正弦函数图象的对称性
正弦函数对称点
正弦函数对称点正弦函数可以在几何学和算术上非常有用，它可以完全描述电磁波的特性，同时也是理解和研究固有振荡的有效工具。
在数学领域，正弦函数可以通过许多不同的方式表达，但是最常见的表示法之一就是通过它的对称点。
正弦函数的对称点位于它的函数图像上，从中心开始，每次经过两个点就算作一次对称。
简单来说，对称点是正弦函数图像上静止的点，这些点代表着图像不动的时刻，它们也是图像上最重要的特征和重要的组件。
因此，正弦函数的对称点可以说是一个特殊的概念，在数学研究中有着重要的意义。
正弦函数的对称点事实上是一个非常复杂的概念，只有充分理解其基本原理和特点，才能真正掌握它的运用。
首先，为了找到正弦函数的对称点，需要使用四象限法，即观察正弦函数图像上的四个象限，以及每个象限中的特定点。
比如，1/4象限中可以找到对称点(3π/2,1)，3/4象限中可以找到对称点(-π/2,1)，以此类推。
此外，正弦函数的对称点也可以通过旋转法来确定，即从起点(x=0)开始，每次旋转90°，正弦函数图像上就会出现一个新的对称点，例如90°旋转后可以找到对称点(π/2,1)，180°旋转后可以找到对称点(π,-1)，以此类推。
此外，正弦函数的对称点还可以通过分析角度来确定，例如在以(0,0)为中心旋转4π后，就可以找到新的对称点(2π,0)，以此类推。
此外，正弦函数的对称点还可以通过半周期理论来确定，在正弦函数的图像中，任意半周期可以通过正负两个单位来表示，因此任意半周期都可以通过加减一个半周期来表示，从而可以得到对称点。
总之，正弦函数的对称点是一个复杂而重要的概念，在研究正弦函数以及其他振荡性规律时非常有用。
通过熟练掌握各种技巧来找到正弦函数的对称点，可以让我们更好地理解这种概念，也能更有效地研究正弦函数的特性和用途。
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
三角函数的周期与对称性
三角函数的周期与对称性三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。
在研究三角函数时，周期与对称性是两个重要的性质。
本文将讨论三角函数的周期与对称性，并且给出相关的定义和性质。
一、三角函数的周期1. 正弦函数的周期正弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中用符号sin(x)表示。
正弦函数具有周期性，即它的函数值在一定的间隔内反复变化。
正弦函数的周期是2π（或360度），即sin(x+2π) = sin(x)。
这意味着当自变量x增加2π时，正弦函数的值会重复。
2. 余弦函数的周期余弦函数也是常见的三角函数，用符号cos(x)表示。
余弦函数同样具有周期性，其周期也是2π。
也就是说，当自变量x增加一个周期的长度，余弦函数的值会重新开始。
3. 正切函数的周期正切函数是tan(x)，它的周期是π（或180度）。
当自变量x增加π时，正切函数的值会重新开始。
4. 正割、余割和余切函数的周期正割函数(sec(x))，余割函数(csc(x))和余切函数(cot(x))的周期与它们的倒数函数的周期相同。
这意味着它们的周期分别是2π、2π和π。
二、三角函数的对称性1. 正弦函数的对称性正弦函数具有奇对称性。
也就是说，对于任何实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这表示正弦函数以坐标原点为对称中心呈现镜像对称。
2. 余弦函数的对称性余弦函数具有偶对称性。
对于任何实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数以y轴为对称中心呈现轴对称。
3. 正切函数的对称性正切函数具有周期性和奇对称性。
即tan(-x) = -tan(x)，而且tan(x+π) = tan(x)。
这表示正切函数以坐标原点和间隔为π的位置为对称中心，可以同时看作奇对称和周期性的体现。
4. 正割、余割和余切函数的对称性正割函数、余割函数和余切函数的对称性与它们的倒数函数的对称性相同。
正割函数具有偶对称性，余割函数具有奇对称性，余切函数具有周期性和奇对称性。
正弦函数对称点
正弦函数对称点
对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。
正弦函数是三角函数的一种。
对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
定义域
实数集r，可以扩展到复数集c
值域
[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1
零值点：(kπ，0)，k∈z
对称性
1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距
2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称
周期性
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数(其图象关于原点对称)
单调性
在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数
在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数
对称轴和对称中心求法
正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。
例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心
对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12
对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。
函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。
本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。
对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。
2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。
常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。
常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。
3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。
常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。
常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。
正弦函数的对称性
例2、函数y sin(2x π ) 的对对称称中轴心是是__x_(_k__2π__k2__π__π6____,10π__23)___((k_k______ZZ_,.))
奇偶性
在x R上 sin( x) sin x,cos( x) cos x y sin x是奇函数, y cos x是偶函数. y sin x关于原点对称,
2
0
1 2
余弦曲线：对称中心(k
2
,
0)
;
对称轴
2 5 x
2
x k (k Z)
例1 求函数y sin(2x )图象的对称轴方程及对称中心坐标.
4
解：令2x k (k Z)，得x k (k Z)
4
2
28
令2x k (k Z)，得x k (k Z )
一个值是( B).
A. θ π B. θ π C.θ π D. θ π
2
4
8
3、若f ( x) sin x a cos x的图象关于
直线x π 对称,则a _____.
6 f (0)
f (π)
a 3
4、若f ( x) cos(23x φ)的图象关于
4
28
对称轴方程x k (k Z )；对称中心（k ，0）(k Z)
28
28
练习1:
求函数y cos(1 x )图象的对称轴方程及对称中心坐标.
23
对称轴方程x 2k 2 (k Z )；
3
对称中心（2k 5 ，0)(k Z )
正弦函数与余弦函数的
正弦函数y=sinx的图像和性质
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
2
2
由y＝sinx，x∈[0，2π]的图像可以看出，下面五个 点在确定图像形状时起着关键的作用：
用描点法完成正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像。
列表：
x0Leabharlann π 6π 3π 2
2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
36
6323 6
y
描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。 连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。
正弦函数y＝sinx的图像和性质
正弦函数y＝sinx的图像
把函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图像向左平移2π就 能得到正弦函数y=sinx在区间[－2π，0]上的图像。
把正弦函数y＝sinx在区间[0，2π]上的图像向左、右 分别平移2π、4π、6π…个单位，就能得到正弦函数y＝ sinx，x∈R的图像。
我们把正弦函数y＝sinx(x∈R)的图像叫做正弦曲线。
（4）对称性：正弦函数y＝sinx的图像关于原点对 称，即
sin(－x)=－sinx
（5）单调性：
正弦函数y＝sinx在区间[ π， π] 上是增函数，在区间
22
[π，３ π] 上是减函数。
22
用五点法作出下列函数在区间[0，2π]上的简图。 （1）y＝sinx－1 （2）y＝2sinx
正弦,余弦函数的对称性
正弦、余弦函数的对称性一． 复习1.函数()f x 的图像关于直线x a =对称等价于()()f a x f a x -=+2. 函数()f x 的图像关于直线(,0)a 对称等价于()()f a x f a x -=-+二．研究()sin f x x =的对称性探索： 你能用诱导公式说明()sin f x x =关于原点和(,0)π对称，关于直线322x x ππ==和对称吗？（提示：如可用sin(2)sin x x π-=-说明()sin f x x =关于点(,0)π对称）总结：1.正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈;余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 对称轴是直线()x k k Z π=∈(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点).2.函数()sin(()cos(f x A x f x A x ωϕωϕω=+=+≠）或）（A 0）的对称性（1）()f x 关于直线x a =对称⇔()f a A =±，（2）()f x 的对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点(,0)a ，()0f a =说明：()f x 是奇函数⇔ ，()f x 是偶函数⇔()sin(()cos(f x A x f x A x ωϕωϕω=+=+≠）+b 或）+b （A 0）的对称中心为图象与直线x b =的交点(,)a b ，()f a b =三．例题、练习题：1. （07福建文5）函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称2. （安徽文15）函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 3．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）()A 512π ()B 116π ()C 1112π ()D 以上都不对 ．4.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 A.6π B.4π C. 3π D. 2π 5.（2009青岛一模）设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 满足()()44f x f x ππ-=-+C ．把()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像D ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数10已知函数()()sin 21f x x θ=-+满足()()33f x f x ππ-=+，设()()cos 21g x x θ=-+则()3g π= 课标要求了解函数对称性、周期性的概念，能应用对称、周期的概念解决问题。
正弦函数的奇偶性和对称性-高中数学知识点讲解
正弦函数的奇偶性和对称性
1．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R 的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有 sin（﹣x）＝﹣sin x．另外，
正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+휋
2，k∈z．
【例题解析】
例：函数y＝sin2x+2sin2x 的对称轴方程为x＝푥=푘휋
2
+
3휋
8(푘∈푍)．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x = 2푠푖푛(2푥―휋
4)+1，
而函数y＝sin t 的对称轴为푡=푘휋+휋2
则2푥―휋
4=푘휋+
휋
2，解得푥=
푘휋
2
+
3휋
（k∈Z）
8
则函数y＝sin2x+2sin2x 的对称轴方程为푥=푘휋
2
+
3휋
8(푘∈푍)
故答案为푥=푘휋
2
+
3휋
8(푘∈푍)．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把 2x ―휋
4看成一个整体，
最后根据公式把单调性求出来即可．
【考点点评】
这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．
1/ 1。
高中数学三角函数对称轴公式
高中数学三角函数对称轴公式
我们要找出高中数学中三角函数的对称轴公式。
首先，我们要了解三角函数的基本性质和对称性。
对于一般的三角函数 y = sin(x) 或 y = cos(x)，它们都具有周期性。
这意味着它们会在一个固定的间隔内重复其值。
对于正弦函数 y = sin(x)，它的周期是2π。
对于余弦函数 y = cos(x)，它的周期也是2π。
对称轴公式是：
对于正弦函数 y = sin(x)，其对称轴是x = kπ + π/2，其中 k 是整数。
对于余弦函数 y = cos(x)，其对称轴是x = kπ，其中 k 是整数。
这些对称轴公式可以帮助我们更好地理解三角函数的图像和性质。
正弦函数的图象
正弦函数的图象
正弦函数曲线是一种二次函数, 它表示振动或周期运动物体的物理量和它相关的位置、速度与时间之间的变化关系. 它是几何学中最常用的函数之一, 它与余弦函数具有相同的
属性. 由于正弦函数的基本性质, 它的图形具有一定的特点.
首先, 正弦函数的图形是一个周期性的曲线，它的周期是指函数值重复在相同的值域
上的次数。
其次,正弦函数的曲线是对称的，即它的图中有一条对称轴，且具有周期性，
它值的正负值可以能够在曲线图中相互交替出现。
此外, 正弦函数的曲线有两个极点，即
函数值最大（1）和最小（-1）时的位置。
当以x轴为横轴表示时，y轴上的正弦函数的曲线可以用下面的公式来表示：y=sin x, 其中的x是x轴的变量（时间），y代表函数值（位置和速度）。
当x从0到2π（360度）变化时，正弦函数曲线会沿着一定的规律从最大值开始，直到x变化到270 度时，正弦函数值变为最小值（-1），然后从270度开始，沿着同样的规律正弦函数值变为最大值（1），以此类推，直到x变为360度时，再从最大值（1）开始重复变化。
因此，正弦函数的图象是一条有规律的曲线，它是一条对称的曲线，有两个极点, 它
的变化是一个有规律的周期性运动。
在数学中，正弦函数的分析有助于我们理解振动及周
期性运动的物理量和它们相关的位置、速度及时间的变化关系。
正弦函数对称性范文
正弦函数对称性范文正弦函数是数学中常见的一种周期函数，它的图像可以通过在直角坐标系中以一定的频率和振幅进行往复运动来表现。
在这篇文章中，我们将讨论正弦函数的对称性以及其图像的相关特征。
首先，我们来解释一下什么是对称性。
在数学中，如果一个函数满足其中一种变换后依然保持不变，那么这个函数就具有对称性。
对称性可以分为多种类型，例如轴对称、中心对称、旋转对称等。
正弦函数具有轴对称性和中心对称性。
首先，我们来讨论正弦函数的轴对称性。
正弦函数的图像相对于y轴具有轴对称性。
也就是说，如果将正弦函数的图像向右或者向左平移，那么平移后的图像与原图像是一样的。
这是因为正弦函数的定义域是整个实数集，而不仅仅是非负实数。
换句话说，正弦函数在负轴上的取值与在正轴上的取值是对应的。
更具体地说，对于正弦函数 $f(x)=\sin(x)$，有$f(x)=-f(-x)$。
我们可以通过这个性质来推导正弦函数的一些性质，例如奇偶性和周期性。
其次，我们来讨论正弦函数的中心对称性。
正弦函数的图像相对于原点具有中心对称性。
也就是说，如果将正弦函数的图像进行180度的旋转，旋转后的图像与原图像是一样的。
这是因为正弦函数的周期是 $2\pi$。
假设我们将正弦函数的图像进行旋转后得到的函数为 $g(x)$，则有$g(x)=\sin(x+\pi)=\sin(x)$。
这个性质表明，在一个周期内，正弦函数的取值在中心点两侧是对称的。
由于正弦函数具有轴对称性和中心对称性，因此它的图像具有一些特征。
首先，正弦函数的图像是关于y轴对称的，也就是说它在y轴上有一个对称轴。
其次，正弦函数的图像是关于原点对称的，也就是说它在原点上有一个对称中心。
这两个特征可以通过观察正弦函数的图像来验证。
此外，正弦函数的图像是无限往复的，具有周期性。
在一个周期内，正弦函数的图像是重复的，只是位置和幅值有所不同。
在图像上，可以通过画出正弦函数的相关点以及连接这些点的曲线来表示它的对称性。
正弦函数的对称轴方程公式
正弦函数的对称轴方程公式
正弦函数是数学中最重要的函数之
一，是一类具有一定特征的函数，它可以用来描述周期性变化的物理量。
它具有独特的对称性，它的对称轴方程可以用下面的公式来表示：y = a sin(bx) + c其中，a是正弦函数的振幅，b是正弦函数的频率，c是正弦函数的偏移量。
对称轴的
方程为：x = -c/b即对称轴的横坐标是正弦函数的偏移量除以
频率的结果。
正弦函数的对称轴方程有很多实际应用，比如在电子学中，正弦波是一种最常用的波形，它可以用来表示电路中的瞬时电压和电流。
在气象学中，正弦波可以用来表示气温变化的周期性，例如，冬夏季节的气温变化就可以用正弦函数来描述。
此外，正弦函数在电声学中也有重要的应用，它可以用来模拟声音的变化，从而生成更加逼真的音乐。
正弦函数的对称轴方程可以帮助我们理解和描述周期性变化的物理量，它的应用范围非常广泛，可以用来模拟各种物理量的变化，这使得正弦函数具有重要的理论和实际意义。
三角函数图像的对称轴与对称中心
函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈．2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+k Z ∈．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈．3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心：渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k πk Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+= ()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________．解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．-----精心整理，希望对您有所帮助!。
正弦函数图象的对称性教学设计
《正弦函数图象的对称性》教学设计【教学目标】1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式（R）与（R）的几何意义，体会正弦函数的对称性.2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线对称和关于点对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）.【教学过程】一、复习引入对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.2．复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道，诱导公式（R），刻画了正弦曲线关于原点对称，而（R），刻画了余弦曲线关于轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.（一）对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线对称的研究.1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见图），在直线两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在左右对称取值时，正弦函数值相等.从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?教师组织学生通过合作的方式，对称地在左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下：…………给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：……… 1 …上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P和P′在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？根据画图结果，可以看出，点P和P′关于直线对称.这样，正弦曲线关于直线对称，可以用等式（R）表示.这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式对任意R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线对称.事实上，诱导公式也可以由等式推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线对称，是诱导公式（R）的几何意义.阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线对称可以用等式（R（R）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.师生、生生交流，步步深入.问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：（Z）.问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线（Z）对称”吗？根据前面的研究，上述对称可以用等式（Z，R）表示.请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.证明预案：.（二）对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数（R）是奇函数，即（R），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.第一阶段，对正弦曲线关于点对称的研究.1．直观探索——从图象上探索在点两侧的函数值的变化规律.2．数值检验——在左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立.预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据诱导公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值互为相反数.事实上，等式与诱导公式是等价的. 这样，正弦曲线关于点对称，是诱导公式（R）的几何意义.第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.请同学尝试解决下列三个问题：1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：（Z）（教师利用课件演示）.2．用等式表示“正弦曲线关于点（Z）对称”.上述对称可以用等式（Z，R）表示.3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）三、课堂小结1．课堂小结（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式与（R）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2．作业（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.（2）找一个一般函数，如，R，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.（3）思考：如何用等式表示函数关于直线对称，以及关于点对称？（4）尝试证明函数的图象分别关于直线和直线对称.【教学设计说明】1．关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2．关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.3．信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心数学组刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ 知识巩固例1 作下列函数的简图 （1）x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点 ③连线（2）①列表②描点 ③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数（2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
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正弦函数图象的对称性
市第十九中学檀晋轩
【教学目标】
1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式（R）与（R）的几何意义，体会正弦函数的对称性.
2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.
3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.
【教学重点】
正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.
【教学难点】
用等式表示正弦函数图象关于直线对称和关于点对称.
【教学方法】
教师启发引导与学生自主探究相结合.
【教学手段】
计算机、图形计算器（学生人手一台）.
【教学过程】
一、复习引入
1.展示生活实例
对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.
2．复习对称概念
初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：
轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；
中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.
3．作图观察
请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？
4．猜想图形性质
经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）
如何检验猜想是否正确？
我们知道，诱导公式（R），刻画了正弦曲线关于原点对称，而（R），刻画了余弦曲线关于轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.
今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）
二、探究新知
分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.
（一）对于正弦曲线轴对称性的研究
第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线对称的研究.
1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索
请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见图），在直线两侧正弦函数值有什么变化规律？
给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在左右对称取
值时，正弦函数值相等.
从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.
2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索
请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?
教师组织学生通过合作的方式，对称地在左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,
对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下：
……
……
给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请
一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：
……
…-0.416 0.071 0.540 0.878 1 0.878 0.540 0.071 -0.416 …
上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.
请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P和P′在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？
根据画图结果，可以看出，点P和P′关于直线对称.这样，正弦曲线关于直线对称，
可以用等式（R）表示.
这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.
3．严格证明——证明等式对任意R恒成立
请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可
能选用什么样的公式？
预案一：根据诱导公式，有 .
预案二：根据公式和，有.
预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值恒相等.
这样我们就证明了等式对任意R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线对称.
事实上，诱导公式也可以由等式推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线对称，是诱导公式（R）的几何意义.
阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线对称可以用等式（R）表示，通过对这一等式的严格证明，证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式（R）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.
第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.
师生、生生交流，步步深入.
问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特
点？
可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：（Z）.
问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线（Z）对称”吗？
根据前面的研究，上述对称可以用等式（Z，R）表示.
请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.
证明预案： .
（二）对于正弦曲线中心对称性的研究
我们已经知道正弦函数（R）是奇函数，即（R），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.
第一阶段，对正弦曲线关于点对称的研究.
1．直观探索——从图象上探索在点两侧的函数值的变化规律.
2．数值检验——在左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.
3．严格证明——证明等式对任意R恒成立.
预案一：根据诱导公式，有
.
预案二：根据诱导公式和，有.
预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值互为相反数.
事实上，等式与诱导公式是等价的. 这样，正弦曲线关于点对称，是诱导公式（R）的几何意义.
第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.
请同学尝试解决下列三个问题：
1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.
正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：（Z）（教师利用课件演示）.
2．用等式表示“正弦曲线关于点（Z）对称”.
上述对称可以用等式（Z，R）表示.
3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）
三、课堂小结
1．课堂小结
（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式与（R）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.
（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.
2．作业
（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.
（2）找一个一般函数，如，R，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.
（3）思考：如何用等式表示函数关于直线对称，以及关于点对称？
（4）尝试证明函数的图象分别关于直线和直线对称.
【教学设计说明】
1．关于教学容
正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.
2．关于教学设计
本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.
在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：
通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.
3．信息技术在教学中的作用
图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．。