等腰三角形常用辅助线专题练习

等腰三角形常用辅助线专题练习

（含答案）

1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。

证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE

又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE.

2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由

解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．

解法2：

过A点作△ABC底边上的高，

再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥

BC证明AF⊥DE

3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。

证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．

4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC.

证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，

∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，

∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC;

若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。

若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。

5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD.

证明：连接AC,AD

∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)

∴AC=AD

∵AM⊥CD ∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM (公共边) ∴RT△ACM≌RT△ADM (HL)

∴CM=DM

6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点

∵AD为中线，∴BD=CD ∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD 在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE ∴△AFE∽△GFB

∴∠FGB=∠FAE

∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE

∴∠BFG=∠G ∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG 在△ADC和△GBD中∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA ∴△ADC≌△GBD ∴BG=AC

∴BF=AC

7.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分∠BAC

证明：延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M ∴∠M=∠1,∠C=∠2 在△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2, DE=CE ∴△DEM≌△CEA ∴DM=CA 又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3 ∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1 ∴AE 平分∠BAC

8. 已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE

证明：过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质）∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=DF（等角对等边），∵BD=CE（已知），∴DF=CE（等量代换），

∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），

∴△DFG≌△ECG（AAS），

∴DG=GE（对应边相等）

9. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点， BE⊥CB 交CD 于E,AC⊥DC, 求证：BE=1/2BC

证明：过点A作AF⊥BC交BC于点F

∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…（1）∴AF是BC上的垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2……（2）∵BE⊥BC，∴BE图，AD 为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交 BA延长线于E, 求证：BE=CF=1/2(AB+AC)

证明：（1）延长EM，使EM=MG，连接CG

∵点M是BC的中点 ,∴BM=CM ∵∠BME=∠CMG ∴△BME≌△CMG（SAS)

∴BE=CG,∠E=∠G

∵AD平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE ∴∠E=∠AFE，∴AE=AF ∵∠AFE=∠CFG ，∴∠G=∠CFG ∴CF=CG ，∴BE=CG，∴BE=CF

(2)∵BE=AB+AE，∴2BE=2AB+2AE

∵CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF

∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) ∵AC=AF+CF ∴2BE=AB+AC ∴BE=CF=1/2(AB+AC)

11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C. 试说明AB+BD=CD的理由。证明：在DC上截取DE=BD，连接AE ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD=AD ∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS) ∴AB=AE ，∠ABC=∠AEB

∵∠AEB=∠C+∠EAC ∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠EAC=∠C

∴AE=CE ，∴AB=CE ∵CD=CE+DE ，∴AB+BD=CD

12.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：∠B=2∠C.

证明：在AC上作AE＝AB，连结DE ∵AC=AB+BD＝AE+CE ,∴BD＝CE ∵AD是角平分线 ,∴∠BAD＝∠EAD 又∵AB=AE，AD=AD ∴△ABD≌△EAD