抛物线性质及证明
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抛物线性质及证明Writer：Dreaming Rainbow 版权所有，转载请注明作者
抛物线
焦点弦性质
AB 是抛物线的焦点弦（即过焦点F ），过A 、B 作对称轴的平行线交准线于P 、Q 两点，M 、N 分别是AB 和PQ 的中点，G 、H 分别为PF 和QF 的中点，E 是MN 的中点。1.AB MN 2
1=证：由抛物线定义，()()AB FB FA QB PA MN 2
12121=+=+=。2.以AB 为直径的圆与准线相切于N
证：由1即证。
3.NB
AN ⊥证：由2即证。
4.抛物线上点()00,y x 处的切线方程为()
x x p y y +=00证：由抛物线方程p y x 22
=得p
y dy
dx y y 00==，故切线方程为()000002x p y y y y p y x x -=-=-，即()x x p y y +=00。5.设()()2211,,,y x B y x A ，则4,2
212
21p x x p y y =-=
证：设2
:p ty x AB +=，代入抛物线方程得0222=--p pty y ，由Vieta 定理221p y y -=，pt y y 221=+，因此()4422222212122121p p y y t p y y t p ty p ty x x =+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=6.A 、B 两点处的切线相交于N 点
证：由4，联立两点切线方程得交点坐标为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+2,22121y y p y y ，由5知其为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p ，即N 点。
7.NA 切抛物线于A ，NB 切抛物线于B
证：由6即证。
8.FP 平分∠AFO ，FQ 平分∠BFO 证：由抛物线定义AP FA =，故∠AFP=∠APF=∠PFO ，即FP 平分∠AFO ，同理FQ 平分∠BFO 。
9.NA 平分∠PAF ，NB 平分∠PBF
证：由4知A 点处切线交x 轴于()0,1x C -，于是FA p x FC =+=2
1，故∠NAF=∠NCF=∠PAN ，即NA 平分∠PAF ，同理NB 平分∠PBF 。
10.NA 垂直平分PF 于G ，NB 垂直平分QF 于H
证：因为△APF 为等腰三角形，由9知NA 是底边PF 的中垂线，即NA 垂直平分PF 于G ，同理NB 垂直平分QF 于H 。
11.NA 平分∠PNF ，NB 平分∠QNF
证：由10知△PNG ≌△FNG ，故∠PNG=∠FNG ，即NA 平分∠PNF ，同理NB 平分∠QNF 。12.PQ FN 2
1=证：由11的证明过程知NQ NF NP ==，即PQ FN 2
1=。13.FQ
PF ⊥证：由12知以PQ 为直径的圆与AB 相切于F ，因此FQ PF ⊥。
14.AB
FN ⊥证：由12和11知△PNA ≌△FNA ，因此由13知AB FN ⊥。
15.FB
FA NF =2证：由3和14即证。16.FB
FA PQ 42=证：由15和12即证。
17.直线AQ 过点O ，直线BP 过点O
证：直线AQ 的方程为()112112
x x p x y y y y -+-=-，于是由5知AQ 与y 轴交点的纵坐标为()02
22222221212112111211121111=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+--=p x y ty y y p p x y p ty y p p x y x y p p x y x y x y y ，即直线AQ 过点O ，同理直线BP 过点O 。
18.设∠AFx=α，则2
cot ,2cot 2121ααp y p x ==证：由三角函数定义22cos 11p x p x +-=α，解得2cot 221αp x =，因此2
cot sin 211ααp p x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=。19.α
αcos 1,cos 1+=-=p FB p FA 证：由18的证明过程知2cos 11p x p
+
=-α，于是α
cos 121-=+=p p x FA ，同理αcos 1+=p FB 。20.p
FB FA 211=+证：由19即证。
21.α
221sin 2p p x x AB =
++=证：由19即证。22.p
AB 2≥证：由21即证。23.α
sin 22p S AOB =∆证：由21，ααsin 2sin 2212
p AB p S AOB
==∆。24.3
22⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆p AB S AOB 证：由21,23即证。25.α
32sin p S ANB =∆证：由1,21，αα32
sin sin 21p AB MN S ANB
==∆。26.2
p S ANB ≥∆证：由25即证。
一般弦性质
AB 是抛物线的弦，过A 、B 作对称轴的平行线交准线于P 、Q 两点，M 是AB 的中点，N 是A 、B 两点处切线的交点，E 是MN 的中点。
1.NA 平分∠PAF ，NB 平分∠PBF （前面9已证）
2.△PNA ≌△FNA ，△QNB ≌△FNB
证：由1和抛物线定义即证。
3.NA 平分∠PNF ，NB 平分∠QNF
证：由2即证。4.NQ
NP NF ==证：由2即证。
5.∠NFA=∠NFB
证：由4和2即证。
6.MN 平行于x 轴（前面6已证）
7.E 在抛物线上
证：设m ty x AB +=:，代入抛物线方程得0222
=--pm pty y ，由Vieta 定理：pm y y pt y y 2,22121-==+，于是由前面6知()pt m N ,-，又()
pt m pt M ,2+，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛pt pt E ,22，它在抛物线上。