2020年天津市红桥区高考数学一模试卷
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (Word 含解析)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ） A ．M ∩N B ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝﹣x 2+1B ．y =1xC ．y ＝2﹣xD ．y ＝lnx3．方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（ ） A ．（0.5，1）B ．（1，1.5）C ．（1.5，2）D ．（2，2.5）4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π46．在△ABC 中，“A ＞π3”是“cos A ＜12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ） A ．95B ．185C ．65D ．2458．已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =09．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则AB→⋅AE→的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．i是虚数单位，则21+i=．11．函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为．13．（2√x−√x）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）＝f（x）﹣g （x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝4，C＝2B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin(2B−π4)的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b 2a 2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n b n，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【分析】根据元素之间的关系进行求解即可．解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，∴M∩N＝{5}，（∁U M）∩N＝{1，2}，M∩（∁U N）＝{3，4}，（∁U M）∩（∁U N）＝∅，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+1B．y=1x C．y＝2﹣x D．y＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=1x，为反比函数，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于C，y＝2﹣x＝（12）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．3．方程log2x+x＝2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）【分析】判断f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．解：设f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）＝0+1﹣2＝﹣1＜0，f （1.5）＝log 21.5﹣0.5＝log 21.5﹣log 2√2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f （x ）的零点在（1，1.5）区间 内 ∴方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（1，1.5） 故选：B ．4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积．解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，∴该圆柱的体积：V ＝Sh =π×(√32)2×1=3π4．故选：B ．5．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π4【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω＝2，现将y ＝sin （2x +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个g （x ）＝sin （2x +π4+φ）为偶函数，则φ+π4=kπ+π2（k ∈Z ），整理得φ＝k π+π4（k ∈Z ），当k＝0时，φ=π4．故选：B．6．在△ABC中，“A＞π3”是“cos A＜12”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．解：在三角形内0＜A＜π，由cos A＜12，则π3＜A＜π，则“A＞π3”是“cos A＜12”的充要条件，故选：C．7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．95B．185C．65D．245【分析】一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率P．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p=C31C21C52=35．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P（ξ＝0）＝（25）3=8125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝3）＝（35）3=27125．∴ξ的分布列为：ξ0 1 23P8125361255412527125∴E ξ＝0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8．已知双曲线x 2−y 2m=1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =0【分析】根据抛物线y 2＝8x 上的点P 满足|PF |＝5，可得P （3，±2√6），代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程． 解：∵点P 在抛物线y 2＝8x 上，|PF |＝5，∴P （x 0，y 0）满足x 0+p 2=5，得x 0＝5−p2=5﹣2＝3 因此y 02＝8x 0＝24，得y 0＝±2√6∴点P （3，±2√6）在双曲线x 2−y 2m=1上可得9−24m=1，解之得m ＝3 ∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3，渐近线方程为y ＝±bx a，即y ＝±√3x故选：C ．9．如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠DAB ＝60°，E 为CD 的中点，则AB →⋅AE →的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】利用平面向量的加法运算可知，AE →=AD →+12AB →，代入AB →⋅AE →，并结合数量积的运算即可得解．解：∵菱形ABCD ，∴AD ＝AB ＝1，AB →⋅AE →=AB →⋅(AD →+DE →)=AB →⋅(AD →+12AB →)=AB →⋅AD →+12|AB →|2=1×1×cos60°+12×1=1．故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．i 是虚数单位，则21+i= 1﹣i ．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式． 解：∵21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1﹣i ，∴21+i=1﹣i ，故答案为：1﹣i11．函数f （x ）＝x 2e x 的单调减区间是 （﹣2，0） ．【分析】先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间．解：函数f （x ）＝x 2e x 的导数为y ′＝2xe x +x 2e x ＝xe x （x +2）， 令y ′＜0，解得﹣2＜x ＜0，故函数的单调减区间是 （﹣2，0）， 故答案为 （﹣2，0）．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0所截得的弦长为 2√3 ．【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长． 解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，圆心为（0，2），半径r ＝2 圆心到直线的距离为|2+0|2=1，则l2=√4−1=√3；∴弦长l ＝2√3 故答案为：2√313．（2√x −√x）6的二项展开式中的常数项为 ﹣160 （用数字作答）．【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项． 解：（2√x 1√x ）6展开式的通项为T r +1＝C 6r •（2√x ）6﹣r •（1√x）r ＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r •x 3﹣r ，令3﹣r ＝0，可得r ＝3，其常数项为T 4＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r ＝﹣160；故答案为﹣160．14．若4x +4y ＝1，则x +y 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．【分析】由4x +4y ＝1，得（2x ）2+（2y ）2＝1，利用三角代换设2x ＝sin α，2y ＝cos α，所以2x+y =12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x +y 的范围． 解：∵4x +4y ＝1，∴（2x ）2+（2y ）2＝1， 设2x ＝sin α，2y ＝cos α，∴2x ⋅2y =2x+y =sinα⋅cosα=12sin2α ≤12，∴0＜2x+y ≤12， ∴x +y ≤﹣1，∴x +y 的取值范围是：（﹣∞，﹣1]， 故答案为：（﹣∞，﹣1]．15．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f （x ）与g （x ）在[a ，b ]上是“关联函数”．若f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是 [32，103） ．【分析】由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；作函数的图象求解．解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点； 即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；∵k ′（x ）＝﹣x 2+x +2＝﹣（x +1）（x ﹣2）； ∴k （x ）在[0，2]上递增，在[2，3]上递减； 且k （0）＝0，k （2）=103，k （3）=32； 故实数m 的取值范围是：[32，103）．故答案为：[32，103）．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝4，C ＝2B ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2B −π4)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c ＝2b cos B ，结合已知可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin （2B −π4）的值． 解：（Ⅰ）因为C ＝2B ， 所以sin C ＝sin2B ， 可得sin C ＝2sin B cos B ， 可得c ＝2b cos B ， 因为b ＝3，c ＝4， 所以cosB =23．（Ⅱ）由cosB =23，可得sinB =√53，因为sin2B =2sinBcosB =4√59，cos2B ＝cos 2B ﹣sin 2B =−19，故sin （2B −π4）＝sin2B cos π4−cos2B sinπ4=4√10+√218． 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ＝2AD ，PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点． （Ⅰ）证明：PA ∥平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M ﹣NC ﹣D 的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明MN ∥PA ，然后证明PA ∥平面MNC ．（Ⅱ）以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），求出平面MNC 的法向量，设直线PB 与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． （Ⅲ）求出平面NCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为PN ＝ND ，DM ＝MA ，所以MN ∥PA ， 且PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA ∥平面MNC ． （Ⅱ）解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD ，则以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），设AD ＝2，可得A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），N （0，0，2），M （1，0，0），P （0，0，4）．向量PB →=(2，2，−4)，NC →=(0，2，−2)，MN →=(−1，0，2)．设n →=(x ，y ，z)为平面MNC 的法向量， 则{NC →⋅n →=0MN →⋅n →=0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y ＝1，可得n →=(2，1，1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 于是有sinα=cos〈n →⋅PB →〉=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=16． （Ⅲ）解：因为AD →=(1，0，0)为平面NCD 的法向量， 所以cos〈DA →⋅n →〉=DA →⋅n→|DA →|⋅|n →|=√63．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b2a2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．【分析】（Ⅰ）求出右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离解得c ＝2，利用离心率，求出a ，然后求解b ，即可得到椭圆方程． （Ⅱ）设l AB ：y ＝kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD=−b2a2，结合S ABCD ＝4S △AOB ，转化求解即可． 解：（Ⅰ）因为右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离为d =√2=2√2， 解得c ＝2，e =√22=c a ，a 2＝b 2+c 2，a =2√2，b =2，所以x 28+y 24=1．（Ⅱ）证明：设l AB ：y ＝kx +m ，代入x 28+y 24=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1⋅x 2=2m 2−81+2k2，因为k AC ⋅k BD=−b2a2，得x 1•x 2＝﹣2y 1•y 2，即x 1•x 2＝﹣2（kx 1+m ）（kx 2+m ）， 解得m 2＝4k 2+2， 因为S ABCD ＝4S △AOB ， 且S △AOB =12|AB|d ，又|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，d =√1+k，整理得S △AOB=12|m|√16k 2m 2(1+2k 2)2−8(m 2−4)1+2k 2=2√2， 所以S ABCD =4⋅2√2=8√2为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n bn，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7．∴a 1＝﹣1，b 1＝2，﹣1+2d +2q ＝﹣1，3×（﹣1）+3d +2×2×q 2＝7， 解得d ＝﹣2，q ＝2．∴a n ＝﹣1﹣2（n ﹣1）＝1﹣2n ，b n ＝2n ． （2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．①n ＝2k （k ∈一、选择题*）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ＝（c 1+c 3+…+c 2k ﹣1）+（c 2+c 4+…+c 2k ） ＝2k +（32+723+⋯+4k−122k−1），令A k =32+723+⋯+4k−122k−1， ∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1，∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1， 可得A k =269−12k+139×22k−1． ∴T n ＝T 2k ＝2k +269−12k+139×22k−1． ②n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ﹣2+a 2k ﹣1＝2（k ﹣1）+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2＝2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1，n =2k 2k +269−12k+19×22k−3，n =2k −1，k ∈N *． 20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由f （x ）＝x 2+2x +alnx （a ∈R ），知f′(x)=2x 2+2x+a x，设g （x ）＝2x 2+2x +a ，由函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围． （2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1），即2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1），令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围． 解：（1）函数f （x ）的定义域是（0，+∞） ∵f （x ）＝x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x（x ＞0），设g （x ）＝2x 2+2x +a ，则g （x ）=(x +12)2−12+a ，∵函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数， ∴g （0）≥0，或g （1）≤0， ∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a |a ≥0，或a ≤﹣4}．