近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
读《跨越断层,走出误区》心得体会
读《跨越断层，走出误区》心得体会《跨越断层，走出误区》这本书从核心词的界定、当下教学的误区以及培养策略研究等方面娓娓道来。
读了之后让我对“数学课程标准”中关于“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识”这十大核心词有了更深的理解。
十个核心词，“数感”作为核心词之首，受到众多学者的关注，曹老师也不例外。
在《跨越断层，走出误区》这本书中，曹老师对数感概念做出了详细的解读，从“课标实验稿”的诠释、“课标2011年版”的表述、通俗的解释、学术的阐述，这四方面进行了分析。
读完整个章节，我知道了“数感”虽然是最朴实的数学素养，是关于数的感觉与理解的一种个人感悟，但它是可培养的。
那么作为一线教师，要怎样来培养数感呢？在我的理解中，数感就是在数数中建立的，在计算中强化的，通过这本书的阅读，让我对培养学生数感又有了更多的策略。
一、读出数感来有人说，学生的数感是“读出来的”。
是的，读数也有培养数感的功能。
例如五年第一学期异分母分数的通分，我们知道要通分首先要求出两个或多个分母的最小公倍数作为公分母才能进行通分。
最简单的方法就是用短除法来求分母的最小公倍数，普遍性是这种方法的优点，但它的缺点是没有针对性会导致计算繁琐。
这时候我们需要通过读数来激活学生的数感，让他们总结归纳出针对性强，计算简单的方法。
以下面这道题为例：说出每组分数的公分母各是多少？①1/2和2/3 ②3/5和1/10 ③2/7和5/8 ④7/8和5/12 ⑤6/7和3/28⑥5/13和11/26 ⑦4/15和7/18 ⑧5/21和3/14 ⑨1/3和4/11这道题看似只是简单的求公分母，但却能很好的激发学生的数感。
首先让学生慢读这几组分数，边读边体会这几组分数分母之间有什么关系，读一遍他们可能没什么发现，读上2遍和3遍后孩子们能把这些分数分成3组：①③⑨是一组，②⑤⑥是一组，④⑦⑧。
询问这么分组的理由是：通过读他们发现第一组的两个分母只有公因数1，最小公倍数就是这两个数的乘积，也就是公分母；第二组两个分母是倍数关系，最小公倍数就是较大的那个数，也就是公分母；第三组两个分母之间有多个公因数，这时候用短除法求出最小公倍数，做公分母。
10.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之应用意识
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第十章应用意识第一节重视数学应用的背景在数学与自然科学、社会科学越来越深刻地互相影响和互相渗透的过程中,应用数学、计算数学突飞猛进地发展,成了当代数学发展的主要标志。
……因此,数学既是一门科学,也是一门技术的观点,高科技本质上是数学技术的观点,得到了普遍的认同。
进入21世纪以来,现代社会以大数据为标志的信息时代特征越来越明显,从数据的采集、分析和处理、高清晰的编码、存储、传输和接受,数学始终处于关键的地位。
“而且随着个人计算机的普及,数学技术也有由高科技向一般技术普及的趋势。
”第二节数学应用意识的内涵1.什么是数学应用广义的说,数学应用包括数学内部应用和外部应用。
将数学应用于它的外部,最直接的是应用数学的知识、技能,最本质的是应用数学的思想、方法,最普遍的是应用数学的语言、数学精神。
仅就数学语言而言,它是迄今为止唯一不分地域、民族的世界通用语言。
任何科学的数学化过程,一切数学应用,都是以数学语言为表征的。
强调数学应用不局限于知识、方法的应用,这是由数学的素质教育功能、学科的育人价值所决定的。
2.什么是数学应用意识所谓数学应用意识,简单地说就是运用数学知识、思想方法的自觉心理倾向性。
它基于对数学应用广泛性特点和应用价值的认识,表现为主动从数学角度解释现实现象、解决现实问题的尝试愿望,以及试图沟通数学知识与现实联系的主动思考。
因此,数学的应用意识与应用能力常常紧密地联系在一起。
两者的区别:从应用过程来看,意识先行,应用意识激活自身的应用能力或其他应用行为（如请他人解决自己发现的数学问题）；从形成过程来看,应用意识的形成则滞后于相关认知与行为。
两者相辅相成,应用意识的形成又能反过来促进应用能力的提升。
“课标2011年版”对数学应用意识做了具体化的描述:“应用意识有两个方面的含义:一方面,有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题；另一方面,认识到现实生活中蕴含着大量与数学和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决。
读《跨越断层,走出误区》
读《跨越断层，走出误区》近段时间，认真研读了曹培英老师编著的《跨越断层，走出误区》一书。
这本书分十二个章节，结合教学实践和课堂观察研究，对数学课程标准中的十个核心词进行了实践性的解读。
曹老师说：十多年来，小学数学课程教学改革取得了长足的进步，但由于一些方面的理论指导和实践操作的脱节，误区也绝非个别。
因此，直面问题，澄清模糊意识，扭转偏颇取向，十分必要。
边读边思中发现，自己对是的核心词原本就是只知皮毛而已，比如若问我：什么是数感？怎样培养学生的数感？我会一片空白，不可置否。
细细研读《跨越断层，走出误区》中的每一段阐述，分析“陷入误区的实践案例”，琢磨数感的培养：“数、读、看、推、算、估、用”，真是茅塞顿开，大有裨益。
正如作者所说：一旦认识了数感的本来面目，就不难跨越理论与实践的断层，数感的建立、发展与联系巩固，就显得十分平常，相应的教学措施也就不必煞费苦心，另辟蹊径了。
由此我想：在教学中要培养学生的数感、符号意识等等，教师首先要真正的理解这些核心词，也就是认识它们的本来面目。
