应力张量例题
应力张量例题
= −ab
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 、 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向， 此定义了应力的状态。 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 、判断两个应力的状态是否相同， 的三个主不变量是否相同来实现。 的三个主不变量是否相同来实现。
2 2
2
=±
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
σ=
3 3 1 τ8 = ± 350 = 5 7 2 2 3
MPa
几种重要应力计算问题小 结
要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、 要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八 面体应力、等效应力的计算方法。 面体应力、等效应力的计算方法。
n3 = 0
τ max =
八面体应力
1 (σ max − σ min ) = 1 (10 − (−5) ) = 7.5 MPa 2 2
1 3
σ 8 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = (10 + 0 − 5) = 1.67 MPa
τ8 = ±
1 3
1 3
(σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾 二阶张量的定义: 二阶张量的定义
Pkr = Pij lki lrj
( i, j =1,2,3; k,r =1′ ,2′,3′)
P 11 P 21 P31 P 12 P22 P32 P 13 P23 P33
弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， μ0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
塑性成形理论课后答案2修改
第一章1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ij σMPa ，试求该应力空间中122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100325031200=⨯-⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350321503150=⨯+⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-11191000323200323350313100S S S -=-=⨯-⨯-⨯=++=n m l z y x σ125003200335031002222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=z y x S S S S4.1391000125002=⎪⎭⎫⎝⎛-=τ1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1030205040100 ij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140=2J 222xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600=3J 321σσσ=2222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000019200060014023=-+-σσσσ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7;7.5630203.3403.53⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=' ij σ ;7.460007.4607.46m ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i σσ8=σm =46.71.39)()()(312132322218=-+-+-±=σσσσσστ 1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
材料成型力学习题集
I 2 1 2 2 3 3 1
I 3 1 2 3
例：已知应力状态如图所示，写出应力分量，并以张量形式表示之
8 z 3 y x 5 5 3 10 5 10 7 2 8
5
例：已知应力状态的六个分量，
x 7, xy 4, y 0, yz 4, zx 8, z 15( MPa)
b
p p
f
p
3)某材料屈服极限为 s 180 MPa ，试判断如图 所示应力状态中 （1）哪种已经进入变形状态 （2）画出变形状态图 （3）如果已经发生了很大塑性变形，此时的 屈服极限是多少？
100 100 100
20 20
100
100 100
100
4)某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断 面积 F 100 mm 2 ，载荷为 p 6000 N （1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球 分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； （3）画出变形状态图； （4）此时材料的屈服极限是多少？ 5)已知应力状态和对 应的变形状态如图所 示，如果材料的屈服 极限为200MPa，则应 力 2 和 3是多少？
50 80
例
写出公称应变（或变形）的表达式，并指出其缺点。
例 试证明真应变满足变形的可比(加)性，工程应变不满足变形的 可比(加)性。 例 证明对数应变(真应变)满足体积不变条件． 例 轧制宽板时，厚向总的对数变形为ln H =0.357，总的压下率为(Hh h)/H=30%，共轧两道，第一道的厚向对数变形为0.223；第二道的压下率 为0.2，试求第二道的厚向对数变形和第一道压下率. 例 证明第一主应力是最大正应力,第三主应力是最小正应力
1 u x u y ( ) 2 y x
参考答案(第5章)
第二组的应变分量为：
ε x = a2 + 2a4 x + a5 y, γ xy = γ yx = ε y = a9 , γ yz = γ zy = 0 ε z = 0, γ zx = γ xz = 0
1 ( a3 + a5 x + 2a6 y + a8 + 2a10 x + a11 y )⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
−6
( ) = ( −320 − 32 5 ) × 10
10. 根据柯西方程，得到第一组的应变分量为：
1 ( a3 + a5 )⎫ ⎪ 2 ⎪ ε y = a6 , γ yz = γ zy = 0 ⎬ ⎪ ε z = 0, γ zx = γ xz = 0 ⎪ ⎭
ε x = a2 , γ xy = γ yx =
1.
