简单的三角恒等变换：课件三(21张PPT)
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5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换 课件
简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
三角恒等变换课件
பைடு நூலகம்
三角恒等变换概述
在本节中，我们将介绍三角恒等变换的概念，并探讨恒等变换的证明方法，帮助您深入理解这个 重要的数学概念。
定义三角恒等变换
- 三角恒等变换的定义和作用
恒等变换的证明方法
- 如何证明三角恒等变换的等式
常用的三角恒等变换公式
在本节中，我们将学习一些常用的三角恒等变换公式，这些公式在解题和化简数学表达式中非常 有用。
- 概括和总结所学的三角恒等变换知识和应用
练习三角恒等变换的题目
- 提供一些练习题目，让大家通过实践巩固所学的三角恒等变换知识
解三角函数方程
- 使用三角恒等变换解决各种类型的三角函数方程
求三角函数值
- 利用三角恒等变换计算各种角度的三角函数值
化简数学表达式
- 利用三角恒等变换化简复杂的数学表达式
总结与练习
在本节中，我们将总结刚刚学习的三角恒等变换的知识点和应用，并提供一些练习题供大家巩固 所学。
总结三角恒等变换的知识点和应用
三角恒等变换课件
这是一份关于三角恒等变换的课件，我们将深入探讨三角恒等变换的各个方 面，包括基础知识回顾、概述、常用公式、应用等内容。
引言
在本节中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括周期性、奇偶性等，并为后续的学习打下基础。
三角函数基础知识回顾
- 正弦、余弦和正切的定义
三角函数的周期性和奇偶性
- 三角函数的周期性和奇偶性特点
和差公式
- 正弦、余弦和正切的和差公式
积化和差公式
- 正弦、余弦和正切的积化和差公式
幂指公式
- 正弦、余弦和正切的幂指公式
倍角公式
- 正弦、余弦和正切的倍角公式
半角公式
三角恒等变换概述
在本节中，我们将介绍三角恒等变换的概念，并探讨恒等变换的证明方法，帮助您深入理解这个 重要的数学概念。
定义三角恒等变换
- 三角恒等变换的定义和作用
恒等变换的证明方法
- 如何证明三角恒等变换的等式
常用的三角恒等变换公式
在本节中，我们将学习一些常用的三角恒等变换公式，这些公式在解题和化简数学表达式中非常 有用。
- 概括和总结所学的三角恒等变换知识和应用
练习三角恒等变换的题目
- 提供一些练习题目，让大家通过实践巩固所学的三角恒等变换知识
解三角函数方程
- 使用三角恒等变换解决各种类型的三角函数方程
求三角函数值
- 利用三角恒等变换计算各种角度的三角函数值
化简数学表达式
- 利用三角恒等变换化简复杂的数学表达式
总结与练习
在本节中，我们将总结刚刚学习的三角恒等变换的知识点和应用，并提供一些练习题供大家巩固 所学。
总结三角恒等变换的知识点和应用
三角恒等变换课件
这是一份关于三角恒等变换的课件，我们将深入探讨三角恒等变换的各个方 面，包括基础知识回顾、概述、常用公式、应用等内容。
引言
在本节中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括周期性、奇偶性等，并为后续的学习打下基础。
三角函数基础知识回顾
- 正弦、余弦和正切的定义
三角函数的周期性和奇偶性
- 三角函数的周期性和奇偶性特点
和差公式
- 正弦、余弦和正切的和差公式
积化和差公式
- 正弦、余弦和正切的积化和差公式
幂指公式
- 正弦、余弦和正切的幂指公式
倍角公式
- 正弦、余弦和正切的倍角公式
半角公式
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
简单三角恒等变换-课件ppt
b， a2＋b2
则有 y＝asin x＋bcos x
＝ a2＋b2(cos θsin x＋sin θcos x)＝ a2＋b2sin(θ＋x)．
自测自评
1．已知 sin α＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－15
B．－35
1 C.5
3 D.5
解析：原式＝sin2α－cos2α
＝2sin2α－1＝－35.故选 B.
1－cos 1＋cos
α来解， α
也可由 cos α＝－35解出 sin α，再根据公式 tanα2＝1－sicnoαs α
或
tanα2＝1＋sincoαs
求解．对第一种解法，要注意符号的选择． α
解析：解法一：∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°， 即角α2是第二象限角，∴tanα2<0，
θ.
分析：半角公式、倍角公式的灵活运用．
证明：法一：
原式＝22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＋22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2
θθ
＝ sin2θ＋cosθ2＝
1 θθ
cos2 sin2 cos2sin2
＝sin2 θ.
即 x＝72π4时，f(x)取得最小值 3 3－2 2.