于是我认真阅读每一章节，在拨云见日豁然开朗的同时，也引起了一些新的思考，发现了教学中的一些新的问题。
就以“数据分析观念”为例来说说自己的一些收获。
课程标准2011版将“统计观念”修改为“数据分析观念”，就这一改变意味着什么？多少老师注意到了这样的改变？我们的教学实践跟得上这个改变了吗？回顾自己的课堂教学与课堂观察，觉得欠缺的还是很多。
首先对数据分析观念的几层含义就没有真正的理解掌握。
课程标准（2011版）这样描述：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
《跨越断层-走出误区》学习心得 -
小结
“常 识”
落实课标，有效教学的“秘诀”：
两个解读（“吃透”）与教学经验、智慧有机融合，
厚积薄发。
“吃透教材”＝学科知识＋解读文本的智慧
“吃透学生”＝学生知识＋解读学生的智慧
智慧是由经验凝聚而成的。
在纷繁复杂的教育术语面前， 在眼花缭乱的教学口号面前， 我们要始终敢说： 不要以为你穿了马甲
我就不认识你了！
数学就是研究数量关系与空间形式的科学。 数量关系就是加减乘除的各种关系演变，比如除法、 分数、比、百分数之间 着非常紧密的联系与关系，都 是除法的拓展延伸，相互都可以转化。对于这些东西 有些自己深刻地理解以后，对于学生的学习才会有更 好的方法与解释。所以首先老师对教材对内容和思想 清晰了，才可以走出误区，把学生教得更灵活透彻。 不管核心词怎么发展与演变，我们只要把握住核心， 就不必在乎名称的不同而已。
书中对于数学的实例举证让我印象深刻， 从千字文的教学中让我们明白怎么走出误区， 怎样才是真正地数感培养，怎样去展开教学才 是实际有效的，让我们少走弯路。
通读全书，每一个章节都是站在课程标准的高度， 结合教学的实践进行剖析和阐述，很多鲜活的例子确 实让我眼前一亮，收获颇多，也对数学的本质有了更 深刻的认识。对整个小学数学有了更系统的认识和思 考。
读
《跨越断层，走出误区》心得
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暑假时间，我认真研读了曹培英老师编著的《跨越断层，走
出误区》一书。这本书分十二个章节，结合教学实践和课堂观察研
究，对数学课程标准的发展及其中的十个核心词进行了实践性的解
读。曹老师说：十多年来，小学数学课程教学改革取得了长足的进
步，但由于一些方面的理论指导和实践操作的脱节，误区也绝非个
别。因此，直面问题，澄清模糊意识，扭转偏颇取向，十分必要。
《跨越断层,走出误区》读书心得(
简介：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学 的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推 理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路，发现结 论；演绎推理用于证明结论。在解决问题的过程中，两种推理功能 不同，相辅相成。
心得：在很多时候数学推理需要有一过程，要让小学生意识到推理能 力的重要性，教师在小学数学教学中，对学生进行推理能力的培养， 不仅能够让学生学到知识，解决数学题中的问题，让学生掌握在遇到 新问题时该如何应对的思想方法，还能够提高教师的课堂学习效率， 优化教学条件，增加课堂教学的趣味性。
心得：小学一年级数学的教学是从数数开始的，学生可以从这里数 出数感来；也有人说，学生的数感是“读出来的”，“写出来的”。 是的，所谓读中感悟、写中感悟，就是说教师要让学生在读数、写 数的过程中有所思，有所悟。而在教学中学生需要学习口算、竖式 计算、简便运算等，因此在小学阶段学生对数的敏感是在计算中逐 步积累并发展的，它是一个持续的过程，不是一朝一夕就能培养起 来的。同时新课标要求培养学生的估算意识,发展学生的估算能力还 能更好的培养学生的数感。
跨越断层、走出误区
跨越断层 走出误区数学课程标准 核心词的解读与实践研究
上述三个核心词之间的关系可以概括为：数学素养是目标，情境教学是实现这一目标的有效手段， 而核心素养则是实现这一目标的具体体现。
在核心词解读部分，这本书详细阐述了数学课程标准中的三个核心词：数学思想、数学活动和数 学文化。数学思想是指通过对数学知识的理解和应用，形成的一种分析和解决问题的思维方式； 数学活动是指通过参与和实践，将数学知识转化为实际应用的一种学习方式；数学文化则是指数 学在历史、社会、艺术等领域的应用和影响。
精彩摘录
在总结部分，这本书强调了数学课程标准的重要性和必要性。正确解读数学课程标准，有助于我 们更好地理解数学教育的本质和价值，更好地实施数学教育。通过实践研究，我们可以不断优化 教学方式，提高教学质量，培养出更多具有创新精神和实践能力的人才。
《跨越断层，走出误区：数学课程标准“核心词”的解读与实践研究》这本书为我们提供了全面 而深入的数学课程标准解读与实践研究。通过跨越断层，走出误区，我们将更好地理解和实施数 学教育，为培养更多优秀的人才贡献自己的力量。
阅读感受
同时，曹培英老师对于核心词的实践研究也给予了我很大的启示。他强调，理解核心词不仅需要 理论上的研究，更需要将这些理念应用到实际教学中。只有通过实践的检验，才能真正理解和掌 握这些核心词的内涵和价值。 在书中，曹培英老师结合自己的丰富教学经验，对如何将这十个核心词融入到课堂教学中给出了 具体的建议。这些建议既有理论的高度，又具有很强的操作性，对于一线教师来说具有极高的参 考价值。 《跨越断层，走出误区数学课程标准”核心词的解读与实践研究》是一本理论与实践相结合的书 籍，对于我们理解数学教育的核心价值，提高教学质量具有重要的指导作用。通过阅读这本书， 我深深感受到，只有深入理解并贯彻落实这些核心词，才能真正实现数学教育的目标，帮助学生 跨越断层，走出误区，成为具有数学素养的新时代公民。
