第三章 .2 、3图形的旋转中心对称
第三章 中心对称图形(一)知识点
第三章中心对称图形（一）1、图形的旋转（1）图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
旋转问题的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
（2）基本性质：旋转前、后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2、中心对称与中心对称图形（1）中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）中心对称图形：平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点就是它的对称中心。
（3）确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；方法二: 任意连接两对对称点，则这两条线段的交点即是对称中心；（4）如何画对称图形关键：作多边形各顶点关于对称中心的对称点成中心对称的两个图形：对应角、对应边相等，对应边还互相平行（或在同一直线上）3、平行四边形（1）概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）性质：平行四边形对角相等，对边平行且相等，邻角互补，对角线相互平分。
（3）判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）平行四边形中常用辅助线的添法1、连结对角线或平移对角线。
2、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
3、连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
4、连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。
5、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
4、矩形（1）概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
八年级数学北师大版初二下册--第三单元 3.3《中心对称》(第二课时)课件
知1－讲
例2 如图，在下列图形中，中心对称图形有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
导引：这些图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形完 全重合，但旋转180°后能与原图形重合的有3个， 只有最后一个图形不重合．
总结
知1－讲
正多边形图案是否为中心对称图形的识别方法： 边数为偶数的正多边形图案是中心对称图形，
知识点 1 中心对称图形的定义
知1－导
问题
（1）如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你 有什么发现？
A
B
可以发现：线段AB绕它的中点旋转180°后与 它BCD 绕它的两条对角线的交点O旋
转180°，你有什么发现？
A
D
O
B
C
Y 可以发现： ABCD 绕它的两条对角线的交点O旋
第三章 图形的平移与旋转
3.3 中心对称
第2课时 中心对称图形
1 课堂讲解 2 课时流程
中心对称图形的定义 中心对称图形的性质 中心对称图形的作图
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我们上节课学习了中心对称的相关知识，中心对 称是指两个图形的关系，而把这两个图形看作一个整 体是什么图形呢？是我们这节课所要学习的中心对称 图形.
相应地，与边数为偶数的正多边形具有类似的特 征的图形是中心对称图形；边数为奇数的正多边 形或具有类似的特征的图形一定不是中心对称图 形．
1 下列哪些图形是中心对称图形？
知1－练
解：中心对称图形有(1)(2)(3)．
（来自《教材》）
知1－练
2 下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？
解：第一张和第三张牌的牌面是中心对称图形．
(2)本题还有其他分割方法，请分割试一试．
北师大版八年级下册数学课本目录
北师大版八年级下册数学课本目录北师大版数学教材是八年级数学教师进行教学、学生进行学习的最主要媒介,教材目录是哪些内容你知道吗?整理了关于北师大版八年级下册数学课本的目录，希望对大家有帮助!北师大版八年级下数学课本目录第一章三角形的证明1. 等腰三角形2. 直角三角形3. 线段的垂直平分线4. 角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1. 不等关系2. 不等式的基本性质3. 不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1. 图形的平移2. 图形的旋转3. 中心对称4. 简单的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1. 因式分解2. 提公因式法3. 公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1. 认识分式2. 分式的乘除法3. 分式的加减法4. 分式方程回顾与思考复习题第六章平行四边形1. 平行四边形的性质2. 平行四边形的判定3. 三角形的中位线4. 多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践⊙生活中的“一次模型”综合与实践⊙平面图形的镶嵌总复习北师大版八年级下册数学知识点：三角形的证明一、全等三角形的判定定理：三边分别相等的两个三角形全等.(SSS)定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(SAS)定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(ASA)定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)二、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等.三、等腰(边)三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.(等边对等角)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.四、等腰(边)三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边) 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.五、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.六、直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.七、直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.八、线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.九、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.十、互逆命题和互逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.备注：一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.十一、尺规作图的应用已知等腰三角形的底边及底边上的高作等腰三角形.。
