根轨迹法习题和答案
第4章 控制系统根轨迹法习题
即： (s −s2)(s −s3) = s2 + s +1
−1+ j 3 则：s2 = 2 −1− j 3 s2 = 2
为系统另外
两个极点的值。 两个极点的值。
(s +2)(s +1 ) (s +2)(s +1 ) s(s +1 ) ϕ(s) = = (s +2)(s +1 s(s +1 +(s +2)(s +1 ) ) ) 1+ s(s +1 ) (s +2)(s +1 ) s +2 = = (2s +2)(s +1 2s +2 )
三.绘制下图所示系统的概略根轨迹，并用根轨迹 绘制下图所示系统的概略根轨迹， 的模值方程确定使系统的三个根均为负实根的 k* 取值范围。 取值范围。
2.系统在欠阻尼状态下，也就是根轨迹在复平面 2.系统在欠阻尼状态下， 系统在欠阻尼状态下 上变化， 上变化，而不在实轴上变化 0 <T <1 3.闭环极点出现重根时，也就是根轨迹在分离点 3.闭环极点出现重根时 闭环极点出现重根时， s1 = s2 =−1 系统此时为临 处，此时闭环极点 界阻尼 T =1 。 则闭环传递函数为： 则闭环传递函数为：
二.系统结构如下图所示： 系统结构如下图所示： 1.绘制T从 0 →∞ 变化的根轨迹。 1.绘制 绘制T 变化的根轨迹。 2.确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围。 2.确定系统在欠阻尼状态下 的取值范围。 确定系统在欠阻尼状态下T 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数 求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。
解：特征方程为： 特征方程为：
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
根轨迹例题——精选推荐
根轨迹例题题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
（1）2(2)()23g K K s W s s s +=++解1）起点：两个开环极点1211p p -=-+-=--。
终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。
2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。
3）渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)18021μϕ+==-22021k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得223(2)(22)0s s s s ++-++=整理得2410s s ++=解得12s =--22s =-+。
由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。
5）出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()11809054.7144.7sc β=--=同理，2144.7sc β=- 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-1(1) 根轨迹图（2）)22)(2()(2+++=s s s s K s W gK解1） 起点：系统四个开环极点为12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；终点：四个无限零点。
2） 渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)451354o μϕ+==±± 、21114k σ+-=-=-＋ 3） 分离点，会合点计算'()()'()()0D s N s N s D s -=整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()1180901354590sc β=-++=-同理，290sc β=+ 。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
自控-第四章根轨迹法习题课
1 已知系统的开环传递函数为()()()()21++=s s s ks H s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K 的取值范围。
解：（1）根据绘制根轨迹的基本法则，可知： ① 实轴上的根轨迹区域为：（－∞，－2]和[0.－1]。
② 根轨迹总共有三条，其中二条将趋向无穷远处，其渐近线为： a 与实轴的交点坐标（a δ，0j ）()()1321011-=-+-+=--=∑∑==mn zp n i mj ji a δb 与实轴的夹角：()⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+=-+=1601180060318012180)12(0000k k k k m n k o a ϕ③ 根轨迹的分离点()()()()()(){}()423.0,578.121210211)(121-=-=⇒++-=⇒++-=⇒=+++=+s s dss s s d ds dk s s s k s s s k s G g g g舍去④ 根轨迹与虚轴的交点()()()()0,6,0,20210211)(1=±=⇒=+++⇒=⇒=+++=+g g gk k j j j j s s s k s G 对应的代入上式：令s ωωωωω系统稳定的充要条件为所有的闭环极点都要复平面的左半平面，根据以上绘制根轨迹的第4点，系统稳定时K 的取值范围为60<<K 。
2 已知系统的开环传递函数为)3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K*的取值范围。
（1）根据根轨迹的绘制法则，可知：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2--1-2j② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。
自动控制_根轨迹(例题)
n
m
n
m
nm
j 1
i 1
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg
(2k 1) nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
k 0,1,2
( 2k 1) 的直线方程。也就 nm
180
0
n m 1
nm 2
90 0
和
实轴上的会合点和分离点的求法
由此得： D( d ) K gd N ( d ) 0 ' ' D ( ) K N ( d ) 0 d gd 即：
N ' ( s ) D( s ) N ( s ) D ' ( s ) 0 D( s ) K gd N ( s) s d
二．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ 平面中的任意一点 S0 ，用相角条件可
s0
O
× p2
以判断 S0 是不是根轨迹的点。
1、从 S0 到各零极点连直线
2、用量角器量 (s0 p1 )，…等各个角 3、将量好的值代入（＊＊）式，若等
式成立，则 S0 就是根轨迹上的点
j 1 i 1 i
当 Kg= 0 时，有 s = pj ( j =1, 2, … , n) 上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 Kg
(s p ) (s z ) 0
j 1 j i 1 i
n
m
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
z1
o
根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G 试证明点311j s +−=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +−=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++−∠−++−∠−++−∠−)431()231()131(0j j jππππ−=−−−632满足相角条件，因此311j s +−=在根轨迹上。
将代入幅值条件：1s 1431231131)(*11=++−⋅++−⋅++−=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