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》读书交流近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》。
曹老师这本书非常适合专业知识不足的数学教师细读，作为一名青年数学教师，读起曹老师的这本书感觉有些吃力，里面的有些内容有所不理解，但是读书如用餐，细嚼慢咽后方觉其中的美妙滋味。
以下是我读完曹老师这本书后的一点感悟：一、什么是十大“核心词”作为初入教育行业的我而言，刚刚知道数学课标里居然有十个核心词时真的特别惊讶，核心词居然有这么多？教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心词分别是：“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
”核心词确实是有点多，但仔细看来，每个核心词都是不可或缺的。
任意拿出一个核心词，脑海中联想其相关知识或是教学案例后，我深感自己专业知识的匮乏。
反复学习、领会课标中的十大核心词对教师的专业成长有着十分重要的意义。
二、十大“核心词”的解读1.数感。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
”教师想要培养学生的数感，自己必须真正地、深入地解读数感。
但有关“数感”过于学术性的阐述又让人读起来吃力。
因此当看到曹老师在书中提到的：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
”，我的内心好像被什么东西触动了一下，现在也无法用文字表达出自己的感受，只觉得头脑关于数感的认知中突然明朗了。
读到曹老师关于数感的介绍后，回想自己教授《千以内数的认识》这节数学课时，真的是掉入了误区--将“数感”与“量感”相混淆。
那到底该如何培养学生的数感呢？曹老师在书中为我们介绍了这几种方法：“数”出数感、“读”出数感、“看”出数感与“推”出数感、“算”出数感与“估”出数感、“用”出数感。
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
教师读书交流近期有幸拜读了数学教育家曹培英老师的著作《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》。
曹老师的这本书具有很强的专业性，初读会觉得很乏味、很吃力，但是越是细读越能体味书中的数学魅力。
曹老师的这本书中结合数学教学案例分析介绍数学的十大“核心词”，引导教师能够发现学生的“最近发展区”，进行深入浅出的教学。
一、什么是十大“核心词”作为初入教育行业的我而言，刚刚知道数学课标里居然有十个核心词时真的特别惊讶，核心词居然有这么多？教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心词分别是：“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
”核心词确实是有点多，但仔细看来，每个核心词都是不可或缺的。
任意拿出一个核心词，脑海中联想其相关知识或是教学案例后，我深感自己专业知识的匮乏。
反复学习、领会课标中的十大核心词对教师的专业成长有着十分重要的意义。
二、十大“核心词”的解读1.数感。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
”教师想要培养学生的数感，自己必须真正地、深入地解读数感。
但有关“数感”过于学术性的阐述又让人读起来吃力。
因此当看到曹老师在书中提到的：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
”，我的内心好像被什么东西触动了一下，现在也无法用文字表达出自己的感受，只觉得头脑关于数感的认知中突然明朗了。
读到曹老师关于数感的介绍后，回想自己教授《千以内数的认识》这节数学课时，真的是掉入了误区--将“数感”与“量感”相混淆。
那到底该如何培养学生的数感呢？曹老师在书中为我们介绍了这几种方法：“数”出数感、“读”出数感、“看”出数感与“推”出数感、“算”出数感与“估”出数感、“用”出数感。
读《跨越断层,走出误区》心得体会
读《跨越断层，走出误区》心得体会读了曹培英老师编著的《跨越断层，走出误区》一书，颇有收获，此书是对《小学数学课程标准（2011年版）》中十个核心词的“实践解读”，一个核心词一章。
其中谈及到了十个数学核心关键词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
这本书结合大量的实践经验，对这十个核心词进行了较为细致的剖析。
不仅让我能够重新全面、正确地理解这些核心词，也对这些核心词的教学落实，提供了操作的可行性建议，为我以后的教学工作提供了较高的参考价值。
下面就谈一谈这次学习的几点体会：1、《小学数学新课程标准》以全新的观点将小学数学内容归纳为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，特别突出地强调了6个学习内容的核心概念：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力。
2、教师在平常课堂教学中应大力培养学生的应用意识。
教会学生学会综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题。
让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
3、教师在教学中应注重发展学生的推理能力。
使学生达到能根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。