（2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1） ∴2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1）令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），则问题可化为h （t 2）≥h （2t ﹣1） ∵t ≥1，∴t 2≥2t ﹣1要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可即h ′（x ）＝2−ax ≥在[1，+∞）上恒成立，即a ≤2x 在[1，+∞）上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=32， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r=（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APnAP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、33⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122n n n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122n n b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 设集合U ={1,2，3，4，5}，M ={1,2，3}，N ={2,5}，则M ∩(∁U N)等于( )A. {2}B. {2,3}C. {3}D. {1,3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. y =1xB. y =x 2C. y =2|x|D. y =cosx 3. 函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在区间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (0,12)D. (12,1) 4. 已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时该圆柱的体积为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π 5. 将函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于( )A. 5B. 6C. 7D. 8 6. “x >π6”是“sinx >12”的( )A. 充分不必要条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件7. 已知某口袋中有3个白球和n 个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是ξ，若E(ξ)=3，则D(ξ)= ( )A. 1B. 12C. 32D. 2 8. 已知双曲线x 2a 2−y 23=1，(a >0)的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( ) A. y =±12x B. y =±√3x C. y =±√33x D. y =±√32x 9. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. 4−2√3 C. −2 D. 4+2√3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设i 为虚数单位，则复数2i 1−i 的虚部为______．11. 函数f(x)=xe x−2−2的单调减区间为__________．12. 设倾斜角为60°的直线l 过点(1,0)且与圆C ：x 2+y 2−4x =0相交，则圆C 的半径为______；圆心到直线l 的距离是______；直线l 被圆截得的弦长为______．13. (√x −2√x 3)5的展开式中的常数项是______(用数字作答)． 14. 已知函数f (x )=sinxcosx ，则f (−1)+f (1)=________．15. 函数f(x)=3x −16在[2,5]上有________个零点．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60°．(1)求BC 的长；(2)求sin2C 的值．17. 如图，四棱锥A −BCDE 中，AE ⊥底面BCDE ，底面BCDE 是直角梯形，BE//CD ，∠BED =90°，AD =CD =2BE =2．(1)若F 为AD 的中点，证明：EF//平面ABC ；(2)若直线AB与底面BCDE所成角为45°，求二面角B−AC−D的正弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过P(0,√32b)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，N.当k=0时，四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为2516π的圆上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若|PM|⋅|PN|=37|MN|，求直线l的方程．19.已知数列{a n}为等差数列，且32，3，a4，a10成等比数列．(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)求数列{2a n(a n+n)}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+a)−x，a∈R．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；x2>1恒成立，求实数a的取值范围．(2)若x≥1时，不等式e f(x)+a2-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∁U N={1,3，4}，则M∩(∁U N)={1,3}，故选：D．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：解：A．y=1x是奇函数，∴该选项错误；B.y=x2在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；C.y=2|x|在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；D.y=cosx为偶函数，在(0,1)上单调递减，∴该选项正确．故选：D．可判断y=1x为奇函数，从而得出A错误，y=x2和y=2|x|在(0,1)上都单调递增，从而得出B，C都错误，从而选D．考查奇函数、偶函数的定义及判断方法，二次函数、指数函数以及余弦函数的单调性．3.答案：A解析：本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．根据函数零点的判定定理即可得到结论．解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且函数f(x)单调递增，∵f(1)=log21−1=−1<0，f(2)=log22−12=1−12=12>0，∴在(1,2)内函数f(x)存在零点，故选：A4.答案：B解析：本题考查了圆柱的的侧面积与体积，属于中档题，根据相似可得AO1=2r，再由圆柱侧面积为4π可得r和h，即可得出圆柱的体积．解：圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，0<r<2.由题意可知△AO1D∽△AO2C，则有AO1O1D=AO2O2C=2，所以AO1=2r，则圆柱的高ℎ=4−2r，其侧面积S=2πr(4−2r)=4π(−r2+2r)=4π，解得r=1.当r=1时，ℎ= 2，所以该圆柱的体积V=πr2ℎ=2π．故选B．5.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得ω的可能取值．解：由题意可知：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，可得：f(x+π2)=sin[ω(x+π2)+φ]=sin(ωx+π2ω+φ)，与原图象重合，即φ=π2ω+φ+2kπ，k∈Z，解得：ω=−4k ，k ∈Z ，当k =−2时，ω=8，故选：D ．6.答案：D解析：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．解：sinx >12，解得π6+2kπ<x <5π6+2kπ,k ∈Z ，x >π6时，sinx ∈[−1,1]∴“x >π6”是“sinx >12”的既不充分也不必要条件．故选D ． 7.答案：A解析：本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望与方差计算，属于中档题．求出ξ的分布列，代入数学期望公式计算n ，再代入方差公式计算方差．解：ξ的可能取值为2，4，且P(ξ=2)=33+n ，P(ξ=4)=n 3+n ，∴Eξ=2×33+n+4×n 3+n =3，解得n =3． ∴P(ξ=2)=12，P(ξ=4)=12， ∴Dξ=(2−3)2×12+(4−3)2×12=1．故选A ． 8.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质以及双曲线、抛物线的标准方程，注意求出抛物线的焦点坐标．根据题意，求出抛物线的焦点坐标，则可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a 的值，即可得双曲线的标准方程，由双曲线渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，抛物线的方程为：y 2=8x ，其焦点坐标为(2,0)，若双曲线x 2a 2−y 23=1的一焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为(±2,0)，则有3+a 2=4，解可得a =1，故其渐近线方程为：y =±√3x ；故选B ．9.答案：A解析：解：∵在菱形ABCD 中，边长为2，∠BAC =60°，∴AC =BC =2，∠ACB =60°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=2×2×12=2， 故选：A ．根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题10.答案：1解析：解：∵2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，∴此复数的虚部是1；故答案为：1．对所给的复数分子、分母同乘以1+i ，利用i 2=−1进行化简，整理出实部和虚部．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值． 11.答案：(−∞,−1)解析：本题考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．解：由题意可得f′(x)=e x−2+xe x−2=e x−2(1+x)，当x ∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,−1)上单调递减．故答案为(−∞,−1)．12.答案：2 √32√13解析：解：整理圆的方程为(x −2)2+y 2=4，圆心为(2,0)，半径r =2，倾斜角为60°的直线l 过点(1,0)，方程为y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0，圆心到直线l 的距离是d =√33+1=√32， ∴直线l 被圆截得的弦长为2√4−34=√13， 故答案为：2，√32，√13． 先整理圆的方程求得圆心坐标和半径，再根据题意求得直线的方程，利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用． 13.答案：−80解析：解：(√x √x 3)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(√x)5−r ⋅(−1)r ⋅(√x 3)r =(−2)r ⋅C 5r ⋅x 15−5r6，令15−5r =0，解得r =3，故展开式中的常数项为−80．故答案为：−80．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 14.答案：0解析：本题考查了函数的概念及函数的定义域与值域，三角函数二倍角公式，属于基础题．解：∵f(x)=sin (x )cos (x )=12sin (2x )，∴f(−1)+f(1)=12sin (−2)+12sin (2)=0，故答案为0．15.答案：0解析：本题考查函数零点与方程根的关系，由已知求出3x−16=0的解即可求解．解：因为3x−16=0的解x=163>5，所以函数f(x)=3x−16在[2,5]上有0个零点．故答案为0．16.答案：解：(1)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=4+9−2×2×3×12=7，因为BC>0，所以BC=√7．(2)由余弦定理可得：，则．因此sin2C=2sinCcosC=2×√217×2√77=4√37．解析：本题考查余弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．(1)直接利用余弦定理求解即可．(2)利用余弦定理求出C的余弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．17.答案：解：(1)取AC中点G，连接BG，FG，则FG=//12CD．∵BE=//12CD，∴BE=//FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF//BG，∵EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)已知AE ⊥底面BCDE ，且BE ，DE ⊂底面BCDE ，所以AE ⊥BE ，AE ⊥DE ，又∠BED =90°，由已知可得∠ABE 即为直线AB 与底面BCDE 所成角，∴∠ABE =45°，AE =1，DE =√3， 建立如图所示空间直角坐标系E −xyz ，则A(1,0，0)，D(0,√3,0)，B(0,0，1)，C(0,√3,2)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0, 取m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,√3)，同理平面ADC 的法向量为n ⃗ =(√3,1,0)，，∴二面角B −AC −D 的正弦值为√427．解析：本题考查线面平行的判定，利用空间向量求二面角．(1)取AC 中点G ，连接BG ，FG ，证明四边形BEFG 为平行四边形，则EF//BG ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)由已知可得∠ABE 即为直线AB 与底面BCDE 所成角，建立空间直角坐标系E −xyz ，写出相关点的坐标，得到相关的向量，求出平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ ，平面ADC 的法向量n ⃗ ，则，即可得到二面角B −AC −D 的正弦值．18.答案：解：(Ⅰ)当k =0时，直线l//x 轴，又四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为2516π的圆上，∴四边形MNF1F2为矩形，且|MF1|=52．∴点M的坐标为(c,b2a)．又b2a =√32b，∴ba =√32．设a=2k,b=√3k，则c=k．在Rt△MF1F2中，|MF2|=32k，|F1F2|=2k，∴|MF1|=52k=52，∴k=1．∴a=2,b=√3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1．(Ⅱ)将l：y=kx+32与椭圆方程联立得(3+4k2)x2+12kx−3=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得x1+x2=−12k3+4k2，x1x2=−33+4k2．故|PM|⋅|PN|=√1+k2⋅|x1−0|⋅√1+k2⋅|x2−0|=(1+k2)|x1x2|=3+3k23+4k2．又|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√192k2+363+4k2，∴3+3k23+4k2=37⋅√1+k2⋅√192k2+363+4k2，即7√1+k2=√192k2+36，解得k=±√1111，∴直线l 的方程为y =±√1111x +32．解析：(Ⅰ)当k =0时，直线l//x 轴，推出点M 的坐标为(c,b 2a)，设a =2k,b =√3k ，则c =k ．|MF 1|=52k =52，求出a ，b 然后求解椭圆C 的方程． (Ⅱ)将l ：y =kx +32与椭圆方程联立得(3+4k 2)x 2+12kx −3=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用韦达定理以及弦长公式，通过|PM|⋅|PN|=37|MN|，求出k ，即可求解直线l 的方程．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力． 19.答案：解：(Ⅰ)∵32，3，a 4，a 10成等比数列．∴公比为332=2．∴a 4=32×22=6，a 10=32×23=12． 设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =6a 1+9d =12，解得{a 1=3d =1， 于是a n =3+(n −1)=n +2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2an (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2， 于是S n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2，=n 2n+4．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由32，3，a 4，a 10成等比数列．可得公比为2.再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2a n (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，利用“裂项求和”即可得出． 20.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x>2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x≥1时，x+a>0恒成立，故a>−1，①，不等式e f(x)+a2x2>1恒成立，即a2x2+x+ae x−1>0对任意的x≥1恒成立，设g(x)=a2x2+x+ae−1，x≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a≤0时，g(2)=a(2+1e2)−1+2e2<0，不合题意，a>0时，要使x≥1时，不等式e f(x)+a2x2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e)−1+1e>0，即a>2(e−1)e+2，a>2(e−1)e+2时，ae x x−x+1−a=a(e x x−1)+1−x>2(e−1)e+2(e x x−1)+1−x，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x−1)+1−x，x≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x+2(e−1)e+2e x−1，x≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x−x+1−a>0，②，由①②得：a>2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a2x2+x+ae−1>0对任意的x≥1恒成立，设g(x)=a2x2+x+ae−1，x≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．。
2020届天津市红桥区高考数学一模试题
2020届天津市红桥区高考数学一模试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+1B．C．y＝2﹣x D．y＝lnx3．（5分）方程log2x+x＝2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）4．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．5．（5分）已知函数y＝sin（ωx+φ）的两条相邻的对称轴的间距为，现将y＝sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0D．6．（5分）在△ABC中，“A＞”是“cos A＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线与抛物线y2＝8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．D．9．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．（5分）i是虚数单位，则＝．11．（5分）函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．12．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为．13．（5分）（）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14．（5分）若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若与在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝4，C＝2B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求的值．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD 为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．18．（15分）已知椭圆的离心率，且右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若，证明：四边形ABCD的面积为定值．19．（15分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1＝﹣2a1＝2，a3+b2＝﹣1，S3+2b3＝7．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．20．（15分）已知函数f（x）＝x2+2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．。
