第 讲 平面简谐波的波函数
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10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
2平面简谐波的波函数
具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的
平面简谐波的波函数，又称波动方程。
2、平面简谐波的波函数
波动
利用 2π 2πν 和 uT
T
波动方程的几种不同形式：
y
A
cos
t
x u
A
cos2π
t T
x
A cost
2πx
2、平面简谐波的波函数
波动
由波函数： y
A
cos[ (t
x)
]
2、平面简谐波的波函数
波动
3、x 、t 都变
方程表示在不同时刻各质元的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播。
yu
O
x
2、平面简谐波的波函数
波动
4、沿 x轴负向传播的波动方程
y
u
A
设 O 点振动方程为：
P
x
yO
Acost
O
A
x
P 点振动比O点超前了Δt x u
故P点的振动方程（波动方程）为：
Байду номын сангаас
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间周期性）
2、平面简谐波的波函数
波动
2、t 一定，x 变化
y
y Acost 2πx
o
x
令 t C（定值）
则
y
A
cos
2πx
表示t 时刻波传播方向上各质元的位移, 即t
时刻的波形图（y — x的关系）
y(x , t) y(x,t)（波具有空间周期性）
2、平面简谐波的波函数
波动
一、平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间x轴 上各质元振动的位移 y 随时间 t 变化的表达式。
平面简谐波的波函数，又称波动方程。
2、平面简谐波的波函数
波动
利用 2π 2πν 和 uT
T
波动方程的几种不同形式：
y
A
cos
t
x u
A
cos2π
t T
x
A cost
2πx
2、平面简谐波的波函数
波动
由波函数： y
A
cos[ (t
x)
]
2、平面简谐波的波函数
波动
3、x 、t 都变
方程表示在不同时刻各质元的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播。
yu
O
x
2、平面简谐波的波函数
波动
4、沿 x轴负向传播的波动方程
y
u
A
设 O 点振动方程为：
P
x
yO
Acost
O
A
x
P 点振动比O点超前了Δt x u
故P点的振动方程（波动方程）为：
Байду номын сангаас
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间周期性）
2、平面简谐波的波函数
波动
2、t 一定，x 变化
y
y Acost 2πx
o
x
令 t C（定值）
则
y
A
cos
2πx
表示t 时刻波传播方向上各质元的位移, 即t
时刻的波形图（y — x的关系）
y(x , t) y(x,t)（波具有空间周期性）
2、平面简谐波的波函数
波动
一、平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间x轴 上各质元振动的位移 y 随时间 t 变化的表达式。
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
11-1 平面简谐波的波函数
0.5
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
9
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
t + ∆t 时刻 时刻 p Q
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
19
第十章 波动 10– 10 2 平面简谐波的波函数 轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
Y u=0.08m/s P . 0.02
yo = Acos(ω t +ϕ)
ϕ =− π
2
X
-0.04
λ = 0.04 A = 0.04
1 ∴T = = u 2
u = 0.08
λ
3π x π ) y = 0.04cos[4π (t − ) − ] (m) yP = 0.04cos(4πt − 2 )(m16 0.08 2
13
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 ）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x = 0 点的初相位. 点的初相位
2）平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) ） 为正常数，求波长、波速、 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 的两点间的相位差. 向上相距为 d 的两点间的相位差
§12-2平面简谐波的波函数
y A
O
u
P
*
x
P34，12.11式
A x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[2 ( t ) 0 ] t x y A cos[2 ( ) 0 ] T 2 y A cos[ ( x ut ) 0 ]
u
0.1
A 0.1m
x(m)
20m
T
o
p
10
u
2s
2 rad/s T
设P点的振动方程为
y p 0.1cos πt 0） （ (m)
太原理工大学物理系
y (m)
u
p
t 0
x(m)
10
0.1
o
π p点的初相位 0 2
p点的振动方程
t 0 时刻，p点处的振动状态
太原理工大学物理系
x 无限大介质 y A cos[ (t ) 0 ] 波源在－∞ u x y A cos[ (t ) 0 ] 波源在＋∞ u
4）波速u与质点振动速度v不同 振动速度
y v t
x不变
x A sin[ (t ) 0 ] u
振动加速度
2 1 CD
太原理工大学物理系
小结: x 2πx 1）t 给定，同一波线上不同点的相位差 u t 时刻波线上x1点的相位 x1 t x1 1 (t ) 0 2 π( ) 0 u T t时刻波线上x2点的相位
x y A cos (t ) 0 u
x
P点落后于O点的振动时间为x/u
x y ( x，t ) A cos[ (t ) 0 ] u O 由 2 2 T 和 u A x y ( x，t ) A cos[2 ( t ) 0 ] t x y ( x，t ) A cos[2 ( ) 0 ] T 2 y ( x，t ) A cos[ ( x ut ) 0 ]
平面简谐波的波函数标准形式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式是y=Asin(ωx+φ)，其中A为振幅，2π/ω为周期，φ为初相
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，
在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。
简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。
