73由图形运动产生的函数关系(下)

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函数图像的几何变换

函数图像的几何变换一．1.考查函数图像是近年来高考的一个热点。

题型有二：一是给函数解析式，指出函数图像，多以选择题的形式出现；二是由函数，画出函数图像或者示意图，利用形数结合法解题，其中常用到几种常见函数的图像变化。

2. 高中常见的函数几何图象变换有4种：平移、对称、局部翻折、伸缩变换等。

平常做题时，尽量根据函数性质和几何变换，画出函数图像，以便数形结合、直观明了。

二.4种函数图像变换（一）平移变换1.上下平移，上加下减y=f(x)————y=f(x)+bb为正时，上移b个单位；b为负时，下移b的绝对值个单位。

2. 左右平移，左加右减y=f(x)—————y=f(x+a)a大于0时左移；a小于0时，右移a的绝对值个单位。

（二）对称变换：1. 关于x轴对称，由点（x,y)和点（x,-y)关于x轴对称得到。

y=f(x)——————y=-f(x)2. 关于y轴对称。

由点（x,y)和点（-x,y)关于y轴对称，而得到下列函数图像关于y轴对称。

y=f(x)——————y=f(-x)3. 关于原点对称由点(x,y)和点(-x,-y)关于坐标原点对称而得到。

y=f(x)———————y=-f(-x)4. 关于直线y=x对称点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称，得到原函数和反函数的图像也关于上述直线对称。

（三）局部对称翻折1. 留右，右翻左。

自变量取绝对值型。

因自变量取绝对值是偶函数，x大于等于0时，x的绝对值等于x，所以保留y轴的右边图像不变，再将y轴右边的图像对称地翻到y轴左边。

y=f(x)——————y=f(|x|)2. 留上，下翻上型函数值外面取绝对值型，因为当函数值为正时，函数值不变，故留上；当函数值为负时，负数的绝对值是其相反数，故x轴下方的图像要翻到x轴上方。

y=f(x)——————y=|f(x)|（四）伸缩变换1. 函数值外面乘一个正常数A，纵向伸缩，横坐标不变，各点纵坐标变A倍。

y=f(x)——————y=Af(x)2. 纵不变，横变B分之一倍函数中的自变量x乘一个正常数B型。

函数图像平移

函数图像平移函数图像平移是数学中一种重要的概念，可以帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系。

在概念上，这种概念指的是将函数曲线的横坐标或纵坐标方向上进行向量平移，而函数图像的曲线形状不变。

在数学中，函数图像的平移是可以进行精确定义和计算的，可以使用函数图像平移定义、计算和推导函数曲线之间的联系。

函数图像平移的定义是：将函数图像沿横轴或纵轴向左右移动一个相应的偏移量，使得曲线的形状保持不变，但曲线的位置发生变化，函数图像的位置或曲线形状将产生相应的改变。

具体地，函数图像的平移可以用x和y的偏移量表示：若平移了dx，则函数关系变为y=f(x-dx)，若只平移了dy，则函数关系变为y=f(x)+dy，若既平移dx又平移dy，函数关系变为y=f(x-dx)+dy。

在函数图像中，偏移量dx和dy可以是正值或负值，正值表示向右平移或向上平移，负值表示向左平移或向下平移。

所以，任何平移的正负值都可以表示函数图像的平移。

例如，在函数图像中，偏移量dx=5，表示图像向右平移5个单位，偏移量dy=4，表示图像向上移动4个单位。

平移是在函数图像中广泛使用的一种概念。

函数图像的平移可以在确定函数曲线与特定函数关系之间存在的联系时发挥作用，例如在计算函数中，可以运用函数图像的平移概念来推导函数的表达式。

函数图像的平移还可以用于分析函数的不同性质，例如函数的局部极大值和极小值等。

在数学中，局部极大值和极小值是指函数曲线在特定点上的曲线斜率为0的点。

为了检测函数的局部极大值和极小值，通常需要用到函数图像的平移概念，因为平移曲线能够改变函数曲线的斜率，从而有助于我们确定函数图像中存在的极值点。

此外，函数图像的平移还可以用于求解函数的对称性。

通常来说，函数的对称性是指对一个特定的原点或轴，函数图像关于该点或轴对称。

通过改变函数图像的位置，可以确定函数图像的对称性，同时可以推导出该函数的表达式。

总的来说，函数图像的平移是一种重要的数学概念，它能够帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系，并有助于推导和求解函数的表达式以及分析函数的不同属性，因此受到了广泛的应用。

函数图象之起源

函数图象之起源函数观念古代早已有之，而函数概念则是由17世纪德国著名数学家莱布尼茨提出的。

起初，人们研究函数，只是对着函数解析式反反复复地算来算去。

后来，法国著名数学家笛卡儿引入了平面直角坐标系，该坐标系由两个数轴组成。

两个数轴互相垂直，原点重合，单位长度相等。

习惯上把铅直的数轴称为y轴，水平的数轴称为x轴，y轴的上方为正方向，x轴的右方为正方向。

从此，平面上的每一个点都可以用平面直角坐标系的坐标表示。

直角坐标系引入后，人们发现，直角坐标系用有序数对表示点，而有序数对中的两个数恰恰可以用函数中的两个变量表示。

这是数学史上的伟大创举!此后，人们就知道，函数可以通过坐标系转化成图形，从而直观地研究。

数和形是数学的两大根基，以前毫不相干，正是坐标系的出现，把作为“数”的函数转化为作为“形”的图象，从此数学发展更蓬勃。

令数有了几何意义，是很多高等数学的思想，如微积分中，导数的几何意义就是某函数的图象在一点上的切线的斜率。

函数图象的定义对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x的取值范围是无穷大，同样y也有无穷个，表示的点也就有无穷个。

这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。

函数图象的形状对于一个函数y=f(x)，由x得到y并表示一个点，那么这无数个点在平面上是不是毫无规律呢？答案是否定的。

实际上，函数的总类有很多，同一种函数的图象在人的直观上看来是相似的。

例如，一次函数f(x)=kx+b的图象就是一条直线；而正比例函数f(x)=kx的图象，因为正比例函数是特殊的一次函数，所以其图象对于一次函数的图象来说也比较特殊，是一条过原点的直线；二次函数的图象是一条抛物线；反比例函数的图象是一组双曲线；正弦函数的图象称作正弦曲线，实际上是我们常说的波浪线，等等。

函数图像的平移与伸缩

纵向伸缩：改变y轴上的距离，函数值不变
横向伸缩：改变x轴上的距离，函数值不变
横向和纵向同时伸缩：改变x 和y轴上的距离，函数值不变
伸缩对函数值的影响：伸缩不会改变函数的值，但会影
响图像的形状和大小
平移与伸缩的规律总结
平移与伸缩的规律
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平移规律：函数图像在x轴方向上平移时，函数解析式中的x值不变， y值会相应地加减平移的单位；在y轴方向上平移时，x值不变，y值加减平移的单位。
平移后的函数图像与原图像在y轴方向上错开一定距离，距离等于平移
的单位。
函数图像向下平移不改变函数的值域，即平移后的函数值仍为原函数
值的范围。
在实际应用中，向下平移函数图像可以用于描述某些物理现象或数学问题的变化规律。
函数图像的伸缩
横向伸缩
定义：将函数图像在水平方向上拉伸或压缩，保持纵坐标不变。
平移与伸缩的实例分析
一次函数的平移与伸缩
函数图像平移：y=x+1向右平移2 个单位，得到y=x-1；向左平移2 个单位，得到y=x+3。
函数值的变化：平移不改变函数值，伸缩改变函数值。
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函数图像伸缩：y=2x缩短为原来的一半，得到y=x；伸长为原来的2倍，得到y=4x。
函数图像的平移与伸缩
汇报人：XX
函数图像的平移函数图像的伸缩平移与伸缩的规律总结平移与伸缩的实例分析
函数图像的平移
向左平移
定义：将函数图像沿x轴方向向左移动一定距离变化规律：左加右减，即y=f(x+h)表示图像向左平移h个单位数学表达式：y=f(x-h)或y=f(x)+h，表示图像向右平移h个单位实例分析：以一次函数y=2x为例，向左平移2个单位后得到新函数y=2(x+2)=2x+4