天津市红桥区2020届高三第一次模拟考试数学试题及参考答案
高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！ 参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为(A) MN (B) N M C U )((C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x=(C) 2xy -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B)4π(C)2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4(C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(A)59 (B) 518(C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是BCDEA(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 是虚数单位，则21i=+______. （11）函数xe x xf ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y+=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD PD 2=,CD PD ⊥,AD PD ⊥,底面ABCD 为正方形，N M ,分别为PD AD ,的中点.（Ⅰ）证明：PA //平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D NC M --的余弦值.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BD AC -=⋅，证明：四边形ABCD 的面积为定值.CD MP（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学 参考答案二、填空题 每题5分10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 13. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为B C 2=，所以B C 2sin sin =，..........1分B BC cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分且3b =，4=c ， 所以32cos =B . ..........................7分因为954cos sin 22sin ==B B B ..................................9分 91sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分故4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B -=-...............13分182104+=。
天津市红桥区2020届高三下学期高考第一次模拟考试数学试题
高三数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1.设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =（ ）A. {}1|0x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|1x x ≥D.{}|0x x >【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =<所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A. 12y x = B. 2x y =C. 12log y = xD. 1y x=-【答案】C 【解析】 分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.3.已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据与中间值0，1的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】因为1021122ln ln 1,log 5log 10,01e ee π->=<=<<=，所以a c b >>. 故选：D【点睛】本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题. 4.设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件【答案】B 【解析】 【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A. 800B. 1000C. 1200D. 1600【答案】B 【解析】 【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.6.已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=-D. 3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.7.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A∴为圆心||2c OA =．,22c c P⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8.已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. 2121n -+B. 2121n --C. 221n +D. 221n -【答案】D 【解析】试题分析：因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+，即1141n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以114a +=为首项，公比为4的等比数列，所以1214442n n n n a -+=⨯==，即221nn a =-，所以数列{}n a 的通项公式是221nn a =-，故选D ．考点：数列的通项公式．9.已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A. 1,0a b <-<B. 1,0a b <->C. 1,0a b >-<D. 1,0a b >->【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是__． 【答案】2 【解析】 【分析】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案. 【详解】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，又复数z 为纯虚数， 所以20a -=，解得2a =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题. 11.在82x x的展开式中，x 的系数等于__．【答案】7 【解析】 【分析】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，即可得到本题答案.【详解】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，得x 的系数338172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.12.一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 【答案】310【解析】 【分析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有1226C C 种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有2126C C 种情况，又从中任意摸取3个小球，有310C 种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率12212626310310C C C C P C +==. 故答案为：310【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 13.曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】因为2(1)x y x e =+，所以()221xy x x e =++'，从而切线的斜率1k =， 所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题. 14.已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是__． 【答案】261+． 【解析】 【分析】 因为1132(2)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】由35x y xy +=，得135y x+=， 所以1131616262(2)5(52)15555x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当6x y =，取等号.故答案为：261+ 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力. 15.已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且已知向量a ，b 的夹角为60︒，()()0a c b c --=，则||c 的最小值是__． 【答案】197- 【解析】 【分析】求||c 的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小距离，由此即可得到本题答案.【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===， 由题，得,||2,||3,,,23cos6033AOB OA OB CA a c CB b c a b π︒∠====-=-⋅=⨯⨯=，又()()0a c b c -⋅-=，所以CA CB ⊥，则点C 在以AB 为直径的圆上， 取AB 的中点为M ，则1()2OM OA OB =+， 设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，则||c 的最小值是||OE ，因为222111||()2422OM OA OB OA OA OB OB =+=+⋅+==又AB ===， 所以||c 的最小值是1||2OE OM ME OM AB =-=-=【点睛】本题主要考查向量综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．【答案】（Ⅰ）b 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； （Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【详解】（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =， 又3a =，所以1c =，所以根据余弦定理得，229136b +-=，解得，b =（Ⅱ）因为2cos 3B =，所以sin B =， 21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==则111cos(2)sin 2()6292B B B π-+=-+=． 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.17.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n n T S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <．【答案】（Ⅰ）2n n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案；（Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1nS ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列()*n N ∈，12a =，可设公比为q ，0q >，又1322,,3a a a 成等差数列，所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯，解得2q 或12q =-（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n n n b a n ===，1(1)2n S n n =+，12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则12311111111112(1)2(1)22311n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <≤+，所以112121n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭即12n T ≤<.【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(1,2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2|MN ||OQ |的值． 【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）1 【解析】【分析】（Ⅰ）由题，得c e a ==，221123a b +=，解方程组，即可得到本题答案； （Ⅱ）设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =，联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2244||2m MN m +==+，由此即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）由题可得c e a ==，即2212c a =，2212b a =，将点1,2⎛ ⎝⎭代入方程得221123a b +=，即22131a a +=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，F设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =， 联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22220m y ++-=， 设()()1122,,,M x y N x y，则1212222y y y y m +==-+，所以2244||2m MN m +==+， 所以2222244||2144||2m MN m m OQ m ++==++． 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.19.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：21143nk k a =<∑． 【答案】（Ⅰ）12n n a ，*n N ∈．（Ⅱ）见解析【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分1n =和2n ≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由题，得121211111()(2)44n n n n a ---===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）解：由题，得当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n 时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理，得12n n a a -=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴==，n *∈N ；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，121211111()(2)44n n n n a ---===， 故22221121111n k kn a a a a ==++⋯+∑ 1211111()()()444n -=+++⋯+ 11()4114n-=- 4414()3343n =-<． 故得证．【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.20.已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．【答案】（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由11()1x f x x x-'=-=，令()0f x '>，得增区间为()0,1，令()0f x '<，得减区间为(1,)+∞，所以有极大值(1)0f =，无极小值；（Ⅱ）由11()ax f x a x x -'=-=，分10a e <，1a ≥和11a e<<三种情况，考虑函数()f x 在区间[1,]e 上的值域，即可得到本题答案.【详解】()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()'0f x >，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =时，函数取得极大值(1)0f =，没有极小值；函数的增区间为()0,1，减区间为(1,)+∞，11()()ax II f x a x x-'=-=， 当10a e<时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递增，(1)()()f f x f e ≤≤即函数的值域为[0,1]a ae +-；当1a ≥时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递减， ()()(1)f e f x f ≤≤即函数的值域为[1,0]a ae +-；当11a e <<时，易得1[1,)x a ∈时，()'0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增，1,x e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 在[1,]e 上单调递减，故当1x a=时，函数取得最大值1()1f lna a a =--+，最小值为(1)0f =，()1f e a ae =+-中最小的， ()i 当111a e e <-时，()(1)f e f ≥，最小值(1)0f =； ()ii 当111a e <<-，()(1)f e f <，最小值()1f e a ae =+-； 综上，当10ae <时，函数值域为[0,1]a ae +-，当111a e e <-时，函数的值域[0,ln 1]a a --+， 当111a e <<-时，函数的值域为[1,ln 1]a ae a a +---+， 当1a ≥时，函数的值域为[1,0]a ae +-.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.。
【附加15套高考模拟】 天津市2020年红桥区高三年级模拟考试(一)理科数学试题含答案
降雨量
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
亩产量
500
700
600
400
18．（12 分）已知函数 f (x) | x 2 | | 2x 1| .求不等式 f (x) 3 的解集；若不等式 f (x) ax 的解集为 空集，求实数 a 的取值范围.
