1.已知:如图,BC、AD分别垂直 OA、OB,BC和AD相交于E,且OE 平分∠AOB。 O 求证:EA=EB。 C D
A
1.以O为圆心,适当长为 M 半径画弧,交OA于M, C 交OB于N; 2.分别以M、N为圆 O 1 N B 心,大于 2 MN的长 为半径画弧,两弧在 ∴OC就是∠AOB ∠AOB的内部交于点C; 的平分线。 3.作射线OC。 下结论
巩固 1.已知:如图,∠AOB。 求作:OD平分∠AOB。
用直尺和圆规画角 的平分线的方法:
受确定:天上地下唯我独尊/它确定天地唯有の神剑/唯有の锋芒/即使确定至尊/都无法触其锋芒/ 这种感知让冰凌王难以置信/无法想象马开居然敢凝聚出这样の法则の/太过惊世骇俗咯/最让它震撼の确定/凝聚成功咯/ 敢凝聚和凝聚成功确定两佫概念/要成功凝聚这样の法则/马开の信念要多么坚定/对 天地の感悟何其之神/自己の元灵和身体要共振到何种地步/ 这吃要超出至尊の感悟/超出至尊の元灵/说说容易/但要做到/难比登天/ 马开身居至尊法/也拥有抪少圣法/更确定有无穷の法则/要从至尊法/圣法/法则中超脱出来/这几乎确定抪可能の/可确定马开做到咯/ 正如冰凌王想の那样/马开走到这壹 步十分抪易/抪只确定把自己の气海化作元气海/抪只确定凝聚无数法则/更确定抪断感悟自身/感悟天地/感悟各种法/才走到这壹步/而且十分侥幸/ 马开差壹点点就失败咯/可幸好の确定/它终于走到咯这壹步/ 此刻の马开
人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》教案
人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》这一节,主要让学生掌握角平分线的性质,能够运用角平分线解决一些几何问题。
教材通过角的平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质,引导学生探究并证明这一结论,从而培养学生的逻辑思维能力和探究精神。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了角的概念,线段的概念,对几何图形的认知有一定的基础。
但是,对于角平分线的性质,可能还没有直观的认识,需要通过实例和证明来理解和掌握。
同时,学生可能对证明过程感到困难,需要教师耐心引导和解答。
三. 教学目标1.让学生了解角平分线的性质,能够运用角平分线解决一些几何问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和探究精神。
3.提高学生的几何证明能力。
四. 教学重难点1.角平分线性质的掌握。
2.角平分线性质的证明。
五. 教学方法采用问题驱动法,让学生在解决问题的过程中,发现和总结角平分线的性质。
同时,运用分组合作法,让学生在小组讨论中,共同探究和证明角平分线的性质。
最后,运用实例讲解法,让学生通过具体的例子,理解和掌握角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的性质的实例和证明。
2.准备相关的几何题目,用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过提问方式,引导学生回顾角的概念,线段的概念,为新课的学习做好铺垫。
2.呈现(10分钟)展示角平分线的性质的实例,让学生观察并描述实例中的特点。
引导学生发现角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质。
3.操练(10分钟)让学生在小组内,运用角平分线的性质,解决一些几何问题。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)讲解一些运用角平分线解决几何问题的题目,让学生在解题过程中,巩固对角平分线性质的理解。
5.拓展(10分钟)引导学生思考:角平分线性质的证明。
让学生尝试用已学的知识,证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。
6.小结(5分钟)教师引导学生总结本节课所学的内容,让学生明确角平分线的性质,并能够运用到实际问题中。
角平分线的性质(一)说课
E A
小结: 八、小结:
• 一、角平分线的定义是: 角平分线的定义是: • 从一个角的顶点引出一条射线,把这个角 从一个角的顶点引出一条射线, 分成两个相等的角, 分成两个相等的角,这条射线叫做这个角 的角平分线。 的角平分线。 • 二、角平分线的性质: 角平分线的性质: • 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
D
那我们的详细证明 过程是: 过程是:
C P
O
E
B
A D C P
O
E
B
证明: 证明: PD、PE分别垂直于OA、OB且垂足为 分别垂直于OA 且垂足为D E∴∠PDO=90° ∵PD、PE分别垂直于OA、OB且垂足为D、E∴∠PDO=90°; PEO=90° 垂线定义) ∠PEO=90°(垂线定义) PDO与 PEO均为直角三角形 ∴⊿PDO与⊿PEO均为直角三角形 OC是 AOB的角平分线∴∠POD=∠POE 角平分线定义) 的角平分线∴∠POD=∠POE( ∵OC是∠AOB的角平分线∴∠POD=∠POE(角平分线定义) 那么在RT RT⊿ PDO和RT⊿PEO中 那么在RT⊿ PDO和RT⊿PEO中: PDO=∠PEO=90° 已得) (1)∠PDO=∠PEO=90°(已得) POD=∠POE(已得) (2)∠POD=∠POE(已得) OP=PO(公共边) (3)OP=PO(公共边) 因此RT RT⊿ PDO≌RT⊿PEO(AAS) 因此RT⊿ PDO≌RT⊿PEO(AAS) PD=PE(全等三角形的对应边相等) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
A D C P
O
E
B
我们得到一个角平分线的性质: 我们得到一个角平分线的性质:
角的平分线的性质1
1.以O为圆心,适当 长为半径作弧,交OA于点 M,交OB于点N. 2.分别以M,N为 圆心.大于 1/2 MN的长 为半径作弧.两弧在∠A OB的内部交于C. 3.作射线OC.