动态几何问题动态几何中的函数问题

动态几何问题动态几何中的函数问题近几年动态几何命题的趋势是：运动对象从动点型→动线型→动图型；运动形式从平移→旋转→对称→位似→折叠；蕴涵的函数关系从一次函数→二次函数→分段函数。

从知识整合的角度来看不仅有几何代数的数形结合，还有几何坐标的解析整合，较好地渗透了分类讨论，数形结合。

转化等数学思想方法，有较强的综合性。

本文主要探讨如何解决动态几何中的函数问题。

其基本策略：把握图形的运动规律，寻求图形运动的一般与特殊位置关系，在“动”中探求“静”的本质，在“静”中去探“动”的规律。

解决问题时在“动”中建立变量之间的函数关系，在“静”中利用函数关系解决几何问题。

图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围，利用函数关系去解决有关的几何问题。

例1已知：如图1，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm、，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t()，解答下列问题：(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y与t的关系式；是否存在其中一时刻t使四边形APQC的面积是△A BC面积的23如果存在，求出相应的t值，不存在请说明理由。

(3)设PQ的长(cm)，试确定y与之间的关系式。

图1图2略解(1)由题意，得AP=tcm，BQ=tcm，在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，所以BP=(3-t)cm，在△PBQ中，BP=(3-t)cm。

BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°，BQ=12BP时，即t=12(3-t)，t=1()。

当∠BPQ=90°时，BP=12BQ。

3-t=12t，t=2()，故当t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形。

函数图像与导数关系理解

函数图像与导数是微积分中重要的概念。

图像是函数的可视化表示，而导数是函数与其自变量之间的关系。

理解函数图像与导数之间的关系对于解决实际问题和深入理解数学的本质具有重要意义。

首先，我们来了解一下函数图像。

函数图像是函数在坐标系中的几何表达。

它展示了函数的输出值随着自变量的变化而变化的规律。

通过观察函数图像，我们可以获得函数的性质、特点和行为。

例如，考虑一个简单的一次函数 y = 2x + 1。

我们可以通过将自变量 x 的值代入函数来计算出相应的 y 值，并绘制出这些点。

通过连接这些点，我们可以得到一条直线。

这就是函数 y = 2x + 1 的图像。

我们可以看到，随着 x 的增加，y 也以一定的比例增加，从而得到一条斜率为 2 的直线。

接下来，让我们转向导数的概念。

导数可以被认为是函数图像的变化率。

它衡量了函数在某个特定点上的斜率，描述了函数在该点的瞬时变化情况。

通过导数，我们可以深入了解函数的特性，并解决一些实际问题。

导数可以通过求取函数在某一点的斜率来计算。

对于函数 y = 2x + 1，我们可以通过求取不同点处的导数来了解它的变化率。

对于任意给定的 x0，我们计算出在该点上函数图像的切线斜率。

这个切线斜率就是导数。

对于一次函数 y = 2x + 1，求导后得到的导函数为y’ = 2。

这意味着在这个函数图像的任何一个点上，其变化率都为常数。

导函数为正数时，说明函数是递增的；导函数为负数时，说明函数是递减的。

进一步，我们可以解析地理解函数图像与导数的关系。

对于函数 y = 2x + 1，导函数y’ = 2 表示该函数的斜率为 2，在每个点上都是如此。

换句话说，这是一条直线，而且其斜率不会改变。

这个结论可以在函数图像上直观地看到，因为函数图像是一条直线。

在更复杂的函数中，导数表达了函数图像的曲线特性。

当导数为正时，函数图像呈现上升态势；当导数为负时，函数图像呈现下降态势。

此外，导数的变化量也提供了函数图像曲线的“弯曲”程度的信息。

图形运动与函数关系

图形运动与函数关系动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。

这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。

常用到的解题工具有方程，三角函数的知识和几何的有关定理。

解答这类问题的基本策略是：（1）动中求静，化变量为常量，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，即抓住“静”的瞬间，使一般情况转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系。

明确图形中内在联系。

(3) 化繁为简，观察提炼。

一要注意图形的直观提示，二是注意分析挖掘题的隐含条件，不断由已知想可知，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题关键。

一、点的运动问题在三角形、特殊的四边形等一些图形上，有一个或几个动点，探究这些点在运动变化过程中伴随着的变化规律．对于此类问题，要注意用运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静．例1 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm ；②当0＜t ≤5时；；③直线NH 的解析式为y=－25t+27； ④若△ABE 与△QBP 相似，则t=429秒。

其中正确的结论个数为（） A. 4 B. 3C. 2D. 1 练习：（ 2014•安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记P A =x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ． C例2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx 4=+-与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M ，H 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点H 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ，设点M 的运动时间为t 秒（t ＞0）．求点M 的运动时间t 与△APH 的面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．练习：在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l ：x ＝1，点A （2，0），点E 、点F 、点M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P ．（1）若点M 的坐标为（1，-1），①当点F 的坐标为（1，1）时，如图，求点P 的坐标；②当点F 为直线l 上的动点时，记点P （x ，y ），求y 关于x 的函数解析式．（2）若点M （1，m ），点F （1，t ），其中t≠0，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，当OQ=PQ 时，试用含t 的式子表示m ．2．线的运动问题动线几何类试题是指研究直线或线段按指定的路径进行平移或旋转过程中的变化关系和变化规律的一类综合性较强的试题．解决此类试题的关键是“动中取静”，即抓住静的瞬间，把一般情形转化为特殊情形，抓住变化中的不变量，巧妙地利用各变量之间的关系建模解决问题例3 (2014·广东)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t 秒(t＞0)．(1（1)当t＝2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．练习1.（2014•甘肃兰州,第15题4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．2.如图，边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2），一次函数y ＝x ＋t 的图象从过原点的位置沿y 轴向上平移，当直线扫过正方形的面积为3时，t 的值为 ( )A 、2+ 2B 、3C 、4– 2D 、23．图形的运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变．三角形、四边形的运动是常见的一种题型．要善于运用各种数学思想把问题转化为动点和动线问题，结合多种知识，建立方程、不等式或函数模型解决.例1.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（）.A ．B ．C ．D ．练习： 1.如图，Rt △ABC 中，AC =BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，C 、D两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2、如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2.则y 与x 的关系式为＿＿＿，当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动时间是＿＿＿A D LB C 10 10 10例2 （2014年四川资阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．. 练习（2014•莱芜，第24题）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x 于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．。