19．（12 分）按国家规定，某型号运营汽车的使用年限为 8 年．某二手汽车交易市场对 2018 年成交的该
2．如图，网格纸中小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．32 B．20 C．10 D．8
3．已知圆 C ： x2 y2 4x 3 0 ，则圆 C 关于直线 y x 4 的对称圆的方程是（ ）
A． (x 4)2 ( y 6)2 1
B． (x 6)2 ( y 4)2 1
位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
假设每年的降雨天气相互独立，求 S 镇未来三年里至少有两年的降雨
量不超过 350mm 的概率；在 S 镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总 利润为 31.1 万元．而乙品种水果的亩产量 m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品 种水果的单位利润为 32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使 利润 ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
1,2 以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 2 3 ；两人滑雪时间都不会超过 3 小时.求甲、乙两人所付滑雪费
用相同的概率；设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E ．
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷(附答案详解)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={3,4,5}，N ={1,2,5}，则集合{1,2}可以表示为( )A. M ∩NB. (∁U M)∩NC. M ∩(∁U N)D. (∁U M)∩(∁U N)2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =−x 2+1B. y =1xC. y =2−xD. y =lnx 3. 方程log 2x +x =2的解所在的区间为( )A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)4. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. π4 5. 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A. 3π4 B. π4C. 0D. −π4 6. 在△ABC 中，“A >π3”是“cosA <12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，则ξ的期望为( )A. 95B. 185C. 65D. 245 8. 已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2=8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为( )A. x ±2y =0B. 2x ±y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =09. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( )A. 1B. −1C. 2D. −2二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，则21+i=______．11.函数f(x)=x2e x的单调减区间是______．12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为______ ．13.(2√x−1√x)6的二项展开式中的常数项为______ (用数字作答)．14.若4x+4y=1，则x+y的取值范围是______．15.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)=1 3x3+m与g(x)=12x2+2x在[0,3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=4，C=2B．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)求sin(2B−π4)的值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(Ⅰ)证明：PA//平面MNC；(Ⅱ)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；(Ⅲ)求二面角M−NC−D的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，且右焦点到直线x−y+2=0的距离为2√2．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若k AC⋅k BD=−b2a2，证明：四边形ABCD的面积为定值．19.已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1=−2a1=2，a3+b2=−1，S3+2b3=7．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n={2,n为奇数−2a nb n,n为偶数，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=x2+2x+alnx．(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当t≥1时，不等式f(2t−1)≥2f(t)−3恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={3,4,5}，N={1,2,5}，∴M∩N={5}，(∁U M)∩N={1,2}，M∩(∁U N)={3,4}，(∁U M)∩(∁U N)=⌀，故选：B根据元素之间的关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=−x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；，为反比函数，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于B，y=1x)x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=2−x=(12对于D，y=lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设f(x)=log2x+x−2，在(0,+∞)上单调递增．∵f(1)=0+1−2=−1<0，f(1.5)=log21.5−0.5=log21.5−log2√2>0∴根据函数的零点存在性定理得出：f(x)的零点在(1,1.5)区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为(1,1.5)判断f(x)=log 2x +x −2，在(0,+∞)上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f(1)⋅f(1.5)<0，可得出f(x)的零点在(1,1.5)区间内，即可得出答案．本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，属于基础题．根据题意，可得该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：如图所示：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32， ∴该圆柱的体积：V =π×(√32)2×1=3π4．故选B ．5.【答案】B【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2， 现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数，则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)，当k =0时，φ=π4．直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：在三角形内0<A <π，由cosA <12，则π3<A <π，则“A >π3”是“cosA <12”的充要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的定义是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率p.ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3).由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：一次摸球中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p =C 31C 21C 52=35． ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P(ξ=0)=(25)3=8125，P(ξ=1)=C 31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P(ξ=2)=C 32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P(ξ=3)=(35)3=27125．∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8.【答案】C【解析】解：∵点P 在抛物线y 2=8x 上，|PF|=5，∴P(x 0,y 0)满足x 0+p 2=5，得x 0=5−p 2=5−2=3因此y 02=8x 0=24，得y 0=±2√6 ∴点P(3,±2√6)在双曲线x 2−y 2m=1上 可得9−24m =1，解之得m =3∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a =1，b =√3，渐近线方程为y =±bxa ，即y =±√3x故选：C 根据抛物线y 2=8x 上的点P 满足|PF|=5，可得P(3,±2√6)，代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线与抛物线交于点P ，在已知抛物线的焦半径PF 长的情况下，求双曲线的渐近线，考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵菱形ABCD ，∴AD =AB =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×1×cos60°+12×1=1． 故选：A ．利用平面向量的加法运算可知，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并结合数量积的运算即可得解．本题考查平面向量的加法和数量积运算，考查学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】1−i【解析】解：∵21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴21+i =1−i ，故答案为：1−i先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目．11.【答案】(−2,0)【解析】解：函数f(x)=x 2e x 的导数为y′=2xe x +x 2e x =xe x (x +2)，令y′<0，解得−2<x <0，故函数的单调减区间是(−2,0)，故答案为(−2,0)．先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．12.【答案】2√3【解析】解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+(y −2)2=4，圆心为(0,2)，半径r =2圆心到直线的距离为|2+0|2=1， 则l 2=√4−1=√3；∴弦长l =2√3故答案为：2√3先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用．13.【答案】−160【解析】【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题．【解答】解：(2√x√x )6展开式的通项为T r+1=C6r⋅(2√x)6−r⋅√x)r=(−1)r⋅C6r⋅26−r⋅x3−r，令3−r=0，可得r=3，其常数项为T4=(−1)r⋅C6r⋅26−r=−160；故答案为−160．14.【答案】(−∞,−1]【解析】解：∵4x+4y=1，∴(2x)2+(2y)2=1，设2x=sinα，2y=cosα，∴2x⋅2y=2x+y=sinα⋅cosα=12sin2α≤12，∴0<2x+y≤12，∴x+y≤−1，∴x+y的取值范围是：(−∞,−1]，故答案为：(−∞,−1]．由4x+4y=1，得(2x)2+(2y)2=1，利用三角代换设2x=sinα，2y=cosα，所以2x+y=12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x+y的范围．本题主要考查了三角代换求范围，是中档题．15.【答案】[32,103) 【解析】解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0,3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y =m 与k(x)=−13x 3+12x 2+2在[0,3]上有两个交点；∵k′(x)=−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)；∴k(x)在[0,2]上递增，在[2,3]上递减；且k(0)=0，k(2)=103，k(3)=32； 故实数m 的取值范围是：[32,103).故答案为：[32,103).由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y =m 与k(x)=−13x 3+12x 2+2在[0,3]上有两个交点；作函数的图象求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为C =2B ，所以sinC =sin2B ，可得sinC =2sinBcosB ，可得c =2bcosB ，因为b =3，c =4，所以cosB =23．(Ⅱ)由cosB =23，可得sinB =√53， 因为sin2B =2sinBcosB =4√59， cos2B =cos 2B −sin 2B =−19，故sin(2B −π4)=sin2Bcos π4−cos2Bsin π4=4√10+√218．【解析】(Ⅰ)由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c =2bcosB ，结合已知可求cosB 的值．(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin(2B −π4)的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以MN//PA ，又PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA//平面MNC ．(Ⅱ)解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD =D ，所以PD ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，则以点D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz(如图)，设AD =2，可得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，N(0,0,2)，M(1,0,0)，P(0,0,4)．向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−4)，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)． 设n⃗ =(x,y,z)为平面MNC 的法向量， 则{NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y =1，可得n⃗ =(2,1,1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，于是有sinα=|cos⟨n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16． (Ⅲ)解：因为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面NCD 的法向量，所以cos⟨m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63． 由图观察可知二面角M −NC −D 的平面角为锐角，则二面角M−NC−D的余弦值为√63．【解析】【试题解析】本题考查直线与平面所成角、二面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)证明MN//PA，然后证明PA//平面MNC．(Ⅱ)以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量，设直线PB与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．(Ⅲ)求出平面NCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．18.【答案】解：(Ⅰ)因为右焦点(c,0)c>0，到直线x−y+2=0的距离为d=√2=2√2，解得c=2，e=√22=ca，a2=b2+c2，a=2√2,b=2，所以x28+y24=1．(Ⅱ)证明：设l AB：y=kx+m，代入x28+y24=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0，则x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−81+2k2，因为k AC⋅k BD=−b2a2，得x1⋅x2=−2y1⋅y2，即x1⋅x2=−2(kx1+m)(kx2+m)，解得m2=4k2+2，因为S ABCD=4S△AOB，且S△AOB=12|AB|d，又|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2，d=√1+k2，整理得S△AOB=12|m|√16k2m2(1+2k2)2−8(m2−4)1+2k2=2√2，所以S ABCD=4⋅2√2=8√2为定值．【解析】(Ⅰ)求出右焦点(c,0)c>0，到直线x−y+2=0的距离解得c=2，利用离心率，求出a，然后求解b，即可得到椭圆方程．(Ⅱ)设l AB ：y =kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD =−b 2a 2，结合S ABCD =4S △AOB ，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q >0， 且b 1=−2a 1=2，a 3+b 2=−1，S 3+2b 3=7．∴a 1=−1，b 1=2，−1+2d +2q =−1，3×(−1)+3d +2×2×q 2=7， 解得d =−2，q =2．∴a n =−1−2(n −1)=1−2n ，b n =2n ．(2)c n ={2,n 为奇数2n−12n−1,n 为偶数． ①n =2k(k ∈N ∗)时，数列{c n }的前n 项和T n =T 2k =(c 1+c 3+⋯+c 2k−1)+(c 2+c 4+⋯+c 2k )=2k +(32+723+⋯+4k−122k−1)， 令A k =32+723+⋯+4k−122k−1，∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1， ∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1，可得A k =269−12k+139×22k−1．∴T n =T 2k =2k +269−12k+139×22k−1．②n =2k −1(k ∈N ∗)时，数列{c n }的前n 项和T n =T 2k−2+a 2k−1=2(k −1)+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2=2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1,n =2k 2k +269−12k+19×22k−3,n =2k −1，k ∈N ∗．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q >0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2)c n ={2,n 为奇数2n−12n−1,n 为偶数.对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)∵f(x)=x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x (x >0)，设g(x)=2x 2+2x +a ，则g(x)=(x +12)2−12+a ，∵函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，∴g(0)≥0，或g(1)≤0，∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a|a ≥0，或a ≤−4}．(2)不等式f(2t −1)≥2f(t)−3可化为2t 2−4t +2≥alnt 2−aln(2t −1)∴2t 2−alnt 2≥2(2t −1)−aln(2t −1)令ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)，则问题可化为ℎ(t 2)≥ℎ(2t −1)∵t ≥1，∴t 2≥2t −1要使上式成立，只需要ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)是增函数即可即ℎ′(x)=2−a x ≥在[1,+∞)上恒成立，即a ≤2x 在[1,+∞)上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(1)由f(x)=x 2+2x +alnx(a ∈R)，知f′(x)=2x 2+2x+a x ，设g(x)=2x 2+2x +a ，由函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围．(2)不等式f(2t −1)≥2f(t)−3可化为2t 2−4t +2≥alnt 2−aln(2t −1)，即2t 2−alnt 2≥2(2t −1)−aln(2t −1)，令ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)，要使上式成立，只需要ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围．本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．。
