概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)

习题6（多维随机变量及联合分布）

一．填空题

1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为

； ； .

概率==)(Y X P .

2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为

18

.012.012.008.01

11

01b a X Y

--，且X 与Y 相互独立，

则=a ；=b .

3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数

=),(y x f ；=≤+)1(Y X P .

4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率

=≤≥)1,2(Y X P .

二．解答题

1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P <

2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022

2

=++Y Xt t 有实根的概率。

3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩

⎨

⎧=,0,),(kx y x f .,

,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P

习题7（多维随机变量函数的分布）

一．填空题

1. 若随机变量X 的概率分布为

1

.04.03.02.02

101p X -，记12+=X Y ，12-=X Z ，则随

机变量Y 与Z 的概率分布列分别为：

； .

2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为

2.02.031.001.021.02.01.011

01-X

Y ，则随机变量Y

X +的概率分布列为.

3. 若随机变量X 的概率函数为

6

.04.01

1P X -，随机变量)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，

则随机变量X Y -与XY 的概率函数分别为：

； .

二．解答题

1. 若随机变量X 的概率密度为⎪⎩

⎪

⎨⎧

+=,0,)1(2)(2x x f X π .0,0≤>x x 求随机变量X Y ln = 概率密

度函数).(y f Y

2. 若随机变量)1,0(~U X ，记X

e Y =，求Y 的概率密度函数).(y

f Y

3. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=,

0,2)(x x f X .,

10其它<

X Z =的概率密度函数)(y f Y 及)(z f Z .

4. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为

⎩⎨⎧=,

0(),(21y x f ,)y

x e y x --+ .,0,0其它>>y x

求随机变量Y X Z +=的概率密度函数).(z f Z

习题8（随机变量的数字特征）

一．填空题

1. 若随机变量X 的概率分布为

1

.03.03.01.02.04

2101P X -，则=)(X E ；

=-)13(X E ；=)(X D .

2. 若X 的概率密度为)(,2

1)(+∞<=

-x e x f x

，则=)(X D . 3. 若随机变量X 的分布函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧=,1,4/,

0)(x x F ,440,0>≤<≤x x x 则数学期望

=)(X E ；方差=)(X D .

4. 若随机变量X 与Y 相互独立，且)1,1(~-U X ，)4(~e Y ，则

=+)(Y X E ；=)(XY E ；=+)(Y X D .

5. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足1)()(==Y E X E ，2)(=X D ，4)(=Y D ，则

=+])[(2Y X E .

二．选择题

1. 若随机变量X 服从二项分布),(p n B 则下列式子中正确的是（ ）.

① np X E 2)12(=-； ② 14)12(+=+np X E ； ③ 1)1(4)12(--=-p np X D ； ④ )1(4)12(p np X D -=-.

2. 若随机变量X 与Y 相互独立，且1)()(==Y D X D ，则=-)24(Y X D （ ）.

① 20； ② 12； ③ 6； ④ 2.

3. 若随机变量X 服从区间)4,0(上的均匀分布，则=)(X

e E （ ）.

① 2e ； ② 4

e ； ③ )1(44-e ； ④ )1(441-e

三．解答题

1. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧+=,

0)(a x f ,

2cx bx + .,10其它≤≤x

且21)(=X E ，20

1)(=X D ，求常数.,,c b a

2. 若二维随机变量),(Y X .在圆域122≤+y x D ：上服从均匀分布，求

).(),(),(XY D XY E X E

3. 在国际市场上，每年对我国某种产品出口的需求量X （单位：t ）是一个随机变量，且

)4000,2000(~U X .若每出口1（t ）可得外汇3万元，如果销售不出去，每吨需要保养费1

万元。问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？