函数与像的平移与伸缩

函数与像的平移与伸缩函数是数学中的重要概念，用于描述一个变量因另一个变量的改变而引起的变化规律。

函数的图像是函数的可视化表达，通过图像可以更直观地理解函数的特性和变化趋势。

本文将探讨函数的平移与伸缩，以及它们对函数图像的影响。

一、函数的平移平移是指将函数的图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。

平移可以分为水平平移和垂直平移两种类型。

水平平移：函数图像沿着x轴的方向移动。

设函数为f(x)，水平平移h个单位可以通过改变自变量x来实现。

若h>0，则函数图像向左平移h个单位；若h<0，则函数图像向右平移|h|个单位。

这意味着，函数中所有的x都要加上或减去h。

垂直平移：函数图像沿着y轴的方向移动。

设函数为f(x)，垂直平移k个单位可以通过改变因变量f(x)来实现。

若k>0，则函数图像向上平移k个单位；若k<0，则函数图像向下平移|k|个单位。

这意味着，函数中所有的f(x)都要加上或减去k。

平移的效果是改变函数图像在坐标平面上的位置，但不改变函数的形状。

通过平移，我们可以将函数图像移动到我们需要的位置，以更好地满足实际问题的需求。

二、函数的伸缩伸缩是指改变函数图像在坐标平面上的大小。

伸缩可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。

水平伸缩：函数图像沿着y轴的方向改变宽度。

设函数为f(x)，水平伸缩a倍可以通过改变自变量x来实现。

若a>1，则函数图像变窄；若0<a<1，则函数图像变宽。

这意味着，函数中所有的x都要乘以a。

垂直伸缩：函数图像沿着x轴的方向改变高度。

设函数为f(x)，垂直伸缩b倍可以通过改变因变量f(x)来实现。

若b>1，则函数图像变高；若0<b<1，则函数图像变矮。

这意味着，函数中所有的f(x)都要乘以b。

伸缩的效果是改变函数图像在坐标平面上的形状和大小。

通过伸缩，我们可以调整函数的图像，以更好地反映函数的特性和变化趋势。

总结：函数的平移和伸缩是函数图像的重要变化形式。

正弦函数、余弦函数图像教案及反思

正弦函数、余弦函数图像教案及反思教材分析三角函数是基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型，是函数大家庭的一员。

除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。

由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图. 教学目标1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.教学用具：多媒体教学、几何画板软件、ppt控件教学过程导入新课1.(复习导入)首先复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。

遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?2.(物理实验导入)视频观看“简谐运动”实验.得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象. 推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象?对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相6432当于“列表”).第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)操作结果、总结提炼:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可. 提出问题如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?意图:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果:把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点? 问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗? 活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的'五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:①略. ②关键点也有五个,它们是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).学生练习巩固：1。

解题方法专题——图像法讲义

图像法本专题主要讲述图像法在物理学中的应用。

解决物理问题的依据主要是利用相应的物理规律，定量给出物理量间的函数关系式，而采用数、形转换这一手段将给出的函数关系式以图像的形式表现出来就称为函数的图像，它和用公式的形式给出的物理规律本质是一致的。

但表现的形式不同，图像能够直观、形象、动态地表达物理过程和物理规律。

有时候，在解决一些复杂问题时用图像法解题更为明了、简捷。

图像包含的信息内容非常丰富，可考查学生的数形结合能力和信息提取的能力。

图像的识别（2020·重庆模拟）如图所示，有一边长为L的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H处静止释放，其下边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。

匀强磁场区域宽度也为L，ab边开始进入磁场时记为t1，cd边出磁场时记为t2，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd边刚出磁场的过程中，线框的速度大小v、加速度大小a、ab两点的电压大小U ab、线框中产生的焦耳热Q随时间t的变化图像可能正确的是（）A．B．C．D．关键信息：边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动→线框所受安培力与重力平衡→分析出cd边出磁场之前线框也做匀速直线运动ab边开始进入磁场→ab边相当于电源，ab两点间电压对应的是路端电压，U ab＝34Ecd边出磁场前→ab两点间电压对应的是ab两点间这段导线电阻的电压，U ab＝14E线框中产生的焦耳热Q→因线框进入磁场之后的下落是做匀速直线运动，所以线框中的电流大小不变，可结合法拉第电磁感应定律以及焦耳定律进行计算解题思路：由右手定则判断出感应电流的方向，由法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小，进而得到安培力，再根据平衡条件、牛顿第二定律、电路知识、焦耳定律等进行相关计算、判断。

AB．线框从磁场上方H处开始下落到下边刚进入磁场过程中线框做自由落体运动；因线框下边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动，可知线框直到cd边出磁场时也做匀速直线运动，可知A、B错误；CD．线框ab边进入磁场的过程：E＝BLv，ab边相当于电源，则U ab＝34BLv；cd边进入磁场的过程：E＝BLv，cd边相当于电源，ab边相当于外电路中的一个电阻，其电阻为线框电阻的14，则U ab＝14BLv；线框进入磁场和出磁场过程中电动势相同，均为E＝BLv，时间相同，则线框中产生的热量Q＝2EtR相同；故C项正确，D错误。

初中数学知识点复习专题讲练：函数中的动点问题(含答案)

