完全平方差公式ppt课件
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平方差公式PPT教学课件
0-1律：
A∪O = A，A∩O = O； A∪E = E，A∩E = A； E
1
...
1
还原律：(Ac)c = A；
1 ... 1
对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，定义模糊矩阵A 与B 的合成为：
B
0.2 0.3
00..21, C0.源自 0.300..21(
A∩B
)
°
C
0.1 0.2
00..11 00..53
00..21
0.1 0.2
00..11
( A ° C )∩( B ° C )
0.3 0.2
00..21
0.2 0.3
00..21
0.2 0.2
00..11
( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C )
模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转 置矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质：
性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .
13、（5+a）( ) =25-a²
小结
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括
推广 !
一个长方形的长为 （√19 + √7）厘米，宽 为（√19 - √7） 厘米， 它的面积是多少？
平方差公式与完全平方公式PPT教学课件
宋陵文官石像
宋陵武将石像
宋朝设置“中书门下”
元世祖忽必烈
忽必烈建立元朝后，废除三省， 实行一省制，只设中书省。中书省的长 官为左、右丞相和平章政事，是元代的 宰相。六部也归入中书省。
丞相制度的废除
朱元璋
朱元璋明孝陵神道石兽 （位于南京）
南京皇城午朝门
南京皇城午朝门，即午门，是传达圣旨的地方，也是 对大臣施“廷杖”的地方。原有城楼已毁。
自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉唐宋因之，虽有贤相，然其间 所用者，多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察 院、通政司、大理寺等衙门，分理天下庶务，彼此颉颃，不敢相压。 事皆朝廷总之，所以稳当。以后子孙做皇帝时，并不许立丞相。
——《皇明祖训》
明朝中央集权表
明朝之中央机构分布图
明朝的内阁与清朝的军机处
总面积=a2+
ab+ab+b2.
法二 求
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋 完全平方公式 的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
=( 4a2 – 12ab + 9b2 )
例2、利用乘法公式计算：
(1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
解：( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
8.3.2完全平方公式与平方差公式课件
8.3.2 平方差公式
情境导入
地主与农民的故事
以前，狡猾的地主，把一块长为a米的 正方形土地租给农民种植。某一年，他对 农民说：“我把你这块地一边减少5米，另 一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏， 你看如何？”农民听了，觉得好像没有吃 亏，就答应了。农民回到村里，把这件事 跟大伙一说，其他人都认为这个农民吃亏 了。你觉得农民吃亏了吗？为什么？
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形,
割去一个边长为b 的小正方形.小明
将绿色和黄色两部分拼成一个长方形. 分别计算它们的面积，你有什么发现？
a
a
b
a a
a
b
a-b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
(x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4 )
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4 )
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a2 b2
两数和 两数差 两数平方差
平方差公式：
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差.
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
左边有 相同项a,相反项b 右边= 相同项a2减去相反项b2
情境导入
地主与农民的故事
以前，狡猾的地主，把一块长为a米的 正方形土地租给农民种植。某一年，他对 农民说：“我把你这块地一边减少5米，另 一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏， 你看如何？”农民听了，觉得好像没有吃 亏，就答应了。农民回到村里，把这件事 跟大伙一说，其他人都认为这个农民吃亏 了。你觉得农民吃亏了吗？为什么？
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形,
割去一个边长为b 的小正方形.小明
将绿色和黄色两部分拼成一个长方形. 分别计算它们的面积，你有什么发现？
a
a
b
a a
a
b
a-b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
(x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4 )
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4 )
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a2 b2
两数和 两数差 两数平方差
平方差公式：
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差.
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
左边有 相同项a,相反项b 右边= 相同项a2减去相反项b2
《平方差公式》PPT教学课件
(是)
（2）(-2a+b)(-2a-b) (是)
（3）(-a+b)(a-b)
(否)
（4）(a+b)(a-c)
(否)
例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2y )( 3x-2y） （2）（-7+2m2 )(-7-2m2 ） （3）（x-1)(x+1)(x2+1）
解：（1）（3x+2y)(3x-2y） =（3x）2-（2y）2 =9x2-4y2
=1002 - 22
=10000-4
=9996
例2计算： 1.102 ×98
2. y 2y 2 y 1y 5
解：2.原式=y2–22- (y2+5y-y-5)
=y2–4 – (y2+4y-5) =y2–4 –y2-4y+5 =-4y+1
注：合并同类项，化到最简。
随堂练习
1. a 3ba 3b
都未添括号。
拓展应用
1.利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1)(1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
1.什么是平方差公式？ 2.运用公式要注意： （1）要符合公式特征才能运用平方差公式； （2）有些例子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。
2.利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a
b
a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3 a (-3)2-a2
平方差公式和完全平方公式复习和拓展08431ppt课件
.