该斜面的方向余弦为： l =
1 3 1 ,m = ,n = 11 11 11 50 70 30 , Sy = , Sz = 11 11 11
根据公式得到该斜面的应力分量为： S x = 正应力为： σ = S N = S xl + S y m + S z n = 切应力为：τ = 2.
290 ≈ 26.3MPa 11
11. 根据应变定义，得到应变张量为：
⎡εx 0 ε ij = ⎢ 0 ε y ⎢ ⎢ ⎣γ zx 0
得到三个应变不变量为：
γ xz ⎤
0⎥ ⎥ εz ⎥ ⎦
I1 = ε x + ε y + ε z
2 I 2 = ε xε y + ε y ε z + ε z ε x − γ x z 2 I 3 = ε xε yε z − ε yγ xz
第二章-应力分析-例题-东北大学课件
2019年固体力学与岩石力学基础例题第二章 应力分析例题2.1 设某点的应力张量为012120201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭σ试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。
解：设该平面的法线矢量为：v =(l ，m ，n)由几何关系知：l 1=m 3=n 1联立方程：l 2+m 2+n 2=1于是解得：l =√1111，m =3√1111，n =√1111所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：T x =σx l +τyx m +τzx n =0×√1111+1×3√1111+2×√1111=5√1111 T y =τyx l +σy m +τzy n =1×√1111+2×3√1111+0×√1111=7√1111 T z =τzx l +τzy m +σz n =2×√1111+0×3√1111+1×√1111=3√1111该平面的法向应力和切向应力为：σv =T x l +T y m +T z n =5√1111×√1111+7√1111×3√1111+3√1111×√1111=2911τv 2=T v 2−σv 2=8311−841121=72121τv =6√211解答完毕。
例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。
图2.1解：在OP 面上有应力边界条件：(σx1x2)x1=0=γx 2 (τx1x2)x1=0=0式中，γ为水的比重。
解答完毕。
例题2.3 已知一点的应力张量为2201211210σ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。
解：由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：0×l +1×m +2×n =0 1×l +σ22×m +1×n =0 2×l +1×m +0×n =0又根据几何关系：l 2+m 2+n 2=1解得：σ22=12l =√66 m =−√63n =√66解答完毕。
塑性力学习题
习题及思考题 7-1． 接触摩擦对塑性变形过程有哪些影响？压力加工中摩擦可分为哪几种类型？各类型有什么特点？ ７-２．简述轧制过程的基本滑动摩擦机理。 ７-３．试分析热轧时和冷轧时各种因素对摩擦系数的影响？ ７-４．确定摩擦系数的方法有哪几种？
习题
500
1-1Leabharlann 已知一点的应力状态为
300
800
300 0
300
800 300 105 Pa 1100
力 Pn 和正应力 n 。
500
1-2
已知一点的应力张量为
300
800
300 1000 3
300
800 300 105 Pa 1100
求方向余弦为 l1 l2 l3 的斜面的全应 求方向余弦为 l1 l2 l3 平面上的总
应力和正应力。
3 1 1 1-5 已知一点的应力张量 ij 1 0 2 ，试求主应力。
1 2 0
1-6 已知某点的应力分量： x a, y a, z a, yz a, xy zx 0 试求主应力及最大剪应力值。
力状态系数 ）
3-22 证明当1 2 3 时八面体平面上的剪应力 8 max
2(3 2 ) 。 3
习 题（复习提纲） 4-1 分别简述平面镦粗和轧制时单位摩擦力沿接表面的分布规律。 4-2 全滑动摩擦平面镦粗的近似平衡微分方程式和卡尔曼近似平衡微分方程式分别采用了哪些假设条件？并尝试推
1 0 0
５．已知一点的应变张量为 ij
一-一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示,如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示.在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系.通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量.式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量.因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
已知物体内某点P 的九个应力分量,则可求过该点的任意倾斜面上的应力。
在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x ，y ，z 三个轴相垂直。
另一方面即任意斜面,它的法线N,其方向余弦为l ，m ，n 。
分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1。