函数中的动点问题考点分析1.点在线段上运动：2.根据线段长或图形面积求函数关系.如：如图所示，点P在线段BC,CD,DA上运动，△ABP 的面积变化情况的图象是什么样的？解析：看清横轴和纵轴表示的量.答案：2. 双动点变化：两动点同时运动，分析图形面积变化图象.如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC 的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动.设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？图1 图2解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况.答案：能.3. 图形运动变化所形成的函数问题：图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点.答案：4. 实际问题中的运动变化图象如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象.答案：总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点.解题技巧例题如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A ⇒B ⇒C ⇒D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成面积为y ，点P 运动的路程为x ，则表示y 与x 的函数关系的图象为（）A .B .C .D .解析：分别求出P 在AB 段、BC 段、CD 段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断.答案：解：点P 在AB 段时，函数解析式是：y ＝21AP •AM ＝21×2x ＝x ，是正比例函数y x =；点P 在BC 段时，函数解析式是：1()242y AM BP AB x =+⋅=-，是一次函数24y x =-；则2,1BC AB k k ==，BC AB k k ∴>.在单位时间内点P 在BC 段上的面积增长要大于点P 在AB 上的面积增长，因此函数图象会更靠近y 轴，也就是图象会比较“陡”，故A 、B 选项错误.点P 在CD 段时，面积是△ABC 的面积加上△ACP 的面积，△ABC 的面积不变，而△ACP 中CP 边上的高一定，因而面积是CP 长的一次函数，因而此段的面积是x 的一次函数，应是线段.故C 错误，正确的是D .故选D .点拨：主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键.总结提升利用动点形成的函数图象求解析式例题（翔安模拟）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ,CD ,DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x cm ，△ABP 的面积为 y cm 2，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则y 关于x 的函数关系式为 .解析：根据图2判断出矩形的AB 、BC 的长度，然后分点P 在BC 、CD 、AD 时，分别求出点P 到AB 的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y 关于x 的函数关系式.答案：解：由图2可知，x 从4到9的过程中，三角形的面积不变，所以，矩形的边AB ＝9－4＝5 cm ，边BC ＝4 cm ，则点P 运动的总路程为9＋4＝13 cm ，分情况讨论：①点P 在BC 上时，0≤x ≤4，点P 到AB 的距离为PB 的长度x cm ，y ＝21AB •PB ＝21×5x ＝25x ；②点P 在CD 上时，4<x <9，点P 到AB 的距离为BC 的长度4 cm ，y ＝21AB •BC ＝21×5×4＝10；③点P 在AD 上时，9≤x ≤13时，点P 到AB 的距离为P A 的长度（13－x ） cm ，y ＝21AB •P A ＝21×5（13－x ）＝25（13－x ）；综上，y 关于x 的函数关系式为504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）. 故答案为：504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）.动点综合型问题例题（苏州中考）如图①，在平行四边形ABCD 中，AD ＝9 cm ，动点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度沿着A →B →C →A 的方向移动，直到点P 到达点A 后才停止.已知△P AD 的面积y （单位：cm 2）与点P 移动的时间x （单位：s ）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：（1）求出平行四边形ABCD 的周长；（2）请你利用图①解释一下图②中线段M N 表示的实际意义；（3）求出图②中a 和b 的值.解析：（1）由图②知点P 在AB 上运动的时间为10 s ，根据路程＝速度×时间列式，求出AB ＝10 cm ，又AD ＝9 cm ，根据平行四边形的周长公式即可求解；（2）由线段M N ∥x 轴，可知此时点P 虽然在运动，但是△P AD 的面积y 不变，结合图①，可知此时点P 在BC 边上运动；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，a 为点P 由A →B →C 的时间；分别过B 点、C 点作BE ⊥AD ,CF ⊥AD ，易证△BAE ≌△CDF ，由此得到AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝15 cm ，从而可求得CA ＝17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.答案：解：（1）由图②可知点P 从A 点运动到B 点的时间为10 s ，又因为P 点运动的速度为1 cm/s ，所以AB ＝10×1＝10（cm ），而AD ＝9 cm ，则平行四边形ABCD 的周长为：2·（AB ＋AD ）＝2×（10＋9）＝38（cm ）；（2）线段M N 表示的实际意义是：点P 在BC 边上从B 点运动到C 点；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，所以a ＝10＋9＝19；分别过B ,C 两点作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F .由图②知S △ABD ＝36 cm 2，则21×9×BE ＝36 cm 2，解得BE ＝8 cm ，在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝22BE AB -＝6 cm.易证△BAE ≌△CDF ，则BE ＝CF ＝8 cm ，AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝AD ＋DF ＝9＋6＝15 cm.在Rt △ACF 中，由勾股定理，得CA 22AF CF +17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.巩固训练（答题时间：45分钟）一、选择题1. （静海中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.2. （营口中考）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点E应运动到（）A. 点C处B. 点D处C. 点B处D. 点A处3. （绥化中考）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.*4. （荆门中考）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.**5.（河池中考）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AD＝6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x 之间的函数关系用图象表示是（）A. B.C. D.二、填空题：*6. 如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是km/h（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是；（3）汽车出发后，8 min到10 min之间的运动情况如何？.*7. 如图，在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，试求：（1）△BEC的面积S和时间t的关系.**8. （随州中考）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△P AB的面积为y，y与x的函数图象如图所示.给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△P AB面积为4时，点P移动的距离是 2.你认为其中正确的结论是.（只填所有正确结论的序号例如①）**9. 已知动点P以每秒2 cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB＝6 cm，试回答下列问题：（1）图甲中BC的长度是.（2）图乙中a所表示的数是.（3）图甲中的图形面积是.（4）图乙中b所表示的数是.图甲图乙三、解答题：10. （潜江）如图，有一边长为5的正方形ABCD与等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，若等腰△CEF以每秒1个单位沿CB方向平移，B,C,F在直线L上，请画出0＜t＜6时，两图形重叠部分的不同状态图（重叠部分用阴影标示），并写出对应t的范围.**11. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝30 cm，BC＝60 cm.点P从点A出发，沿A→B→C→D 路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止.若点P,Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1 s，图②是P,Q两点在折线AB－BC－CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象.（1）请解释图中点H的实际意义；（2）求P,Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值.参考答案1. B 解析：①当P 在AB 上运动时，所求三角形底为AP ，高为M 到AB 的距离也就是AD 长度因此S △APM ＝21AD •AP ＝x ，函数关系为：y ＝x （0＜x ≤1）；②当P 在BC 上运动时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM ，S △ABP ＝21AB •BP ，BP ＝x －1，则S △ABP ＝21x －21，S △PCM ＝21PC •CM ，CM ＝12AB ＝21，PC ＝3－x ，S △PCM ＝43x -，S 梯形ABCM ＝21（AB ＋CM ）•BC ＝23，因此S △APM ＝23－21-x －43x -＝－4x ＋45（1＜x ≤3）；③当P 在CM 上运动时，S △APM ＝21CM •AD ，CM ＝27－x ，S △APM ＝21（27－x ）×2＝－x ＋27（3＜x ＜7/2）.故该图象分三段.故选B.2. B 解析：当E 在AB 上运动时，△BCE 的面积不断增大；当E 在AD 上运动时，BC 一定，高为AB 不变，此时面积不变；当E 在DC 上运动时，△BCE 的面积不断减小.∴当x ＝7时，点E 应运动到高不再变化时，即点D 处.故选B .3. D 解析：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD 的边上有一动点P ，沿A →B →C →D →A 运动一周，则点P 的纵坐标y 随点P 走过的路程s 之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P 点在AB 上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P 点在BC 上，此时纵坐标为定值1.当P 点在CD 上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P 点在AD 上，此时纵坐标为定值2.故选D.4. A 解析：①当直线l 经过BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l 经过AD 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l 经过DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合.故选A.5. D 解析：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点M 作MF ⊥AB 于点F ，易得CE ＝2，MF ＝5，当点P 与点B 重合，即x ＝2时，y ＝21AP ·MF ＝21×2×5＝5；当点P 与点C 重合，即x ＝6时，y ＝1122AD CE ⨯⋅＝21×21×6×2＝3；结合函数图象可判断选项D 正确.故选D.6. 100 km ，22 min －24 min ，8 min 到10 min 之间停止解析：（1）依题意得：最高速度是100 km/h ；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是22 min －24v ；（3）汽车出发后，8v 到10 min 之间是停止的.7. 0(02)2(24)2(46)8(68)t t t S t t t ≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨<≤⎪⎪-<≤⎩ 解析：（1）∵在正方形ABCD 中，边长为2，某一点E 从B －C －D －A －B 运动，且速度是1，∴当E 在BC 上时，B ，E ，C 无法构成三角形，此时0≤t ≤2，∴S ＝0，（0≤t ≤2）；当E 在CD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CE ＝21×2×（t －2）＝t －2，（2＜t ≤4）；当E 在AD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CD ＝21×2×2＝2，（4＜t ≤6）；当E 在AB 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×BE ＝21×2×[2－（t －6）]＝8－t ，（6＜t ≤8）. 8. ①③ 解析：∵AB 边的长为4，设动点P 沿折线B ⇒C ⇒D ⇒A 由点B 向点A 运动，点P 运动的距离为10，∴四边形ABCD 的周长为10＋4＝14，①成立.当点P 在BC 上运动时，面积在不断增加，当移动的距离是3，面积为6时，面积不再变化，说明CD ∥AB ，此时BC ＝3，△ABP 面积＝21×4×高＝6，那么高＝3，说明BC ⊥AB .当点P 运动7时，面积停止变化，此时CD ＝7－3＝4，那么CD ＝AB .根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD 是平行四边形.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ABCD 是矩形，③对.由图中可以看出，面积为4的点可在图中找到两处，那么就有相应的两个距离值，④不对.故答案选①③.9. 8 cm ；24；60 cm 2；17 解析：（1）动点P 在BC 上运动时，对应的时间为0到4 s ，易得：BC ＝2 cm/s×4s ＝8 cm.故题图甲中BC 的长度是8 cm ；（2）由（1）可得，BC ＝8 cm ，则：题图乙中a 所表示的数是：21×BC ×AB ＝21×8×6＝24（cm 2）.故题图乙中a 所表示的数是24；（3）由题图可得：CD ＝2×2＝4 cm ，DE ＝2×3＝6 cm ，则AF ＝BC ＋DE ＝14 cm ，又由AB ＝6 cm ，则甲中的梯形面积为AB ×AF －CD ×DE ＝6×14－4×6＝60（cm 2）.故题图甲中的图形面积为60 cm 2；（4）根据题意，动点P 共运动了BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋F A ＝（BC ＋DE ）＋（CD ＋EF ）＋F A ＝14＋6＋14＝34（cm ），其速度是2 cm/s ，34÷2＝17（s ）.故题图乙中b 所表示的数是17.故答案为8 cm ；24；60 cm 2；17.10. 解：∵等腰三角形CEF ，其中底边CF ＝8，腰长EF ＝5，∴等腰三角形底边上的高线平分底边，即分为两部分都是4，当0＜t ≤4时，如图1所示；当4＜t ≤5时，如图2所示；当5＜t ＜6时，如图3所示.11. 解答：（1）图中点H 的实际意义：P 、Q 两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F 点到G 点两点路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P 点运动速度为：30cm/s ，再根据E 点到F 点S 的值由120变为75，根据P 点速度，得出Q 点速度为120－75－30＝15（cm/s ），即P 点速度为30cm/s ，Q 点速度为15cm/s ；（3）如图所示：根据4秒后，P 点到达D 点，只有Q 点运动，根据运动速度为15cm/s ，还需要运动120－45＝75（cm ），则运动时间为：75÷15＝5（s ），画出图象即可；（4）如图1所示，当Q P ＝PC ，此时21Q C ＝BP ，即30－30t ＝21（30－15t ），解得：t ＝32，故当时间t ＝32s 时，△PC Q 为等腰三角形，如图2所示，当D 、P 重合，Q D ＝Q C 时，Q 为AB 中点，则运动时间为：（15＋60＋30）÷15＋1＝8（s ），故当时间t ＝8s 时，△PC Q 为等腰三角形.若PC ＝C Q 故90－30t ＝30－15t 解得：t ＝4则4＋1＝5（S ）综上所述：t ＝32或t ＝5或t ＝8秒时，△PC Q 为等腰三角形.。

