1.1、探索勾股定理(一)学案

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探索勾股定理第一课时学案学

探索勾股定理（一）学案石头学校张丽教学目标1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。

学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。

使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。

教学重点、难点重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。

教学方法选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。

教具准备坐标纸、直尺、三角板等教学过程一、创设情境，引入新课请同学们观察，我国科学家曾向太空发射的勾股图案（多媒体），试图与外星人沟通。

在2002年的国际数学家大会上采用弦图（见多媒体）作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。

二、师生互动，探究新知活动1提出问题：（观察图1）你知道正方形C 的面积是多少吗？你是怎样得出上面结果的呢？要思考后交流，可以采用直接数方格的办法，或者是分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C 的面积。

要是你不能快速完成的话，请先思考下面的问题哦！1、探究边长为3,4,5的直角三角形的情况2、探究边长为3的等腰直角三角形的情况ⅠⅡⅢ⑴观察图形并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）同学们思考：1、你能从学案导学1和2中发现三个正方形Ⅰ、 Ⅱ 、Ⅲ的面积之间有什么关系？结论：_________________________________________通过以上活动，我们发现以直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积_________________________________________________3、同学们通过面积关系，看看直角三角形的三边有什么关系？如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 ___________________________ （看好图哦）4、探究任意直角三角形的三边关系那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗？你们合作完成：将自已拼好的正方形B 和大正方形C 同正方形A 拼成如图7所示的图形。

探索勾股定理教学设计一

探索勾股定理教学设计一第一篇：探索勾股定理教学设计一第一课时探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

难点：勾股定理的发现教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1（章前的图文p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。

出示投影2（书中的P2 图1—2）并回答：1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3图1—4）提问：1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。

三、议一议1、图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。

这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么a2+b2=c2我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

1.1探索勾股定理(第1课时)教学设计.doc

第一章勾股定理1.探索勾股定理（第1课时）一、学生起点分析二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是:1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系.4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：创设情境，弓I入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:第1页第2页会标中央的图案是一个与勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用勾股定理”的图来作为与外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1. 探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察，归纳发现:结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 长的正方形的面积.意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2•通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望 .2. 探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢? （1）观察下面两幅图:等于以斜边为边（2）填表:师应给予充分肯定.）学生的方法可能有:方法一: A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 去四个直角三角形的面积, （学生可能会做出多种方法，教如图1 ,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，第4页效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 3. 议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗? （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2+b 2=c 2.数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力; 过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容:例题如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处.大树在折断之前高多少?（教师板演解题过程）练习:1基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2.生活中的应用:2.通2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a 2 +b 2 =c 2 ?小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗?意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活, 意在培养学生用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容第四环节：课堂小结内容: 教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上，师生共同总结:1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 +b 2 =c 22.方法：（1）观察一探索一猜想一验证一归纳一应用;(2) 割、补、拼、接”法.3.思想：（1）特殊一一般一特殊; 意图: 效果: 结的意识.数形结合思想.鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总第五环节：布置作业内容：布置作业：1.教科书习题1.1.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进步认识勾股定理的前提条件.效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思（一）设计理念依据学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时, 进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理.少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，贝恫胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。

八上11探索勾股定理1导学案.doc

8厘米的直角三角形。

①请你量出斜边c的长1. 1.1探索勾股定理导学案【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识, 主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3、【学习重点】了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

【学前准备】1、画一个直角三角形并测量三边的长。

2、准备一张坐标纸【自学探究】1、分别作出直角边长为3厘米和4厘米直角三角形以及直角边长为6厘米和②、进行有关的计算。

⑴a2+b2= c2=(2) a2+b2= c2=③、得出结论:2、思考:如果下图中小方格的边长是1,观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？(1)(2)/\/\/\// (、、\7(、A\/\/ 、/、B/E/ C/A\(f/ 、/(£9-/ X、、/L B打3-14图形A的面积B的面积C的面积A、B、C面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

【今日作业】1.求出下列直角三角形中未知边的长度。

2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积3、求下图中字母所代表的正方形的面积2、求出下列各图中x 的【巩固练习】1.在ZXABC 中，ZC = 90°, (1)若 a = 5, b = 12,贝U c= ________________ (2)若 c = 41,a = 9,贝ljb= ______________2.等腰AABC的腰长AB = 10cm,底BC为16cm,则底边上的高为__________ ,面积为3.AABC 中，AB = 15, AC = 13,高AD = 12,则AABC 的周长为()A. 42B. 32C. 42 & 32D. 37 & 334.一个抽斗的长为24cm,宽为7cm,在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？【延伸拓展】1.若正方形的面积为2cm2,则它的对角线长为2cm ()2.已知四边形ABCD 中，AD〃BC, ZA = 90° , AB = 8, AD = 4, BC = 6,则以DC为边的正方形面积为____3.在AABC 中，ZACB = 90° , AC = 12, CB = 5, M、N 在AB 上且AM=AC, BN= BC则MN 的长为()A. 2B. 26C. 3D. 46.___________________________________________ 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A, B, C, D的面积之和为_________________________________________________ c m2.7.___________________________________________________________________ —个直角三角形的三边长为3、4和a,则以a为半径的圆的面积是 __________________________。