天津市红桥区高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设z=+2i，则|z|=（）A. 0B.C. 1D.2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最大值为（）A. 7B. 5C. 3D. 13.已知a=log34，，，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. c＞b＞aD. c＞a＞b4.设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）A. ＞B. +≤1C. ≥2D. ≤6.若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A. n≤5B. n≤6C. n≤7D. n≤87.设F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 38. 若方程=kx -2有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A. （-∞，-1）B. （-1，0）C. （0，4）D. （0，1）∪（1，4）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知集合U ={（x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ∈Z ，y ∈Z }，则集合U 中的元素的个数为______．（用数字填写） 10. 在的展开式中的常数项是______．11. 设直线l ：（t 为参数），曲线C ：（θ为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则|AB |=______．（用数字填写）12. 若函数f （x ）=cos x -sin x 在[-a ，a ]是减函数，则a 的最大值是______． 13. 平面α截球O 所得的截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体积为______．14. 已知两点A （1，0），B （1，），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC =120°，设-2=，λ∈rR ，则实数λ=______．（用数字填写）三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知b sin A =3c sin B ，a =3，cos B =．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos （2B -）的值．16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列和期望．17. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 中点．（Ⅰ）证明：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．18.设等差数列{a n}的公差为d，d为整数，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知a1=b1，b2=2，d=q，S10=100，n∈N*．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和为T n.19.已知椭圆C：的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|2=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．20.已知函数f（x）=ln（e x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题. 利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．【解析】解：∵z=+2i，∴z=+2i=-i+2i=i，则|z|=1．故选C．2.【答案】C【解析】解：满足变量x，y满足约束条件的可行域如下图所示：由得：x=-1，y=1，故目标函数z=y-2x的最大值是3，故选：C．画出满足条件的可行域，求出各个角点的坐标，代和目标函数比较大小后，可得目标函数z=y-2x的最大值．利用线性规划求最值的步骤：（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax+by 斜率型）、（型型）和距离型（（x+a）2+（y+b）2型）．（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．3.【答案】D【解析】解：，；∴c＞a＞b．故选：D．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，对数的换底公式．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于基础题．根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列的首项为，若为递增数列，则对恒成立，即或，所以由为递增数列，由为递增数列，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D．5.【答案】D【解析】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴ab≤，当且仅当a=b=2时，取等号，∴，故A不成立；，故B不成立；，故C不成立；∵ab≤4，a+b=4，∴16-2ab≥8，∴==≤，故D成立．故选：D．本题主要考查基本不等式，是中档题．由题设知ab≤，所以，，，==≤，由此可解．6.【答案】B【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，结合输出的S是126，即可得到退出循环的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质、双曲线的定义的灵活运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|•|PF2|=ab，即可得出．【解答】解：不妨设右支上P点，则|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=3b，联立解得：|PF1|=，|PF2|=，然后代入|PF1|•|PF2|=ab，可得：×=ab，∴9b2-4a2-9ab=0，∴（3b-4a）（3b+a）=0，∴a=b，∴c==b，∴e==．故选B．8.【答案】D【解析】解：y==，画出函数y=kx-2，y=的图象，由图象可以看出，y=kx-2图象恒过A（0，-2），B（1，2），AB的斜率为4，①当0＜k＜1时，函数y=kx-2，y=的图象有两个交点，即方程=kx-2有两个不同的实数根；②当k=1时，函数y=kx-2，y=的图象有1个交点，即方程=kx-2有1个不同的实数根；③当1＜k＜4时，函数y=kx-2，y=的图象有两个交点，即方程=kx-2有两个不同的实数根．因此实数k的取值范围是0＜k＜1或1＜k＜4．故选：D．先画出函数y=kx-2，y==图象，利用方程=kx-2有两个不同的实数根⇔函数y=kx-2，y=的图象有两个交点，即可求出．本题考查方程有两个实数解的条件，熟练掌握数形结合的思想方法及把问题等价转化是解题的关键．9.【答案】5【解析】解：集合U的元素代表单位圆圆周及其内部的两坐标皆为整数的点，①坐标轴上满足x2+y2≤1有5个，分别为（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）．②象限内没有满足x2+y2≤1的点，故填：5．集合U的元素代表单位圆圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论．本题考察集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合U的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题．10.【答案】-84【解析】解：展开式的通项为令解得r=3所以展开式的常数项为-C93=-84故答案为：-84利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11.【答案】1【解析】解：曲线C：消去参数化成普通方程得x2+y2=1，将直线l的参数方程代入x2+y2=1得t2+t=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1=0，t2=-1，∴|AB|=|t1-t2|=1．故答案为1先把曲线C化成普通方程，再把直线l的参数方程代入，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．12.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=cos x-sin x=cos（x+）在[-a，a]是减函数，∴-a+≥0，且a+≤π，求得a≤，故a的最大值为，故答案为：．由题意利用两角和的余弦公式，化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的最大值．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：作出对应的截面图，∵截面圆的半径为1，即BC=1，∵球心O到平面α的距离为，∴OC=，设球的半径为R，在直角三角形OCB中，OB2=OC2+BC2=1+（）2=3．即R2=3，解得R=，∴该球的体积为πR3=，故答案为：．根据条件求出截面圆的半径，根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径．本题主要考查球的体积的计算，根据条件求出球半径是解决本题的关键．14.【答案】1【解析】解：如图，设|OC|=c，根据∠AOC=120°；∴；∴由及A，B点坐标得：（）=-2（1，0）+；∴；解得λ=1．故答案为：1．设|OC|=c，根据已知条件即可表示出C点坐标为（），进行向量的坐标运算从而可得到，这便能得到，解方程组即可得到λ的值．考查由三角函数的定义表示点的坐标，向量坐标和点的坐标的关系，以及向量的坐标运算，解二元一次方程组．15.【答案】解：（Ⅰ）由b sin A=3c sin B，得ab=3bc，即a=3c，且a=3，∴c=1．由余弦定理可得：cos B==．∴=，解得b=．（Ⅱ）∵cos B=．∴，则，cos2B=2cos2B-1=，∴cos（2B-）=cos2B cos+sin2B sin=．【解析】（Ⅰ）由b sin A=3c sin B，利用正弦定理可得ab=3bc，且a=3，解得c．再利用余弦定理即可得出b．（Ⅱ）cos B=．可得，再利用倍角公式与和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、平方关系、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=，k∈（1，2，3）．记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）=P（A1）+P（）+P（）=+==；（2）ξ的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（ξ=1）=P（A1）+P（）==，P（ξ=2）=P（）+P（）=+（）2（）2=，P（ξ=3）=P（）=（）2（）2=，ξ∴E(ξ)==（次），∴甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次．【解析】（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=，k∈（1，2，3），由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出甲获胜的概率．（2）ξ的所有可能为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】（Ⅰ）证明：取PD中点M，连接AM，EM，由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且，又因为AB∥CD，，所以EM∥AB且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM，且BE⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD…（4分）（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．向量，．设为平面PBD的法向量，则即可得为平面PBD的一个法向量，且于是有=，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.（Ⅲ）解：向量，，，．由点F在棱PC上，设，0≤λ≤1．（若，则）故=（1-2λ，2-2λ，2λ）．由，得，因此2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得，（若，则）即．设为平面FAB的法向量，则，即，可得为平面的FAB一个法向量.取平面ABP的法向量，则=，二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为．【解析】（Ⅰ）取PD中点M，连接AM，EM，证明四边形ABEM为平行四边形，然后证明BE∥平面PAD．（Ⅱ）以点A为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量，求出，然后求解直线BE与平面PBD所成角的正弦值．（Ⅲ）求出平面FAB的法向量，平面ABP的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角F-AB-P其余弦值．本题考查直线与平面平行的判断定理以及二面角直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18.【答案】解：（1）有题意可得，解得（舍去）或,∴a n=2n-1，；（2）∵，∴，∴①，∴②，①-②可得，故．【解析】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，属于一般题．（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．19.【答案】解：（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．…（1分）因为，所以a=2c，b=．设椭圆方程为，由，消去x得，4y2-12y+12-3c2=0．又因为直线l与椭圆C相切，所以△=122-4×4（12-3c2）=0，解得c2=1．所以椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）∵直线m的斜率存在，∴设直线m的方程为y=k（x-4），…（6分）由，消去y，整理得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．…（7分）由题意知△=（32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得-＜k＜．…（8分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．…（9分）又直线l：x+2y-4=0与椭圆C：相切，由，解得，所以P（1，）．…（10分）则．所以|AM|•|AN|==．又•=•=（k2+1）（4-x1）（4-x2）==（k2+1）（-4×+16）=（k2+1）•．所以（k2+1）•=，解得k=．经检验成立．…（13分）所以直线m的方程为y=．…（14分）【解析】（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．因为，所以a=2c，b=．再由直线l与椭圆C相切，能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线m的方程为y=k（x-4），由，得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．由题意知△=（32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得-＜k＜．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．由此能求出直线m的方程．本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在．综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=ln（e x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），即f（0）=0，则ln（e0+k）=0，解得k=0，显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x，方程可转化为，令（x＞0），g（x）=x2-2ex+m（x＞0），因为，令h'（x）=0，得x=e，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，所以在（0，e）上为增函数，当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，所以在（e，+∞）上为减函数，当x=e时，，又g（x）=（x-e）2-e2+m所以g（x）=（x-e）2-e2+m在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数，当x=e时，，所以当，即时，方程无解，当，即时，方程有一个根，当，即时，方程有两个根，综上得：当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根．【解析】（Ⅰ）由函数奇偶性求参数的值得：f（0）=0，则ln（e0+k）=0，解得k=0，显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（Ⅱ）利用导数研究函数的图象、最值得：令（x＞0，因为，得x=e，在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，当x=e时，，由函数图象的交点个数分情况讨论得：当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根，得解．本题考查了由函数奇偶性求参数的值、利用导数研究函数的图象、最值及函数图象的交点个数，属难度较大的题型．。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知a ，b R ∈，若2b ia i i+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +答案：B根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以12a b =⎧⎨=⎩，因此12a bi i +=+.故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则22ππθ-<是“sin 0θ>”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若22ππθ-<，则222πππθ-<-<，即0θπ<<，所以sin 0θ>；若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选：A.点评：本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行，则实数a =（）A ．72B ．2C ．32D ．1答案：D先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：因为()2ln f x x x ax =+-，所以()12f x x a x'=+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.4．在ABC 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12答案：B根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，90B ∠=︒，所以BC AB ⊥，若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选：B. 点评：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为（）A ．15B ．20C ．35D ．45答案：C根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=， 因此样本容量为5500.1=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.6．