关于函数平移的知识点与图

关于函数平移的知识点与图函数平移是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们理解和解决各种数学问题。

本文将从基本概念开始，逐步介绍函数平移的知识点，并通过图示进行解释。

1. 什么是函数平移？函数平移是指将函数图像在平面上沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。

平移可以改变函数图像在坐标系中的位置，但不改变其形状、斜率和曲率。

2. 横向平移横向平移是指函数图像沿着横轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为a。

横向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x - a)其中，f(x - a)表示将原函数f(x)中的每个点横坐标减去a后得到的新函数。

2.1. 向左平移当平移单位长度为正数a时，函数图像将向左平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向左平移2个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x - 2)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都减去2。

2.2. 向右平移当平移单位长度为负数-a时，函数图像将向右平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向右平移3个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x + 3)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都加上3。

3. 纵向平移纵向平移是指函数图像沿着纵轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为b。

纵向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x) + b其中，f(x) + b表示将原函数f(x)中的每个点纵坐标加上b后得到的新函数。

3.1. 向上平移当平移单位长度为正数b时，函数图像将向上平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向上平移4个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 + 4这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都加上4。

3.2. 向下平移当平移单位长度为负数-b时，函数图像将向下平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向下平移5个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 - 5这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都减去5。

第4讲.第二轮复习之图形运动专题——运动中点、线、面间的函数关系.目标班.学生版

`动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间．【例1】已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(30)A ，、(04)C ，，点D 的坐标为(50)D ，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M .问：⑴ 当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；⑵ 当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.典题精练4第二轮复习之图形运动专题-- 运动中点、线、面间的函数关系题型一：动点问题C Q B AD PB QC 【例2】如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征．【例3】如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. ⑴ 求点E 到BC 的距离；⑵ 点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ① 当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使P M N △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.典题精练题型二：动直线问题NM PNMP图5（备图）图4（备图）图3图2图1ABC DE FABCDE FABCD EFABCDE FFEDC BA图形的相对运动问题：一般涉及两类问题，①两个形状固定的图形相对运动，在运动的过程中，求两图形重叠部分的面积．②在运动的过程中，图形的形状随着运动时间在变化，可考查点的重合问题，线的共线问题和图形重叠面积．【例4】如图，已知直线1l ：2833y x =+与直线2l ：216y x =-+相交于点C ,1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合．⑴ 求ABC △的面积； ⑵ 求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长； ⑶ 若矩形DEFG 从点F 出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．典题精练题型三：图形相对运动问题A B CD (E )DC B A备用图【例5】已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD =2，BC =6，AB =3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B ′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B ′D ，B ′M ，DM ，是否存在这样的t ，使△B ′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B ′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．（2012重庆）题型一动点问题巩固练习【练习1】如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB --以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设AMN △的面积为2(cm )y ，运动时间为()x 秒，则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）题型二动直线问题巩固练习【练习2】某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v （米/秒）与时间t （秒）的关系如图，(105)A ，，(1305)B ，，(1350)C ，．⑴ 求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t的函数关系式；⑵ 计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA 和 BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）.复习巩固NM D CBA题型三图形相对运动问题巩固练习【练习3】如图，在ABC△中，90A∠=°，10BC=，ABC△的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE BC∥，交AC于点E．设DE的长度为x，以DE为折线将ADE△翻折，所得的A DE△′与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．⑴ 用x表示ADE△的面积；⑵ 求出y与x的函数关系式；⑶当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？AB C第十八种品格：坚持铁杵成针相传唐代大诗人李白在小的时候很贪玩，不爱读书，也不求上进。

小学数学函数关系知识大全

小学数学函数关系知识大全数学是一门充满奇思妙想的学科，其中的函数关系是数学中最基础也最重要的概念之一。

本文将为大家介绍小学数学中与函数关系相关的知识点，旨在帮助同学们全面了解和掌握这些内容。

一、函数的概念和特征函数是一种特殊的数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在小学数学中，我们主要研究一次函数和二次函数这两种常见的函数类型。

1. 一次函数一次函数的表达式通常是y = kx + b的形式，其中k和b分别为常数，x和y分别表示自变量和因变量。

一次函数的图像为一条直线，它的特征是斜率恒定，即k的值确定了直线的倾斜程度，而b决定了直线与y轴的截距位置。

2. 二次函数二次函数的表达式通常是y = ax^2 + bx + c的形式，其中a、b和c 为常数，x和y分别表示自变量和因变量。

二次函数的图像为一条抛物线，它的特征是开口方向、顶点坐标以及是否与x轴交点等。

二、函数关系的表示与分析1. 方程方程是描述函数关系的一种常用形式。

通过解方程，我们可以求出函数的未知数，进而确定函数关系的特征。

2. 函数图像函数图像是函数关系的一个直观表示。

通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的变化趋势、特征以及与其他函数之间的关系。

三、函数关系的常见应用函数关系是数学在现实生活中的广泛应用之一，下面介绍一些小学阶段常见的函数关系应用。

1. 直线运动直线运动中，物体的位置与时间之间存在一种线性关系。

我们可以利用一次函数的概念来描述物体的运动状态，例如计算速度、加速度等。

2. 成比例关系成比例关系描述了两个量之间的相对关系。

在小学数学中，我们经常遇到的问题是求解两个数之间的比例关系，通常采用求解方程的方法进行分析。

3. 面积和体积面积和体积的计算也与函数关系息息相关。

例如，通过了解正方形边长与面积之间的关系，我们可以快速计算出给定边长的正方形的面积。

四、习题解析与应用实例为了帮助同学们更好地理解和掌握函数关系的知识，我们提供一些典型的习题解析和应用实例。

初中数学图形运动中的函数关系问题(word版+详解答案)

