角的平分线的性质一

E D C

B A

12.3角的平分线的性质

学习目标:

1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．

2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题. 学习重点：掌握角的平分线的性质定理 学习难点: 角平分线定理的应用。 学习过程

一．提出问题，创设情境 1、复习思考

什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？

2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是 ∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗? 二．自主学习 指向目标

3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本 19页后，用尺规平分∠AOB 。

【思考】：为什么要用大于

2

1

MN 的长为半径画弧？

4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点， 【小组合作 操作测量】：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论

PD PE 第一次 第二次 第三次

【点拨升华】角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性

【点拨升华】用数学语言来表述角的平分线的性质定理： 如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是 OC 上一点，PD ⊥OA, PE ⊥OB ∴ PD ＝PE 三．合作探究 达成目标

例：如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 【分析】：（1）、要证CF=EB 需证什么？

（2）、三角形全等有哪些条件？

变式训练:

1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？

⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。

2.如图,在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长

四．总结梳理 内化目标

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 角平分线上的点到角两边的距离相等 五．达标测评 反思目标

一、选择题．

1．如图1，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）．

A ．BD+ED=BC

B ．DE 平分∠ADB

C ．A

D 平分∠EDC D ．ED+AC>AD

2．如图2：△ABC 中，∠C=90°，E 是AB 中点，D 在∠B 的平分线上，DE ⊥AB ，则（ ）． E

D C B A

A C

B D E 图1 图2 D 图3

B A F P

C E

A ．BC>AE

B ．BC=AE

C ．BC

D ．以上全不对

3．如图3，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）

A ．DE=DF

B ．AE=AF

C ．△ADE ≌△ADF

D ．AD=DE+DF 4．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）

A ．45°

B ．135°

C ．45°或135°

D ．都不对

5．如图4所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定

C

A B

C

D E

3题图 D C B

A

6．如图5，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB

＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

7．如图6，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。

8．如图7，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。

9．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。 10.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 与D ，

PE ⊥OB 交OB 与E ，F 是OC 上的另一点，连接DF,EF,求证：DF=EF.

11.如图所示，BD=DC,DE ⊥BC,交∠BAC 的平分线于E ，EM ⊥AB,EN ⊥AC,

求证：BM=CN

12.如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC,DF ⊥AC,垂足为F,DB=DC. 求证：BE=CF.

13.如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN,按下列要求画图并回答： 画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E 。（12分） （1）∠AEB 是什么角？

（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？

（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。

作业布置：习题11.1综合运用3、4题 教后反思：

O

P

D

A

E

F

B

C

图4

图5

图6

图7

A C N

E

M

B

D

A

B F

C

D

E