1.1 勾股定理学案

1.1 探索勾股定理（1）一、课前预习1、正方形面积的计算公式，边长为5时，面积为多少？2、三角形两边分别是2,5第三边是c ，求第三边的取值范围.3、直角三角形两直角边为3、4求则第三边斜边的取值范围，斜边与这两条直角边的长度之间还有什么关系？二、新课学习 1、观察下面两幅图：2、填表：A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？【小结】求面积常用方法： ____________________________（4）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？【结论】：以_______三角形两_______边为边长的小正方形的面积的和，等于以______边为边长的正方形的面积．AB CC BA思考：（1）若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？★【勾股定理】如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_________________ 即_______三角形两_____边的______和等于斜边的_______．几何语言：∵在△ABC 中，∠____＝900∴____2＋____2＝____2三、典型例题及练习：例1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？解：∵在△ABC 中，∠____ ＝900 ∴____2＋____2＝____2 即92 ＋122＝AB 2∴AB 2＝____ ∴AB ＝____∴大树在折断之前高。

【跟踪练习】：1、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.弦股勾ACBabc2、求图形中未知正方形的面积：3、若△ABC 中，∠C =90°，（1）若a =5，b =12，则c =________；（2）若a =6，c =10，则b =________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =________，b =________.4.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为多少？5.底边长6cm ，底边上的高为4cm 的等腰三角形的腰长为多少？6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是_________cm 2．1.1 探索勾股定理（2）一、课前复习：1、勾股定理：直角三角形_________________________ 几何语言：在△ABC 中，∵∠____ ＝900∴____2＋____2＝____22、在直角三角形ABC 中, ∠C =900,BC =12,CA =5,AB = ______.3、如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为______.?2251002572577cmDACB二、典型例题：例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？(提示：方程思想)三、课堂练习：1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为多少？2．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？6米5000m4000mC B A500m400m C B A“路”4m3m3、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（）． A ．30cm 2 B ．130cm 2 C ．120cm 2 D ．60cm 25、轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6、如图学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．7、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？A BOCD3米9km AB9km 4km6km9km 2km8、△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8,沿AD折叠，使C点与AB边上的E点重合，求CD的长。

八年级数学上册 1_1 探索勾股定理导学案1(新版)北师大版

第1节探索勾股定理【学习目标】1、通过对几种常见的勾股定理验证方法，理解数学知识之间的内在联系；2、经历综合运用知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。

3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想及数学知识间的内在联系。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．【学习重难点】重点：运用已有知识解决问题，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

难点：1、利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2、利用数形结合的方法验证勾股定理。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、若a、b、c为直角三角形的三边，且c为斜边，则有a2+b2c2。

2、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ .②直角三角形中哪条边最长？。

二、自主学习1、请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：《勾股定理证明方法汇总》A BCEDFGHI①②③④⑤abc2、五巧板的制作步骤：做一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内做正方形ABDE ，并在正方形内画图，使DF ⊥BI ，CG=BC ，HG ⊥AC ，这样就把正方形ABDE 分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。

自己画一幅五巧板：3、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。

左图：a 2+b 2 c 2 右图：a 2+b 2 c 2模块二合作探究例：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形A BCD 的面积。

（提示：延长AD 、BC 交于点E 。

6.92≈48， 3.52≈12）小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

模块三小结反思1、验证勾股定理的方法：。

2、不规则图形的面积计算方法：。

模块四形成提升1、已知直角三角形的两条直角边分别是6和8, 则斜边长为_________．2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，CD⊥AB，垂足为D．求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD．附：课外拓展思维训练在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长。

北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)(导学案)

北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理（1）（导学案）第一章勾股定理 1.1探索勾股定理（1）学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。

预习案课前导学一、自主预习（感知）1、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差 .2、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? 尝试练习（１）直角三角形两直角边为３和４，则另一边为 . （２）求出x 的值.125BAC学习案知识点拔二、课堂探究如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理:直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。

课内训练1、求下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A代表的正方形面积为它的边长为B代表的正方形面积为它的边长为64225A B169144ABC蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到B点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）1、2、2、求出下列各图中x的值。

反馈案基础训练1．在△ABC中，∠C=90°，（1）若BC=5，AC=12，则AB= ；（2）若BC=3，AB=5，则AC= ；2．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为。

3.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为。

拓展提高1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.ECFBDA2.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.ABCD7x1517图1.1-1。