图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B 是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y 关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形O ABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O 的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S 关于自变量x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何值时），S 取得最大值或最小值．【典例指引】类型一【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】【典例指引1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=o ，3AB =，4AC =，点,M Q 分别是边,AB BC 上的动点（点M 不与,A B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ∆∽ABC ∆；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【举一反三】如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设AM x =，DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使DMN V 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．类型二【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C 重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.【举一反三】如图，直线y=﹣x+分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax 2+bx+经过A ，B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．类型三【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】【典例指引3】如图，抛物线23y ax bx =++（a ，b 是常数，且a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．并且A ，B 两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)（1）①求抛物线的解析式；②顶点D 的坐标为_______；③直线BD 的解析式为______；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，求当m 为何值时，四边形PQOC 的面积最大？（3）若点M 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M 作MN ∥AC 交x 轴于点N ．当点M 的坐标为_______时，四边形MNAC 是平行四边形．【举一反三】如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、C （3，0），点B 为抛物线顶点，直线BD 为抛物线的对称轴，点D 在x 轴上，连接AB 、BC ，∠ABC ＝90°，AB 与y 轴交于点E ，连接CE ．（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【新题训练】1．如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2．如图，抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．（1）求、的值；（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以2cm/s的速度沿直线BC向右平移，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为ycm2，移动的时间为x秒，请你求出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．10．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.11．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标；(4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是AD 边上的动点，从点A 开始沿AD 向D 运动．以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，EF 交DC 于点H ，连接CG 、BH ．请探究：（1）线段AE 与CG 是否相等？请说明理由．（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 最大？最大值是多少？（3）当点E 运动到AD 的何位置时，△BEH ∽△BAE ？15．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B 是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y 关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形O ABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O 的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．【典例指引】类型一【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】【典例指引1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=o ，3AB =，4AC =，点,M Q 分别是边,AB BC 上的动点（点M 不与,A B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ∆∽ABC ∆；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【答案】（1）见解析；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形；（3）当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752．【解析】【分析】（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB ，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC ，根据相似三角形的性质用x 表示出QM 、BM ，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．【详解】解：（1）∵MQ BC ⊥， ∴90MQB ︒∠=，∴MQB CAB ∠=∠，又QBM ABC ∠=∠， ∴QBM ∆∽ABC ∆；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形， ∵//MN BQ ，BQ MN =， ∴四边形BMNQ 为平行四边形；（3）∵90,3,4A AB AC ︒∠===，∴225BC AB AC =+=，∵QBM ∆∽ABC ∆，∴QB QM BM AB AC BC ==，即345x QM BM==，解得，45,33QM x BM x ==，∵//BC MN ，∴MN AM BC AB=，即53353x MN -=，解得，2559MN x =-，则四边形BMNQ 的面积2125432457552932782x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．【举一反三】如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设AM x =，DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使DMN V 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3CE =；（2）①当45x =时，y 有最小值，最小值2=；②存在．满足条件的x 的值为8510-或115．【解析】【分析】()1由翻折可知：10.AD AF DE EF ===，设EC x =，则8.DE EF x ==-在Rt ECF V 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．()2①证明ADM V ∽GMN V ，可得ADAMMG GN=，由此即可解决问题．②有两种情形：如图31-中，当MN MD =时.如图32-中，当MN DN =时，作MH DG ⊥于.H 分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴10AD BC ==，8AB CD ==， ∴90B BCD ∠=∠=︒，由翻折可知：10AD AF ==．DE EF =，设EC x =，则8DE EF x ==-．在Rt ABF V 中，226BF AF AB =-=，∴1064CF BC BF =-=-=，在Rt EFC V 中，则有：()22284x x -=+， ∴3x =， ∴3EC =．（2）①如图2中，∵AD CG ∥，∴AD DECG CE =， ∴1053CG =， ∴6CG =，∴16BG BC CG =+=，在Rt ABG V 中，2281685AG +=，在Rt DCG V 中，226810DG =+=， ∵10AD DG ==， ∴DAG AGD ∠=∠，∵DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠，DMN DAM ∠=∠， ∴ADM NMG ∠=∠， ∴ADM GMN V V ∽， ∴AD AMMG GN=， 1085xyx =--，∴21451010y x x =+．当45x =时，y 有最小值，最小值2=．②存在．有两种情形：如图3-1中，当MN MD =时，∵MDN GMD ∠=∠，DMN DGM ∠=∠， ∴DMN DGM V V ∽， ∴DM MNDG GM=， ∵MN DM =， ∴10DG GM ==， ∴8510x AM ==-．如图3-2中，当MN DN =时，作MH DG ⊥于H ．∵MN DN =， ∴MDN DMN ∠=∠， ∵DMN DGM ∠=∠， ∴MDG MGD ∠=∠， ∴MD MG =， ∵BH DG ⊥， ∴5DH GH ==，由GHM GBA V V ∽，可得GH MGGB AG=，∴51685=， ∴552MG =， ∴5511585x AM ==-=．综上所述，满足条件的x 的值为8510-或115．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．类型二【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 234y x x =--；(2)当ECD EDC ∠=∠时，4m =(3)存在. 1.5m =时，BEF V 的周长最小. 【解析】【分析】(1)易求(),)40 04(A C -，，，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H ，易得：Q 点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，进而可知：,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，根据ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，列出方程，即可求解；(3)易证：BFE △的周长=BF FE BE BF AF BE AB BE ++=++=+，可知：当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小，进而可求出BEF V 的周长最小时，m 的值. 【详解】(1)在4y x =-中，当0x =时，4y =-；当0y =时，4x =，40())0,( 4A C ∴-，，.把()()4,0,0,4A C -代入23y ax x c =-+中，得：161204a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式是234y x x =--；(2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H .4OA OC ==Q ，45OAC OCA ∴∠=∠=︒， 45HEC HCE ∴∠=∠=︒.Q 点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =， ∴当ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，2 4m m =-+，解得：10m =(舍去)，24m =.∴当ECD EDC ∠=∠时，42m =-；(3)存在.在抛物线234y x x =--中，当0y =时，2340x x --=，解得121,4x x =-=，∴点B 坐标为()1,0-.45FAE FEA ∠=∠=︒Q ， EF AF ∴=.设BFE △的周长为l ，则l BF FE BE BF AF BE AB BE =++=++=+，AB Q 的值不变，∴当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小. Q 当BE AC ⊥时，45EBA BAE ∠=∠=︒，BE AE ∴=，2.5BF AF ∴==，1.5m ∴=时，BEF V 的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E 的坐标用未知数m 表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法. 【举一反三】如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH 周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想类型三【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】【典例指引3】如图，抛物线23y ax bx =++（a ，b 是常数，且a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．并且A ，B 两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)（1）①求抛物线的解析式；②顶点D 的坐标为_______；③直线BD 的解析式为______；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，求当m 为何值时，四边形PQOC 的面积最大？（3）若点M 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M 作MN ∥AC 交x 轴于点N ．当点M 的坐标为_______时，四边形MNAC 是平行四边形．【答案】（1）①2y x 2x 3=-++；②(1，4)；③26y x =-+；（2）当94m =时，S 最大值=8116；（3）(2，3)【解析】【分析】（1）①把点A 、点B 的坐标代入23y ax bx =++，求出a ，b 即可；②根据顶点坐标公式24(,)24b ac ba a--求解；③设直线BD 的解析式为y kx n =+，将点B 、点D 的坐标代入即可；（2）求出点C 坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形PQOC 的面积s 与m 的关系式，可求得面积的最大值；（3）要使四边形MNAC 是平行四边形只要//MC AN 即可，所以点M 与点C 的纵坐标相同，由此可求得点M 坐标.【详解】解：（1）①把A （－1，0），B （3，0）代入23y ax bx =++，得30,9330.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩∴22 3.y x x =-++②当2122b x a =-=-=-时，24124444ac b y a ---===-所以顶点坐标为（1，4）③设直线BD 的解析式为y kx n =+，将点B （3，0）、点D （1，4）的坐标代入得304k n k n +=⎧⎨+=⎩，解得26k n =-⎧⎨=⎩所以直线BD 的解析式为2 6.y x =-+（2）∵点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标为26m -+．当0x =时，003 3.y =++=∴C （0，3）．由题意可知：OC=3，OQ=m ，PQ=26m -+．∴s=1(263)2m m -++⋅ =292m m -+=2981()416m --+.∵－1＜0，1＜94＜3，∴当94m =时，s 最大值=81.16如图，MN ∥AC ，要使四边形MNAC 是平行四边形只要//MC AN 即可.设点M 的坐标为223)(,x x x -++，由2y x 2x 3=-++可知点(0,3)C//MC AN Q2233x x ∴-++=解得2x =或0（不合题意，舍去）2234433x x ∴-++=-++=当点M 的坐标为（2，3）时，四边形MNAC 是平行四边形．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键. 【举一反三】如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、C （3，0），点B 为抛物线顶点，直线BD 为抛物线的对称轴，点D 在x 轴上，连接AB 、BC ，∠ABC ＝90°，AB 与y 轴交于点E ，连接CE ．（1）求项点B 的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P 为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC 的面积为S ，点P 的横坐标为m ，求S 关于m 的函数关系武，并求出S 的最大值；（3）如图2，连接OB ，抛物线上是否存在点Q ，使直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点B坐标为（1，2），y＝﹣12x2+x+32；（2）S＝﹣34m2+2m+34，S最大值2512；（3）点Q的坐标为（﹣13，109）．【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD的长，即可写出点B的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；（2）求出直线AB的解析式，点E的坐标，用含m的代数式表示出点P的坐标，如图1，连接EP，OP，CP，则由S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S 的最大值；（3）先证△ODB∽△EBC，推出∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC 所夹锐角等于∠OBD，求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q的坐标．【详解】解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，0），∴AC＝4，抛物线对称轴为x＝132-+＝1，∵BD是抛物线的对称轴，∴D（1，0），∵由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC，∴BA＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴BD＝12AC＝2，∴顶点B坐标为（1，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将A（﹣1，0）代入，得0＝4a+2，解得，a＝﹣12，∴抛物线的解析式为：y＝﹣12（x﹣1）2+2＝﹣12x2+x+32；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（1，2）代入，得2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴E（0，1），∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为﹣12m2+m+32，如图1，连接EP，OP，CP，则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE＝12×1×m+12×3（﹣12m2+m+32）﹣12×1×3＝﹣34m2+2m+34，＝﹣34（m﹣43）2+2512，∵﹣34＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝43时，S有最大值2512；（3）由（2）知E（0，1），又∵A（﹣1，0），∴OA＝OE＝1，∴△OAE是等腰直角三角形，∴AE，又∵AB＝BC＝∴BE＝AB﹣AE∴12 BEBC==，又∵12 ODBD=，∴BE ODBC BD=，又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，∴△ODB∽△EBC，∴∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，设直线CE的解析式为y＝mx+1，将点C（3，0）代入，得，3m+1＝0，∴m＝﹣13，∴y CE＝﹣13x+1，联立21322113y x xy x⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得，3xy=⎧⎨=⎩或13109xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点Q的坐标为（﹣13，109）．。

