复积分的几种算法

复积分的几种算法
摘要
复积分的计算方法按照积分路径分为闭合积分路径和非闭合积分路径两类。

当给定起点、终点的积分路径（非闭合积分路径）的复积分，若被积函数在某一个包含起点、终点在内的单连通区域内解析，可以采用不定积分法，找到被积函数的原函数；若积分路径参数方程易写出，可以采用参数方程法，写出路径参数方程，确定起点和终点所对应的参数值，从而确定积分的上、下限；闭合积分路径的复积分，主要观察被积函数的在闭合路径中有几个奇点：若没有奇点，运用柯西积分定理，积分值为零；若只有一个奇点，可以运用柯西积分公式或者柯西留数定理；若有若干个奇点，可以运用柯西留数定理，或者先借助柯西积分定理挖去奇点，再利用柯西积分定理或柯西积分公式来计算。

1) 化为实、虚部两个二元实函数
若函数),(),()(y x iv y x u z f +=沿曲线C 连续，则
⎰)(z f 沿
C 可积分，且
⎰⎰⎰
++-=C
C
C
udy vdx i vdy udx dz z f )(.
2) 参数方程法
设有光滑曲线C ：)(),()()(βα≤≤+==t t iy t x t z z ，又设)(z f 沿C 连续.令
[][][])()()(),()(),()(t iv t u t v t v iv t y t x u t z f +=+= 则[]⎰⎰=C
dt t z t z f z f β
α
)(')()(
3) 不定积分法
如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任意曲线L 的积分
ζζd f L
⎰
)(只与其
起点和终点有关.当起点0z 固定时，这积分就在D 内定义了一个变上限z 的单值函数，我们把它记成变上限积分
ζζd f z F z z ⎰=0
)()( ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∈D z D z 0动点定点 （3.1） 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则由（3.1）定义的函数)(z F 在D 内解析，且)()('z f z F =.称函数)(z F 为)(z f 的一个不定积分或原函数. （不定积分法）如果)(z F 为)(z f 在单连通区域D 内的任意一个原函数，则
⎰
-=z
z z F z F d f 0
)()()(0ζζ ),(0D z z ∈
4) 柯西积分定理
a ）设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一闭曲线（不必是简单的），
则
0)(=⎰C
dz z f .
b ）设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内积分与路径无关.即对D 内任意两点0z 和1z ，积分⎰
1
)(z z z f 之值，不依赖于D 内连线起点0z 与终点1z 的曲线.
5) 复周线柯西积分定理
设D 是由复周线，所围成的界多连通区域_
10...n C C C C +++=-)(z f 在D 内解析，在C D D +=_
上连续，则
0)(=⎰C
dz z f ，或写成⎰⎰⎰++=0
1
)(...)()(C
C C n
dz
z f dz z f dz z f （沿外界积分等于沿内边界积分之和） 6) 形如
⎰-C
d z f ξξξ)
(的复积分，且z =ξ是被积函数z f F -=ξξξ)()(在C 内部的唯一奇点，运用柯西积分公式
（柯西积分公式）设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在
C D D +=_
上连续，则有⎰-=
C d z f i z f ξξξπ)
(21)( （D z ∈）,即⎰=-C
z if d z f )(2)(πξξξ 7) 形如
⎰
+π
ϕϕ20
0)Re (d z f i 的复积分，运用解析函数平均值定理
（解析函数平均值定理）如果函数)(z f 在圆R z <-||0ζ内解析，在闭圆R
z ≤-||0ζ上面连续，则⎰
+=
π
ϕ
ϕπ
20
00)Re (21
)(d z f z f i 即)(2)Re (020
0z f d z f i πϕπ
ϕ=+⎰
8) 形如
⎰+-C
n d z f ξξξ1)()
( （n=1,2，…）的复积分，且z =ξ是被积函数1)()()(+-=n z f F ξξξ在C 内部的唯一奇点，运用解析函数的无穷可微性
（解析函数的无穷可微性）设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=_
上连续，函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，且有
⎰+-=C n n d z f i n z f
ξξξπ1)
()()(2!)( （D z ∈，n=1,2，…） 即⎰=-+C
n n n z if d z f !)
(2)()()(1
πξξξ （D z ∈，n=1,2，…） 9) 形如
⎰C
dz z f )(的复积分，且被积函数)(z f 在C 内有一个或若干个奇点，运用柯西留数
定理
（柯西留数定理）)(z f 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除n a a a ,...,,21外解析，
在闭域C D D +=_
上除n a a a ,...,,21外连续，则
∑⎰===n
k a z C
z f s i dz z f k
1
)(Re 2)(π
柯西留数定理是最实用的求复积分的方法，实际上柯西积分定理和柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形，而运用柯西留数定理的关键在于如何准确快速地求出被积函数
)(z f 的在C 内的所有奇点的留数。

而在计算孤立奇点a 的留数时，我们只关心其洛朗展示
中
a
z -1
这一项的系数，所以应用洛朗展示求留数是最基础的方法。

下面，简单介绍求留数的方法。

我们将孤立奇点分成三类，分别为可去奇点，极点，本质奇点。

函数在有限可去奇点处的留数为零；对于极点,若a 为)(z f 的一阶极点，则)()(lim ]),([Re z f a z a z f s a
z -=→；
若a 为)(z f 的n 阶极点（2≥n ），n
a z z z f )
()
()(-=
ϕ，其中)(z ϕ在点a 解析，0)(≠a ϕ，
则)!
1()
(]),([Re )1(-=
-n a a z f s n ϕ. 对于本质奇点，若a 为)(z f 的本质奇点，求出)(z f 在a 点的
洛朗展示中
a
z -1
这一项的系数，就是)(z f 在有限本质奇点a 处的留数。

若积分路径C 内包含)(z f 的所有的有限奇点，则可以先求)(z f 在无穷奇点∞处的留数。

运用定理，如果函数)(z f 在扩充z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），设为n a a a ,...,,21，∞，则)(z f 在各点的留数总和为零。

于是
)(Re )(Re 1
z f s z f s z n
k a z k
∞
===-=∑.对于)(Re z f s z ∞
=，我们令
z
t 1=
，可以最终得到]1
)1([Re )(Re 20t t f s z f s t z =∞=-=.
参考文献
[J]钟玉泉，《复变函数论》，出版地：高等教育出版社，2012年
[J]张天德，孙娜，《复变函数论辅导及习题精解》，出版地：延边大学出版社，2012年。