已知函数()25x f x x =+．若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log 5b f =，()0.26c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310log log 512<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=，0.261>，函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25xf x x =+也是增函数，因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭， 即c b a >>. 故选：D. 点评：本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的结论为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④答案：C先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称，所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ，因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故①错； ②由2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，故③错； ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．即④正确. 故选：C. 点评：本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A．3BC或3D．答案：A先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率.解：根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e = 又0a b >>，所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选：A. 点评：本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=︒，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ⋅=，则DM DE ⋅=（） A ．15 B ．10 C ．203D ．5答案：D过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到3142AM AB AD =+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ⋅=，求出14t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=︒，所以4cos60AFAD ==︒；因为M 为线段BC 的中点， 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2tAE AD AD DE AB =+=+， 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=， 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=， 解得：14t =； 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选：D.点评：本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题10．已知集合{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =________．答案：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到14n =，再求并集，即可得出结果.解： 因为{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以124m=，解得2m =-；因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评：本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.11．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）． 答案：80-根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-. 点评：本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2. 点评：本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()22:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：由题意，圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，所以圆心到直线l的距离为：d ===设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，所以d ==d ==24410k k -+=，解得：12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：23；2312. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出23p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14，所以311424p ⨯⨯=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31261(3)423244P X ==⨯⨯==，因此，()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：23；2312. 点评：本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.15．已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(][),31,-∞--+∞分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+-， 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.点评：本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ba c A +=，c =23a b =．（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．答案：（1）3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1sin22C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：（1）因为sinsin 2A Ba c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==， 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π=即3C π=； （2）由（1）得1cos 2C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=，解得：2b =；所以3a =，因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值答案：（1）证明过程见详解；（2）45；（3）13.（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；（3）先设[]1110,1B Pt B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ，所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+， 所以sin θ==； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.点评：本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.18．已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．答案：（1）12n na ，2nb n =；（2）2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得4422q a a q =+，即2882q q =+，解得：2q ，所以4131a a q==，因此12n n a ，又12b a =，265b b a +=，所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩，解得122b d =⎧⎨=⎩， 因此2n b n =；（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+；当n 为奇数时，2nn n n c a b n ==⋅，记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭， 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1ln 1x g x ex -=--求导，得到()11x xe g x x--'=，令1()1x h x xe -=-，对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性；（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112nx =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而求和，即可得出结果. 解：（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x-'=-=，由()10x f x x -'=>得1x >；由()10x f x x-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，所以()1111x x xe g x e x x---'=-=， 令1()1x h x xe-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，因为0x >，所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；令112n x =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.。
2020届天津市红桥区高三第一次模拟考试数学试题
绝密★启用前红桥区2020届高三第一次模拟考试数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 (A) M N I (B) N M C U I )((C) )(N C M U I (D) )()(N C M C U U I（2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x =(C) 2x y -= (D) ln y x =（3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5(C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B) 4π (C) 2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4 (C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为 (A)59 (B) 518 (C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m -=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=o，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u r u u u r 的值是(A) 1 (B) 1-BC D E A(C) 2 (D) 2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（10）若i 是虚数单位，则21i =+______. （11）函数x e x x f ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60o 的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______.（13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y +=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=.（Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）（18）（本小题满分51分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BDAC -=⋅， 证明：四边形ABCD 的面积为定值.A B（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且 2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=. （Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．。
【附15套精选模拟试卷】天津市红桥区2020届高三下学期一模考试数学(文)试题含解析
B． ( 1 ,0) 16
(0,
1 e2
)
8．已知全集U =R ，集合 A=1, 2,3, 4,5，B= x R x 3 ，图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． 1, 2
B． 4, 5
C．1, 2,3 D．3, 4,5
9．若函数
，则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C．
D．
10．已知直线 y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 的右支有两个交点，则 k 的取值范围为（ ）
x2 y2
1(a 0,b 0)
16．若双曲线 E ： a2 b2
的左焦点为 F ，右顶点为 A ， P 为 E 的左支上一点，且
PAF 60 ， PA AF ，则 E 的离心率是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）在直角坐标系
A． 4 3 B． 4 6 C．12 D．12 2
3
4
12．设
a
log
3 4
3 2
,
b
Байду номын сангаас
3 2
2
,
c
3 4
3
，则
a,
b,
c
的大小关系为（
）
A． a b c B． b c a C． c a b D． a c b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
3 4
3t (t 为参数 ) ，圆 C 的标准方程为
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=2 2.在Rt△PAH中，PH=22PA AH+=32，所以sin∠APH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以ADu u u r,APu u u r的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PEu u u r=（1,0,-2），ECuuu r=（1,1,0），APu u u r=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APn AP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、333⎛⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m ＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122nn n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122nn b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。
天津市红桥区2020届高三高考一模数学试题 Word版含解析
高三数学第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝{1,2,3,4,5}, 集合M ＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( )A. M ∩NB. (∁U M )∩NC. M ∩(∁U N )D. (∁U M )∩(∁U N )【答案】B 【解析】因为∁U M ＝{1,2}，所以(∁U M )∩N ＝{1,2}.故集合{1,2}可以表示为(∁U M )∩N . 故选B2.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A. 21y x =-+ B. 1y x=C. 2x y -=D. ln y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的基本性质可判断A 选项；利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数的基本性质可判断C 选项；利用对数函数的基本性质可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数21y x =-+为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减；对于B 选项，函数1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，函数2xy -=为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于D 选项，函数ln y x =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增. 故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题. 3.方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)【答案】B 【解析】 【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解. 【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数， 由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5).故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.4.（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2r ==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π4V r h ==⨯⨯=⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 5.已知函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，现将()sin y x ωϕ=+的图象向左平移8π个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.34π B.4π C. 0 D. 4π-【答案】B 【解析】 【分析】求出函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期，可求出ω的值，然后求出变换后所得函数的解析式，根据函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，由此可得出结果. 【详解】由于函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，该函数的最小正周期为π，22πωπ∴==，则()sin 2y x ϕ=+，将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移8π个单位后，得到函数()sin 2sin 284f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数()y f x =为偶函数，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，可得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B.【点睛】本题考查利用图象变换求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6.在C ∆AB 中，“3πA >”是“1cos 2A <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：在C ∆AB 中，由1cos 2A <得：3πA >，因为“3πA >”⇒“1cos 2A <”，“3πA >”⇐“1cos 2A <”，所以“3πA >”是“1cos 2A <”的充要条件，故选C ．考点：1、三角函数的性质；2、充分条件与必要条件．7.