1.1探索勾股定理(1)导学案

第一章勾股定理导学案1.1探索勾股定理（第1课时）一、学习目标：（1分钟）1、自主、合作探究勾股定理；2、掌握勾股定理；3、会用勾股定理解决实际问题二、预习教材：（5分钟）(1)、三角形按角可分为______________，__________________，_____________.(2)、三角形的三边长有什么关系：_________________________________.(3)、直角三角形的两锐角的关系是什么？直角三角形的三边长有关系吗？预习教材P2---P4(4)、正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积图1-2左图1-2右图1-3左图1-3右结论：_____________________________________________________.直角三角形的三边的平方分别是多少？存在着怎样的关系？归纳总结：（5分钟）1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么即：（文字表达）。

注意：勾股定理研究的是直角三角形中边与边的关系，所以，勾股定理只在直角三角形中才适用。

2、数学小史：中国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为，“勾股定理”因此而得名。

我国是最早了解勾股定理的国家之一，周朝数学家_________提出_______________________，它被记载于我国古代著名的数学著作________________.在西方一般称为定理。

(5)观察图1-8，判断图中的三角形的三边长是否满足222a b c +=.三、典例导学：（5分钟）例1：如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？例2：见课本P3想一想，回顾情景。

四、检测巩固：（15分钟）1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c += （）（2）在直角三角形中任意两边的平方和等于第三边的平方。

（）（3）在Rt ABC ∆， 90=∠B ，则 222a b c += （）2、在△ABC 中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则c= ; (2)若c=20，b=12，a= 。

1.1探索勾股定理(第1课时)导学案.1探索勾股定理(第1课时)导学案

1.1探索勾股定理导学案一、问题引入：（1）观察下面图1－3，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = .第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与直角三角形三边a 、b 、c 有什么关系？通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么即直角三角形的平方和等于的平方.二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1）（2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？257三、巩固提高：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）、若a=6，b=8，则c= 。

（2）、若c=13，b=12，则a= 。

（3）、若c=5，则a 2+b 2+c 2= 。

2、若直角三角形中，其中有两边长是3和4，则第三边长的平方为（）A 25B 14C 7D 7或253、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 边上的高为（）A. 4.8B. 6C. 9.6D. 10四、课后检测（选用）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（） A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 .5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？第4题图。

1.1 探索勾股定理教案学案练习测试全

第一章勾股定理1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级：A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：________ 姓名：________1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm 在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64 ∴AD =8 cm ∴S △ABD =21BC ·AD =21×12×8=48(cm 2)3.解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm ∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25 ∴AB =3.5 cm ∵S △ABC =21AC ·BC =21AB ·CD∴AC ·BC =AB ·CD ∴CD =ABBC AC ⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm)(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得： AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2－CD 2=2.12－1.682 =(2.1+1.68)(2.1－1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2)5.解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x 在Rt △ABF 中由勾股定理得： AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102， ∴BF =6 cm∴CF =BC －BF =10－6=4(cm)在Rt △ECF 中由勾股定理可得： EF 2=CE 2+CF 2，即(8－x )2=x 2+42 ∴64－16x +x 2=x 2+16 ∴x =3(cm),即CE =3 cm参考例题［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D 在Rt △ACD 中，∠A =60° ∠ACD =90°－60°=30° AD =21AC =12(cm)CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432， DB =AB －AD =15－12=3. 在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°， ∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS ) 则OC =OD =21AB =21×6=3米.连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2 所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.。

1.1探索勾股定理(第1课时)(教案)

难点解析：学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为直角三角形的边长关系，需要教师引导学生分析问题，建立正确的数学模型。
（3）灵活运用勾股定理进行计算，特别是在涉及到无理数和近似值的情况下。
难点解析：学生在计算过程中可能对无理数的处理和近似值的取舍感到困惑，教师应教授相应的计算技巧，并强调计算准确性。
4.通过实际操作，探索勾股定理的证明方法，增强学生的空间想象力和逻辑思维能力。
5.了解勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的应用意识。
本节课将结合教材内容，以实际问题引入勾股定理，引导学生通过观察、思考和讨论，探索并掌握勾股定理。
二、核心素养目标
《探索勾股定理》核心素养目标：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过观察、分析和推理，理解并掌握勾股定理及其证明过程。
举例：通过实际案例，如房屋建筑中直角三角形的边长计算，强调勾股定理在实际生活中的应用。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是通过几何图形推导出定理的表达式。
难点解析：学生可能难以理解如何从直角三角形的性质推导出勾股定理，需要教师通过直观的图形演示和详细的步骤讲解，帮助学生理解。
（2）在实际问题中，如何正确运用勾股定理建立数学模型，解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。

1.1、探索勾股定理导学案(1)

3.1、探索勾股定理导学案一、教学目标用数格子（或割、补等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

