一元一次方程及解法

一元一次方程及解法撰稿：占德杰责编：赵炜一、目标认知学习目标：经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。

通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。

了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。

重点：一元一次方程的解法难点：一元一次方程的解法二、知识要点梳理知识点一：方程的概念1、含有未知数的等式叫做方程.2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.3、求方程的解的过程叫做解方程。

4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）。

知识点二：一元一次方程的概念1、概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，应从以下几点理解此概念：（1）方程中的未知数的个数是1。

例如2x+3y=2就不是一元一次方程，因为未知数的个数是两个，而不是一个。

（2）一元一次方程等号的两边都是整式，并且至少有一边是含有未知数的整式。

例如方程，其中不是整式，所以它不是一元一次方程。

（3）未知数的次数是1，如x2+2x-2=0,在x2项中，未知数的次数是2，所以它不是一元一次方程。

2、判定：判断一个方程是不是一元一次方程应看它的最终形式，而不是看原始形式。

（1）如果一个方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形能化为ax ＝b(a≠0)，或ax b＝0(a≠0)，那么它就是一元一次方程；否则就不是一元一次方程。

（2）方程ax＝b或ax b＝0，只有当a≠0时才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程ax＝b或ax＋b＝0是一元一次方程，则隐含条件a≠0.例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

知识点三：等式的性质1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。

2、等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：如果，那么；如果，那么在对等式变形时，应注意如下几个方面：(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行，同时加或减、同时乘或除以，不能漏掉某一边，并且两边加或减、乘或除以的数必须相同(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立。

(3)等式的性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因忽略除数不为0这一条件而导致出错，特别是等式的两边除以一个式子时，更应注意这一条件。

知识点四：合并同类项与移项1、合并同类项：将方程中含有相同字母（字母的指数也相同）的项进行合并，把一元一次方程变形为：的形式，然后利用等式的性质2，方程两边同时除以a，从而得到：2、移项：将方程中的某项改变符号后从一边移到另一边，叫做移项.移项实际上是在方程的两边都加上（或减去）同一个数（或同一个整式）.要点诠释：（1）移项的目的：将含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。

这样我们就能够合并同类项，而使方程变形为的形式，再将方程两边同时除以a，使x的系数化为1，得到，即为方程的解。

具体过程如下：（2）移项的理论依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（3）移项法则“移项必变号”，即移项要变号，不变号不能移项。

知识点五：去括号与去分母1、去括号：方程中含有括号时，解方程过程中把括号去掉的过程叫做去括号。

去括号时注意以下两点：（1）不要漏乘括号内的项；（2）注意“+”“-”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的符号变化情况。

2、去分母：含分数系数的方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，这样的变化过程叫做去分母。

去分母时注意以下两点：（1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母后应加上括号。

知识点六：解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母——方程两边都乘各系数分母的最小公倍数；具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。

要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

（2）去括号——利用乘法对加法的分配律去掉括号；按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。

括号前有数字因数时要注意使用分配律。

（3）移项——把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。

（4）合并同类项——把方程化为ax＝b（a≠0）的形式.（5）系数化为1——在方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解x=..注：(1)解方程时，上述步骤中有些变形可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。

熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

(2)去分母是为了简化运算，若不使用，也可进行分数的运算。

(3)去括号时，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。

(4)方程是含有未知数的等式，所以方程也具有等式的性质，可以应用等式的性质解较简单的一元一次方程，步骤一般有两步：①方程两边同时加(或减)同一个数。

②方程两边同时乘(或除以)同一个不为0的数。

例如，解方程：3x+5=2解：两边都减5，得3x=-3两边同时除以3，得x=-1三、规律方法指导从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接．通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的理解．并且结合方程的解法复习已学过的整式的知识，深刻认识数、式与方程间的联系与区别．经典例题透析类型一：一元一次方程的概念1．判断下列各式是不是方程？如果是方程，指出已知数和未知数，并指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么？（1）2x－1＝5；（2）4＋8＝12；（3）5y－8；（4）2a＋3b＝0；（5）6a2－5x＋4；（6）2x2＋x＝1；（7）x－2≠1；（8）ax＋2a＝3.思路点拨：方程是含有未知数的等式，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程；方程是等式，两个代数式用等号连接起来就是等式,但等式不一定是方程；方程、等式都含有等号，而代数式不含等号.解：（1）是方程.2、－1、5是已知数，x是未知数，且是一元一次方程；（2）不是方程.因为等式中不含未知数；（3）不是方程.因为它是代数式，而不是等式；（4）是方程.2、3、0是已知数，a、b是未知数，因为含有两个未知数，所以不是一元一次方程；（5）不是方程.因为它是代数式，而不是等式；（6）是方程.2、1是已知数，x是未知数，因为未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程；（7）不是方程.因为它不是等式；（8）是方程.当a是未知数时，x、2、3是已知数，且当时，是一元一次方程；当x是未知数时，a、2a、3是已知数且当时，是一元一次方程；当a、x是未知数时，2、3是已知数，不是一元一次方程。

.总结升华：（1）化简后未知数系数为零时，则此含有未知数的等式不是方程，如2x＋1＝3＋2x就不是方程；（2）方程的已知数包括它前面的符号，当未知数的系数是1时，省略的1可看作已知数，但是一般不写出，如本例中的（6），x的系数为1，在写已知数时，也可以不写.举一反三：[变式]下列四个方程中，一元一次方程是（）A.x2-1=0B.x+y=1C.12-7=5D.x=0答案：D类型二：方程的解2．检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。

3y－1＝2y＋1(y＝2，y＝4)思路点拨：判断一个数是否是方程的解，把这个数代入方程的两边，若方程两边相等，则该数是方程的解；若方程两边不相等，则不是方程的解。

解：把y＝2代入方程3y－1＝2y＋1的两边，左边＝3×2－1＝5，右边＝2×2＋1＝5，左边＝右边，所以y＝2是方程3y－1＝2y＋1的解。

把y＝4代入方程3y－1＝2y＋1的两边，左边＝3×4－1＝11，右边＝2×4＋1＝9，左边≠右边，所以y＝4不是方程3y－1＝2y＋1的解。

举一反三：[变式1]（2011广东湛江）若是关于的方程的解，则的值为__________.答案：-1[变式2]关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则a的值是（）A.2B．3C．2或3D．1或2答案：C类型三：解一元一次方程3．解方程：9－3x＝5x＋5思路点拨：可将右边的5x变号后移到左边，将左边的9变号后移到右边，然后合并化成左边是含有未知数的项，右边是常数项的方程.解：9－3x＝5x＋5移项，得－3x－5x＝5－9合并，得－8x＝－4系数化为1，得x＝总结升华：解方程时经常要“合并”和“移项”，目的是将方程逐步变成ax＝b（a≠0）的形式，然后利用等式的性质②，化系数为1，最终求得未知数x的值；应该特别注意移项要变号，合并则是将所有含相同字母的项的系数相加.举一反三：[变式]解方程：4x=18-2x分析：利用等式的性质1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

解：根据等式的性质1，在方程两边同时加上2x4x+2x=18-2x+2x6x=18根据等式的性质2，在方程两边同时除以6，得x=34．解方程思路点拨：本题考查去分母的过程，注意不要漏乘方程中的每一项。

解：去分母，得4(2x－1)－4(2x+5)=3(6x－7)－12去括号，得8x－4－8x－20＝18x－21－12移项，得8x－8x－18x＝－21－12+4+20合并同类项，得－18x＝－9系数化为1，得x＝。

总结升华：解一元一次方程的基本思路是把未知数移到等号的一边，把常数项移到等号的另一边，最后把系数化成 1.这一过程中注意三点：去括号要依据符号法则，特别是括号前是负号的情况；移项要变号；去分母时，方程各项都要乘分母的最小公倍数.举一反三：[变式]解方程：解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化1，得5．解方程x-2[x-3(x+4)-6]=1思路点拨：方程特点是含有多重括号，去括号时从小括号开始由里向外一层一层去。