旋转对称图形与中心对称图形
初二数学讲义第三讲 旋转对称图形与中心对称图形一、主要知识点1．把—个图形绕旋转中心旋转一定(小于周角)角度后，所得图形能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形。
2．中心对称图形是绕某一中心点旋转180°后能与自身重合的旋转对称图形，这个中心点叫做对称中心；3．中心对称图形是旋转对称图形的特例。
4．中心对称的特征：如果两个图形成中心对称，那么对称中心在对应点的连线上且平分这条线段．两个图形的对应角相等，对应线段平行且相等，两个图形的形状和大小都一样。
5．中心对称与中心对称图形：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。
区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形。
(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看成—个整体，则成为中心对称图形。
6．常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有：①线段；②相交直线；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。
二、例题与练习例1．下列旋转对称图形中绕哪一个点旋转多少度与自身重合？答：例2．如图所示，该图按顺时针绕旋转中心旋转，可与自身重合的度数是 （ ） （A ）60°； （B ）180°； （C ）120°； （D ）320°。
答：（1）（3） （4） （5）例3．如图，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置。
（1）旋转中心是点 ；（2）旋转角度是 ；（3）△ADE 是 三角形。
例4、如图，已知△ABC 和点O ，画出△A ’B ’C ’，使△A ’B ’C ’和△ABC 关于点O 成中心对称。
解：（1）连结 并延长 到 ，使 = ，于是得到点 的对称点 ；（2）同样画出点 和点 的对称点 和 ； （3）顺次连结 、 、 。
苏科版八上 3.2中心对称与中心对称图形 案例1
中心对称与中心对称图形连云港市新海实验中学乔乃英义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级上册第三章第2节第1课时一、教学目标：1．了解中心对称图形及其基本性质2．在探索的过程中培养学生有条理地表达，及与人交流合作的能力。
3．经历观察、操作、发现、探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，培养学生观察能力和动手操作能力，感受对称、匀称、均衡的美感，积累一定的审美体验。
二、学情分析：学生刚学习了图形的旋转，知道图形旋转的性质。
中心对称是一种特殊的旋转，所以学生能理解它的概念和性质。
在日常生活中，也可以找到中心对称的实例。
学生对此有感性认识，因此中心对称的概念无论从知识储备还是从认知水平较能为学生所接受。
所以但学生在今后的学习中容易和轴对称概念混淆。
所以有必要在本节课把两种概念进行比较，加深学生对中心对称的理解。
也渗透类比思想方法。
三、教学重、难点：理解中心对称的概念及其基本性质。
四、教学准备：多媒体教学设备。
学生课前准备较透明的白纸、图钉。
五、教学过程：（一）创设问题情境1．利用课件展示几幅图片，（1）几幅轴对称的图片。
（2）几幅中心对称的图片师：（1）中的两个图形有什么特点? 生：都成轴对称。
师：什么样的两个图形成轴对称？生：……师：（2）中的两个图形是不是成轴对称？生：不是。
师：（2）中的两个图形有什么特点? 他们怎么才能重合呢？生：把其中一个图形绕着一个点旋转180°能和另一个图形重合。
（利用几组对称图片的播放，引导学生对轴对称进行复习，通过学生对轴对称概念、性质的回答来了解学生对该问题的掌握程度，也为下一步中心对称与轴对称概念的区别的教学作铺垫。
同时让学生自己发现，有几组图片也是对称，但却不是轴对称，这是一种新的对称，从而引出课题）2实践操作师：让我们一起来操作。
拿出课前准备的较透明的白纸，图钉，按书上的要求进行操作。
（通过实际操作活动，激发学生的好奇心，和主动学习的欲望，为学生能概括出中心对称的概念，作铺垫。
中心对称与旋转的联系和区别
中心对称与旋转的联系和区别
中心对称和旋转都是几何变换中常见的概念，它们之间有一些联系和区别。
联系：
1. 中心对称和旋转都是二维平面上的变换操作，可以改变图形的位置、形状和方向。
2. 中心对称和旋转都是保持图形不变的操作，即变换后的图形与变换前的图形相似。
3. 在一些特定情况下，中心对称和旋转可以相互转化。
例如，一个图形绕着某个点旋转180度后，可以与它的中心对称图形重合。
区别：
1. 中心对称是将图形关于某个中心点进行对称，保持图形形状不变，但可能改变图形的位置和方向。
旋转是将图形绕着某个点旋转一定角度，保持图形位置不变，但可能改变图形的形状和方向。
2. 中心对称的对称轴是直线，而旋转的旋转轴是一个点。
3. 中心对称的变换方式只有一种，即图形关于中心点的对称。
旋转的变换方式有多种，可以是顺时针或逆时针旋转，可以是任意角度的旋转。
4. 中心对称可以是任意次数的对称，而旋转可以是任意角度的旋转。
综上所述，中心对称和旋转虽然有一些联系，但在变换方式、变换效果和变换特点上都存在一些区别。
第三章《中心对称图形》之基础知识、基本问题和基本方法分解
第三章《中心对称图形》之基础知识、基本问题和基本方法《图形的旋转》一、图形的旋转应抓住“旋转中心”和“旋转的角度”这两个要素1、如图，正方形ABCD中，M是CD的中点.（1）△ABN是顺时针方向旋转△ADM得到的，则旋转中心是：，旋转角度等于。
（2）△CEM也是旋转△ADM得到的，则旋转中心是：，旋转角度等于。
MABDC E N二、要注意旋转中图形相容部分面积的求法：1、如图，正方形的一个顶点与边长为1的正方形的中心O重合，则两个正方形的重叠部分的面积等于O《中心对称》一、首先应该明确，中心对称也是一种旋转，从“旋转中心”和“旋转的角度”这两个要素来看，中心对称的“旋转中心”我们称作“”，而中心对称的“旋转的角度”是确定的度，换言之，一个图形绕一个定点旋转一定的角度能与自身重合，它还不一定就是中心对称图形，只有绕一个点旋转度能与自身重合时，我们才能称这个图形是中心对称图形，试问，等边三角形是中心对称图形吗？。
因为等边三角形绕它的中心旋转180度后与自身重合（填“能”或“不能”），当然，等边三角形绕它的中心至少旋转度后就能与自身重合了。