能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出实例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合理逻辑地进行讨论与质疑。
下面我就学习中的一点体会结合自己的教学经验谈谈对小学生数感的感悟。
数感并不是一个新的词语，早在1954年美国数学家就提出了数感，而我国随着新课程的改革，对学生数感的培养也越来越重视了。
1.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之数感
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第一章数感第一节数感,“你”是什么1.“课标”的描述教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》有关“数感”的表述是:“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表达具体情境中的数量关系。
”2.倾向“通俗”或“学术”的刻画“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一,是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境,解释数和应用数的意识与能力。
”数感的确是两种意义的统一,也确实是解释数、应用数的意识与能力。
第二节数感,想说“爱你”不容易1.陷于“误区”的案例例:100以内数的认识。
“估一估,有多少颗,看谁估的准”。
例:1000以内数的认识。
“估计1000张纸有多厚”。
两位教师为了培养学生的数感,课前花费大量精力,充分准备,令人肃然起劲。
但又不能不反思,这是在培养数感吗?在教学数的概念前,上述活动充其量是在制造一种“悬念”,吸引学生的注意。
2.联想到“张秉贵”后的反思在小学数学中,数与量却是两个既有联系又有区别,并且常常不能不加以区分的概念。
在现实世界里,没有抽象的数,有的都是数与量的混合体。
因此,培养数感难免牵扯到量。
而且,在实际生活中,数感又常常表现为观察事物时的数量意识,或者反映为自觉的联系量,将数与具体事物联系起来。
培养数感,不宜过于依赖量,尤其是不宜选择特殊的量。
第三节数感,可以怎样培养1.“数”出数感小学数学教学只是在此基础上引导学生逐步扩大数数、认数的范围,相应地逐步丰富、发展学生的数感。
其间每一步进展的有效性,很大程度上取决于教学设计与实施的科学性、艺术性。
2.读出数感只要让学生在理解的基础上读数,自己知道读的是什么,就能读出数感,而且是脱离了“量”的抽象的数感。
我国的小学数学历来重视数的感悟,虽说没有“数感”这一名词,但名词背后的实在之物,还是有所把握的。
《跨越断层,走出误区》阅读心得
《跨越断层，走出误区》阅读心得课标指出：核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同，是制定课程目标的基本依据。
由此可见其重要性，但一些数学老师包括我在内，对于核心词的理解，是出于对课标浅浅的解读，摸石头过河，并没有深入，因此很难在课堂中很好的渗透。
在听评课的过程中，当我听到专家或有经验的教师点评时，会有恍然大悟的感觉一一原来核心素养可以这样在课堂中体现，自己并没有真正理解这些核心词。
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书注重理论与实践相融，文从字顺，平实叙述,再现小学课堂的真实模样。
围绕每个核心词，从理论阐述、课标详解、教学实例、教学设计等,把核心词涉及的知识点讲透，通俗易懂。
我认真研读了每个章节，在豁然开朗的同时有了一些自己的思考，也反思了自己教学过程中存在的问题。
其中第三章空间观念使我印象深刻，曹培英老师在书中写道：数量关系与空间形式是数学研究的两大基本范畴，是不可动摇的基本内容,而培养、发展学生的“空间观念”是小学数学“图形与几何”领域的核心。
什么是空间观念？课标中指出：空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。
本书第三章从空间观念的由来入手到如何把握空间观念最后到怎样提升培养空间观念的教学水平，层层递进，让读者清楚空间观念的本质，也给一线教师在如何发展学生的空间观念方面指了一条明路。
读完本章后，我有以下几点感悟和大家分享：1.正视学生认知差异每个学生都是独立的个体，不同层次的学生，学习的起点也不同，以长方形的周长计算教学为例，在计算不规则图形的周长如：阶梯状图形、凹的长方形、凸的长方形时，班上有一部分学生可以想象出“还原”后的图形并计算，然而一半以上学生想不出将不规则图形“还原”为长方形，我在黑板上画出辅助线讲解，大部分学生的反馈都不错，我就没有及时让学生自己动手画一画，在批改作业中发现，遇到相同题型，还有一部分同学无从下手，因此，应该正确认识学生认知差异，适时辅以课件、直观图，再引导学生自己动手实践画一画，这样优秀的学生得到方法的巩固，不能自主画出辅助线的学生也有法可循，在动手操作中发展了空间观念。
(完整版)读《跨越断层,走出误区》
读《跨越断层，走出误区》近段时间，认真研读了曹培英老师编著的《跨越断层，走出误区》一书。
这本书分十二个章节，结合教学实践和课堂观察研究，对数学课程标准中的十个核心词进行了实践性的解读。
曹老师说：十多年来，小学数学课程教学改革取得了长足的进步，但由于一些方面的理论指导和实践操作的脱节，误区也绝非个别。
因此，直面问题，澄清模糊意识，扭转偏颇取向，十分必要。
边读边思中发现，自己对是的核心词原本就是只知皮毛而已，比如若问我：什么是数感？怎样培养学生的数感？我会一片空白，不可置否。
细细研读《跨越断层，走出误区》中的每一段阐述，分析“陷入误区的实践案例”，琢磨数感的培养：“数、读、看、推、算、估、用”，真是茅塞顿开，大有裨益。
