初等数论§4.2孙子定理
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21 1(mod5) 21 1 1(mod5);
15 1(mod7) 15 1 1(mod7).
k
x
ai
wk.baidu.com
M
i
M
i
i 1
(衍数 乘率 余数)
2 35 (1) 3 211 2 15 1 23(mod105)
2020/2/29
2020/2/29
6
列表如下：
除余 数数 32
53 72
最小公 衍数 乘 各 总
倍数
率
3×5×7 5×7 2
=105
3×7 1
35×2×3 21×1×3
3×5 1 15×1×2
答 数 最小
答数
140+63 233+30 2×105 =233 =23
2020/2/29
为什么啊？
7
分析：设所求物数为x，则有 x 2(mod 3), x 3(mod5), x 2(mod7).
m1, m2, , mk是两两互质的正整数，
记 m = m1m2
mk
，
Mi
m mi
,1
i
k.
k
则(1)的解为
x ai Mi Mi(mod m)
(2)
i 1
其中，整数Mi（1 i k），满足MiMi 1 (mod mi).
2020/2/29
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例1 解同余式组 x 2(mod 3), x 3(mod5), x 2(mod7).
m
Mi
462
385 2310 330
210
Mi ' ai Mi Mi ' ai Mi Mi '
3
1×462×3
1 5×385×1 6731
2111
1
4×330×1
(mod 2310)
1 10×210×1
462 2(mod5) 462 3 1(mod5) 其它略
2020/2/29
a1 1,a2 5,a3 4,a4 10. ——余数
M1 6 7 11 462, M2 5 7 11 385, ——衍数
M3 5 6 11 330, M4 5 6 7 210.
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列表如下：
mi ai 51 65 74 11 10
不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之 为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。 这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉 发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的， 特别称之为“中国剩余定理”
➢（Chinese remainder theorem ）。
2020/2/29
阜阳师范学院 数科院
§4.2 孙子定理
李新年
2020/2/29
1
• 看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒 ，郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给 他们出了一题：
• “今有物不知其数，三三数之剩二；五 五数之剩三：七七数之剩二。问物几 何？”
• 黄蓉天资聪慧，她略微思考，答：23。 • 大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。
其中正半月是指15，这个口诀把3，5，7； 70，21，15及105这几个关键的数都总结在内了。 详细说，歌诀的含义是：用3除的余数乘70，5除 的余数乘21，7除的余数乘15，相加后再减去（“ 除”当“减”讲）105的适当倍数，就是需要求的 （最小）解了。
4
古人解法：
• 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则 置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上 ，以一百零五减之即得。
• 依定理译成算式解为：
•
70×2＋21×3＋15×2＝233
•
233－105×2＝23
2020/2/29
阜阳师范学院 数科院
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明朝数学家程大位在《算法统宗》中把上式 总结为一首通俗易懂的歌决：
称之为同余式组。 即要求这些同余式的公共解。 一般情况下，同余式组可记作： x a1(mod m1 ), x a2(mod m2 ),L , x ak (mod mk )
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一、一次同余式组的解法——中国剩余定理
定理1[孙子定理] 设有同余式组
x a1(mod m1 ), x a2(mod m2 ),L , x ak (mod mk ) (1)
这道题的呢？
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其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
剩余问题:在整数除 法里，一个数同时 除以几个数，整数 商后，均有剩余； 已知各除数及其对 应的余数，从而要 求出适合条件的这 个被除数的问题， 叫做剩余问题。
2020/2/29
3
中国剩余定理
➢ 1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物
12
敬请指导，谢谢！
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新疆师范高等专科学校 数学学院
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解：m1 3,m2 5,m3 7两两互质，m = 3 5 7 105. M1 35, M2 21, M3 15. 衍数 由MiMi ' 1(mod mi ) M1 ' 1, M2 ' 1, M3 ' 1 乘率 35 1(mod 3) 35 (1) 1(mod 3); (Mi '不唯一)
10
例2 〔韩信点兵〕有兵一队，若列成五行纵队，则 末行1人；成六行纵队，则末行5人；成七行纵队， 则末行4人；成十一行纵队，则末行10人。求兵数。
解：即求解同余式组
x 1(mod5), x 5(mod6), x 4(mod7), x 10(mod11). 其中，m1 5, m2 6, m3 7, m4 11.