二、类比学习是很好的记忆和理解知识的方法，所以我们还应该将“轴对称”与“中心对称”结合起来加以区别，如下表：轴对称中心对称有一条对称轴（是直线）有一个（是一个点）图形沿对称轴对折后重合(即：翻折180°) 图形绕旋转度后重合对称点的连线被对称轴且对称点连线经过,且被平分因此，轴对称和中心对称是有区别的，但这并不排除有些图形具有双重对称性，填表（正确的打钩）线段角等腰梯形等边三角形平行四边形矩形菱形正方形圆轴对称中心对称三、对于中心对称的性质，要能准确的对一些“命题”进行判断：1、关于中心对称的两个图形是全等形（）对2、两个能够互相重合的图形一定成中心对称（）错3、成中心对称的两个图形一定能够互相重合（）对4、把一个图形绕着某一点旋转一定的角度，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形一定成中心对称（错）5、如果两个图形的对应点连线都经过某一点，那么这两个图形关于这一点成中心对称（）错6、如果两个图形成中心对称，那么对称点的连线必过对称中心（）对；7、如果两个图形成中心对称，那么这两个图形的形状和大小完全相同（）对；8、如果两个图形成中心对称，那么这两个图形的对应线段一定互相平行（）错；9、如果两个图形成中心对称，那么将一个图形围绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合（错）10、如果两个图形对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称（对）《平行四边形》一、基础知识：1、定 义： 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形2、性质定理： 边：平行四边形的对边平行且相等 角：平行四边形的 相等， 对角线：平行四边形的对角线3、判定定理： 边：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形 两组对边分别 的四边形是平行四边形 一组对边 的四边形是平行四边形 角：两组对角分别 的四边形是平行四边形 对角线：对角线 的四边形是平行四边形 二、基本问题与基本方法：1、平行四边形是 对称图形，两条对角线的交点是它的 ，进一步的，经过两条对角线的交点任意一条直线都将平行四边形分成了两部分全等 （1）如图，口ABCD 的对角线相交于点O ，一条直线经过点O ，交AD 于点E,交BC 于点F ，试问OE=OF 吗？为什么？FE OD A CB（2）如图，沿平行四边形的一条边，剪去一个矩形，你能只画一条直线，就将该多边形分成面积相等的两部分吗？试试看。
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转知识总结北师大版
第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.关键：a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律（性质）：经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。
整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.关键：a。
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b。
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律（性质）：经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。
）注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等.3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：（1)．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2)．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。
第三章 图形的平移与旋转
第三章图形的平移与旋转1.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.3.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.4.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.7.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.8.运用图形的平移、旋转、轴对称进行图案设计.1.经历有关平移与旋转的观察、操作、欣赏和设计的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.2.经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.3.通过具体实例认识平移与旋转,探索它们的基本性质,会进行简单的平移、旋转画图.4.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.5.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质.1.在研究平移与旋转的过程中,进一步发展空间观念.2.认识并欣赏平移、旋转在自然界和现实生活中的应用,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.在前面的学习中学生已对诸如翻折、平移、旋转、轴对称等知识有了一定的认识与理解,只是平移和旋转的知识没有正式出现罢了,但这些变换的意识学生已经有了.学生学习了本章知识后对平移与旋转以及轴对称这三种常用的全等变换有了系统的认识,但学生把握这些全等变换的能力有待提升,特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方,应加强训练.立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验,首先从观察生活中的平移、旋转现象开始,直观的认识平移、旋转,并在此基础上,分析生活中的平移现象和旋转现象各自的规律,得到平移和旋转的基本性质;然后利用平移和旋转的基本性质进行简单的平移作图、旋转作图,通过分析简单平面图形的平移、旋转等变化关系,进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵;最后,通过简单的图案设计,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动中.具体地,教科书设计了4节内容:第1节“图形的平移”,立足于学生小学阶段的学习基础和已有的生活经验,通过分析各种平移现象的共性,直观地认识平移,探索平面图形平移的基本性质,利用平移的基本特征研究简单的平移画图.在此基础上,进一步研究沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点坐标之间的关系,探索依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系.第2节“图形的旋转”,通过具体活动认识平面图形的旋转,探索平面图形旋转的基本性质,利用旋转的基本特征研究简单的旋转画图.第3节“中心对称”,认识中心对称,探索成中心对称的基本性质,利用中心对称的基本特征研究中心对称的画图,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.第4节“简单的图案设计”,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动之中.应当指出的是,本章不同于变换几何中的平移、旋转变换,而是先通过观察具体的平移、旋转现象,分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质,然后在平移和旋转的图案设计、欣赏、简单应用中,进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识.【重点】1.平移的定义.2.平移的性质及应用.3.简单的平移作图.4.旋转的定义.5.旋转的性质及应用.6.