正如作者所说：一旦认识了数感的本来面目，就不难跨越理论与实践的断层，数感的建立、发展与联系巩固，就显得十分平常，相应的教学措施也就不必煞费苦心，另辟蹊径了。
由此我想：在教学中要培养学生的数感、符号意识等等，教师首先要真正的理解这些核心词，也就是认识它们的本来面目。
于是我认真阅读每一章节，在拨云见日豁然开朗的同时，也引起了一些新的思考，发现了教学中的一些新的问题。
就以“数据分析观念”为例来说说自己的一些收获。
课程标准2011版将“统计观念”修改为“数据分析观念”，就这一改变意味着什么？多少老师注意到了这样的改变？我们的教学实践跟得上这个改变了吗？回顾自己的课堂教学与课堂观察，觉得欠缺的还是很多。
首先对数据分析观念的几层含义就没有真正的理解掌握。
课程标准（2011版）这样描述：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
《跨越断层,走出误区》学习心得- 1
新版课标的表述是："数感主要是指关于数与数量、
"新新
数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有 助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体 情境中的数量关系。" 这一表述由两句话组成。前一句侧重数感的界定，" 数感主要是„„感悟"；后一句侧重数感的作用，"数感 有助于”。两句话的共同点，都描述了数感的表现。 既然数感是一种感悟，而"感悟"的本意是"有所感触而 领悟"，那么，简单地说，数感就是关于数的感觉和 理解。
理解了什么空间观念，那么如何培养呢？曹 老师也给出了方法。针对小学生面对的简单 空间想象，提升培养空间观念的教学手段主 要落脚于“视”与“触”，也就是借助于直 观教学。除了运用PPT可以很好的做到空间演 示，还要加强学具操作实验活动、画图与课 外实践
3. "用"出数感 小学数学的实际问题，大多涉及数。因此， 在应用所学数学知识解决实际问题的过程中， 数感常常会自然而然地得以表现。 从书中我能得到一些具体的示例，也能从中 得到一些启发和思考，在今后的教学实践中 我不断地去实践，应用。
4、估出数感来 新《课标》指出：“估算在日常生活与数学学习
中有着十分广泛的应用,培养学生的估算意识,发展 学生的估算能力,让学生拥有良好的数感,具有重要 的价值。”曹培英老师在《跨越断层，走出误区》 中指出“培养数感，不宜过于依赖量，尤其是不 能选择特殊的量。”比如，估一估抓一把有多少 粒豆，估一估一叠纸有几张，小小的豆，薄薄的 纸都是特殊的量。
怎样培养学生的数感呢？我觉得曹老师说的非 常到位： 1."数"出数感 ：学龄儿童通过日常生活中有意、 无意的数数活动，已经自主地实现了物体个数 的数量守恒。 在这过程中他们还掌握了被数物体与数的一一 对应，如五个手指与1～5的依次匹配，并且知 道从左、从右数，都是五个手指，即数数的结 果与数的顺序无关，特别是知道了数到最后的 "5"表示一共五个手指，即数到最后一个数的值 就是这个集合的基数。
最新课标培训-听《曹培英报告》感悟
课标培训，听《曹培英报告》感悟我有幸去盐化高中参加为期三个多小时的学习，听了曹培英老师关于《跨越断层走出误区课程标准，若干词的实践》的讲座，他是对小学数学课程标准的解读，从核心词展开，风趣生动的向我们诠释了新课标课堂教学改革，听后收获颇多。
当天下午，曹老师主要从核心词的演变与实践解读，理论与实践的断层两方面，让我们理解新课标的教学理念的变化——让教学变成研究，实现教学观和教学方式的整体改革。
由于培训时间短，能力有限，我对新课标的理解还不是那么透彻和完整，但是，我还是就学习中的体会做如下的一些总结。
一、新课标定位上最大改变是：1、“双基”扩展为“四基”，“两能”转化为“四能”的重要调整。
强调在注重数学“基础知识”和“基本技能”的同时，发展数学“基本思想”，积累“基本活动经验”，在培养“分析问题的能力”和“解决问题的能力”同时要增强发现问题的能力和解决问题的能力，我国数学教育的优良传统得到一定的肯定。
理解+记忆，铺垫+变式……回归结果与过程并重的理念。
这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。
课程设计思路充分体现了数学学科特色。
本次修订更加注重数学的学科特性，但也十分突出对儿童数学学习的关照，几乎所有内容的调整和要求改变都是甚于学生的知识体系、现实背景、身心特征、学习规律而进行的，是对儿童的服从。
2、“六个核心词”的增加到“十个核心词。
新课标提出了10个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
运算能力、模型思想、几何直观、意识是新增加的，数感、符号意识、数据分析观念是名称或内涵发生变化的。
学段划分上统虑九年的课程内容，体现数学课程的整体性。
在各学段中国，都安排了四个部分的课程内容数与代数、图形与几何、统计与概率、综合性。
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》简介
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实
践研究》简介
佚名
【摘要】《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书由著名特级教师曹培英所著。
他结合自身多年的教学实践研究经验．对“数学课程标准”核心词进行了深入解读与实践研究。
【期刊名称】《小学教学：数学版》
【年(卷),期】2017(000)009
【总页数】1页(P41-41)
