应力张量例题

2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2

12l 2


2 2
m2
32n2

1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
等效应力定义式

3 2
8

3 2
2 3
J
2

3J2
二、几种重要应力的计算
例题
对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
5 0 5
ij


0
5
0

(Mpa)
5 0 5
1) 画出该点的应力单元体；
2) 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
3) 求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。
yz z z xz
zx x

5 0 5 0 5 5


0
5 0
5 5
5
50
x xy xz
5 0 5
J3 yx y yz 0 5 0 0
n
八面体平面的方向余弦 l m n 1
8

1 3
1


2


3



m

1 3
J1
3
8

J 2

1J22l2
1 m
022m2
0
0
232nm 2
0
0
01l2
3 m


0

0
0 0


一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于

1 ij
J1 a b0 a b
J2



a 0
0b
b0
00
00
0
a


ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1

a
2
b

a
2
b

0

a

b
ab
J2

2 3
J
2


Q

2
1
arccos 1 54o44
3
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾
3、等效应力 1）取八面体切应力绝对值的 3 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应
力或应力强度，用 表示。 2
2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参 数。
知识要点回顾
3、八面体应力
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。
2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
应力状态特征方程 齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
3 J1 2 J2 2 J3 0
x l yxm zxn 0
xyl y m zyn 0

216m21 32n22
2 2

3
2

3
1
2



1 3
1
2



1 3

2
2



1 3

3
2


1 3
1


2


3

2
3
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。 利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。
例题
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0
1 ij

0
b
0
0 0 0
ab

2
ab 2
0
2 ij

a
b 2
ab 2



2 ab
2
ab ab
2 ab
2 0
2
00
00
ab ab 0 22
J3

ab 2
ab 2
0 0
0 00
0

a b ab
2
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 的三个主不变量是否相同来实现。
一个应力状态有重要作用。
3


Q

2
1
arccos 1 54o44
3
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力
S1 S2

l1 m
2


S3 n3
8 =S1 S2
l
S3 m l 21 m2 2 n23
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
（1） （2） （3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
2 12l2 22m2 32n2 1l2 2m2 3n2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
Fra Baidu bibliotek


x yx
xy y y zy
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P11 P12 P13

P21
P22
P23

P31 P32 P33

P1•1 0
0 P2•2
0
0

0 0 P3•3
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。