简单的旋转作图.7.中心对称和中心对称图形.【难点】1.平移作图.2.旋转作图.3.中心对称和中心对称图形的区别和联系.4.利用平移、旋转、轴对称进行简单的图案设计.1.着眼于发展学生的空间观念.使学生具备良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标,培养学生的空间观念必须使学生经历、体验图形运动变化的过程,本章所研究的平移、旋转及中心对称是反映空间观念的重要内容.为此,教科书设计了一系列的实验、探索活动,如“探索平移基本性质的实验活动”“探索旋转基本性质的实验活动”“探索中心对称基本性质的实验活动”及“图形平移与坐标变化的关系的探索活动”“简单的图案设计活动”等.在这些活动中,学生将会想象物体与物体之间的位置关系,描述图形的运动和变化,依据语言的描述画出图形等,所有这些都是空间观念的重要表现.因此,教师应想方设法鼓励学生积极参与这些活动,通过观察、操作、归纳、猜想、交流等获得结论,并运用自己的语言描述探索过程和所得到的结论,发展空间观念.需要指出的是,培养空间观念是一种个人体验,需要大量的实践活动,以被动听讲和练习为主的方式,是难以形成空间观念的.学生要有充分的时间和空间观察、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些都不仅需要自主探索、亲身实践,更离不开大家一起动手、共同参与.观察、操作、归纳、类比、猜想、直观思考等对形成空间观念具有重要作用,只有在学生共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展,并得到提升.2.重视学生的观察、操作、探索和交流活动.教师创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,让学生经历观察、操作、探索和交流的过程,能有效地激发学生的思考,有助于真正落实学生在学习活动中的主体地位,有助于学生理解和掌握基本知识和基本技能,同时也有助于学生感悟数学思想,积累数学活动经验.本章有许多内容需要学生对图形进行观察、操作、探索和交流,教学时不宜用教师的课堂讲解和演示代替学生的动手操作、主动探究与讨论交流.例如,有关平移、旋转的性质,教科书都设计了相应的实验过程,力图让学生通过动手操作,配合直观的观察和理性的思考探索相关的结论.教学时可以让学生分组进行,每组选用的图形形状可以不同,每次变化的方式也可以不同.学生的这些实验结果为接下来进行的抽象概括提供了很好的素材.在此基础上,全班交流,概括出图形变化(平移、旋转)的基本性质.在这一过程中,学生的手、眼、脑等多种感官都能得到较为充分的运用,既有助于学生理解和掌握相关知识的内涵,也可以使学生在做的过程和思考的过程中积累一定的数学活动经验,并逐步感悟其中所蕴含的数学思想.3.创造性地利用与图形平移、旋转有关的资源进行教学.在教学中,教师应根据学生实际、教学实际和当地实际,充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移、旋转及中心对称现象,尤其是具有地方特色的素材(如北方地区的雪橇、辘轳,农村地区的水车、石碾、风车,城市里的缆车、电梯等),并引导学生对其中的一些共同特征加以分析、总结.4.合理运用现代信息技术,注重教学手段的多样化.本章主要研究图形的变化,对图形的动态展示的要求更为强烈.因此,在条件允许的情况下,教学中都应合理运用现代信息技术,注重信息技术与本章内容的整合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效率.需要说明的是,现代信息技术真正的价值在于实现原有的教学手段难以达到的甚至达不到的效果,它不应、也不可能完全替代常规的教学手段.例如,教师可以在学生动手实践的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的几何图形的运动变化过程,这样不仅为学生理解和掌握相关知识提供形象的支持,有利于增强学生的空间观念,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的动手操作活动.5.关注学生情感态度的发展.教师要把落实情感态度的目标作为自己的责任和义务,努力把情感态度目标有机地融合在本章教学过程之中.例如,在设计教学方案、进行课堂教学活动时,应当经常考虑如下问题:如何引导学生积极参与教学过程?如何组织学生观察、操作、探索、归纳?如何使学生愿意学、喜欢学,对本章内容感兴趣?如何让学生体验成功的喜悦,从而增强学好本章内容的自信心?如何引导学生善于与同伴合作交流,既能理解、尊重他人的意见,又能独立思考、大胆质疑?如何培养学生良好的学习习惯?1图形的平移3课时2图形的旋转2课时3中心对称1课时4简单的图案设计1课时回顾与思考1课时1图形的平移1.通过具体实例认识平移,理解平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系,通过观察、分析以及抽象、概括等过程,发现平移时坐标变化的特点.通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣;通过欣赏生活中图形平移的现象与学生自己设计的平移图案,使学生感受数学的美.【重点】探索和理解平移的基本性质.【难点】坐标变换和图形平移的关系.第课时1.认识平移,说出平移的定义,理解平移的基本内涵.2.理解并能说出平移的性质,即一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.感悟平移前后图形的变化,从点、线、角、位置、大小等不同角度说出平移前后图形的变化关系.通过探究,归纳平移的定义、特征、性质,积累数学活动经验,进一步发展空间观念,增强空间想象力.【重点】1.认识平移在现实生活中的广泛应用.2.探索和理解平移的基本性质.【难点】平移基本性质的探索和理解.【教师准备】实际生活中的平移图片.【学生准备】复习翻折、平移、旋转、轴对称等知识.导入一:1.同学们,你们小时候去过游乐园吗?在游乐园中你们玩过哪些游乐项目?在玩这些游乐项目时你们想过什么?你们想过它里面蕴含着数学知识吗?2.找一找这些项目中,哪些项目的运动形式是一样的,观看游乐园内的一些项目,引出第三章内容,并进行初步分类,引出本节课研究内容:板书课题——图形的平移.[设计意图]由学生喜闻乐见的游乐场引入课题,容易激发学生的学习兴趣.导入二:请你判断: 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼,一会儿,小明兴奋地大叫起来:“妈妈!妈妈!你看我长高了!我比对面的大楼还要高!”小明说的对吗?为什么?[设计意图]较好地发挥了“情景导入”的作用,却又找不到足够的理由说服持有不同观点的同学.此情此景,在好奇心的驱动之下,学生欲罢不能,很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望.导入三:请大家仔细观察如图所示的图案,你觉得漂亮吗?这个图案的特点是由一个“基本图案”通过平移得到的,你能找到这个“基本图案”吗?这节内容我们就来研究一种几何变换——平移.一、平移的定义[过渡语](针对导入三)刚才我们看到的美丽图案,它是由12个完全一样的图形组成的,这个图案可以看成是由一个基本图形按照一定方式移动得到的.这样的图形运动称作什么呢?这就是我们本课时要研究的——图形的平移.思路一(1)我们再来感受一下平移.上面我们提到的游乐场中的滑梯等,你们在上面玩耍的时候,哪些方面是不变的?哪些方面是变化的?(2)什么是平移呢?引导学生探讨并在班内交流,达成共识后,得出平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.