简单的三角恒等变换：课件三(21张PPT)

转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
1 sin 2 3
3 6 6
由于0 , 所以当 2 ,即 时,
3
62
6
S最大
13
3 6
3 6
练习
函数 f (x) sin 4 x cos4 x sin 2 x cos2 x 的最小正周期为 2 sin 2x
2sin x cos cos x sin

3
3
的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数
2sin x
式中的作用.
3
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形
3
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
练习
1 tan2 75
1．
的值是 （ ）
tan 75
A． 2 3 3
B． 2 3 3
C． 2 3
D． 2 3
练习
2．cos40 cos60 cos80 cos160 的值是（ ）
简单的三角恒等变换
复习 和(差)角公式
倍角公式
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2

1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如通过三角 变换把形如 y=asinx+bcosx的函数

1 3

3 2
sin
2

1 2
cos
2


3 6
以从右边着手
sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin cos 1 sin sin
2
(2) 由(1)可得
A．0
C． 1 2
B． 3 2
D．－1
练习
3．设 (0, ) ， ( , ) ，且cos 1 ，sin( ) 7
2
2
3
9
则 sin 等于（ ）
1
A．
27
C． 1 3
5
B．
27 23
D．
27
练习
4．若 f ( x)
2sin2 1
2

弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP ,求
当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
π
3
1
最大值为 4 ，最小值为 4 ．
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首先要将函数式化为单一函数．
sin4 x 2sin2 x cos 2 cos 4 x sin2 x cos 2 x f (x)
2 2sin x cos x 1 sin2 xcox2 x 2(1 sin x cos x) 1 (1 sin x cos x) 2
在Rt△OAD中, DA tan 60 3
OA
OA 3 DA 3 BC 3 sin
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
S AB BC
cos
3 3
sin


sin

sin cos 3 sin 2
，则

f(
)
的值是（
12
）
2sin cos
22
A． 4 3 3
B． 4 3
C． 4 3
D． 6 3
练习
3
5．tan( ) 2 ， tan( ) 1 ，则 tan( ) ___2_2___．
5
44
4
1 sin2
6．化简： 2

cos 1 cos 3
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
2
2sin sin 2sin cos .
2
2
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin 1 cos
2
2
cos 1 cos
22
sin 1 2
7．已知
sin( )
1
2 ，sin( )
1 3
，则
tan cot

5
8．若
tan sec
3，则 tan
2
__12__（__t_a_n__2______1_舍___之__）_．
小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
①
设 +=, -=
,
2
2
把,的值代入①,即得
sin sin 2sin cos .
2
2
思考 在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角

2
1 2
sin
x

3wk.baidu.com2
cos
x

恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数