本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。
广义来说，平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。
而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
大学物理(下册) 10.3平面简谐波的波函数
例题 10.3.1
设平面简谐波的波函数为：
y 0.05cos(50 t 0.1x)
试求波的振幅、波长、周期及波速。
解：分析 将波函数写成标准形式对比可得结果：
t x y A cos[2 ( )] T
t x y 0.05 cos( 50t 0.1x) 0.05 cos[ 2 ( )] 0.04 20 A 0.05m; 20m; T 0.04s; u 500m s -1 T
x y A cos[(t ) ] u
2 u -1 A 4 m , 4 m , 2 200 s 由图示可得： T
坐标原点处置点振动的初相由旋转矢量法可求：
由 t 0 y 2 4cos ，即原点处质点的位移为2，代入 波函数得： 2 4 o 3 由旋转矢量法知，原点处质点沿轴 3 正向运动，故得到： A
y
故平面简谐波的波函数为：
3
y 4 cos[200 (t x ) ] 400 3
例题 10.3.4 设平面简谐波沿轴正方向传播，波 长 4m ，已知坐标原点处质点的振动曲线如图 10.7所示，试求： (1) 原点处质点的振动方程； (2) 波函数的表达式； (3) 画出t =1s时刻的波形曲线。 解: (1)设坐标原点处质点的振动方程为:
A y
O
u
x
P *
A
x
沿x轴正向传播简谐波的表达式可写为：
y y ( x, t )
各质点相对平衡 位置位移
(1)
波线上各质点 平衡位置
波函数：介质中坐标为 x 的质点相对其平衡位置的位 移 y 随 t 的变化关系 y ( x, t ) 称为波函数；
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
平面简谐波的波函数
课堂练习 图示为 t = 1s 时的波形曲线，求波动方程。
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
平面简谐波的波函数
2 x y 0.02cos100 (t ) 200 2
y (m)
t = 0 时波形
u = 200m·-1 s
1
2
3
4
5
x (m
vo
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点 x y 0.02cos100 ( t ) 0 位移
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
物理学
第五版
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
物理学
第五版
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x y A cos 2π T
2
2πx y A cos t
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
物理学
第五版
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5 s 0
2
λ uT 10 m
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 ) cos 2π ( ) 0.5 10
和加速度。 解： u 200 50 Hz 4
A y (m) t = 0 时波形
y (m)
t = 0 时波形
u = 200m·-1 s
1
2
3
4
5
x (m
vo
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点 x y 0.02cos100 ( t ) 0 位移
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
物理学
第五版
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
物理学
第五版
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x y A cos 2π T
2
2πx y A cos t
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
物理学
第五版
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5 s 0
2
λ uT 10 m
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 ) cos 2π ( ) 0.5 10
和加速度。 解： u 200 50 Hz 4
A y (m) t = 0 时波形
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
平面简谐波的波函数
y(0) Acos[t0 0 ] y
t=t0
2
( x2
x1 )
0
x
反映了波动的空间周期性 6
例题: P86 4.3.9
解：（1）该波函数为
y Acos(Bt Cx)
而波函数的一般形式为
y
A c os [ (t
x u
)
0
)]
Acos(t
2
x 0)
比较两式可得
振幅为 A
而 B 2 C 所以
周期为 T 2 2 B
频率为
1 T
B
2
波长为 2
C
波速为 u B
TC 7
（2）由波函数 y Acos(Bt Cx) 可得
传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程为
y Acos( Bt Cl )
（3）相距为 d 的两点的波动方程分别为
y1 Acos( Bt Cx ) y2 Acos( Bt Cx Cd )
y(t)
Acos[(t
x0 u
)
0
]
Acos[t 2
x0
0 ]
令
2
x0
0
则
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
y(x，t) → y(t)
3
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
x0处的质点，两个时刻的振动相位差
t2
t1
2
t2 t1 T
若 t2-t1=kT, k=1,2,…
练习: P87 4.3.12
相距为 d 的两点的相位差为
Cd
8
0
)
令 t0 0 则y(x)源自A c os (x u
6_2 平面简谐波的波函数
2
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
6-02 平面简谐波的波函数
写出波动式
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2
t 1.0s
2
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方 x 程 2 2 y 3 10 cos 4 π( t ) y A 3 10 cos4 π t 20
u
C
8m
5m
9m
10m
D
B
oA
2
x
把点 C 的坐标代入
13 yc 3 10 cos[ 4 π t π] 5
把点 D 的坐标代入
例1 已知波函数如下，求波长、周期和波速. y 5 cos π[2.50t 0.01x](cm).