1（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图解 根轨如图解4-2所示：4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G⑵ )3)(2()5()(*+++=s s s s K s G⑶ )12()1()(++=s s s K s G2解 ⑴ )2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=s s s Ks s s K s G系统有三个开环极点：,01=p 22−=p ,53−=p① 实轴上的根轨迹：,(]5,−∞−[0,2−]② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：，(舍去)。
88.01−=d 7863.32−d ④ 与虚轴的交点：特征方程为010107)(23=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+−==+−=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨⎧==710k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。
自控 根轨迹法习题及答案
1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第五章根轨迹分析方法自测题__参考答案
第五章 根轨迹分析方法 自测题__参考答案5-1 设闭环系统的开环传递函数为2(5)()0(48)K s G s K s s s +=>++，请用相位条件检验下列S 平面上的点是不是根轨迹上的点，如果是根轨迹上的点，则用幅值条件计算该点所对应的K 值。
（1）（－1，j0）；（2）（-1.5，j2）；（3）（－6，j0）；（4）（－4，j3）；（5）（－3，j2.37）解： （1）是; K ＝5/4（2）是; K ＝5/4（3）不是根轨迹上的点。
（4）不是根轨迹上的点。
（5）是; K ＝7。
5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为：()0(1)KG s K s Ts =>+，，若希望闭环系统所有特征根实部均小于-2，请绘制根轨迹草图确定T 的取值范围。
若再要求系统阻尼比ζ不小于0.5，请画出期望的特征根在S 平面上的分布范围。
解：分离点的位置是： 0<T<1/45-3 控制系统结构如图5-3所示，试由根轨迹的方法确定使闭环系统稳定的KK t 的取值范围。
解：系统开环传递函数为：()(0.251)t KG s s s KK =-+有2个开环极点：120, 4(1)t s s KK ==-由于K>0，故欲保证闭环系统稳定，只需要2个开环极点均位于S 左半平面即可 故101t t KK KK -<⇒>R (s )s )图5-3 控制系统示意图即只要满足条件 1t KK >。
5-4 单位负反馈系统的开环传递函数为：123()()()()()K s z G s s p s p s p +=+++其零、极点分布如图5-4所示，试采用根轨迹方法确定使系统稳定的K 的范围。
解：可以绘制根轨迹的概略图。
从+1、－1出发的2条根轨迹相向而行，在分离点离开实轴进入复域。
由已知的零极点分布容易判断，分离点一定是在左半平面。
渐近线与实轴的交点：－0.5，为平行于虚轴的垂直线容易看出，当一个极点从s=1出发，往S 左半平面移动，过原点为系统稳定与否的分界点。
根轨迹典型习题
1、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
2、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 2(s )1s (k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
3、已知单位反馈系统的开环传递函数)3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点：5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。
根轨迹分析法习题解答
第四章 根轨迹分析法学习要点1根轨迹的概念；2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤；4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
思考与习题祥解题 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。
答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。
根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。
根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。
可以分解为幅值条件与相角条件。
运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。
除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。
第4章 根轨迹分析法 参考答案(基础教育)
习题4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+D *(1)(2)K s s s --4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*32162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为j32s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036j32j32λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
王建辉《自动控制原理》(课后习题 根轨迹法)【圣才出品】
第4章 根轨迹法4-1 根轨迹法适用于哪类系统的分析？答：根轨迹法适用于分析高阶系统。
4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，而系统的幅角关系为式中：；为开环有限零点－z i 到s 的矢量幅角；为开环极点－p j 到s 的矢量幅角。
由此可知，可以利用系统开环零点和开环极点来绘制闭环系统的根轨迹。
4-3 绘制根轨迹的依据是什么？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，即幅角的和总等于。
4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件？答：由根轨迹的定义可知，根轨迹由特征方程式的幅值条件和幅角条件决定，但因为K g 在0→∞范围内连续变化，总有一个K g 能满足幅值条件，所以，绘制根轨迹的依据是幅角条件。
4-5 系统开环零、极点对根轨迹形状有什么影响？答：（1）增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。
（2）增加开环极点将使系统的根轨迹向右弯曲，使对应同一个K g值的复数极点的实数部分和虚数部分数值减小，从而系统的调节时间加长，振荡频率减小。
4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
解：（1）①起点：两个开环极点为－p1＝－1，－p2＝－2；终点：系统有一个开环有限零点为－z＝－3。
②实轴上的根轨迹区间为（－∞，－3]，[－2，－1]。
③根轨迹的分离点、会合点计算。
即因为根轨迹在（－∞，－3]和[－2，－1]上，所以，分离点为－1.58，会合点为－4.42。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-6（1）根轨迹图（2）①起点：三个开环极点－p1＝0，－p2＝－3，－p3＝－2；终点：系统有一个开环有限零点－z＝－5。
②实轴上根轨迹区间为[－5，－3]，[－2，0]。
③渐近线倾角及交点计算。
由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为④求分离点N'（s）D（s）－D'（s）N（s）＝0。
根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=' 28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。
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第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。
