第7章 应力应变分析 强度理论(土木)分析

x
y )
1 2
(
x
y ) cos 2
x
sin 2
y y
1 2
(
x
y )sin 2
x
cos 2
正应力：拉为正；反之为负
x a
x
x
切应力：使微元顺时针方向
y
转动为正；反之为负。
α n x
a a
x
x
t y y
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
21
3. 正应力极值和方向
主单元体的例子
A
横截面
11
可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必定
存在三个互相垂直的主应力，分别记为 1、2、3，
且规定按代数值大小顺序排列。
即： 1 2 3
12
4. 应力状态的分类
单向应力状态——只有一个主应力不等于零
二向应力状态——有两个主应力不等于零
三向应力状态——三个主应力都不等于零
3
3
1
3 1
3 1 2
3
13
应力状态的一般情况
y
y
yz
yx
xy
zy
z
zx xz
z
x面，y面，z面
yxx
xy y
xz yz
x x zx zy z
九个应力分量中 只有六个独立的 应力分量
14
§7.2 二向和三向应力状态的实例
例：已知图示薄壁圆筒压力容器平均直径D0 , 壁厚δ,内压力p 。
1
tg 21
1
0
4
将 max逆 45 至 max
将 max顺 45 至 min
25
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知： 30
试求（1） 斜面上的应力；
（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40MPa 30MPa
60MPa
26
解：（1）求 斜面上的应力
x
y
2
x
x αa
n
a
Fn 0
x
dA
dA x (dAcos )sin x (dAcos ) cos y y t
y (dAsin ) cos y (dAsin )sin 0
Ft 0
dA x (dAcos ) cos x (dAcos)sin y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
σmax σmin
=
σx
+ σy 2
±
σx
- σy 2
2
+
τ
2 x
注意： max min x y
22
注意：
令
d d
( x y )sin 2 2 x cos 2 =0
( x y ) sin 20 2 x cos 20 0
(σx
- σy ) 2
sin2α0
+
τxcos2α0
19
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 y x 化简得
1 2
(
x
y )
1 2
(
x
y ) cos 2
x sin 2
1 2
(
x
y )sin 2
x
cos 2
20
2. 符号规定
1 2
(
第七章 应力和应变分析
强度理论
1
§7.1 应力状态概述
1.问题的提出
铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
3
应力状态：
P
构件上不同的点有
不同的应力—应力为位
置的函数。
P
P P
A
构件上同一点不同 的方向面上应力不尽相 P
同 应力为方向面的
图b由平衡条件: 得轴向应力: 图c由平衡条件: 得环向应力:
Fx
L D0
p
4
D02
0
L
pD0
4
Fy
0
pB
D0 2
sin d
2 H
B
0
H
pD0
2 15
例：薄壁圆筒，内压p，壁厚t，平均直径D。
t
p k
σ′
p
轴向应力 pD
4t 环向应力 pD
2t
L H
1 , 2 , 3 0
6
2.一点的应力状态的表示方法
z 单元体法：
围绕一点取微小 的六面体 单元体
dz
y
dx
dy
x
A
A
特点:
① 假设微元体各微面上的应力均匀分布,相互平行的两侧 面上应力大小相等、方向相反;
②互相垂直的两侧面上剪应力服从剪切互等定理.
7
单元体取法的示例1—轴向拉伸
P
A
P
A
横截面
8
单元体取法的示例2 —圆轴扭转
函数。
cos2
＝ cos sin 4
(1). 凡提到应力,必须指明作用在哪一点,哪个方向面上. 因为受力构件内同一截面上不同点应力一般不同,
过同一点不同方向面上应力不同.如:
5
(2). 一点的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况 或指所有方向截面上应力情况的集合.
应力分析就是研究这些不同方向截面上应力随截面 方向的变化规律.如轴向拉压时:
1 2
பைடு நூலகம்
(
x
y )
1 2
(
x
y ) cos 2
x
sin 2
确定正应力极值
令
d d
( x y )sin 2 2 x cos 2 =0
( x y ) sin 20 2 x cos 20 0
即
tan2α0
=
-
2τx σx - σy
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为正应力极大值和极小值所在平面。
σ″
d
σ′
k
1
16
例:球形储气罐
由球对称可知径向应力与纬向应力相同,设为 。
对半球写平衡方程
D0
p
4
D02
pD0
4
1 2 , 3 0
17
§7.3 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态:
max
A
1. 斜截面上的应力
x
α
y
y x
x
y
B
C
max
x αa
n
a
x
dA
y
t
y
18
列平衡方程
B A
A
B
横截面
横截面
9
单元体取法的示例3 —平面弯曲
b
A
F
mn
B
h
z
C
D
x
mn
E
y
x
dx
y
FQ
M
mn
M
M+dM
FQ
FQ
m dx n
max
A
C
B
max
D
max
E
10
3. 主平面、主应力、主单元体
剪应力为零的平面称为主平面。
C
max
主平面上的应力称主应力。
以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体。
= α0
=0
即α＝α0 时，切应力为零，所对应的极值
应力就是主应力。
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
23
4. 切应力极值和方向（xy平面内的）
1 2
(
x
y )sin 2
x
cos 2
令
d d
( x y ) cos 2 2 x sin 2 =0
( x y ) cos 21 2 x sin 21 0
即：
tan
21
x 2 x
y
max min
x
2
y
2
2 x
tg 20
1
tg 21
max
max
min
2
1
0
244
tan
21
x 2 x
y
tan
20
2 x x
y
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
max min
x
y
2
2
2 x
max
max
min
2
tg 20