中考数学平行四边形综合经典题及详细答案
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（1）如图1，若 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，若点 在射线 上，且 与 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明.
（3）如图3，若点 在射线 的反向延长线上，且 ， ，请直接写出线段 的长度.
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．
7．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．
（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°-45°=45°；
②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，
Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO+90°=112.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形OEFG是正方形，
∴ME= GE，
∵OG=2OD、OE=2OC，
∴CD∥GE，CD= GE，
∴CD=GE，
∴四边形CDME是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，
∵四边形ABCD是正方形，
（1）求AE、EF的位置关系；
（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝ ．
【解析】
【分析】
（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.
（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【解析】
【分析】
剪拼方法如图2-图4；
联想拓展：能，
剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．
．
点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
【详解】
（1）由折线法及点E是BC的中点，
∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，
∴△B'EC是等腰三角形，
又∵EF⊥B′C
∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，
即AE⊥EF；
（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，
∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∵四边形OEFG是正方形，
∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，
∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，
∴∠G′OD=∠E′OC，
∴∠AOG′=∠COE′，
在△AG′O与△ODE′中，
，
∴△AG′O≌△ODE′
∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，
（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME= GE，根据三角形的中位线的性质得到CD∥GE，CD= GE，求得CD=GE，即可得到结论；
（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°+45°=135°，
Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，
综上所述：若△AON是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．
∴EB＝EB′＝EC，
∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；
又∵△BB'C三内角之和为180°，
∴∠BB'C＝90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2
将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，
问题解决：
（ ）如图③，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴正半轴上， 轴， 轴，且 ， ，点 为五边形内一点．请问：是否存在过点 的直线 ，分别与边 与 交于点 、 ，且同时平分五边形 的面积和周长?若存在，请求出点 和点 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2） ， ；（3） ， ．
∴ ， .
∴ .
（2）如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴四边形 为正方形，
由（1）得： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3） ，
，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
的长度为 .
【点睛】
考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.
6．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．
【详解】
（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．
【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；
应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．
详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
【解析】
试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．
（2）连接AC，BD交于点 ，过 、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分．
（3）存在，直线 平分五边形 面积、周长．
试题解析：（ ）作图如下：
（ ）∵ ， ，
∴设 ，
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证四边形 为矩形，再证矩形 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点 作 于点 ， 于点 ，证四边形 为正方形，再证 ，可得；（3）根据 ，可得 .
【详解】
解：（1）∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形.
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形，
∵∠1=∠2，
∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，
∴AG′⊥DE′；
（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，
Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
（1）求证：四边形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】
（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
∵点E为CD的中点，∴DE=EC，
在△BCE与△FDE中， ，
∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，
又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．
∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；
（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，
在Rt△BAD中，AB= ，
∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF= =2 ．
5．已知 ，点 是 的角平分线 上的任意一点，现有一个直角 绕点 旋转，两直角边 ， 分别与直线 ， 相交于点 ，点 .
， ，
∴ ，
交 轴于 ，
交 于 ，
．
（ ）存在，直线 平分五边形 面积、周长．
∵ 在直线 上，
∴连 交 、 于点 、 ，
设 ， ，
， ，
∴直线 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ．
2．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
∴AO＝ cm，
∴BO＝ ＝ cm，
∴BB′＝2BO＝ cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C＝ ＝ cm，
由题意可知四边形OEFB′是矩形，
∴EF＝OB′＝ ，
∴S△B′EC＝ ．
【点睛】
考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．问题发现：
（ ）如图①，点 为平行四边形 内一点，请过点 画一条直线 ，使其同时平分平行四边形 的面积和周长．
问题探究：
（ ）如图②，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点 坐标为 ．已知点 为矩形外一点，请过点 画一条同时平分矩形 面积和周长的直线 ，说明理由并求出直线 ，说明理由并求出直线 被矩形 截得线段的长度．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【答案】(1)见解析；（2）18°.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．
（2）如图2，若点 在射线 上，且 与 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明.