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
.
4.公式变形的应用：(a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2,
边成立。
(1) (2)
((4 xm _2_ b12a__ 2 _2 )_1x2)m 6 2b a x4m (2__ ba14 __ 2 __)_
(3)
1
(6 _a _0_.5b)2
a 326a6b_14 b_2 _
_
(4) (7xy)24x92(1_4x_ y _y2 _)
.
4、计算
1997 1992719981996
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n).
m2 .
n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
.
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
1 1 a a2
a2
2 1 a2
a12 a
a2
2a
11 aa2
a2
1 2a2
.
能力提高
5. x
1 x
m, 则x 2
1 x2
_m__2_;2
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
.
4.公式变形的应用：(a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2,
边成立。
(1) (2)
((4 xm _2_ b12a__ 2 _2 )_1x2)m 6 2b a x4m (2__ ba14 __ 2 __)_
(3)
1
(6 _a _0_.5b)2
a 326a6b_14 b_2 _
_
(4) (7xy)24x92(1_4x_ y _y2 _)
.
4、计算
1997 1992719981996
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n).
m2 .
n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
.
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
1 1 a a2
a2
2 1 a2
a12 a
a2
2a
11 aa2
a2
1 2a2
.
能力提高
5. x
1 x
m, 则x 2
1 x2
_m__2_;2
平方差公式 —初中数学课件PPT
-3
a
(1+a)(-1+a)
a
1
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1
a2-b2 12-1x22-x2
(-3)2-a2
a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2_-a_2__； (2)(a-b)(b+a)= ___a_2_-b_2____； (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2 __； (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2_-_a_2 __.
（4）（5y ＋ z)(5y－z）.
(5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a−b)= a2−b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积 ，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的 ）平方差公式.
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
例计1 算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
解：（1）原式=(3x)2－22 =9x2－4. (2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2.
应用平方差公式计算时，应注意以下几 点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式 中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相 同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可 以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
D.(a-b-c)(-a+b+c)
解析：(-3a+4b)(-4b-3a)=(-3a+4b)(-3a-4b) =9a2-16b2
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
平方差公式课件(市一等奖)
平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
平方差公式与完全平方公式(一)精选教学PPT课件
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
方
差
两数和 两数差 两数平方差
公 式
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
(5)
1 2
x
y
1 4
x
y
能 力 提 高
(1) (3x 5 y)( 3x 5 y ) 9x2 25 y2
(2) (3x 5 y)( 3x 5yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 9x2 25 y2
(3) (5 y 3x)( 5y 3x ) 9x2 25 y2
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形,
割去一个边长为b 的小正方形.小明
将绿色和黄色两部分拼成一个长方形. 问:小明能拼成功吗?
方
差
两数和 两数差 两数平方差
公 式
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
(5)
1 2
x
y
1 4
x
y
能 力 提 高
(1) (3x 5 y)( 3x 5 y ) 9x2 25 y2
(2) (3x 5 y)( 3x 5yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 9x2 25 y2
(3) (5 y 3x)( 5y 3x ) 9x2 25 y2
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形,
割去一个边长为b 的小正方形.小明
将绿色和黄色两部分拼成一个长方形. 问:小明能拼成功吗?