【关键词】教学实践研究;数学课程标准;核心词;解读;断层;误区;简介;特级教师【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书由著名特级教师曹培英所著。
他结合自身多年的教学实践研究经验，对“数学课程标准”核心词进行了深入解读与实践研究。
该书分别以核心词数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、合情推理、模型思想、应用意识、创新意识为章节，对其概念进行解读，剖析误区之所在，并探讨如何培养学生的这些数学素养。
书中用大量的教学案例，打破了小学数学的理论与实践的断层，直面问题，澄清现实中的模糊认识。
曹老师还以历史发展为线索，对“数学课程标准”核心词的演变进行了反思与展望。
曹老师相信，数学核心素养研究的推进与核心素养体系的建构，将有助于克服学科本位与教学中的短期行为，有助于不同学科、不同学段育人目标的彼此衔接和上下贯通，进而使小学数学教学真正为学生的终身发展奠基。
2022《跨越断层,走出误区》读后感
《跨越断层，走出误区》读后感我第一次读到曹培英老师的《跨越断层走出误区》一书，也得益于周围人的推荐。
这本《跨越断层走出误区》，重点在于如何培养我们的创新思维。
在小学数学教育中，培养学生对数字的敏感度是一件极其重要的事情。
曹培英先生在这本书中详细地介绍了如何培养“数感”的方法，同时也让我得益匪浅，对以后的教学活动也有所启示。
在这本书中，“数感”是曹先生的核心词，而这个核心词就是曹先生所注重并进行详细阐述的。
读完这本书，经过深思熟虑，我对“数感”有了清晰的认识。
众所周知，‘数感’是关于数的感觉和理解，但它是可以培养的。
在数学中，这种对于数字的感觉是十分重要的。
其中，曹先生对于“数”和“估”的论述，让我对如何培养学生的数感有了新的认识。
曹先生举了一个例子，用“千字文”讲授“千字以内数的理解”。
老师展示一篇古文，让学生数单词的总数。
千言万语是一首四言诗，起止连贯，曲调和谐。
最初，它只是一个四个字的句子，而不是“行”或“段”。
为了教学的需要，教师有意识地把它排成五句一行，五行一段，以诱导学生“四、五、二十”，然后数到20、20，然后自动数到100、1000。
这不需要太多时间，但过程非常清楚。
数过之后，1000的感觉自然就来了。
众所周知，数量对于计算物体是必不可少的。
但每个学生都有汉字的量感，所以学生们不需要特别注意，可以专注于计数。
此外，引进1000，有必要引导学生使用现有的基础。
因此，仔细选择合适的载体可以消除“量”的干扰。
老师安排用千字文做巩固练习，让学生找出学习的感觉，第996个汉字词组开头是什么？第192个字是什么？有了上百的铺垫，学生在寻找“学”字时，可以轻松数到100或1000。
这种巧妙的做法使“千字文”活跃起来。
另一个例子是“估计”数量的意义，通常看到最多的就是估计1000张纸的厚度，一把黄豆大约多少。
这种估计的是更多的是重量感，而不是数字感。
随着时代的发展，如今已经提倡识字了。
所以在读了曹老师的书，我觉得数学的核心素养从学习数学开始就已经存在了，或许在更早之前就已经存在了，而且它将从第一节数学课开始培养。
跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践学习心得体会
跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践学习心得体会解州中心校郊斜小学郭琴娟在寒风凛冽的日子里，我们在盐化中学礼堂学习了曹培英老师的讲座,真是受益匪浅。
数学课程标准历年来在不断的改革，所强调的重点也有一定的变化。
在曹老师的讲解中,有一些在我们的日常教学中，也得到了充分的体现.例如，为了使学生理解现实生活中数的意义,必须培养血红色呢过的数感.数学教学中数为基础,每节课都和数打交道，那么怎样能够更好的培养血红色呢过现实的数感呢？在教学中为学生创设问题情境。
让学生在讨论的过程中，同学之间互相启发，互相学生,互相借鉴.体会数可以用来表示和交流的信息,使学生在交流数的感知时,拓展思维，丰富对数的认识.比如，在教学“1”的认识时，先请学生说出现实生活中用“1"表达的事物，学生说说自己周围一些可以用“1"来表达的事物。
1本书、1只小鸟、1张桌子、1把椅子等.随后可以引导学生说说教师手里的小棒时1捆小棒。
这些东西渗透在学生生活中，学生很容易理解和接受.另外，我们还可以在操作活动中培养学生的数感.培养学生的符号意识.数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言.学生的符号感主要表现在能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，理解符号所表示的数量关系和变化规律。
培养学生的符号感,必须树立符号意识。
有目的、有意识、有计划、有步骤的渗透于数学教学的始终。
在教学过程中,让学生通过分析交流积累经验。
学习符号化的多种途径。
逐步体会用数形将实际问题符号化.在小学阶段我们会学习到很多平面图形和立体图形，还需培养学生的空间观念.曹老师认为空间观念的发展规律是空间知觉（表象的基础)—-———空间观念（表象的形成）-———-空间想象（表象的改造)。
在教学中让学生通过想象和推理相结合。
帮助学生建立空间观念。
发挥学生在头脑中形成对图形的直观印象.结合推理帮助学生积累空间想象的经验。
例如:在《长方体的认识》一节，可以通过实物让学生先观察，在想象。
《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》读后感_心得体会
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》读后感曾几何时，总觉得阅读是一件令人痛苦的事。
自加入渝中区“王红梅名师工作室”以来，王老师不仅赠予了我们多本提升教师专业素养的书籍，还就“如何高效阅读？”这一话题给我们传授了“找观点、谈启发、对实例、说困惑”的阅读经验。