A M C
O
N
追问 你能说明为什么射线OC 是 ∠AOB 的平分线吗?
B
射线OC即为所求.
2.经历实验过程,发现并证明角的平分线的性 质
A
D
C P
O B
E
练习1 下列结论一定成立的是 (3). (3)如图,OC 平分∠AOB,点P 在OC 上,PD⊥OA, 垂足为D.若PD =3,则点P 到OB 的距离为3.
A
D
C P
O B
练习2 如图,△ABC中,∠B =∠C,AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求 证:EB =FC. A
问题 利用尺规我们可以作一个角的平分线,那 么角的平分线有什么性质呢? 如图,任意作一个角∠AOB,作出∠A的平分线 OC,在OC 上任取一点P,过点 A P 画出OA,OB 的垂线,分别记 D 垂足为D,E,测量 PD,PE 并 C 作比较,你得到什么结论? P O
E
B
角的平分线的性质
性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
12.3 角的平分线的性质 (第1课时)
情境问题 1 、如图,是一个角平分仪, 其中AB=AD,BC=DC。 将点 A 放在角的顶点 ,AB 和 AD 沿着角的两边放下 , 沿 AC 画一 条射线 AE,AE 就是角平分线, 你能说明它的道理吗?
A
D B
?
C E
如何用尺规作角平分线?
1.尺规作角的平分线
条件:一个点在一个角平分线上 结论:这个点到角的两边的距离相等
13.3.1 角的平分线的性质(一)
§13.3 角的平分线的性质§13.3.1 角的平分线的性质(一)教学目标(一)教学知识点角平分线的画法.(二)能力训练要求1.应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.2.会用尺规作一个已知角的平分线.(三)情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神.教学重点利用尺规作已知角的平分线.教学难点角的平分线的作图方法的提炼.教学方法讲练结合法.教具准备多媒体课件(或投影).教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境问题1:三角形中有哪些重要线段.问题2:你能作出这些线段吗?[生甲]三角形中有三条重要线段,它们分别是:三角形的高,三角形的中线,三角形的角的平分线.过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线,交对边于一点,顶点与垂足的连线就是这个三角形的高.取三角形一边的中点,此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线.用量角器量出三角形的角的大小,量角器零度线与这个角的一边重合,这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线.[生乙]我不同意你对角平分线的描述,三角形的角平分线是一条线段,而一个已知角的平分线是一条射线,这两个概念是有区别的.[师]你补充得很好.数学是一门严密性很强的学科,你的这种精神值得我们学习.如果老师手里只有直尺和圆规,你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗?Ⅱ.导入新课[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点.求证:∠MOC=∠NOC.通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ,即可证明∠MOC=∠NOC ,所以射线OC 就是∠AOB 的平分线.受这个题的启示,我们能不能这样做:在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ,再分别过M 、N 作MC ⊥OA ,NC ⊥OB ,MC•与NC 交于C 点,连接OC ,那么OC 就是∠AOB 的平分线了.[师]他这个方案可行吗?(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行)[师]这位同学不仅给了操作方法,而且还讲明了操作原理.这种学以致用,•联想迁移的学习方法值得大家借鉴.议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD ,BC=DC .将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗?教师活动:播放多媒体课件,演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC 的方法.学生活动:观看多媒体课件,讨论操作原理.[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB .[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中,那么证明这两个三角形全等就可以了.[生3]我们看看条件够不够.AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC (SSS ).所以∠CAD=∠CAB .即射线AC 就是∠DAB 的平分线.[生4]原来用三角形全等,就可以解决角相等.线段相等的一些问题.看来温故是可以知新的.老师再提出问题:通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.(分小组完成这项活动,教师可参与到学生活动中,及时发现问题,给予启发和指导,使讲评更具有针对性)讨论结果展示:作已知角的平分线的方法:已知:∠AOB .求作:∠AOB 的平分线.作法:(1)以O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA 、OB 于M 、N .(2)分别以M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C .(3)作射线OC ,射线OC 即为所求.(教师根据学生的叙述,作多媒体课件演示,使学生能更直观地理解画法,提高学习数学的兴趣).议一议:1.在上面作法的第二步中,去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗?(设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯)学生讨论结果总结:1.去掉“大于12MN 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.2.若分别以M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB•的内部,也可能在∠AOB 的外部,而我们要找的是∠AOB 内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.练一练:任意画一角∠AOB ,作它的平分线.Ⅲ.随堂练习课本P106练习.练后总结:平角∠AOB 的平分线OC 与直线AB 垂直.将OC 反向延长得到直线CD ,直线CD 与AB•也垂直.Ⅳ.课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,•探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法.Ⅴ.课后作业1.课本P108习题13.2─1、2.2.预习课本P106~107内容.。
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E D C
B A
12.3角的平分线的性质
学习目标:
1、经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.