二、知识回顾∶你对直角三角形已经有哪些认识了呢？三、探究活动：1.动手画画、动手算算、动脑想想•在纸上任意作出一个直角三角形，分别测量它们的三边长，填好下表且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？（其中a ，b为两直角边长，c是斜边长）结论(a2 b2 c2可能的关系)：2．（1）观察下图，并回答问题：正方形A 、B 、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流.(2)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A ，B ，C 的面积关系吗？结论：3.观察下面两幅图：填表：（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．4.如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积5.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

勾股定理：你认为在这个定理中我们要注意什么呢？• 1.勾股定理揭示的是直角三角形的关系。

• 2.勾股定理只适合于三角形。

• 3.如果用a 、b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有: • 4.在使用勾股定理时，要先弄清楚边和边。

四．巩固应用五．谈收获六、当堂检测1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度七．作业A 习题3.1 1 ， 2B 4?225100x17。

八年级数学上册 1.1 探索勾股定理导学案1(新版)北师大版(2)

1.1 探索勾股定理(一)自学目标：通过用测量和数格子的办法探索勾股定理，感受直角三角形奇妙的三边关系，发展我们的推理意识，主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。

能记住勾股定理，并能对其进行变形。

会运用勾股定理，解决已知直角三角形的两边求第三边长的问题。

自学准备：我们知道，任意三角形的三条边都满足三边定理：三角形的任意两边之和____第三边，任意两边之差_____第三边。

直角三角形满足此定理吗？想一想tR△ABC中，BH⊥AC,请用两种方ABC的面积。

=∆ABCS_______________;=∆ABCS_______________;∴:____________即：______________.由此可得结论：直角三角形两条直角边的乘积等于____________________________________________.此外，直角三角形的三边还存在着特殊的关系，就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

自我探究，获取新知：做一做在纸上任意画若干个直角三角形，分别测量他们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？（注：可借助计算机）并把测量和计算结果整理出来。

观察教材图1—2，正方形A中有____个小方格，即A的面积为____个面积单位。

正方形B中有___个小方格，即B的面积为___个面积单位。

正方形C中有____个小方格，即C的面积为___个面积单位。

你是怎样得出上面结果的？正方形A、B、C之间的面积有什么关系？教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？如果直角三角形两直角边分别是6.1个单位长度和4.2个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。

小组合作，共同提高：议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角形的两条直角边的______等于斜边的______.我国古代把直角三角形中较短的直角边成为勾，较长的直角边成为股，斜边成为弦。

八年级数学上册 1.1.1 探索勾股定理教精品导学案北师大版

探索勾股定理学科数学课题 1.1.1探索勾股定理授课教师教学目标1、探索直角三角形的三边的关系，发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

2 、经历用自然界现象以及数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，培养主动探索的思想。

重点了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

德育目标培养数形结合的思想，体会数学与现实生活的紧密联系，感受其价值。

难点领会勾股定理的内涵一、自主学习1、观察课本图1一2，并完成下列填空正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。

正方形 B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。

正方形 C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。

思考：1、你是怎样得出上面结果的？2、图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？1一1中A、B、C的关系呢？图1一 3中，A 、B、C之间有什么关系？图1 一 4中，A 、 B 、C 之间有什么关系？从图 1一l 、 1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？教学过程课堂笔记二、互动导学一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：出示引例，让学生思考,如何把实际问题转换成数学问题？（引导学生画出数学图形）再发问：要求树的高，只要求出什么就可以了?导课：对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

二、出示学习目标1、能探索出勾股定理2、能用勾股定理解决简单的问题。

三、探究勾股定理：探究活动一：让每个同学在自己的练习本上画一个直角三角形，分别量出三边的长，看一看三边的平方之间有何关系？（四人一组进行讨论）以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。

四、议一议你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。

八年级数学上册探索勾股定理(第一课时)教案

探索勾股定理教学设计第（一）课时教学设计思想：本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的.教学目标：（一）知识与技能1．体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．2．会利用勾股定理解释生活中的简单现象．（二）过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．（三）情感、态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．教学重点探索和验证勾股定理．教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．教学方法交流—探索—猜想．在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系．教具准备学生每人课前准备若干张方格纸、投影片教学安排3课时.教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下．［生］（1）三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；（2）对于一般三角形来说，我们可以用SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS （角角边）、SSS（边边边）来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL（即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）．（3）两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等．第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等．综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等．［师］我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征．在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？这节课，我们就来继续研究直角三角形．Ⅱ．讲述新课1．问题串［师］［生］在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B 含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积．［师］如何求得正方形C的面积呢？［生］正方形C可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C的面积为4×（×1×1）=2个单位面积．［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C的面积为2个单位面积．［生］正方形C还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C的面积为×22=2个单位面积．［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A，B，C的面积是否可借鉴图1中的A，B，C的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。