2)在三个垂直于坐标的平面上有应力分量,在倾斜面abc 上有合应力N P ，它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ，N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ,N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1—5而剪应力则由式1—5得 2N τ=2N P —2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。
金属塑性成型原理简答题计算题总结
⾦属塑性成型原理简答题计算题总结1，应⼒张量可分解为哪两部分（请⽤张量表⽰出来）？各包含什么成分？物体在应⼒张量作⽤下发⽣变形，可分成哪两部分？他们⼜分别取决于什么？右边的后⼀项表⽰球应⼒的状态，故称为应⼒球张量，其任何⽅向都是主⽅向，⽽且主应⼒相同，⽽任何切⾯上的剪应⼒均为零，所以球星应⼒张量它只引起物体的体积变化，⽽不能使物体发⽣形状变化右边的后⼀项称为偏应⼒张量，在偏应⼒张量中不再包含有各项等应⼒的成分，因此偏应⼒张量不会引起物体的体积变化，再者，⽚应⼒张量中的剪应⼒成分与整个应⼒张量中的剪应⼒成分完全相同，因⽽应⼒偏张量使物体产⽣形状变化，⽽不能产⽣体积变化，材料的塑性变形就是由应⼒偏张量引起的前者取决于应⼒张量中的球应⼒张量，⽽后者取决于偏应⼒张量：体积变化是弹性的，当偏应⼒张量满⾜⼀定的数量关系时，则物体发⽣塑性变形。
2.什么是热塑性变形？其软化过程有哪些？影响软化过程的主要因素有哪些？从⾦属学⾓度看，在再结晶温度以上进⾏的塑性变形，称为热塑性变形或热塑性加⼯。
圣餐实际中的热塑性加⼯，为了保证再结晶过程的顺利完成以及操作上的需要等，其变形温度远⽐再结晶温度⾼。
热塑性变形时的软化过程⽐较复杂，它与变形温度，应变速率，变形程度以及⾦属本⾝的性质等因素密切相关，按其性质可分为，动态回复，动态再结晶，静态回复，静态再结晶，亚动态再结晶。
动态回复和动态再结晶是在热塑性变形过程中发⽣的；⽽静态回复，静态再结晶和亚动态再结晶则是在热变形的间歇期间或热变形后利⽤⾦属的⾼温余热进⾏的。
静态的和动态的回复或再结晶在机理上并没有本质的差别3.两个屈服准则的最⼤区别在哪⾥？中间主应⼒α2对两个屈服准则的影响最⼤有多⼤？对于屈雷斯加屈服准则，及时中间应⼒α2在α1和α3之间任意变化，也不影响材料的屈服，但在密赛斯屈服准则中，中间应⼒是有影响的。
轴对称应⼒状态是，两个屈服准则是⼀致的；平⾯应变状态时两个屈服准则的差别最⼤，达15.5%；⽽在其余应⼒状态下，两个屈服准则的差别⼩⾬15.5%，视中间的应⼒相对⼤⼩⽽定。
弹性力学-例题、习题和总复习
∂ 4φ ∂ 4φ + 2 4 ∂x ∂x 2∂y
2
∂ 4φ + = 0 4 ∂y
d 4 f1 ( x ) =0 4 dx
⑶
⑵式积分，得： f ( x ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D 式积分， 故应力函数为： 故应力函数为：
f1 ( x ) = Ex 3 + Fx 2 + Gx + H ⑵式积分，得： 式积分，
σ
x
∂ 2φ = = 0 2 ∂y
积分得： 积分得： φ = yf ( x ) + f1 ( x )
⑴
⑴式必须要满足相容条件，代入相容方程中得到： 式必须要满足相容条件，代入相容方程中得到：
弹性力学 主讲
邹祖军
弹性力学例题、习题和总复习 弹性力学例题、
φ = yf ( x ) + f1 (x )
yd 4 f ( x ) d 4 f1 ( x ) + =0 4 4 dx dx d 4 f (x ) 必须有： 必须有： =0 ⑵ 4 dx
邹祖军
弹性力学例题、习题和总复习 弹性力学例题、
习题1 习题
σy = 0 σz = −300 105 N / m2 τ yz = −750 105 N / m2 τxz = 800 105 N / m2 × × × 5 2 试求法线方向余弦为 l = 1 , m = 1 , n = 1 τxy = 500 10 N / m × 2 2 2
50 80 1 106.6 2 1 ⋅ 0 − 75 2 = − 28.0MPa − 75 − 30 12 −18.7
X v2 + Yv2 + Z v2
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
应力张量例题
ab
J3 0 b 0 0 0 0 0
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特
征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由
（2）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
l 2 m2 n 2 1
（3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
数。 等效应力定义式
3 8 2
3 2 J2 3 2
3J 2
二、几种重要应力的计算
例 题 对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
5 0 5 (Mpa) ij 0 5 0 5 0 5
1) 2)
画出该点的应力单元体； 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
塑性加工力学 试 题
塑性加工力学 试 题一、应力分析（总分20分）在 o-xyz 直角坐标系中，已知受力物体内的一点的应力张量（应力单位MPa ）为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=505050505ij σ 试求：（1）画出该点的应力单元体；（2）求出该点的应力张量不变量，主应力及主方向、主切应力、最大切应力、应力偏张量、应力球张量和等效应力。