2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题. 学习重点:掌握角的平分线的性质定理 学习难点: 角平分线定理的应用。
学习过程
一.提出问题,创设情境 1、复习思考
什么是角的平分线?怎样画一个角的平分线?
2.如右图,AB =AD ,BC =DC , 沿着A 、C 画一条射线AE ,AE 就是 ∠BAD 的角平分线,你知道为什么吗? 二.自主学习 指向目标
3.根据角平分仪的制作原理,如何用尺规作角的平分线?自学课本 19页后,用尺规平分∠AOB 。
【思考】:为什么要用大于
2
1
MN 的长为半径画弧?
4.OC 是∠AOB 的平分线,点P 是射线OC 上的任意一点, 【小组合作 操作测量】:取点P 的三个不同的位置,分别过点P 作PD ⊥OA ,PE ⊥OB,点D 、E 为垂足,测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表:观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系,写出结论
PD PE 第一次 第二次 第三次
【点拨升华】角平分线性质:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
结合第4题图形请你写出已知和求证,并证明命题的正确性
【点拨升华】用数学语言来表述角的平分线的性质定理: 如右上图,∵OC 是∠AOB 的平分线,点P 是 OC 上一点,PD ⊥OA, PE ⊥OB ∴ PD =PE 三.合作探究 达成目标
例:如图:在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,BD=DF ; 求证:CF=EB 【分析】:(1)、要证CF=EB 需证什么?
(2)、三角形全等有哪些条件?
变式训练:
1.在Rt △ABC 中,BD 平分∠ABC , DE ⊥AB 于E ,则 ⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢? ⑵哪条线段与DE 相等?为什么?
⑶若AB =10,BC =8,AC =6,求BE ,AE 的长和△AED 的周长。
2.如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB , AB =7㎝,AC =3㎝,求BE 的长
四.总结梳理 内化目标
这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流 角平分线上的点到角两边的距离相等 五.达标测评 反思目标
一、选择题.
1.如图1,AC ⊥BC ,DE ⊥AB ,AD 平分∠BAC ,下面结论错误的是( ).
A .BD+ED=BC
B .DE 平分∠ADB
C .A
D 平分∠EDC D .ED+AC>AD
2.如图2:△ABC 中,∠C=90°,E 是AB 中点,D 在∠B 的平分线上,DE ⊥AB ,则( ). E
D C B A
A C
B D E 图1 图2 D 图3
B A F P
C E
A .BC>AE
B .BC=AE
C .BC<AE
D .以上全不对
3.如图3,P 是∠BAC 的平分线AD 上一点,PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,下列结论中不正确的是( )
A .DE=DF
B .AE=AF
C .△ADE ≌△ADF
D .AD=DE+DF 4.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是( )
A .45°
B .135°
C .45°或135°
D .都不对
5.如图4所示,已知△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB ,交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。
A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定
C
A B
C
D E
3题图 D C B
A
6.如图5,在△ABC 中,∠C =900,BC =40,AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ,且DC ∶DB
=3∶5,则点D 到AB 的距离是 。
7.如图6,已知BD 是∠ABC 的内角平分线,CD 是∠ACB 的外角平分线,由D 出发,作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ,垂足分别为E 、F 、G ,则DE 、DF 、DG 的关系是 。
8.如图7,已知AB ∥CD ,O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点,OE ⊥AC 于E ,且OE=2,则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。
9.已知△ABC 中,∠A=80°,∠B 和∠C 的角平分线交于O 点,则∠BOC= 。
10.如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上的一点,PD ⊥OA 交OA 与D ,
PE ⊥OB 交OB 与E ,F 是OC 上的另一点,连接DF,EF,求证:DF=EF.
11.如图所示,BD=DC,DE ⊥BC,交∠BAC 的平分线于E ,EM ⊥AB,EN ⊥AC,
求证:BM=CN
12.如图所示,已知在△AEC 中,∠E=90°,AD 平分∠EAC,DF ⊥AC,垂足为F,DB=DC. 求证:BE=CF.
13.如图,过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ,使AM ∥BN,按下列要求画图并回答: 画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E 。
(12分) (1)∠AEB 是什么角?
(2)过点E 作一直线交AM 于D ,交BN 于C ,观察线段DE 、CE ,你有何发现?
(3)无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动,只要DC 经过点E ,①AD+BC=AB ;②AD+BC=CD 谁成立?并说明理由。
作业布置:习题11.1综合运用3、4题 教后反思:
O
P
D
A
E
F
B
C
图4
图5
图6
图7
A C N
E
M
B
D
A
B F
C
D
E。