在不断的克服与坚持中，我已逐渐养成每天阅读、思考的习惯，让自己读有所思，读有所悟！手捧《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书，引发了我心中的好奇。
小学数学教学的断层在哪里？如何跨越这些断层才能帮助我们走出误区呢？细细品读，该书对《数学课程标准（2011版）》中的“十个核心词”作了精准解读和实践阐释，让我开始审视自己的教学在理论与实践之间存在的断层，让我静心思索走出误区的途径。
带着这种思索，我再次辩证阅读《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书，从实践中找到了答案。
对于“为什么混合运算要先乘除后加减？”这个看似简单的问题，学生模棱两可，这是为什么呢？在关于“模型思想”这一核心词的解读中，曹培英老师有这样的论述：有一些数学知识，纯属数学内部的规定，不需要从数学外部引入。
比如，四则运算“先乘、除，后加、减”的运算顺序，是为了保证运算结果的唯一性所作的人为规定。
试图通过创设实际问题情境来引入这一规定，并以解决实际问题的需要来说明如此规定的合理性，实在是徒劳的。
同时，最近也在阅读史宁中教授《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书。
他谈到：运算次序有两个基本法则，这两个基本法则是一种规定；为什么要有这样的规定呢？这样的规定合理吗？如果这样的规定是合理的，那么合理性表现在哪里呢？为了说明它的合理性，就必须回到现实世界，因为小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的；所有的混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。
两位数学大咖对“为什么先乘除后加减？”的态度截然不同，势必会使我们一线教师产生一些困惑。
听《跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践》讲座
听《跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践》讲座有感
开张中心小学——刘桂芳
我有幸去运城参加为期半天的学习，听了曹培英老师关于《跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践》的讲座，他对小学数学课程标准的解读，从核心词展开，风趣生动的向我们诠释了新课标课堂教学改革是一种变改性实践，听后，收获颇多。
一、数出数感来
小学一年级数学的教学是从数数开始的，在学习10以内数的认识中,在认识“1”时，学生可以说出：1本书、1 只小鸟、1棵树、1根小棒、1捆小棒、一个萝卜、一筐萝卜……随后引导学生数出几根小棒是一捆？数出几个萝卜是一筐？帮助学生理解“1”可以表示1个个体，也可以表示这类个体的1个集合；可以表示很大的物体，也可以表示很小的物体。这样，学生容易理解和接受就体会了数的含义，就数出数感来了。
三、估出数感来
新《课标》指出：“估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用,培养学生的估算意识,发展学生的估算能力,让学生拥有良好的数感,具有重要的价值。”曹培英老师在《跨越断层，走出误区》中指出“培养数感，不宜过于依赖量，尤其是不能选择特殊的量。”比如，估一估抓一把有多少粒豆，估一估一叠纸有几张，小小的豆，薄薄的纸都是特殊的量。对于这些方法，教师都应该加以鼓励但不过分依赖，并为学生提供机会，在相互交流中，比较各种算法的特点，不断完善自己的估算方法，逐步发展估算使学生在不断地估算中发展自己的数感。
总之，数感的培养是个长期系统的工作，在备课中要考虑对学生数感的培养，制定教学目标，选择适当方法，使学生在日常学习中发展数感。
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读书交流近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》。
曹老师这本书非常适合专业知识不足的数学教师细读，作为一名青年数学教师，读起曹老师的这本书感觉有些吃力，里面的有些内容有所不理解，但是读书如用餐，细嚼慢咽后方觉其中的美妙滋味。
以下是我读完曹老师这本书后的一点感悟：一、什么是十大“核心词”作为初入教育行业的我而言，刚刚知道数学课标里居然有十个核心词时真的特别惊讶，核心词居然有这么多？教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心词分别是：“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
”核心词确实是有点多，但仔细看来，每个核心词都是不可或缺的。
任意拿出一个核心词，脑海中联想其相关知识或是教学案例后，我深感自己专业知识的匮乏。
反复学习、领会课标中的十大核心词对教师的专业成长有着十分重要的意义。
二、十大“核心词”的解读1.数感。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
”教师想要培养学生的数感，自己必须真正地、深入地解读数感。
但有关“数感”过于学术性的阐述又让人读起来吃力。
因此当看到曹老师在书中提到的：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
”，我的内心好像被什么东西触动了一下，现在也无法用文字表达出自己的感受，只觉得头脑关于数感的认知中突然明朗了。
读到曹老师关于数感的介绍后，回想自己教授《千以内数的认识》这节数学课时，真的是掉入了误区--将“数感”与“量感”相混淆。