因为函数 y＝sin2x－3π在区间π4，72π4上是单调递增的，
所以函数 f(x)在区间π4，72π4上是单调递减．
点评：这类问题由于兼顾了函数性质以及三角变换， 因此是高考考查的热点问题，在此过程中往往还会用到和、 差角的特殊形式，因此对于一些常见辅助角的变换要熟悉，
12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]
简单的三角恒等变换课件三
练一练·当堂检测、目标达成落实处 B
练一练·当堂检测、目标达成落实处 D
练一练·当堂检测、目标达成落实处 A
练一练·当堂检测、目标达成落实处
练一练·当堂检测、目标达成落实处
(2) 由(1)可得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
①
设 +=, -=
把,的值代入①,即得
思考 在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
上例：证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
研一研·问题探究、课ຫໍສະໝຸດ 更高效研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
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练习 函数
π 最大值为 ，最小值为 ．
的最小正周期为
的最小正周期为π，最大值为 ，最小值为 。
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
简单的三角恒等变换课 件三
2020年4月30日星期四
例1 解
研一研·问题探究、课堂更高效
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例 求证
证明：(1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所以
从右边着手 sin(+) ＝ sincos+cossin sin(-) ＝ sincos-cossin 两式相加,得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
简单的三角恒等变换PPT教学课件
a
2时
f
(x)大
a2 4
1 2
a 4
当a 2
1即a
2时
当sin x 1时
f
(x)大
3 4
a
1 2
当
a 2
0即a
0时
sin
x
0时 f
(x)大
1 2
a 4
3 4
a
1 2
(a
2)
即M
(a)
a2 4
a 4
1 2
(0
a
2)
1 2
a 4
(a
0)
(2)当M
(a)
2时,
解得a
10 3
或a
6
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
2
log 1 (sin x cosx) f (x)
2
T 2
练习2.f(x)=cos2x+asinx-
a 4
-
1 2
(0≤x≤2 )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
(1)
f
(x)
(sin
x
a 2
)2
a2 4
1 2
a 4
0
x
2
0
x
1
当0
a 2
1即0
2
sin2 cos2 1
2
解法2：
原式 1 (1 cos2 )(1 cos2 ) 1 (1 cos2 )(1 cos2 )
4
4
1 cos2 cos2
2
1 (1 cos2 cos2 ) 1 cos2 cos2
人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件
α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
解析：∵cos θ＝13，且 θ∈(0，π)，
D．±
3 3
∴θ2∈0，π2，∴cosθ2＞0，
∴cos θ2＝
cos2θ2＝
1＋cos 2
θ＝
1＋2 13＝ 36.
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
A．－
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；
(2)求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋c2os 2θ－cos 2θ＝2＝右边，
所以原等式成立．
• (一)教材梳理填空 • 1．半角公式：
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
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，则
f(
)
的值是（
12
）
2sin cos
22
A． 4 3 3
B． 4 3
C． 4 3
D． 6 3
练习
3
5．tan( ) 2 ， tan( ) 1 ，则 tan( ) ___2_2___．
5
44
4
1 sin2
6．化简： 2
cos 1 cos 3
A．0
C． 1 2
B． 3 2
D．－1
练习
3．设 (0, ) ， ( , ) ，且cos 1 ，sin( ) 7
2
2
3
9
则 sin 等于（ ）
1
A．
27
C． 1 3
5
B．
27 23
D．
27
练习
4．若 f ( x)
2sin2 1
2
转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
1 sin 2 3
3 6 6
由于0 , 所以当 2 ,即 时,
3
62
6
S最大
13
3 6
3 6
练习
函数 f (x) sin 4 x cos4 x sin 2 x cos2 x 的最小正周期为 2 sin 2x
在Rt△OAD中, DA tan 60 3
OA
OA 3 DA 3 BC 3 sin
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
S AB BC
cos
3 3
sin
sin
sin cos 3 sin 2
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin 1 cos
2
2
cos 1 cos
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如通过三角 变换把形如 y=asinx+bcosx的函数
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
22
sin 1 2
7．已知
sin( )
1
2 ，sin( )
1 3
，则
tan cot
5
8．若
tan sec
3，则 tan
2
__12__（__t_a_n__2______1_舍___之__）_．
小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2
简单的三角恒等变换
复习 和(差)角公式
倍角公式
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2sin x cos cos x sin
3
3
的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数
2sin x
式中的作用.
3
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形
3
弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP ,求
当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
2
2sin sin 2sin cos .
2
2
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
①
设 +=, -=
,
2
2
把,的值代入①,即得
sin sin 2sin cos .
2
2
思考 在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
π
3
1
最大值为 4 ，最小值为 4 ．
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首先要将函数式化为单一函数．
sin4 x 2sin2 x cos 2 cos 4 x sin2 x cos 2 x f (x)
2 2sin x cos x 1 sin2 xcox2 x 2(1 sin x cos x) 1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 142 f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
练习
1 tan2 75
1．
的值是 （ ）
tan 75
A． 2 3 3
B． 2 3 3
C． 2 3
D． 2 3
练习
2．cos40 cos60 cos80 cos160 的值是（ ）
以从右边着手
sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin cos 1 sin sin
2
(2) 由(1)可得
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数