几何图形中的函数

几何图形中的函数几何函数是指在几何图形中的函数。

它是数字函数的特殊形式。

几何函数是由几何图形中的直线和曲线构成的。

它有两个自变量，它们是x和y，y是x的函数。

一般来说，几何函数是在不同类型的几何图形中使用的。

几何函数的一个常见应用就是用于描述物理学中的问题。

它可以用来描述物理现象的变化，例如力的大小，力学轨道，电磁场的变化等。

几何函数也可以用来描述几何图形的变化。

例如，圆是从原点开始的xy极坐标系的曲线，它的函数是：r=sqrt(x^2+y^2)。

椭圆的函数是：r=sqrt(x^2/a^2+y^2/b^2)。

等腰三角形的函数是：y=ax。

几何函数也可以用来描述几何变换，例如旋转、反射和缩放。

旋转可以使用类似函数：x’=xcosθ-ysinθ，y’=xsinθ+ycosθ；反射可以使用类似函数：x’=x，y’=-y；缩放可以使用类似函数：x’=c*x，y’=c*y。

另外，几何函数也可以用来描述几何对象的形状，例如平行四边形的函数是：x=acos(t)，y=bsin(t)；五边形的函数是：x=acos(3t)，y=bsin(3t)；六边形的函数是：x=acos(2t)，y=bsin(2t)。

几何函数还可以用来描述更复杂的几何图形，例如螺旋曲线的函数是：x=acos(t)*cos(pt)，y=bsin(t)*sin(pt)；和环螺线的函数是：x=acos(t)*sin(qt)，y=bsin(t)*cos(qt)。

总之，几何函数是在几何图形中使用的一种特殊函数，它是一种由不同类型几何元素构成的双变量函数，它可以用来描述物理模型，几何图形的变化，以及更复杂的几何图形。

因此，几何函数是数学的重要概念，它对科学技术的发展有很大的贡献。

图形运动变化中的直线与圆的位置关系

１３运动．
例１（水）图１已知丽如，ｏ０是以数轴的原点０为圆心，
半径为Ｉ的圆，Ｏ４Ｏ点ＰＬＡＢ＝５，Ｉ
图１
例３（迁）宿如图３ｏ０的半径为１正方形ＡＣ，，ＢＤ
在数轴上运动，若过点Ｐ且与ＯＡ平行的直线与ｏ０有
由ｔＯＲＤＥ鲁＝＝ＲＢ，ＡＯＡＡｔ。得￣。
・．．
ＯＥ。＝３
，
动点Ｐ从点Ａ出发，￣ｍｓ以 Nhomakorabea＇／ｃ
图２
・
Ｄ。．＝Ｅ÷
．
的速度在００上按逆时针方向运动一周回到点Ａ立即
Ｄ（３４）ｌ一了
．
．
，
・
复习参考・
Ｏ可知此时ＬＰＡ＝０，么点Ｐ在ＯＡ，Ｏ６。那Ｂ上方时，运 ÷ ｒ１ｓ；Ｐ在伽下方时，７：（）点运
动的时间为
有较强的综合性和探索性．文从２０本０８年中考试卷中选择几例进行分类和解析，与读者共享．
１线动型
《／ｊ
Ａ
图３
图４
（）１运用“ 经过半径的外端并且垂直于这条半
离的关系，建立ＯＰ的长的不等关系，解决问题中渗在
透了对数形结合和方程思想的考查．１２旋转．例２（盐城）图２ｏＤ如，
径的直线是圆的切线 ” 不难证明；
公共点，Ｏ，的取值范围是设Ｐ＝则
Ａ．０≤ ≤ Ｂ．一 ≤ ≤