解：（比较系数法）. 把波动方程改写成
t x y A cos 2π ( ) T
比较得
2.50 0.01 y 5 cos 2 π[ t x] 2 2
2 T s 0.8 s 2.5 2cm 200 cm 0.01
y
u
x
x0
已知 x0点振动方程
O
x
y x0 A cos( t )
x x0 时间落后 u
x x0
任一点
x 比 x0
相位落后 2
任一点 x 振动方程——波函数
x x0 y A cos[ ( t ) ] u x x0 y A cos[ t 2 ]
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
平面简谐波波函数
平面简谐波的特点是，它的波形是一个不断振荡的正弦波，在时间t和空间x两个方向上都呈现出波动的特征。平面简谐波在许多物理学领域中都有广泛应用，例如电磁波、声波、光波等。
平面简谐波的波函数可以用数学工具，如幂级数或傅里叶级数来表示。这些工具可以帮助我们分析平面简谐波的特性，例如波长、周期、波速等。
平面简谐波（plane harmonic wave）是物理学中常用的一种波动形式。它是由两个正弦波叠加而成的，其中一个正弦波的波长和波速是定值，另一个正弦波的波长和波速是变化的。
平面简谐波的波函数可以用下面的公式表示：
f(x,，k是波数，ω是角速度，φ是相位。
平面简谐波的波函数可以用数学工具，如幂级数或傅里叶级数来表示。这些工具可以帮助我们分析平面简谐波的特性，例如波长、周期、波速等。
平面简谐波（plane harmonic wave）是物理学中常用的一种波动形式。它是由两个正弦波叠加而成的，其中一个正弦波的波长和波速是定值，另一个正弦波的波长和波速是变化的。
平面简谐波的波函数可以用下面的公式表示：
f(x,，k是波数，ω是角速度，φ是相位。
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第十章 机械波
横波 ut
G ，G F S
F
S
固
（切变模量） F
体
切变
中 纵波 ul
E ，E F S F
l l
（杨氏模量）
F l 线变 l
地震波 ul ut
第八讲 平面简谐波的波函数
第十ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 机械波
5 波线 波面 波前 波前 波面振动状态(位相)相同的点连成的面
*
相邻波面间距
为一个波长
球 面 波 波线
第十章 机械波
点 O 振动方程
y A
u
x
yO Acos(t )
O
A
u
波 y Acos[(t x) ]
函
u
u 沿 x 轴正向
数 Acos[(t 2 x / ) ]
u 沿x 轴负向, 波函数如何写？
y Acos[(t x) ] Acos[t 2 x / ]
u
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例2 如图示，已知： y0 Acos t，波长为 ，
入
全 反射波在S处相位改变。
y0 =Acosω t
反 S
0 x (l- x)
反 射 壁
求：反射波函数 y( x, t)
解： 全反射， A不变。
l
y(x,t) Acos[ t l 2 l x 2 ]
Acos[ t x 2 2l 2 ]
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos
2
π
(
t
x)
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振
动初相位（ ( π ~ π ) ）
y
t =0
y
A
u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
第八讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本物理量
第十章 机械波
波长λ: 在波线上相邻的两个振动状态完全相同的点之间的距离 周期T: 振动状态或者相位传播一个波长的距离所需要的时间 相速u: 相位的传播速度, 即单位时间内相位传播的距离
由图可知:
A 1m 12m T 12 1.2s
u 10
关键确定
0
3
y0
A cos(t
0 )
cos( 5
3
t
)
3
波动方程
第十章 机械波 u 10m/s
8 11 14 x / m
2 5 rad/s
T3
3
o
y
y cos[5 (t x) ] cos[5 (t x ) ]
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y Acos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播, π )
T
y Acos(t x) (向x 轴负向传播 , π )
u
2）平面简谐波的波函数为
y
Acos(Bt
Cx)
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
t=T/4
O
O
A
A
o π a π/2
另解:t=T/4时O点的相位：
t 0 π/2
(2 / T)(T / 4) π/2
O
0 π
b
a
c
x
b 0 c π/2
y
y
A
u
t=T/4
A
O
b
a
c
x
A
第八讲 平面简谐波的波函数
例1. t=0时的波形如图所示
y/m
（1）写出波动方程。