[设计意图]引导学生通过观察,发现图形间的变化规律,得出平移的定义.思路二教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例:(1)箱子在传送带上移动的过程.(2)手扶电梯上人移动的过程.教师提问:①你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变,什么发生了改变吗?②在传送带上,如果箱子的某一部分向前移动了80 cm,那么箱子的其他部位向什么方向移动?移动了多少距离?学生自由发言,各抒己见.平移前后两个图形的形状和大小没有改变,位置发生了改变.根据上述分析,你能说明什么样的图形运动称为平移吗?平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.平移三要素: 基本图形,平移方向,平移距离.[设计意图]数学来源于实际生活,使学生感受到生活中处处有数学.利用课本上的两个实例,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.如图所示,△ABC经过平移得到△A'B'C'.我们把点A与点A'叫做对应点,线段AB与线段A'B'叫做对应线段,∠A与∠A'叫做对应角.此时:点B的对应点是点B' ;点C的对应点是点C' ;线段AC的对应线段是线段A'C' ;线段BC的对应线段是线段B'C' ;∠B的对应角是∠B' ;∠C的对应角是∠C' .△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向,平移的距离就是线段BB'的长度.二、平移的性质[过渡语]一个图形和它经过平移所得到的图形中,对应点所连的线段有什么关系,对应线段和对应角有什么关系?同学们通过刚才的观察,总结出一个结论,即:“图形的位置改变了,但形状和大小没有改变”.现在我们一起来探索:平移前后对应点、对应线段以及对应角之间在做怎样的变化.教师提出问题:想一想,将左图的四边形硬纸片按某一方向平移一定的距离,右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.问题:(1)在上图中,线段AE,BF,CG,DH有怎样的关系?(2)图中每对对应线段之间有怎样的关系?(3)图中有哪些相等的线段、相等的角?学生分成四人一组,共同探讨平移的性质.讨论分析:①变换前后对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.平移变换是图形的每一个点的变换,一个图形沿某个方向移动一定距离,那么每一个点也沿着这个方向移动相同距离,所以对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.②变换前后的图形全等.平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离,所以平移前后的图形是全等的.③变换前后对应角相等.④变换前后对应线段平行(或在一条直线上)且相等.学生归纳总结,教师板书平移的性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.[设计意图]这个活动是探索平移的性质,对学生有点难度,通过设置问题的回答,使学生直接观察得出性质.操作性强又富有挑战性的数学活动,激发了学生学习的兴趣,对平移的基本内涵和基本性质这两个重点,学生能掌握得更好.三、例题讲解[过渡语]刚才我们了解了平移的相关概念和平移的基本性质,我们能用学到的知识解答一些问题吗?(1)指出平移的方向和平移的距离;(2)画出平移后的三角形;(3)请在图(2)中找出平行且相等的线段,以及相等的角(找出对应角即可).解:(1)如图(2)所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离是线段AD的长度.(2)如图(2)所示,分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等,连接DE,DF,EF,△DEF就是△ABC平移后的图形.(3)图中平行且相等的线段有:AB与DE,BC与EF,AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF;相等的角有:∠BAC与∠EDF, ∠ABC与∠DEF, ∠ACB与∠DFE.[设计意图]让学生进一步体会确定平移的两个要素:平移的方向和平移的距离,加深对平移性质的理解和应用.[知识拓展]平移作图.平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案.在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.(1)定:确定平移的方向和距离;(2)找:找出表示图形的关键点;(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;(4)连:按原图形顺序连接对应点.说明:平移作图实际上是平移基本性质的实际应用.注意:(1)平移作图的方法是由平移的性质而来,但必须注意两个条件,一是平移的方向,二是平移的距离.(2)平移的作图要抓住以下几个特征:①平移前后对应点连线平行(或共线)且相等.②对应线段平行(或共线)且相等.③对应角相等.1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种.2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向;二是图形平移的距离.这两个要素是图形平移的依据.3.图形的平移是指图形整体的平移.经过平移后的图形与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.1.下列运动属于平移的是()A.急刹车时汽车在地面上的滑动B.冷水加热中,小气泡上升为大气泡C.随风飘动的风筝在空中的运动D.随手抛出的彩球的运动解析:A中汽车向前滑动,方向和大小都没有改变,属于平移;B中气泡大小发生了变化,不属于平移;C中风筝在空气中运动方向不断变化,不属于平移;D中彩球运动方向不能确定.故选A.2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由三角形OBC平移得到的是 ()A.三角形OCDB.三角形OABC.三角形FAOD.以上都不对解析:根据平移的定义与特征知,平移后图形的形状、大小不改变,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等,三角形OBC是等边三角形,与其他五个三角形的形状、大小相同,关键是看其他三角形的对应边是否符合平移的特征.故选C.3.如图所示的四个小三角形都是等边三角形,边长都为1 cm,能通过平移三角形ABC得到三角形FAE 和三角形ECD吗?若能,请指出平移的方向和平移的距离.解析:三角形FAE与三角形ABC都是等边三角形,则有AF=BA=BC=AE=FE=AC,满足平移后图形的大小和形状不变.平移的方向为点A到点F的方向,平移的距离为AF的长度(1 cm).同理可得△ABC与△ECD 的关系.解:能.三角形ABC平移到三角形FAE的平移方向为点A到点F的方向,平移的距离为1 cm;三角形ABC平移到三角形ECD的平移方向为点A到点E的方向,平移的距离为1 cm.4.如图所示,图形ABCD平移到图形EFGH,试根据该图,回答下列问题.(1)在图中,线段AE与BF,CG与DH有怎样的位置关系?(2)图中线段AB与EF,AD与EH有怎样的位置关系?(3)说出图中相等的角(说出对应角即可).解析:AE,BF,CG,DH是对应点所连的线段,AB与EF,AD与EH是对应线段,由平移的特征可知它们的位置关系是平行.