八年级(下)数学同步讲义图形运动中函数关系的确定

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几何图形运动变化能力的考察．动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考察学生的多种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题．动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．图形运动中函数关系式的确定内容分析知识结构模块一动点求函数解析式知识精讲- 2 -【例1】已知：在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC =1，P 是AB 边上不与A 点、B 点重合的任意一个动点，PQ ⊥BC 于点Q ，QR ⊥AC 于点R ．（1）求证：PQ =BQ ；（2）设BP =x ，CR =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当x 为何值时，PR ∥BC ．【例2】如图所示，已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，P 是边AB 上的一个动点，PQ ⊥PC ，交线段CB 的延长线与点Q ．（1）当BP =BC 时，求证：BQ =BP ；（2）当∠A =30°，AB =4时，设BP =x ，BQ =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．例题解析AQCPB【例3】如图所示，已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，点D 是斜边AB 中点，作DE ⊥AB ，交直线AC 于点E ；（1）若∠A =30°，求线段CE 的长；（2）当点E 在线段AC 上时，设BC =x ，CE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若CE =1，求BC 的长．【例4】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC ＝90º，AB ＝BC ＝8，点E 在边AB 上，DE ⊥CE ，DE 的延长线与CB 的延长线相交于点F ．（1）求证：DF ＝CE ；（2）当点E 为AB 中点时，求CD 的长；（3）设CE ＝x ，AD ＝y ，试用x 的代数式表示y ．ABC DEA BCDEF- 4 -【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，E 为边AB 上的一点（点E 不与端点A 、B 重合），F 为BC 延长线上的一点，且AE ＝CF ，联结EF 交对角线AC 于点G ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）联结DG ，求证：DG ⊥EF ；（3）设AE ＝x ，AG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域．【例6】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC ＝9，∠C ＝60°，将一个30°角的顶点P 放在DC 边上在滑动（P 不与D 、C 重合），保持30°角的一边平行于BC ，与边AB 交于点E ，30°角的另一边与射线CB 交于点F ，联结EF ．（1）当点F 与点B 重合时，求CP 的长；（2）当点F 在CB 边上时，设CP ＝x ，PE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当EF ＝CP 时，求CP 的长．A B CDEF GA BCDEFP【例7】如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 是边CD 上的任意一点（不与C 、D 重合），将△ADE 沿AE 翻折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，联结AG ．（1）求证：△ABG ≌△AFG ；（2）若设DE ＝x ，BG ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结CF ，若AG ∥CF ，求DE 的长．【例8】如图，平面直角坐标系中点A (4， 0)，已知过点A 的直线l 与y 轴正半轴交于点P ，且△AOP 的面积是8，正方形ABCD 的顶点B 的坐标是(2， h )，其中h ＞2．（1）求直线l 的表达式；（2）求点D 的坐标；（用含h 的代数式表示）．ABCD EFGAB CDOxy- 6 -【例9】如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是AB 延长线上一点，联结CE ，AF ⊥CE ，垂足为点F ，交BD 、BC 于点H 、G ．设BE ＝x ，CG ＝y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域；（2）当点F 是EC 的中点时，证明：CG ＝2OH ．【例10】如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、CD 上，∠FEB ＝∠EBC ，EF 、BC 的延长线相交于点G ，设AE ＝x ，BG ＝y ．（1）求y 与x 之间函数解析式，并写定义域；（2）当点F 为CD 中点时，求AE 的长．ABCDE FG HOABCDEFG【例11】如图所示，已知：在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，AC =3，点D 是边AB上的动点(点D 与点A 、B 不重合)，过点D 作DE 垂直于AB 交射线AC 与E ，连接BE ，点F 是BD 的中点，连接CD 、CF 、DF ．（1）当点E 在边AC 上（点E 与点C 不重合）时，设AD =x ，CE =y ． ①直接写出y 关于x 的函数解析式及定义域； ②求证：△CDF 是等边三角形；（2）如果BE =27，求出AD 的长．【例12】如图，已知：在△ABC 中，∠CBA =90°，∠A =30°，BC =3，D 是边AC 上的一个动点，DE ⊥AB ，垂足为E ，点F 在CD 上，且DE =DF ，作FP ⊥EF ，交线段AB 于点P ，交线段CB 的延长线交于点G ．（1）求证：AF =FP ；（2）设AD =x ，GP =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）若点P 到AC 的距离等于线段BP 的长，求线段AD 的长．ABCDEFABCDEFG P- 8 -【例13】如图，在直角△ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，AC =4，D 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 点重合），过点D 作AC 边的垂线，交线段BC 于点E ，点F 是线段EC 的中点，作DH ⊥DF ，交射线AB 于点H ，交射线CB 于点G ．（1）求证：GD =DC ；（2）设AD =x ，HG =y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BH =12时，求CG 的长．【例14】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，∠C =45°，AB =8，BC =14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF ∥AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF =90°，PE =PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE =x ，MN =y ．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．图形的运动考察的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．【例15】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝BC ＝5，AB ＝20，CD ＝12，DH ⊥AB ，E 是线段HB 上一动点，在线段CD 上取点F 使AE ＝EF ，设AE ＝x ，DF ＝y ．（1）当EF ∥AD 时，求AE 的长；（2）求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）将△ADF 沿AF 所在直线翻折，点D 落在平面上的D ′处，当D ′E ＝1时，求AE 的长．模块二图形运动求函数解析式知识精讲例题解析ABCD H- 10 -【例16】如图，三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10．将纸片折叠使B 落在AC 边上的点D 处，折痕与BC 、AB 分别交于点E 、F ．（1）设BE =x ，DC =y ，求y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）当△ADF 是等腰三角形时，求BE 的长．【例17】如图，已知：△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 是边AC 上不与点A 、C重合的任意一点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，M 是BD 的中点．（1）求证：CM =EM ；（2）如果BC =3，设AD =x ，CM =y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D 在线段AC 上移动时，∠MCE 的大小是否发生变化?如果不变，求出∠MCE 的大小；如果发生变化，说明如何变化．ABCD E F【例18】已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC、BC交于E、F．（1）取运动过程中的某一瞬间，画出△ADE关于D点的中心对称图形，E的对称点为'E，试判断BC与B'E的位置关系，并说明理由；（2）设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．ABCDEF- 12 -【习题1】已知一直角三角形纸片OAB ，∠AOB =90°，OA =2，OB =4，将该纸片放在，放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，设OB ′=x ，OC =y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围．【习题2】在等边△ABC 中，AB =8，点D 在边BC 上，△ADE 为等边三角形．且点E 与点D 在直线AC 的两侧，过点E 作EF ∥BC ，EF 与AB 、AC 分别相交于点F 、G ．（1）如图，求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）设BD =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD 的长为7时，求线段FG 的长．随堂检测ABOxy【习题3】如图所示，已知：在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外）联接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为E 、F .①点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系?请证明你的结论；②当点P 在边BC 上时，正方形的边长为2，设CE =x ，AF =y .求y 与x 的函数解析式.并写出函数的定义域；③在②的条件下，当x =1时.求EF 的长．【习题4】已知：三角形纸片ABC 中，∠C =90°，AB =12，BC =6，B ′是边AC 上一点．将三角形纸片折叠，使点B 与点B ′重合，折痕与BC 、AB 分别相交于E 、F ．（1）设BE =x ，B ′C =y ，试建立y 关于x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）当△AFB ′是直角三角形时，求出x 的值．ABCDEFPABCB ` E FCBA- 14 -【作业1】如图所示：长方形纸片ABCD 的边AB =2，BC =3，点M 是边CD 上的一个动点，（不与点C 重合），把这张长方形纸片折叠，使点B 落在M 上，折痕交边AD 与点E ，交边BC 于点F ．（1）写出图中全等三角形；（2）设CM =x ，AE =y ，求y 与x 之间的函数解析式，写出定义域；（3）试判断∠BEM 能否可能等于90度?如可能，请求出此时CM 的长；如不能，请说明理由．【作业2】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，点P 是射线BC 上的一个动点，∠P AQ ＝60°，PQ 交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ ＝y ．（1）求证：△APQ 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果PD ⊥AQ ，求BP 的值．课后作业ABC DEFMABCDPQ【作业3】如图所示，已知：在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC =6，点D 在边BC 上，AD 平分∠CAB ，E 为AC 上一个动点（不与A 、C 重合），EF ⊥AB ，垂足为F ．（1）求证：AD =DB ；（2）设CE =x ，BF =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）当∠DEF =90°时，求BF 的长．【作业4】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝33，BC ＝9，点Q 是边AC 上的动点（点Q 不与A 、C 重合），过点Q 作QR //AB ，交边BC 于R ，再把△QCR 沿着动直线QR 翻折得到△QPR ，设AQ ＝x ．（1）求∠PRQ 的大小；（2）当点P 落在斜边AB 上时，求x 的值；（3）当点P 落在Rt △ABC 外部时，PR 与AB 相交于点E ，如果BE ＝y ，请直接写出y 关于x 的函数关系式及定义域．ABCDE FA BCQEFA BCRP。