那到底该如何培养学生的数感呢？曹老师在书中为我们介绍了这几种方法：“数”出数感、“读”出数感、“看”出数感与“推”出数感、“算”出数感与“估”出数感、“用”出数感。
我就不具体解释了，有兴趣的话，大家可以自己阅读这几种方法。
2.符号意识。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
”仔细想来，我们生活的世界到处都已经被符号化，但数学符号与之不同，它具有自身独特之处：精确、严谨、可运算。
这些特征这也是造成学生感觉数学难学的原因之一，因此想要学生爱上数学，必须攻克如何建立数学“符号意识”这一难题。
对于这点曹老师在书中主要给出两点建议：一是帮助学生接受、理解符号，进行有意义的学习思考；二是让学生初步感悟符号表达的优势与作用。
例如在教学《用字母表示数》这节课时很多老师通过对比等形式让学生发现用字母表示数的优点是简洁、方便，但用字母表示数的优点可不仅是由特殊到一般，更在于这种方式的“准确”、“无歧义”，也为我们的数学推理奠基。
3.空间观念《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
”小学阶段是学生空间观念发展的重要时期，培养和发展学生的“空间观念”是小学数学“图形与几何”领域的核心，因此如何在小学阶段培养和发展学生的空间观念收到很多教师的关注。
曹老师在书中给出以下几点建议：一是借鉴相关理论；二是加强视觉直观和动作直观；三是重视两个“结合”（语言与形象结合、数与形结合）。
根据自己所授青岛版二年级《观察物体》一课的体会，我真的特别赞同曹老师所讲的语言与性相结合，培养学生空间观念的时候一定不要担心“浪费课堂时间”，要在课堂上给学生足够的时间去进行空间想象，想象观察者位置变换后看到的物体形状，在脑海中构建出物体的立体模型，并尝试用准确的语言进行表述；同时也可进行语言描述，让学生想象物体的形状。
只有在课堂上培养学生的空间观念，课下做题才不会大脑空白。
4.几何直观。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”在读曹老师的书之前我一直把几何直观和数形结合相混淆。
曹老师的这本书中对此有明确的对比分析：从内涵看，数形结合看重数学两类研究对象之间的联系，几何直观侧重数学研究对象的几何意义。
从外延看，数形结合具有形使数更直观，数使形更入微的作用，而几何直观则还可以运用于几何本身。
想要培养学生的几何直观就一定要夯实学生的空间观念。
5.数据分析观念。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
”我们常说现在大家都是生活在大数据时代，无论是工作还是生活都离不开各种数据，随着信息化的进一步发展，数据分析观念的重要性不言而喻。
6.运算能力。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
”关于这部分内容，我对曹老师在书中提到的我国计算教学重视精确计算，忽视估算的误区现状十分认同。
不仅如此，结合自己所教的“用估算解决问题”这部分知识，学生的表现也是不能真正理解估算方式存在的必要性，分不清何时选用估算、何时选用精算，甚至有学生干脆直接选择精算。
对此我进行反思，主要原因在于我个人对估算的价值认识不足，导致授课时没有真正突出估算的优势。
此外关于算法多样性与算法优化的方面，我个人其实是对现实教学中的算法多样性有所困惑的：在实际教学中有时会过分追求算法的多样化，然后在进行算法的优化，到底有没有必要将解决问题的所有可能性都展示出来呢？7.推理能力。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。
在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
”说来惭愧，作为一名数学老师，推理能力却一直是我的弱项，至今没能真正理解曹老师书中的这部分知识，不过根据曹老师的介绍将数学中的推理能力进行分类后，头脑中有了有关推理能力的框架。
8.模型思想《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
”在实际教学中却容易因为所选情境不合适导致建模障碍，需要进一步思考如何创建合适的情境。
此外，建模不是将方程、加法、乘法等模型分割的支离破碎，二是分中有合，合中有分，帮助学生感悟其内在的联系。
9.应用意识《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。
在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。
”数学源于生活却高于生活，如何培养学生的数学应用意识呢？曹老师给出以下几点建议：一是处理好数学应用意识与数学基础、数学能力的关系；二是有效沟通数学知识与现实世界的联系；三是逐步拓展数学的应用范围；四是引导学生利用所学数学知识解释现实现象；五是缩小教学问题情境与实际应用情境的差距。
9.创新意识。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。
”创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。
创新意识的培养是现代数学数学教育的基本任务。
对于培养小学生的数学创新意识，曹老师给出以下建议：一是营造宽松、民主、开放的教学环境；二是提供有利于激活学生潜能的刺激；三是强化获取知识与灵活应用知识解决问题的过程。
曹老师的这本著作将高大上的理论与接地气的实践相结合，真正地帮助一线数学教师解决了数学教什么、为何教、怎么教、怎么学的一系列问题，帮助教师将精力投入探寻返璞归真的路径与策略上去，可以称得上是数学教师专业成长路上的指路明灯。