对应角相等.解:(1)平行.(2)平行.(3)∠BAD=∠FEH,∠ADC=∠EHG,∠DCB=∠HGF,∠ABC=∠EFG.5.经过平移,三角形ABC的边AB移到了A'B',作出平移后的三角形A'B'C'.解析:本题已知原图形和平移后的一条线段,就相当于已知原图形和平移的方向、平移的距离,所以根据平移前后两三角形全等可以作出平移后的三角形,具体的作法有很多种.解法1:如图(1)所示,分别过点A',B',作出与AC,BC平行且相等的线段A'C',B'C',两条线段相交于点C',三角形A'B'C'即为所求.解法2:如图(2)所示,分别以A',B'为圆心,以线段AC,BC的长为半径画弧,交于点C',连接A'C',B'C'即得△A'B'C'.解法3:如图(3)所示,连接AA',过点C按照射线AA'的方向作射线CC',使CC'∥AA'并截取CC'=AA',则连接A'C',B'C'所得的三角形A'B'C'即为所求作的三角形.第1课时一、平移的定义二、平移的性质三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第67页习题3.1的1,2题.【选做题】教材第68页习题3.1的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的B.由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)C.由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,但面积未必相等D.边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到2.如图所示,下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是()3.下列现象:①电风扇的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于平移的是.【能力提升】4.如图所示,一张白色正方形纸片的边长是10 cm,被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分,请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积.5.如图所示,AD∥BC,∠ABC=80°,∠BCD=50°,利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系.6.如图所示,将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位长度得到△DEF,如果BG=CG,AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面积为6,求图中阴影部分的面积.7.如图所示,△ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为△A'B'C'.找出图中相等的线段以及全等的三角形.8.A,B两点间有一条传输速度为每分钟5米的传送带,由A点向B点传送货物.一只蚂蚁不小心爬到了传送带上,它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点,3分钟后,蚂蚁爬到了B点,你能求出A,B两点间的距离吗? 【拓展探究】9.如图所示,∠BAC=30°,∠B'A'C'=45°,且AB∥A'B',直线AC与直线A'C'相交于点O,求∠COC''的度数.10.如图所示,有一条光滑曲线,画出将它沿数轴向左平移2个单位长度后的图形.。
图形平移旋转中心对称 (自动保存的)
（2）将图（1）中的 绕点 逆时针旋转 ，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将 绕 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．
（4）在图（3）情况下，若 ，求出重叠部分图形的周长．
（1）AF=BD∵等边△ABC，∴AC=BC
∵等边△DCF，∴CF=CD∵∠BCD+∠ACD=60°，∠ACD+∠ACF=60°∴∠BCD=∠ACF
∴△BCD≌△ACF∴AF=BD
（2）成立
∵等边△ABC，∴AC=BC∵等边△DCF，∴CF=CD∵角∠BCA=∠DCF=60°∴△BCD≌△ACF
∴AF=BD
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。
2.中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
【课后训练】
11.已知正方形ABCD中，E为对角线BD的点，过E作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？
12、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
3.3中心对称教案
此外，我发现有些学生在面对具有挑战性的问题时，会倾向于依赖同伴或老师，而不是自己独立思考。这提醒我，在教学中要注重培养学生的独立解决问题的能力，鼓励他们在遇到困难时先尝试自己解决，然后再寻求帮助。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了中心对称的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对中心对称的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调中心对称的定义和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与中心对称相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示中心对称的基本原理。
举例：设计一些具有挑战性的几何作图问题，让学生尝试运用中心对称的性质进行解决，引导学生发现解决问题的方法。
（3）空间观念的培养：对于部分学生来说，空间观念较弱，难以在脑中形成中心对称图形的直观图像。
举例：采用直观教具、动态软件等辅助手段，帮助学生建立起中心对称图形的空间观念，提高空间想象力。
（4）几何直观的培养：学生在面对复杂的中心对称问题时，可能难以直接看出解题思路，需要培养几何直观。
（二）新课讲授（用时10分钟）
第三章复习(第一课时)
——— 中心对称与中心对称图形、平行旋转的性质。 2、中心对称；中心对称的性质。 3、中心对称图形： 4、中心对称与中心对称图形之间的关系： 5、对比轴对称图形与中心对称图形：
轴对称图形 有一条对称轴——直 直 有一条对称轴 线 沿对称轴对折 对折后与原图形重合 中心对称图形 有一个对称中心—— 有一个对称中心 点 绕对称中心旋转180O 绕对称中心旋转 旋转后与原图形重合
3、平行四边形的判定： ①2组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②2组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③2组对角分别相等的四边形是平行四边形； 2 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形。
例1：如图，□ABCD中，E、F分别是BC和AD边 上的点，且BE=DF，请说明AE与CF的关系，并说 明理由。
例1：如图，将点阵中的图形绕点O按逆时针 方向旋转900，画出旋转后的图形.