平方差公式ppt课件
平方差公式ppt课件
目录
• 引言 • 平方差公式的定义与形式 • 平方差公式的证明方法 • 平方差公式的扩展形式 • 平方差公式的应用举例 • 总结与回顾
01
引言
课程背景与目标
01
课程背景
02
课程目标
本课程是面向初中学生的数学课程，旨在帮助他们理解并掌握平方差 公式及其应用。
通过本课程，学生将能够理解平方差公式的推导过程，掌握其结构特 点，并能够在计算中运用该公式。
02
01
其中，a和b是任意实数，可以是 整数、有理数或无理数。
平方差公式的应用范围
平方差公式在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种与平方差有关的问题。
例如，在代数、几何、三角函数等领域中，平方差公式 都可以发挥重要的作用。
此外，在物理、化学等其他学科中，平方差公式也有着 广泛的应用。
03
平方差公式的证明方法
平方差公式的应用前景展望
01
在代数运算中的应用
02
在几何图形中的应用
03
在实际生活中的应用
04
在数学竞赛中的应用
THANKS
平方差公式的重要性
01
0203基础数来自概念提高计算效率培养逻辑思维
平方差公式是初中数学中的一个基础概念 ，是后续学习多项式、因式分解等知识的 基础。
掌握了平方差公式，可以大大提高学生的 计算效率，特别是在处理一些多项式的乘 法或乘方运算时。
学习平方差公式的过程，也是培养学生逻 辑思维和推理能力的过程，对于学生数学 素养的提高非常有帮助。
归纳法证明
总结词
归纳法证明是平方差公式证明中 最为直观和简洁的方法。
详细描述
通过将平方差公式左边展开，与 右边进行比较，发现两者相等， 从而证明了平方差公式的正确性 。
目录
• 引言 • 平方差公式的定义与形式 • 平方差公式的证明方法 • 平方差公式的扩展形式 • 平方差公式的应用举例 • 总结与回顾
01
引言
课程背景与目标
01
课程背景
02
课程目标
本课程是面向初中学生的数学课程，旨在帮助他们理解并掌握平方差 公式及其应用。
通过本课程，学生将能够理解平方差公式的推导过程，掌握其结构特 点，并能够在计算中运用该公式。
02
01
其中，a和b是任意实数，可以是 整数、有理数或无理数。
平方差公式的应用范围
平方差公式在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种与平方差有关的问题。
例如，在代数、几何、三角函数等领域中，平方差公式 都可以发挥重要的作用。
此外，在物理、化学等其他学科中，平方差公式也有着 广泛的应用。
03
平方差公式的证明方法
平方差公式的应用前景展望
01
在代数运算中的应用
02
在几何图形中的应用
03
在实际生活中的应用
04
在数学竞赛中的应用
THANKS
平方差公式的重要性
01
0203基础数来自概念提高计算效率培养逻辑思维
平方差公式是初中数学中的一个基础概念 ，是后续学习多项式、因式分解等知识的 基础。
掌握了平方差公式，可以大大提高学生的 计算效率，特别是在处理一些多项式的乘 法或乘方运算时。
学习平方差公式的过程，也是培养学生逻 辑思维和推理能力的过程，对于学生数学 素养的提高非常有帮助。
归纳法证明
总结词
归纳法证明是平方差公式证明中 最为直观和简洁的方法。
详细描述
通过将平方差公式左边展开，与 右边进行比较，发现两者相等， 从而证明了平方差公式的正确性 。
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完全平方差公式第二课时
1
(1)3x=6,3y=7, 3x+y=
.
3x+y+1 =
.
(2)42014×(0.25) 2013=
.
(3)( y x)3 (x y)2 (x y)8
2
计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 =(p+1)(p+1) = p_2_+_2_p_+_1___; (2)(m+2)2= m__2_+_4_m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1)(p-1)=_p_2_-2_p__+_1_; (4)(m-2)2 = _m_2_-_4_m_+__4__.
9
1.（宁波·中考）若x+y=3,xy=1,则
x2 y2 __7___ .
x 2 y 2 (x y)2 2xy 32 2 7.
2.化简（x+1)2+2(1-x)-x2. 解：原式=x2+2x+1+2-2x-x2 =3.
10
3.计算：(1)(x+2y)2. 解 (1) 原式=(x+2y)(x+2y)
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中 间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式.
5
【例1】运用完全平方公式计算： (1)(x+2y)2 解：原式=x2 +2x·2y+(2y)2 = x2 +4xy+4y2
（2）(7x-5y)2 解：原式=（7x）2 +2·7x·5y+(5y)2
A.64
B.48
C.32
D.16
2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式 的是( D ) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
3.在x2+2xy+y2,-x2y2+2xy,x2+xy+y2,4x2+1+4x 中，能用完全平方公式的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4
3
完全平方公式:
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它 们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍.
4
公式的特点：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
1.积为二次三项式； (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2.其中两项为两数的平方和；
(1) 1022 解：原式 = (100 +2)2
= 1002 +2×100×2 + 22
= 10 000 +400 +4
= 10 404
(2) 992
解：原式 =(100 -1)2
= 1002 -2×100×1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801
8
练习：1032 解：原式=(100+3)2 =1002+2×100×3+32 =10 000+600+9 =10 609
【解析】选D.原式=m(x2-6x+9)=m(x-3)2.