（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=' 28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。
解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。
2s -=时4b =， )8s )(2s (s216s 10s s 2)s (2++=++=Φ4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=(2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++=(3) )3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++= (4) )1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=解 ⑴ )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
⑵ )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点：5131211+=++++d d d d用试探法可得886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：2d 11d 11d 1d 1+++=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )101s .0)(102s .0(s k)s (G ++=要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。
解 (1) )100s )(50s (s k5000)1s 01.0)(1s 02.0(s k )s (G ++=++=① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：0100d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，③ 渐近线：o oa a 1806050，，±=ϕ-=σ 根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时150k 750000k *==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，4-6 已知系统的开环传递函数为)20s 8s (s k )s (H )s (G 2*++=，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。
解 )20s 8s (s K )s (H )s (G 2++=*① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--++-+=σ,33)1k 2(383)2j 4()2j 4(0a a ③分离点：02j 4d 12j 4d 1d 1=-+++++ 解之得：33.3d ,2d -=-=。
④与虚轴交点：*+++=ks 20s 8s )s (D 23把ω=j s 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：⎩⎨⎧=ω-ω=ω=ω-=ω*020))j (D Im(08k ))j (D Re(32 解得：⎩⎨⎧==ω*0k 0⎪⎩⎪⎨⎧=±=ω*160k 52⑤起始角：由相角条件632p -=θ，633p =θ。
根轨迹如图所示。
所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k 8.14*≤≤ 所以8.0k 74.0≤≤4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)1s 74()1s ()1s 2(k )s (G 2-++=，试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。
解 ：根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []4/75.0，- ② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π±=π+=ϕ=--+--=σ22)1k 2(812)5.0(4/711a a③ 与虚轴交点：闭环特征方程为01k s )710k 2(s 71s 74)s (D 23=-+-++=把ω=j s 代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω-=ω=ω--=ω074)710K 2())j (D Im(0711K ))j (D Re(32解得： ⎩⎨⎧==ω1K 0，⎪⎩⎪⎨⎧=±=ω79K 2 根轨迹如图所示。
由图可知使系统稳定的K 值范围为 79K 1<<。
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。
22)9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*）（ 解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--+---=σ,33)1k 2(323)2(5j 25j 2a a ③ 分离点：2d 15j 2d 25j 2d 2+=-++++ 解之得：29.3d -= 71.0d = (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为02s K )9s 4s ()s (D 22=++++=*）（把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω+=ω=++ω-ω=ω**8)K 72())j (D Im(0K 28134))j (D Re(324解得： ⎩⎨⎧=±=ω*96K 21⑤ 起始角： π+=⨯-θ-）（）（1k 29022901p解出135,4521p p -=θ=θ 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。
(1) )1s (s )a s (4/1)s (G 2++=，0a >；(2) )1Ts )(11s .0(s 6.2)s (G ++=，0T > 解 (1) 2)5.0s (s 4/a )s (G +=' ① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 渐近线：o oa a 180603/1，，±=ϕ-=σ ③ 分离点：6/1d -= 根轨迹如图所示。
(2) 26s 10s )10s (Ts )s (G 22+++='① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 起始角终止角：o o p 11o 180)90(51tg )51tg 180(2=+θ-+---解得起始角o p 7.78±=θ o 11oz 180)51tg 51tg(02=+--+θ-- 解得终止角oz 90±=θ 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。
)18s ()1s ()1s (k )s (H )s (G 2+-+=* 解① 实轴上的根轨迹： ]118[--， ② 分离点：22.4d 1-=，28.6d 2-=③ 渐近线：5.7a -=σ，o a 90±=ϕ④ 与虚轴交点：j 86.1s 2,1±=，7.37k *=根轨迹如图所示。
6.116k d *1=处，6.117k d *2=处，18/k k *=结论：53.6k 48.6<<时所有根为负实根，095.2k >时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。
解：s20s Ts 100)s (G 23++=作等效开环传递函数32*s )100s 20s (T 1)s (G ++=根轨迹绘制如下： （注意：)T /1k *= ① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：10d 2d 3+=解得30d -=。
根据幅值条件，对应的015.0T =。
③ 虚轴交点：闭环特征方程为0100s 20s Ts )s (D 23=+++=把ω=j s 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=ω-ω=ω=ω-=ω0T 20))j (D Im(0100))j (D Re(32解得： ⎩⎨⎧=±=ω2.0T 10④ 起始角：︒=θ601p参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。