（3）如图3，若点 在射线 的反向延长线上，且 ， ，请直接写出线段 的长度.
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．
7．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．
（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°-45°=45°；
②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，
Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO+90°=112.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形OEFG是正方形，
∴ME= GE，
∵OG=2OD、OE=2OC，
∴CD∥GE，CD= GE，
∴CD=GE，
∴四边形CDME是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，
∵四边形ABCD是正方形，
（1）求AE、EF的位置关系；
（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝ ．
【解析】
【分析】
（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.
（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【解析】
【分析】
剪拼方法如图2-图4；
联想拓展：能，
剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．
．
点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
【详解】
（1）由折线法及点E是BC的中点，
∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，
∴△B'EC是等腰三角形，
又∵EF⊥B′C
∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，
即AE⊥EF；
（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，
∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∵四边形OEFG是正方形，
∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，
∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，
∴∠G′OD=∠E′OC，
∴∠AOG′=∠COE′，
在△AG′O与△ODE′中，
，
∴△AG′O≌△ODE′
∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，
（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME= GE，根据三角形的中位线的性质得到CD∥GE，CD= GE，求得CD=GE，即可得到结论；
（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°+45°=135°，
Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，
综上所述：若△AON是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．
∴EB＝EB′＝EC，
∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；
又∵△BB'C三内角之和为180°，
∴∠BB'C＝90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2
将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，
问题解决：
（ ）如图③，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴正半轴上， 轴， 轴，且 ， ，点 为五边形内一点．请问：是否存在过点 的直线 ，分别与边 与 交于点 、 ，且同时平分五边形 的面积和周长?若存在，请求出点 和点 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2） ， ；（3） ， ．
∴ ， .
∴ .
（2）如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴四边形 为正方形，
由（1）得： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3） ，
，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
的长度为 .
【点睛】
考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.
6．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．
【详解】
（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．
【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；
应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．
详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
【解析】
试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．
（2）连接AC，BD交于点 ，过 、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分．
（3）存在，直线 平分五边形 面积、周长．
试题解析：（ ）作图如下：
（ ）∵ ， ，
∴设 ，
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证四边形 为矩形，再证矩形 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点 作 于点 ， 于点 ，证四边形 为正方形，再证 ，可得；（3）根据 ，可得 .
【详解】
解：（1）∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形.
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形，
∵∠1=∠2，
∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，
∴AG′⊥DE′；
（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，
Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
（1）求证：四边形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】
（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
∵点E为CD的中点，∴DE=EC，
在△BCE与△FDE中， ，
∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，
又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．
∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；
（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，
在Rt△BAD中，AB= ，
∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF= =2 ．
5．已知 ，点 是 的角平分线 上的任意一点，现有一个直角 绕点 旋转，两直角边 ， 分别与直线 ， 相交于点 ，点 .
， ，
∴ ，
交 轴于 ，
交 于 ，
．
（ ）存在，直线 平分五边形 面积、周长．
∵ 在直线 上，
∴连 交 、 于点 、 ，
设 ， ，
， ，
∴直线 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ．
2．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
∴AO＝ cm，
∴BO＝ ＝ cm，
∴BB′＝2BO＝ cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C＝ ＝ cm，
由题意可知四边形OEFB′是矩形，
∴EF＝OB′＝ ，
∴S△B′EC＝ ．
【点睛】
考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．问题发现：
（ ）如图①，点 为平行四边形 内一点，请过点 画一条直线 ，使其同时平分平行四边形 的面积和周长．
问题探究：
（ ）如图②，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点 坐标为 ．已知点 为矩形外一点，请过点 画一条同时平分矩形 面积和周长的直线 ，说明理由并求出直线 ，说明理由并求出直线 被矩形 截得线段的长度．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【答案】(1)见解析；（2）18°.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．