已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ）A. 95B.185 C. 65D. 245【答案】A 【解析】 【分析】计算出每次摸球中中奖的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】由题意可知，每次摸球中中奖的概率223225315C C p C +=-=，则33,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，ξ的期望为39355E ξ=⨯=.【点睛】本题考查二项分布期望值的计算，确定随机变量满足二项分布是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.8.已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为,P F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 20x y ±=B. 20x y ±=C.30x y ±= D.30x y ±=【答案】C 【解析】由抛物线定义得2224253,24313P P P x x y m m+=⇒==⇒-=⇒=，因此双曲线的渐近线方程为220,303y x x y -=±=，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9.如图所示，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】A 【解析】用AB 、AD 表示向量AE ，然后利用平面向量数量积的运算性质可计算出AB AE ⋅的值. 【详解】E 为CD 的中点，且ABCD 为菱形，则12AE AD DE AB AD =+=+， 22111cos 60222AB AE AB AB AD AB AB AD AB AB AD ⎛⎫∴⋅=⋅+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭221111122=⨯+⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查了平面向量数量积运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.i 是虚数单位，则21i=+__________． 【答案】1i - 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即得答案. 【详解】()()()()()22121212111112i i i i i i i i ---====-++--. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 11.函数()2xf x x e =⋅单调减区间是____________．【答案】()2,0-（或[]2,0-、(]2,0-、[)2,0-中的一个均可） 【解析】 分析】解不等式()0f x '<可得函数()y f x =的单调递减区间.【详解】函数()2xf x x e =⋅的定义域为R ，且()()22xf x x x e '=+，令()0f x '<，得220x x +<，解得20x -<<.所以，函数()2xf x x e =⋅单调减区间是()2,0-或[]2,0-、(]2,0-、[)2,0-.故答案为：()2,0-（或[]2,0-、(]2,0-、[)2,0-中的一个均可）.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时需要注意函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. 【答案】2【解析】直线方程为3y x =， 圆方程为22(2)4x y -+=， 圆心(2,0)到直线的距离2233(3)1d ==+，弦长2222432l r d =-=-=．点睛：处理圆的弦长问题方法有二：其一，联立方程，结合根与系数关系由弦长公式求弦长，其二，通常利用垂径定理由勾股定理来求弦长.13.62x x ⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】-160 【解析】【详解】由6662166(2(1)(2)()rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 考点：二项式定理.14.若441x y +=，则x y +的取值范围是____________． 【答案】(],1-∞-【解析】 【分析】利用基本不等式可求得x y +的取值范围.【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.15.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[],a b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是“关联函数”．若()313f x x m =+与()2122g x x x =+在[]0,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】310,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】令()()f x g x =得3211232m x x x =-++，设函数()3211232h x x x x =-++，则直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，利用导数分析函数()y h x =的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数m 的取值范围. 【详解】令()()f x g x =得3211232m x x x =-++，设函数()3211232h x x x x =-++， 则直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，()()()2221h x x x x x '=-++=--+，令()0h x '=，可得()20,3x =∈，列表如下：x[)0,22(]2,3()h x '+-()h x极大值103()00h =，()332h =，如下图所示：由上图可知，当31023m ≤<时，直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，因此，实数m 的取值范围是310,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：310,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，4c =，2C B =． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 24B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）410218+． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角正弦公式、正弦定理边角互化思想可求得cos B 的值；（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系求得sin B 的值，再结合二倍角公式和两角差的正弦公式可求得sin 24B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】（Ⅰ）因为2C B =，所以sin sin 2C B =，sin 2sin cos C B B =，则2cos c b B =， 且3b =，4c =，所以2cos 3B =； （Ⅱ）2cos 3B =，则25sin 1cos B B =-=， 因为45sin 22sin cos B B B ==，221cos 2cos sin 9B B B =-=-，故4102sin 2sin 2cos cos 2sin 44418B B B πππ+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角求值，考查了正弦定理、二倍角与差角正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD CD ⊥，PD AD ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PA 平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M NC D --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）16；（Ⅲ）3． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由中位线的性质得出//PA MN ，再由线面平行的判定定理可证得//PA 平面MNC ； （Ⅱ）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MNC 的一个法向量，利用空间向量法可求出直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面CDN 的一个法向量，利用空间向量法可求得二面角M NC D --的余弦值． 【详解】（Ⅰ）因为PN ND =，DM MA =，所以//MN PA ， 且PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则//PA 平面MNC ； （Ⅱ）因为PD CD ⊥，PD AD ⊥，且ADCD D =，所以PD ⊥平面ABCD ，则以点D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -（如图），设2AD =，可得()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2N 、()1,0,0M 、()0,0,4P ． 向量()2,2,4PB =-，()0,2,2NC =-，()1,0,2MN =-.设(),,n x y z =为平面MNC 的法向量，则00NC n MN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020y z x z -=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，可得()2,1,1n =为平面MNC 的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 于是有1sin cos ,66n PB n PB n PBα⋅=<>===⋅，因此，直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16；（Ⅲ）因为()1,0,0m =为平面NCD 的法向量，所以6cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅， 由图形可知，二面角M NC D --6. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解线面角和二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率22e =，且右焦点到直线20x y -+=的距离为22（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若22AC BD b k k a⋅=-，证明：四边形ABCD 的面积为定值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）详见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据题意求得c 的值，再由离心率可求得a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由22AC BDb k k a⋅=-可得出2242m k =+，再利用三角形的面积公式化简计算得出四边形ABCD 的面积为定值.【详解】（Ⅰ）因为右焦点(),0c 到直线20x y -+=的距离为d ==解得2c =，22ce a==，222ab c =+，a ∴=2b =， 因此，椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则122412km x x k +=-+，21222812m x x k -⋅=+，因为22AC BDb k k a⋅=-，得12122x x y y =-，即()()12122x x kx m kx m =-++，所以，()()22121221220k x x km x x m ++++=，即2222448021k m m k --=+，解得2242m k =+，1AB===，原点到直线AB 的距离为d ==，因为4ABCDAOB SS =△，且1122AOBSAB d =⋅==，所以4ABCDS=⋅=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令2{2n nnn c a n b =-为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-+，2nn b =；（Ⅱ）()()213567992{26613992n n n n n n T n n n 为奇数为偶数--++-⨯=++-⨯【解析】【详解】（Ⅰ）根据题意设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，且0q >，由32331{27a b S b +=-+=，，解得2q ，2d =-，，则数列{}n a 和{}n b 的通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-+，2nn b =，则12,{21,2n n n c n n -=-为奇数为偶数当n 为偶数时，奇数项和偶数项各有2n项， ∴()()()13512424.........n n n n T c c c c c c c n c c c -=++++++++=++++. 令246...n n H c c c c =++++，利用错位相减法可得126613992n n n H -+=-⨯ 故n 为偶数时，126613992n n n T n -+=+-⨯， 当(3n n ≥）为奇数时，1n -为偶数，()1222667356712992992n n n n n n n T T a n n ---++=+=+--+=+-⨯⨯， 试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，且0q >， 由题易知，11a =-，12b =，由32331{27a b S b +=-+=，得20{4310d q q d +=+=，解得2q（54q =-舍去），此时2d =-，∴21n a n =-+，2nn b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-+，2nn b =，∴12{212n n n c n n --为奇数为偶数，当n 为偶数时，奇数项和偶数项各有2n项， ∴()()()13512424.........n n n n T c c c c c c c n c c c -=++++++++=++++. 令246...n n H c c c c =++++， ∴353137112521 (22222)n n n n n H ----=+++++， 35311372521 (42222)n n n n n H ----=++++， 以上两式相减得，351113113344421444121 (42222222)222n n n n n n n H -+-+--⎛⎫=+++++=+++-- ⎪⎝⎭， 2112141211361312266214nn nn n +⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭-+⎣⎦=--=-⨯-.126613992n n n H -+=-⨯ 故n 为偶数时，126613992n n n T n -+=+-⨯， 当(3n n ≥）为奇数时，1n -为偶数，()1222667356712992992n n n n n n n T T a n n ---++=+=+--+=+-⨯⨯， 经验证，1n =也适合上式，综上得()()213567992{26613992n n n n n n T n n n 为奇数为偶数--++-⨯=++-⨯点睛：本题考查等差数列、等比数列的通项的求法，以及数列求和错位相减法，分类讨论思想等.属中档题.解题时注意分类标准，做到不重不漏. 20.已知函数2()2ln .f x x x a x =++(Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当t 1时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(,4][0,)-∞-⋃+∞ （2）(,2]-∞ 【解析】解：（Ⅰ）函数()(0,)f x +∞的定义域是， ………………1分222()22a x x af x x x x+=+='++， …………3分 因为函数()f x 在区间（0，1）上为单调函数所以只需()0()0f x f x ''≥≤或在区间（0，1）上恒成立，即22(22)(22)a x x a x x ≥-+≤-+或在区间（0，1）上恒成立，…………5分 解得0,4;a a ≥≤-或故实数a 的取值范围是(,4][0,)-∞-⋃+∞…………7分 （Ⅱ）不等式(21)2()3f t f t -≥- 可化为22242ln ln(21)t t a t a t -+≥--即222ln 2(21)ln(21)t a t t a t -≥---…………10分 记()2ln (1)g x x a x x =-≥，要使上式成立只须()2ln (1)g x x a x x =-≥是增函数即可 …………12分 即'()20ag x x=-≥在[1,)+∞上恒成立，即2a x ≤在[1,)+∞上恒成立，故2a ≤， 实数a 的取值范围是(,2]-∞． ………………14分。
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．（5分）设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．（5分）已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．（5分）设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件5．（5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．16006．（5分）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．（5分）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( ) ABC ．2D8．（5分）已知数列{}n a 满足13a =，且*143()n n a a n N +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为()A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -9．（5分）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．（5分）已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是 ． 11．（5分）在8的展开式中，x 的系数等于 ．12．（5分）一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是 ． 13．（5分）曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ．15．（5分）已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r，b r 的夹角为60︒，()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的最小值是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．17．（15分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n nT S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <…．18．（15分）已知椭圆2222:(0)x y C l a b a b +=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2||||MN OQ 的值． 19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：21143nk ka =<∑． 20．（15分）已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．2020年天津市红桥区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．（5分）设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >【解答】解：集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…， 则{|1}U B x x =<ð， 所以{|01}U A B x x =<<I ð． 故选：A ．2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【解答】解：12y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 2x y =在区间(0,)+∞上单调递减增；1log 2y x =在区间(0,)+∞上单调递减；1y x =-在区间(0,)+∞上单调递增．故选：C ．3．（5分）已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【解答】解：1ln lne π>=Q ，1a ∴>， Q 1122510log log <=，0b ∴<，Q 10201ee -<<=，01c ∴<<，a cb ∴>>，故选：D ．。