15 1(mod7) 15 1 1(mod7).
k
x
ai
wk.baidu.com
M
i
M
i
i 1
(衍数 乘率 余数)
2 35 (1) 3 211 2 15 1 23(mod105)
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2020/2/29
6
列表如下：
除余 数数 32
53 72
最小公 衍数 乘 各 总
倍数
率
3×5×7 5×7 2
=105
3×7 1
35×2×3 21×1×3
3×5 1 15×1×2
答 数 最小
答数
140+63 233+30 2×105 =233 =23
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为什么啊？
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分析：设所求物数为x，则有 x 2(mod 3), x 3(mod5), x 2(mod7).
m1, m2, , mk是两两互质的正整数，
记 m = m1m2
mk
，
Mi
m mi
,1
i
k.
k
则(1)的解为
x ai Mi Mi(mod m)
(2)
i 1
其中，整数Mi（1 i k），满足MiMi 1 (mod mi).
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9
例1 解同余式组 x 2(mod 3), x 3(mod5), x 2(mod7).
m
Mi
462
385 2310 330
210
Mi ' ai Mi Mi ' ai Mi Mi '
3
1×462×3
1 5×385×1 6731
2111
1
4×330×1
(mod 2310)
1 10×210×1
462 2(mod5) 462 3 1(mod5) 其它略
2020/2/29
a1 1,a2 5,a3 4,a4 10. ——余数
M1 6 7 11 462, M2 5 7 11 385, ——衍数
M3 5 6 11 330, M4 5 6 7 210.
2020/2/29
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列表如下：
mi ai 51 65 74 11 10
不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之 为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。 这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉 发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的， 特别称之为“中国剩余定理”
➢（Chinese remainder theorem ）。
2020/2/29
阜阳师范学院 数科院
§4.2 孙子定理
李新年
2020/2/29
1
• 看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒 ，郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给 他们出了一题：
• “今有物不知其数，三三数之剩二；五 五数之剩三：七七数之剩二。问物几 何？”
• 黄蓉天资聪慧，她略微思考，答：23。 • 大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。
其中正半月是指15，这个口诀把3，5，7； 70，21，15及105这几个关键的数都总结在内了。 详细说，歌诀的含义是：用3除的余数乘70，5除 的余数乘21，7除的余数乘15，相加后再减去（“ 除”当“减”讲）105的适当倍数，就是需要求的 （最小）解了。
4
古人解法：
• 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则 置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上 ，以一百零五减之即得。
• 依定理译成算式解为：
•
70×2＋21×3＋15×2＝233
•
233－105×2＝23
2020/2/29
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5
明朝数学家程大位在《算法统宗》中把上式 总结为一首通俗易懂的歌决：
称之为同余式组。 即要求这些同余式的公共解。 一般情况下，同余式组可记作： x a1(mod m1 ), x a2(mod m2 ),L , x ak (mod mk )
2020/2/29
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一、一次同余式组的解法——中国剩余定理
定理1[孙子定理] 设有同余式组
x a1(mod m1 ), x a2(mod m2 ),L , x ak (mod mk ) (1)
这道题的呢？
2020/2/29
2
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
剩余问题:在整数除 法里，一个数同时 除以几个数，整数 商后，均有剩余； 已知各除数及其对 应的余数，从而要 求出适合条件的这 个被除数的问题， 叫做剩余问题。
2020/2/29
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中国剩余定理
➢ 1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物
12
敬请指导，谢谢！
2020/2/29
新疆师范高等专科学校 数学学院
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解：m1 3,m2 5,m3 7两两互质，m = 3 5 7 105. M1 35, M2 21, M3 15. 衍数 由MiMi ' 1(mod mi ) M1 ' 1, M2 ' 1, M3 ' 1 乘率 35 1(mod 3) 35 (1) 1(mod 3); (Mi '不唯一)
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例2 〔韩信点兵〕有兵一队，若列成五行纵队，则 末行1人；成六行纵队，则末行5人；成七行纵队， 则末行4人；成十一行纵队，则末行10人。求兵数。
解：即求解同余式组
x 1(mod5), x 5(mod6), x 4(mod7), x 10(mod11). 其中，m1 5, m2 6, m3 7, m4 11.