·
例2：如图，已知∆ABC是直角三角形，BC为 斜边。若AP=3，将∆ABP绕点A逆时针旋转 后，能与∆ACP′重合，求PP′的长。
A P′
P B C
例3：如图，直线l1⊥l2，垂足为O，点A1与点 A关于直线l1对称，点A2与点A关于直线l2对称。 点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理 由吗？
1、平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心。 2、平行四边形的性质： ①平行四边形的对边平行； ②平行四边形的对边相等； ③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分。
例2：如图，在□ABCD中，AE⊥BD， CF⊥BD，垂足分别是E、F，四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？
人教版初三数学：中心对称与中心对称图形--知识讲解
中心对称与中心对称图形--知识讲解【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：中心对称与中心对称图形的区别与联系】1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例3及练习】1.（2015春•鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故①②③④都正确．故选D．【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.举一反三【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】2. 我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.【答案与解析】【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.类型二、作图3. 已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.【答案与解析】【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件. 举一反三【高清课堂：高清ID 号： 388635 关联的位置名称（播放点名称）：例5及练习】【变式】如图①， 1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．【答案】图①：13O O 或24O O 或AC 或BD;图②：5O M 或4O A类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明1o 2o3o 4oCB D A 图① 图② 1o 2o 3o 4o 5o A BC E D4.（2014春•青神县校级月考）已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．【答案与解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．举一反三【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例4及练习】【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．【答案】4.附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)CBAO【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）A EB C F P【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
中考数学 专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)
专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。
一. 直线（线段）的旋转问题1. 如图，直线l ：y 3x 3=-+与y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【 】A ．y 33=B ．y x 3=+．y x 3=-+ D ．y x 3=【答案】B 。
【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，由已知，可求直线y3x3=-+与x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，3），2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。
中心对称相关知识点总结
中心对称相关知识点总结一、中心对称的概念中心对称是指图形相对于一个点进行对称，也称为旋转对称。
这个点被称为中心对称的中心，对称后的图形和原图形重合。
在平面几何中，可以有不同的中心对称，如点对称、直线对称、平面对称等。
而在立体几何中，中心对称也有不同的形式，如球对称、柱面对称等。
二、中心对称的性质1. 中心对称的性质中心对称的图形在旋转对称后和原图形重合，因此它们具有以下性质：（1）旋转对称的图形保持原图形的大小和形状不变；（2）旋转对称的图形对称中心是唯一的；（3）对称中心到图形上任意一点的距离，等于对称中心到对应的对称点的距离；（4）旋转对称的图形的所有点都满足对称的性质，即它们关于对称中心对称。
2. 图形的中心对称性不同的图形具有不同的中心对称性，如点对称的图形中心对称点是一个点，直线对称的图形中心对称轴是一条直线。
3. 中心对称的判断方法对于一个图形是否具有中心对称性，可以通过以下方法判断：（1）将图形围绕一个点旋转180°，如果旋转后的图形和原图形重合，则具有中心对称性；（2）画出图形的对称中心和对称点，通过观察对称性质判断图形是否具有中心对称性。
三、中心对称的应用1. 中心对称在几何图形中的应用中心对称在几何图形中有广泛的应用，例如可以通过中心对称的性质证明一些图形的性质，如证明等腰三角形的底边中点和顶点的连线是对称中心，证明正方形的对角线是中心对称轴等。
2. 中心对称在艺术中的应用中心对称在艺术中也有很多应用，许多艺术作品中都运用了中心对称的构图原则，如古希腊建筑中的中心对称结构、中国古代建筑中的中心对称布局、古代甲骨文中的中心对称文字等。
3. 中心对称在科学技术中的应用中心对称在科学技术中也有一些应用，例如在光学设计中常常采用中心对称的结构，通过对称性质来设计光学器件，提高光学系统的成像质量；在计算机图形学中，中心对称也常被用来设计图案、品牌标志等。
四、中心对称的相关定理1. 中心对称定理中心对称定理是中心对称图形的性质定理，它主要包括以下几个方面的内容：（1）图形存在中心对称轴的条件；（2）图形的对称中心是唯一的；（3）图形的对称性质；（4）中心对称图形的判定方法。
3.3中心对称
△A′B′C′即为所求的三角形．
举例
下图这些图形有什么共同特征？
下列图片是中心对称图形吗？
√
√
√
×
√
×
√
√
×
√
×
√
×
想一想 成中心对称与中心对称图形的区别与联系
区别:
成中心对称是对两个图形说的，它 表示两个图形之间的对称关系；,中心对称图 形是对一个图形说的，它表示某个图形所具有 的特性。
作图
（2）如图，选择点O为对称中心，画出与 △ABC关于点O对称的△A′B′C′.
分析：确定一个三角形需要几个点？作一个三角形关于某点成 中心对称的三角形，需要作几个点的对称点呢？
画法： 1. 连接AO并延长到A′，使 B’ OA ′=OA，得到点A的对称点A′.
A’ C’
2. 同样画B、C的对称点 B′、C′. 3. 顺次连接A′、B′、C′各点.
O
B
C A1
A
C1
B1
O
B C
（1）关于中心对称的两个图形是全等形；
A1
（2）关于中心对称的两个图形，对称点所连 线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．
作图
（1）如图，选择点O为对称中心，画出点A关 于点O的对称点A′；
A O A′
画法：连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得 到点A的对称点A′. 点A′即为所求的点．
6.在26个英文大写正体字母中，哪些字母 是中心对称图形？
A N B O C P D Q E R F S G T H U I V J W K X L Y M Z
请同学们试着小结本节课.