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2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．（5分）设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．（5分）已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．（5分）设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件5．（5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．16006．（5分）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．（5分）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( ) ABC ．2D8．（5分）已知数列{}n a 满足13a =，且*143()n n a a n N +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为()A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -9．（5分）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．（5分）已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是 ． 11．（5分）在8的展开式中，x 的系数等于 ．12．（5分）一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是 ． 13．（5分）曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ．15．（5分）已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r，b r 的夹角为60︒，()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的最小值是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．17．（15分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n nT S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <…．18．（15分）已知椭圆2222:(0)x y C l a b a b +=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2||||MN OQ 的值． 19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：21143nk ka =<∑． 20．（15分）已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．2020年天津市红桥区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．（5分）设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >【解答】解：集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…， 则{|1}U B x x =<ð， 所以{|01}U A B x x =<<I ð． 故选：A ．2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【解答】解：12y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 2x y =在区间(0,)+∞上单调递减增；1log 2y x =在区间(0,)+∞上单调递减；1y x =-在区间(0,)+∞上单调递增．故选：C ．3．（5分）已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【解答】解：1ln lne π>=Q ，1a ∴>， Q 1122510log log <=，0b ∴<，Q 10201ee -<<=，01c ∴<<，a cb ∴>>，故选：D ．4．（5分）设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件【解答】解：|1|2x -<，解得：13x -<<． 2x x <，解得：01x <<．∴ “|1|2x -< “是“2x x <”的必要不充分条件．故选：B ．5．（5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【解答】解：由题意，50(0.00220.0042)1a ⨯⨯++=， 解得0.006a =，∴成绩在[250，350]内的学生人数为2000(0.0040.006)501000⨯+⨯=，故选：B ．6．（5分）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【解答】解：31()2(sin cos )2sin()26f x x x x πωωω=-=-， ()y f x =Q 的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， ∴函数()f x 的最小正周期为π，即2ππω=，解得2ω=，∴()2sin(2)6f x x π=-，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，3x π=，即函数()f x 的一条对称轴为3x π=．故选：D ．7．（5分）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【解答】解：如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=， 又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=． 把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c=，再由||||PQ OF =，得2abc c =，即22244()a c a c -=，22e ∴=，解得2e =故选：A ．8．（5分）已知数列{}n a 满足13a =，且*143()n n a a n N +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为()A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -【解答】解：由*143()n n a a n N +=+∈，得114(1)n n a a ++=+， 13a =Q ，113140a ∴+=+=≠，则数列{1}n a +是以4为首项，以4为公比的等比数列， ∴1214442n n n n a -+=⨯==，则221n n a =-． 故选：D ．9．（5分）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >【解答】解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +„，即1a -„时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<故选：C ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．（5分）已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是 2 ．【解答】解：(2)(1)(2)(2)z a i i a a i =++=-++Q 为纯虚数， ∴2020a a -=⎧⎨+≠⎩，即2a =．故答案为：2． 11．（5分）在8(2x x的展开式中，x 的系数等于 7 ．【解答】解：二项式8(2x x的展开式的通项为841881()()22r r r r rr rT C x C x x--+==； 令41r -=解得3r =， ∴二项式8(2x x的展开式中x 的系数为383172C =g ， 故答案为：7．12．（5分）一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是 740． 【解答】解：一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个， 从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，基本事件总数310120n C ==， 取出的3个小球中数字最大的为4包含的基本事件个数：1221262621m C C C C =+=，∴取出的3个小球中数字最大的为4的概率是21712040m p n ===．故答案为：740． 13．（5分）曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为 10x y -+= ． 【解答】解：222(1)(21)x x x y xe x e e x x '=++=++， 01k e ∴==，∴切线方程为1y x =+．即：10x y -+= 故答案为：10x y -+=．14．（5分）已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 1 ． 【解答】解：因为0x >，0y >，35x y xy += 等式两边同除以5xy 得13155y x+= 所以132(2)()55x y x y y x+=++611155x y y x =++=+…．当且仅当x =时取等号．1． 15．（5分）已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r，b r 的夹角为60︒，()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的最小值是． 【解答】解：建立如图坐标系；则(3,0)B ，A ， 设(,)C x y ；则a =r ，(3,0)b =r ；(,)c x y =r∴(1)a c x y -=-r r；(3,)b c x y -=--r r ；()()(1)(3)()0a c b c x x y y ∴--=--+-=r r r rg ；整理得：227(2)(4x y -+-=；即点C 在以3(2,)D 为圆心，7为半径的圆上； ||c ∴r的最小值是：22371972()2OD r --=+-=； 故答案为：197-．三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．【解答】解：()I 因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，sin sin 3sin sin B A C B =， 因为sin 0B ≠，故sin 3sin A C =，即33a c ==，由余弦定理可得，229136b +-=，解可得，6b =． ()II 因为2cos 3B =， 所以5sin B 21cos22cos 19B B =-=-，45sin 22sin cos B B B == 则3131145453cos(2)sin 2()6292B B B π--=+-+=． 17．（15分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n nT S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <„．【解答】解：（Ⅰ）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，设公比为q ，0q >， 12a ，3a ，23a 成等差数列，可得312223a a a =+，即222432q q =+g g ，解得2q =（负值舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n n b a ==n n =，1(1)2n S n n =+，12112()(1)1n S n n n n ==-++，则12311111111112(1)2(1)22311n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 由数列1{1}1n -+在*N 递增，可得()f n f …（1）12=， 且()1f n <，可得12n T <„．18．（15分）已知椭圆2222:(0)x y C l a b a b +=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2||||MN OQ 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题可得c e a ==，即2212c a =，2212b a =，将点代入方程得221312a b +=，即22131a a+=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F 0)设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =+， 联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222Q Qm m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)20m y ++-=设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y，则12y y +=，12222y y m =-+，所以224(1)||2m MN m +==+， 所以222224(1)||2144||2m MN m m OQ m ++==++． 19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：21143nk ka =<∑． 【解答】（Ⅰ）解：由题意，当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =．当2n …时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+， 整理，得12n n a a -=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．11122n n n a --∴==g ，*n N ∈．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，121211111()(2)44n n n n a ---===． 故22221121111nk k na a a a ==++⋯+∑1211111()()()444n -=+++⋯+11()4114n-=-4414()3343n =-<g ．故得证．20．（15分）已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）． 【解答】解：()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1xf x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '>，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =时，函数取得极大值f （1）0=，没有极小值； 函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，11()()axII f x a x x-'=-=， 当10a e<„时，()0f x '…，()f x 在[1，]e 上单调递增，f （1）()f x f 剟（e ）即函数的值域[0，1]a ae +-；当1a …时，()0f x '„，()f x 在[1，]e 上单调递减，f （e ）()f x f 剟（1）即函数的值域[1a ae +-，0]；当11a e <<时，易得[1x ∈，1)a 时，()0f x '>，()f x 在[1，]e 上单调递增，1(,]x e a ∈时，()0f x '<，()f x 在[1，]e 上单调递减，故当1x a =时，函数取得最大值1()1f lna a a=--+，最小值为f （1）0=，f （e ）1ae a =-+中最小的，()i 当111a e e <-„时，f （e ）f …（1），最小值f （1）0=； ()ii 当111a e <<-，f （e ）f <（1），最小值f （e ）1a ae =+-； 综上，10a e<„时，函数的值域[0，1]a ae +-， 当111a e e <-„时，函数的值域[0，1]lna a --+， 当1a …时，函数的值域[1a ae +-，0]．。
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2020年天津市红桥区高考数学一模试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{3M =，4，5}，{1N =，2，5}，则集合{1，2}可以表示为( )
A ．M N I
B ．()U M N I ð
C ．()U M N I ð
D ．()()U U M N I 痧
2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．21y x =-+
B ．1
y x
=
C ．2x y -=
D ．y lnx =
3．（5分）方程2log 2x x +=的解所在的区间为( ) A ．(0.5,1)
B ．(1,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．(2,2.5)
4．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π
B ．
34
π
C ．
2
π D ．
4
π 5．（5分）已知函数sin()y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2
π
，现将sin()y x ωϕ=+的图象向左平移
8
π
个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．34π B ．4π C ．0 D ．4
π-
6．（5分）在△A BC 中，“3A π>”是“1
cos 2
A <”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为( ) A ．9
5
B ．
185
C ．
65
D ．
245
8．（5分）已知双曲线2
2
1y x m
-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，
若||5PF =，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．20x y ±=
B ．20x y ±=
C 0y ±=
D ．0x ±=
9．（5分）如图所示，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=︒，E 为CD 的中点，则AB AE
u u u r u u u r
g
的值是( )
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）i 是虚数单位，则
2
1i
=+ ． 11．（5分）函数2()x f x x e =的单调减区间是 ．
12．（5分）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 ． 13．（5分）6(2x x
的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）
． 14．（5分）若441x y +=，则x y +的取值范围是 ．
15．（5分）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，]b 上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[a ，]b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[a ，]b 上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21
()22
g x x x =+在[0，3]上是
“关联函数”，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（15分）设ABC ∆的内角A ，B ，
C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4c =，2C B =． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)4
B π
-的值．
17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD CD ⊥，PD AD ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点． （Ⅰ）证明：//PA 平面MNC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M NC D --的余弦值．
18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2
e =，且右焦点到直线20x y -+=的
距离为22 （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若2
2AC BD b k k a
=-g ，证
明：四边形ABCD 的面积为定值．
19．（15分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令2,2,n n n
n a n b ⎧⎪
=-⎨⎪⎩为奇数
为偶数ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．
20．（15分）已知函数2()2f x x x alnx =++．
（1）若函数()f x 在区间(0,1)上是单调函数，求实数a 的取值范围；
（2）当1t …时，不等式(21)2()3f t f t --…恒成立，求实数a 的取值范围．。