15
13
4.若(a+b)2+m(a+b)+4是完全平方式，则 m=_4_或__-_4_. 【解析】∵4=22,∴m(a+b)=±2×2×(a+b), ∴m=4或-4.
14
2.把多项式mx2-6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是( )
A.m(x+3)2
B.m(x+3)(x-3)
C.m(x-4)2
D.m(x-3)2
= x2+2·x·2y+(2y)2 = x2+4y2+4xy.
(2)(a+b+c) 2
解 原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
11
(a+b) 【总结】(1)式子表示:a2+2ab+b22=______,
a2-2ab+b2=_(_a_-_b_)_2. (2)语言叙述：两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的_积__的__2_倍___，等于这两个数的 __和__(_或__差__)_的__平__方_.
12
题组一：完全平方式
1.(2012·南通中考)已知x2+16x+k是完全平
方式，则常数k等于( A )
= 49x2 +70xy+25y2
6
2.运用完全平方公式计算:
(Hale Waihona Puke ) (6a+5b)2(2) (4x-3y)2
解=3原6a式2+60ab+25b解224：xy原+式9y2=16x2-
(3) (2m-1)2
(4)(-2m-1)2
解原式=4m2-4m+1 解原式=4m2+4m+1
7
【例2】运用完全平方公式计算:
1
(1)3x=6,3y=7, 3x+y=
.
3x+y+1 =
.
(2)42014×(0.25) 2013=
.
(3)( y x)3 (x y)2 (x y)8
2
计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 =(p+1)(p+1) = p_2_+_2_p_+_1___; (2)(m+2)2= m__2_+_4_m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1)(p-1)=_p_2_-2_p__+_1_; (4)(m-2)2 = _m_2_-_4_m_+__4__.
9
1.（宁波·中考）若x+y=3,xy=1,则
x2 y2 __7___ .
x 2 y 2 (x y)2 2xy 32 2 7.
2.化简（x+1)2+2(1-x)-x2. 解：原式=x2+2x+1+2-2x-x2 =3.
10
3.计算：(1)(x+2y)2. 解 (1) 原式=(x+2y)(x+2y)
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中 间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式.
5
【例1】运用完全平方公式计算： (1)(x+2y)2 解：原式=x2 +2x·2y+(2y)2 = x2 +4xy+4y2
（2）(7x-5y)2 解：原式=（7x）2 +2·7x·5y+(5y)2
A.64
B.48
C.32
D.16
2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式 的是( D ) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
3.在x2+2xy+y2,-x2y2+2xy,x2+xy+y2,4x2+1+4x 中，能用完全平方公式的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4
3
完全平方公式:
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它 们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍.
4
公式的特点：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
1.积为二次三项式； (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2.其中两项为两数的平方和；
(1) 1022 解：原式 = (100 +2)2
= 1002 +2×100×2 + 22
= 10 000 +400 +4
= 10 404
(2) 992
解：原式 =(100 -1)2
= 1002 -2×100×1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801
8
练习：1032 解：原式=(100+3)2 =1002+2×100×3+32 =10 000+600+9 =10 609
【解析】选D.原式=m(x2-6x+9)=m(x-3)2.
15
13
4.若(a+b)2+m(a+b)+4是完全平方式，则 m=_4_或__-_4_. 【解析】∵4=22,∴m(a+b)=±2×2×(a+b), ∴m=4或-4.
14
2.把多项式mx2-6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是( )
A.m(x+3)2
B.m(x+3)(x-3)
C.m(x-4)2
D.m(x-3)2
= x2+2·x·2y+(2y)2 = x2+4y2+4xy.
(2)(a+b+c) 2
解 原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
11
(a+b) 【总结】(1)式子表示:a2+2ab+b22=______,
a2-2ab+b2=_(_a_-_b_)_2. (2)语言叙述：两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的_积__的__2_倍___，等于这两个数的 __和__(_或__差__)_的__平__方_.
12
题组一：完全平方式
1.(2012·南通中考)已知x2+16x+k是完全平
方式，则常数k等于( A )
= 49x2 +70xy+25y2
6
2.运用完全平方公式计算:
(Hale Waihona Puke ) (6a+5b)2(2) (4x-3y)2
解=3原6a式2+60ab+25b解224：xy原+式9y2=16x2-
(3) (2m-1)2
(4)(-2m-1)2
解原式=4m2-4m+1 解原式=4m2+4m+1
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【例2】运用完全平方公式计算: