第七节 拉普拉斯方程的边值问题.

它把 ( x, y)变成 u,v的函数,
则 u v ,
x u x v x
2
x 2


u

2u x 2


2
u2

u x

2
uv

v x

u x


v

2v x 2


2
uv
例 一块金属薄板吻合于z平面中的第一象限, 上
下均绝缘, 因此热流严格限制在平面内. 如果边
界上的温度分布如图示, 求金属板上定常的温度
分布.
y
T2 100
1
T1 0
T1 0 T0 100 x
解 所求的定常温度分布T必满足拉普拉斯方程
2T x 2

2T y2
0,
且满足第一象限边界上的条件.
用 w z2 x2 y2 2ixy 将 z平面中的第一象
限映射成 w平面中的上半平面.
v
w1
1
T2 100 1 O T1 0
w(u, v )
w4
0
4 T0 100 u
w在实轴上4的右边:
arg( w 4) 0 0, arg( w 1) 1 0,

u x

2
v 2

v x

v x
,
同样可得:
2
y2


u

2u y2


2
u2
u y

2
vu
v y

u y


v

2v y2


2
uv

u y

2
v 2

v y

二、定理
如果 ( x,
y
)是拉普
拉斯方
程
2
x 2

2
y2

0 的解，
那末当 ( x, y)由一共形映射变成一个u,v的函数，
这个函数仍将满足拉普拉斯方程
2
u2

2
v 2

0.
拉普拉斯
证 设w f (z) u( x, y) iv( x, y)为一共形映射,
w在 1与4之间时, 0 π , 1 0 ,
w在 1的左边时, 0 1 π ,
所以 T

T0

1 π
[(T1
T0 )0

(T2
T1 )1],
或T

T0

1 π
[(T1

T0 )arg(
w

4)

(T2

T1 )arg( w

1)],
当w取实数时, 取得边值.
第七节 拉普拉斯方程的边值问题
一、问题的提出 二、定理 三、应用举例 四、小结与思考
一、问题的提出
问题: 求一个二元实变函数，使其在已知区域中 调和，并且在区域的边界上满足已知条件. 解决方法: 1. 对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解. 2.对于复杂区域可通过一适当的共形映射将其变 为简单区域, 再求解.
v y
,
以上两式相加,化简得
2
x 2

2
y2

f
(z) 2
2
u2

2
v 2
,
因为 w f (z) 为共形映射, 所以 f (z) 0,
当 2
x 2

2
y2

0时,
2
u2

2
v 2

0.
［证毕］
三、应用举例
tan1

u
v
. 1
即为拉普拉斯方程在w平面中的解.
变形后得
tanπ T 100

(x2

10xy y2 )2 3x2

3 y2

. 4
原问题的解为
T

100 arctan B, B π arctan B π , B
0
0
其中
B

(x2

10xy y2 )2 3x2

3 y2

. 4
四、小结与思考
拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理 应用之中.
放映结束，按Esc退出.
可看作是函数
iT0

1
[(T1

T0 )ln( w

பைடு நூலகம்
4)

(T2

T1 )ln( w

1)]
的虚部,
此函数在上半平面处处解析.
所以 T

100 1 [(0 π
100)0

(100
0) 1 ]

100[π π

(1
0 )],
0

0
1

π
,
tan 0

u
v
, 4