作业
1、课堂：P84 第2题
2、课外：P84 4和基础训练
图形的旋转中心知识点总结
图形的旋转中心知识点总结一、基本概念图形的旋转中心是指图形旋转时所围绕的点，旋转中心是进行旋转变化的基准点，决定了图形旋转的方式和方向。
对于平面内的图形来说，旋转中心通常是一个固定的点或者是另一个图形的顶点。
二、旋转中心的作用1.决定旋转方向和角度：旋转中心决定了图形旋转的方向和角度，当旋转中心不同，图形的旋转效果也会有所不同。
2.确定旋转后的位置：通过旋转中心，可以确定图形旋转后的位置，帮助我们更好地理解和描述图形的变化过程。
3.揭示图形的对称性：旋转中心可以揭示图形的对称性，帮助我们理解图形的几何属性和特点。
三、常见的旋转中心1.固定点旋转中心：即图形的旋转中心是一个固定的点，可以是图形中心、某个顶点、某个重心或其他特定的点。
2.动态旋转中心：当图形的旋转中心不固定，会随着旋转过程的变化而变化，这种情况下我们称之为动态旋转中心。
四、图形的旋转方式1.顺时针旋转：即图形按照顺时针方向旋转，旋转角度为正。
2.逆时针旋转：即图形按照逆时针方向旋转，旋转角度为负。
五、旋转中心与图形的关系1.对称图形的旋转中心：对称图形的旋转中心通常位于图形的中心，因为对称图形的中心是其旋转中心，围绕旋转中心旋转对称图形时，旋转后的图形与原图形相似且对称。
2.非对称图形的旋转中心：非对称图形的旋转中心通常位于图形的特定点，可以是图形的顶点、重心或其他点，围绕旋转中心旋转非对称图形时，旋转后的图形将呈现出不同于原图形的特点。
六、图形的旋转与应用1.在几何学中，图形的旋转是一种常见的基本变换，通过旋转可以改变图形的朝向和位置，帮助我们更好地理解图形的性质和特点。
2.在工程设计中，图形的旋转可以用于构建复杂的结构和装置，通过旋转可以实现不同部件的组合和变换。
3.在艺术创作中，图形的旋转可以用于创作不同的图案和造型，通过旋转可以实现更加丰富的视觉效果。
七、图形的旋转规律1.当图形围绕旋转中心进行旋转时，旋转后的图形与原图形相似，且对称于旋转中心。
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3.2图形的旋转
一、基本知识
1、旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
2、旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
2、旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转的方向。
3、旋转的性质（1）一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等。
（2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。
(3)对应线段相等；对应角相等。
(4)旋转对应点之间的运动轨迹是一条弧。
5、旋转、平移、轴对称的异同。
6、简单的旋转作图。
二、基础知识巩固与拓展 1、如图3.2.1，△ABC 绕O 点旋转后，顶点 A 的对应点为A 1，试确定旋转后的三角形。
2、如图3.2.2，P 为等边△ABC 内的一点，若将△PAB 绕点A 逆时针旋转到△P 1AC 的位置，则∠PAP 1的度数等于 度 。
3、如图3.2.3，P 为等边△ABC 内部一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5:6:7，将△APB 绕顶角A 逆时针旋转60°到△ACQ 的位置，且∠APQ=∠AQP=60°，则△PQC 的三个内角之比等于 。
4、从1点到1点25分，分针转过了 度；时针转过了 度；1点25分时刻时针与分针的夹角等于 度。
5、如图3.2.4，分别以正方形ABCD 的边AD 和DC 为直径画两个半圆交于点O 。
若正方形的边长为10cm ，则阴影部分面积为 。
6、如图3.2.5，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB 等于 度。
7、如图3.2.6的正方形的面积为16，观察如下的操作并回答问题：
（1）连对角线，把正方形分成2个三角形，如图1，则每个三角形的面积等于多少？
（2）再画另一条对角线，两对角线将正方形分成4个小三角形，如图2，则每个小三角形的面积是多少？这4个小三角形之间是什么关系？
（3）点O 为正方形的中心，将两条互相垂直于点O 的直线绕O 点旋转形成四个小四边形，如图3，这4个小四边形间有何关系？每一个四边形的面积是多少？
3.3 中心对称
一、基本知识点
1、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称。
（对称中心概念
2、中心对称是对两个图形来说的，它表示两个图形之间的对称性。
3、中心对称特征：（1）对应点所连的线段经过对称中心，且被对称中心平分；（2）成对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；（3）成中心对称的两个图形全等；
4、中心对称图形：（1）定义把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点叫做它的对称中心。
（2）任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。
（3）中心对称图形上两对对应点连线的交点就是对称中心且对称中心是他们的公共中点。
5、旋转对称图形：把一个图形绕某一个点旋转一定角度后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形。
（1）旋转对称图形不一定是中心对称图形。
（2）旋转对称图形旋转的角度小于360°。
（3）旋转对称图形满足的三个条件：①具有同一个旋转中心；②对应点到旋转中心的距离相等③相邻对应点与旋转中心的连线的夹角都相等。
二、知识巩固与拓展
1、如图3.3.1是4×4正方形网格，请在其中选择一个白色的正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形。
2、如图3.3.2，一个矩形内有任意一个圆，请你用一条直线同时
将圆和长方形的面积二等分，并说明作图的道理和方法。
3、如图3.3.3，在△ABC 中，AB=5，BC=4，AC=3，点O 在AC 的延长线上，且OC=4。
（1）试作出△ABC 关于点O 成中心对称的△A ′B ′C ′。
（2）连A ′B ，AB ′，四边形ABA ′B ′是中心对称图形吗？ （3）3）求四边形ABA ′B ′面积。
4、如图用6根一样长的小棒搭成如图3.3.4的图形，试移动AC,BC 这两根小棒，使6根小棒组成中心对称图形；若移动AC,DE 这两根，能不能也达到要求呢？（画出图形）。
5、一块方角形钢材如图3.3.5所示，请你用两种不同的方法用一条直线将其分为面积相等的
A B C O A 1 3.2.1图 A B C P P 1
3.2.2图 A B
C Q
P
3.2.3图 3.2.4图
A B C D O
A B O B 1 A 1 3.2.5图 A B C D 1图
A B C D
O
2图 O A B C D 3图 3.3.1图 3.3.2图
A B
C O
3.3.3图 A B
D C E
3.3.4 3.3.5图
两部分。
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