1
0.5
解（1）先写O点振动方程 0 2 5
波函数的另外几种常见表示式：
y Acos( t kx ) ，k 2
y
A
cos
2
t T
x
+
——波数
(wave number)
y Aei( t kx) （Re）
Aei( e kx) i(t )
空间因子 振动因子 （复振幅）
（Re）
了解
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
三 波函数的物理意义
特征：具有交替出现的密部和疏部.
第八讲 平面简谐波的波函数
水表面的波是什么波？
既非横波又非纵 波。而是纵波与 横波的合成
第十章 机械波
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点： （1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
tT
波动方程如何？
0.5
6
解：关键是求o点的初位相 0
6 25
8
方法1：t=0.2s= T 波形
6
t
0
3
2
T
T 6
0
3
11 14 x / m
0 0
yo
cos( 5
3
t)
y cos[5 (t x )]
3 10
方法2：将波形倒退
得出
6
t 0波形，再写方程！
0 0
…..
第八讲 平面简谐波的波函数
2
1
u
( x2
x1 )
2
( x2
x1 )
2
( x1
x2 )
2
12
(5 11)
反位相
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（3）画 t 3T 4 时波形曲线，此刻 x 2m处质点振动位
移、速度和加速度？
1
y
/
m
t
0
u
10m/s
t 3T
0.5
4
0 2 5 8 11 14 x / m
位移: y cos[5 (t - x ) ] cos[5 (3T - 2 ) ] cos 3 0
想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
第八讲 平面简谐波的波函数
四、举例 两种题型
第十章 机械波
1. 已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法）
2. 已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点（波源），写出其振动方程。 根据时间推迟法或相位落后法，写出波动方程。
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第八讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1) 时间推迟方法
点 O 振动方程
第十章 机械波
yO Acos(t ) t x u
点P
点O在t-x/u 时刻的相位
P点在t时刻的相位
点P 振动方程 yP Acos[(t x / u) ]
波函数 y Acos[(t x / u) ]
λ = uT T 取决于波源的性质，u 取决于介质的特性。
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u RT ， —— 比热比
M
p
液体中 u K ，
p V+ V p
K P
V V
（体积模量）
p 体变
F
弹性绳上的横波 u
l
第八讲 平面简谐波的波函数
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第八讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第八讲 平面简谐波的波函数
一、波动的几个概念
第十章 机械波
波动是振动的传播. 振动是激发波动的源.
1 机械波: 机械振动在介质中的传播
波源
+ 弹性作用
介质
波的传播：
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
x
（t+△t，x+ △x）质点振动状态=（t，x）质点振动状态
y Acos[(t x) ] Acos{[(t Δt) (x Δx)] }
u
u
x uΔt
振动状态在△t时间传播了u△t 距离，波形以速度u传播。
平面波
研究波动抓住一条波线研究即可。
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
二 平面简谐波的波函数
简谐波——最简单、最基本的波 平面简谐波——波阵面是平面的简谐波
1 波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y y(x,t)
3 u3
3 10 3
(SI)
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（2）求 x1 5m, x2 11m 两处质点振动位相差。
y/m
1
u 10m/s
0.5
解：
0 2 5 8 11 14 x / m
x1 处
y1
A cos[ (t
x1 u
)
0
]
x2处
y2
A cos[ (t
-
x2 u
)
0 ]
位相差:
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
x x1 y Acos[(t x1 ) ]
初位相为 x的1 振 动u方程