二、应变分析（总分15分）在o-xyz 直角坐标系中，已知受力物体内的一点的应变张量为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij εγγγεγγγεε试求：（1）该点的主应变，最大球应变；（2）应变球张量、应变偏张量、八面体应变和等效应变。
三、屈服准则计算 （15分）某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为：σy =75MPa ,求σx=15MPa ，σz=0,τxy=15 MPa,若该应力状态足以产生屈服{a ）满足Mises 屈服准则;b)满足Tresca 屈服准则;}，试问该材料的屈服应力分别是多少？.四、本构方程计算 （总分15分）1）在o-xyz 直角坐标系中，已知受力物体内的一点的应变张量为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyx xz xy x ij εγγγεγγγεε 已知材料的弹性模量为E ，切变模量为G ，泊松比为γ，试求：（1）广义胡克定律的张量形式；（2）等效应力σ和弹性应变强度i ε；五、主应力法计算（20）采用主应力法计算收敛式流动，见右图所示，其中 近似屈服：Y x y 32=-σσ，其中m 为摩擦因子，3/,Y K mK ==τ试推导y σ和p 的计算公式。
六、 滑移线法计算（15）应用滑移线法求光滑冲头压入两边为斜面的半无限高的坯料时的单位流动压力p 和极限压力P 。
设刚性平冲头的宽度为2b ，长度l 远大于宽度，属于平面变形状态，不计冲头与接触面的摩擦，接触面上仅作用均匀分布的法向应力，σy =σ3=-p ，p 为所求的单位流动压力。
(4-6)部分习题及其解答
1本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0yσ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。
正应力26.04n i i T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。
证：利用应力张量的对称性，可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。
证毕。
4.3某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。
解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。
若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。
所以必有1y σ=。
将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===，222xy y A x y τ=-+满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。
塑性力学习题
5-8．轧件的工程常用变形系数有哪些？推导用对数变形系数表示的体积不变条件。 5-9．在平轧辊间轧制矩形断面轧件时，摩擦力和外端对轧件的变形有什么影响？
5-10．根据比值 l h 的不同，可将轧件的变形粗略地分为几种典型情况？简述各种典型情况的变性特点？
５-11．什么叫做宽展？轧件在宽度方向上的变形程度由哪些参数描述？ ５-12. 轧制过程中影响宽展的因素有哪些？各因素对宽展产生怎样的影响？
试计算主应变及主方向。
７．某一应变状态的应变分量 xy 、 yz 等于零，试说明此条件能否表示 x , y , z 中之一为主应变？ ８．已知下列两种位移场，试求指定点的应变状态：
（１） ux (3x2 20) 102 , uy (4yx) 102 , 在（0,2）点处。
（２）
习题
ux (6x2 15) 102 , uy (8zy) 102 , uz (3z2 2xy)102 ,在（1，３，4）点处。
3-1 根据U0d U U0V 推导米赛斯塑性条件。
x xy 0
x xy
3-2 写出应力张量为 ij yx 0 0 和为 ij yx y
求方向余弦为 l1 l2 l3 的斜面的全应 求方向余弦为 l1 l2 l3 平面上的总
应力和正应力。
3 1 1 1-5 已知一点的应力张量 ij 1 0 2 ，试求主应力。
1 2 0
1-6 已知某点的应力分量： x a, y a, z a, yz a, xy zx 0 试求主应力及最大剪应力值。
取r 0）
图？
3-12 如图所示的薄壁圆管受拉力 P 和扭矩 M 的作用，试写出此情况下的 Mises
材料成型原理——应力张量与主应力
变形： 形状的改变 + 体积的改变
应力偏张量
应力球张量
+ σ ij = ⎡⎢⎢τσxxyx
τ yx σ yy
τ τ
zx zy
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡σ ⎢
xx
−
σm
τ yx
⎢τ xy σ yy − σ m
τ
zx
⎤ ⎥
τ zy ⎥
⎢⎣τ xz
τ yz
σ
zz
⎥ ⎦
⎢⎣τ xz
τ yz
σ zz
−σm
⎥ ⎦
⎡σ m 0 0⎤ ⎢⎢0 σ m 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 σ m ⎥⎦
⎢⎣1 1 5⎥⎦ ⎢⎣1 1 4⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
z 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 z 存在张量不变量（张量分量的函数）
