一元一次方程及解法

一元一次方程及解法

撰稿：占德杰责编：赵炜

一、目标认知

学习目标：

经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。

重点：

一元一次方程的解法

难点：

一元一次方程的解法

二、知识要点梳理

知识点一：方程的概念

1、含有未知数的等式叫做方程.

2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

3、求方程的解的过程叫做解方程。

4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）。

知识点二：一元一次方程的概念

1、概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，

“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，应从以下几点理解此概念：

（1）方程中的未知数的个数是1。例如2x+3y=2就不是一元一次方程，因为未知数的个数是两个，而不

是一个。

（2）一元一次方程等号的两边都是整式，并且至少有一边是含有未知数的整式。例如方程，

其中不是整式，所以它不是一元一次方程。

（3）未知数的次数是1，如x2+2x-2=0,在x2项中，未知数的次数是2，所以它不是一元一次方程。

2、判定：判断一个方程是不是一元一次方程应看它的最终形式，而不是看原始形式。

（1）如果一个方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形能化为ax ＝b(a≠0)，

或ax b＝0(a≠0)，那么它就是一元一次方程；否则就不是一元一次方程。

（2）方程ax＝b或ax b＝0，只有当a≠0时才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程ax＝b或

ax＋b＝0是一元一次方程，则隐含条件a≠0.

例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

知识点三：等式的性质

1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。

2、等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：

如果，那么；如果，那么

在对等式变形时，应注意如下几个方面：

(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行，同时加或减、同时乘或除以，

不能漏掉某一边，并且两边加或减、乘或除以的数必须相同

(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，

如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立。

(3)等式的性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因忽略除数不为0这

一条件而导致出错，特别是等式的两边除以一个式子时，更应注意这一条件。

知识点四：合并同类项与移项

1、合并同类项：将方程中含有相同字母（字母的指数也相同）的项进行合并，把一元一次方程变形为：的形式，然后利用等式的性质2，方程两边同时除以a，从而得到：

2、移项：将方程中的某项改变符号后从一边移到另一边，叫做移项.移项实际上是在方程的两边都加上（或减去）同一个数（或同一个整式）.

要点诠释：

（1）移项的目的：将含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。

这样我们就能够合并同类项，而使方程变形为的形式，再将方程两边同

时除以a，使x的系数化为1，得到，即为方程的解。具体过程如下：

（2）移项的理论依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；

（3）移项法则“移项必变号”，即移项要变号，不变号不能移项。

知识点五：去括号与去分母

1、去括号：方程中含有括号时，解方程过程中把括号去掉的过程叫做去括号。

去括号时注意以下两点：

（1）不要漏乘括号内的项；

（2）注意“+”“-”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的符号变化情况。

2、去分母：含分数系数的方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，这

样的变化过程叫做去分母。去分母时注意以下两点：

（1）不要漏乘不含分母的项；

（2）分子是一个整体，去分母后应加上括号。

知识点六：解一元一次方程的一般步骤

解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母——方程两边都乘各系数分母的最小公倍数；具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的

最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了，

因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

（2）去括号——利用乘法对加法的分配律去掉括号；按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后

去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字

因数时要注意使用分配律。

（3）移项——把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。

（4）合并同类项——把方程化为ax＝b（a≠0）的形式.