二、主应力和应力张量不变量
z 主平面： τ = 0 的微分面 z 主应力：主平面上作用的正应力 z 主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主轴
**任意一点的应力状态一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平 面和三个主应力。这是应力张量的重要特征**
二、主应力和应力张量不变量
Sx = σl Sy =σm Sz = σn
Sx = σNl Sy =σNm Sz = σNn
代入
⎧S ⎪
x
= σ xl
+τ yxm
+τ zxn
⎨Sy = τ xyl + σ ym +τ zyn
⎪⎩Sz = τ xzl +τ yzm + σ zn
得到
⎧(σ ⎪
x
−σ
N
)l
二、主应力和应力张量不变量
σ x − σ N τ yx τ zx τ xy σ y − σ N τ zy = 0 τ xz τ yz σ z − σ N
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2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2
12l 2
2 2
m2
32n2
1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
应力状态特征方程 齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
3 J1 2 J2 2 J3 0
x l yxm zxn 0
xyl y m zyn 0
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
x yx
xy y y zy
216m21 32n22
2 2
3
2
3
1
2
1 3
1
2
1 3
2
2
1 3
3
2
1 3
1
2
3
2
3
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 3
J
2
Q
2
1
arccos 1 54o44
3
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾
3、等效应力 1）取八面体切应力绝对值的 3 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应
力或应力强度，用 表示。 2
2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参 数。
n
八面体平面的方向余弦 l m n 1
8
1 3
1
2
3
m
1 3
J1
3
8
J 2
1J22l2
1 m
022m2
0
0
232nm 2
0
0
01l2
3 m
知识要点回顾
3、八面体应力
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。
2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
yz z z xz
zx x
5 0 5 0 5 5
0
5 0
5 5
5
50
x xy xz
5 0 5
J3 yx y yz 0 5 0 0
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
（1） （2） （3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
2 12l2 22m2 32n2 1l2 2m2 3n2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P11 P12 P13
P21
P22
P23
P31 P32 P33
P1•1 0
0 P2•2
0
0
0 0 P3•3
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。
2 ab
2
ab ab
2 ab
2 0
2
00
00
ab ab 0 22
J3
ab 2
ab 2
0 0
0 00
0
a b ab
2
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 的三个主不变量是否相同来实现。
一个应力状态有重要作用。
3
Q
2
1
arccos 1 54o44
3
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力
S1 S2
l1 m
2
S3 n3
8 =S1 S2
l
S3 m l 21 m2 2 n23
一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。 利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。
例题
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
等效应力定义式
3 2
8
3 2
2 3
J
2
3J2
二、几种重要应力的计算
例题
对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
5 0 5
ij
0
5
0
(Mpa)
5 0 5
1) 画出该点的应力单元体；
2) 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
3) 求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。